Решения алгебра: Mathway | Решение алгебраических задач

Содержание

Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a

n-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М. И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение

 (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения.

Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

  1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

Пример 1.

x3 – 3x – 2 = 0.

Решение: I способ

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х1 = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

(х + 1)( х2 –х–2) = 0;

х + 1 = 0 или х2 –х–2 = 0;

х1 = –1 х2,3 = ;

х2,3 = ;

х2 = –1, х3 = 2

Ответ: –1; 2.

II способ

x3 + х2 – х2 – х – 2x – 2 = 0;

(x3 + х2) – (х2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х2 –х–2) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

х1 = –1, х2 = 2

Ответ: –1; 2.

  1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
    1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х2.

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay2+by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

y1 и y2.

Решая эти два уравнения (y

1=x12 и y2=x12) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

  1. Ввести новую переменную у=х2
  2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
  3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
  4. После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример 2.

х4 – 8х2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х2, где у 0; у2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

у1 = –1; у2 = 9;

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х1 = –3; х2 = 3.

Ответ: х1 = –3; х2 = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, где ab –  заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т. е.

(х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, 
х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

Пример 3.

х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение

x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: –1.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1

x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т. е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:

  • разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
  • группировкой привести полученное уравнение к виду 

  • ввести новую переменную , тогда выполнено
    , то есть ; 

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at2 +bt+c–2a=0;

  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример 4

2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.

Решение: Разделим на x2, получим:

Введем замену:
Пусть

тогда 2t2 – 3t – 27 = 0

t=-3

x2+3x+5=0

D<0

2×2-9x+10=0

x=2; x=2,5

Ответ: .

Арифметический способ решения задач на смеси и сплавы. Алгебра. 8-й класс

Задачи, которые мы будем решать, относятся к традиционным задачам математики. Они охватывают большой круг ситуаций: смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла. Когда-то они имели исключительно практическое значение. В настоящее время эти задачи часто встречаются в тестах на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы.

Мы рассмотрим задачи на смешение, которые можно решить не только алгебраически, то есть с помощью уравнения, но и арифметическим способом.

Для успешной работы нам понадобится повторить основные понятия этой темы.

Ход урока

I. Фронтальная работа с классом.

1. Сформулируйте определение концентрации.

(Слайд 1)

(Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси) Нахождение части от целого. В химии вы называли эту величину массовой долей вещества.

Концентрация вещества может быть указана и числом и %.

2. Объясните значение высказываний:

(Слайд 2)

а) Концентрация раствора 3 %;

(В 100 г раствора содержится 3 г вещества).

в) Молоко имеет 1,5 % жирности;

(В100 г молока содержится 1,5 г жира).

с) золотое кольцо имеет 583 пробу?

(В1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота).

Сколько сахара содержится в 200 г 10%- го сахарного сиропа?

Теперь давайте попробуем решить устно несколько задач.

3. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

(1: 5 ·100 = 20 %)

(Слайд 3)

4. Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?

(1 : 10 ·100 = 10%)

(Слайд 4)

II. Решение задач

Конечно, вы понимаете, что не все задачи можно решить устно. Следующую задачу мы решим с вами с помощью уравнения.

№1. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?

(Слайд 5)

Для решения задачи я попрошу вас заполнить таблицу, которая находится у вас на столе.

 

Концентрация

Масса раствора ( г )

Масса кислоты ( г )

I раствор

 

 

 

IIраствор

 

 

смесь

 

 

 

(Слайд 6)

Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.

Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.

Тогда масса смеси будет (х + у) г.

Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-ом растворе. Это 0,5х г, во втором растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.

По условию задачи составим и решим уравнение.

(Слайд 7)

0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,

65 х – 50 х = 70 у – 65 у,

15 х = 5 у,

3 х = 1 у,

х : у = 1 : 3.

Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части раствора 70% кислоты

Ответ: 50% раствора кислоты -1 часть, 70% раствора кислоты — 3 части.

А теперь я хочу предложить вам схему решения этой задачи арифметическим методом, который позволяет решить ее практически устно. Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси так:

Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше, чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по линиям:

(Слайд 8)

Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70% раствора кислоты, то есть отношение взятых частей . Окончательно получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора кислоты-3 части. Сравните полученные результаты. Делаем вывод: получили один и тот же ответ, но времени затратили гораздо меньше.

Вовсе не случайно в старые времена отношение масс смешиваемых вещей находили таким образом. Но вряд ли все ученики, получавшие правильные ответы описанным способом, понимали тогда смысл выполняемых действий.
Докажем справедливость этого способа.

В каких пропорциях нужно смешать растворы а % и b % кислот, чтобы получить раствор с % кислоты?

Заполним вторую таблицу.

(Слайд 9)

 

Концентрация

Масса раствора (г)

Масса кислоты (г)

I раствор

 

 

 

II раствор

 

 

 

смесь

 

 

 

Заполняем 1-й столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.

Заполняем 2-й столбик. Здесь мы указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.

Теперь заполним 3-й столбик. Найдем количество чистой кислоты в 1-м растворе. Это 0,01·ах г, во втором растворе 0,01·bу г, а в смеси будет 0,01·c(х + у) г кислоты.

Составим и решим уравнение

(Слайд 10)

0,01·c(х + у) = 0,01·ах + 0,01·bу,

cx +cy = ax + by

х(с – а) = у(b – c),

Заполним схему, учитывая, что а < c < b.

Теперь понятно, почему эта схема давала правильные результаты.

Давайте применим этот способ для решения задач.

№2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375 пробы с золотом 750 пробы, чтобы получить золото 500 пробы?

(Слайд 11)

Итак составляем схему.

(Слайд 12)

Чтобы получить золото 500 пробы нужно взять: 2 части золота 375 пробы и 1 часть золота750 пробы.

Решим следующую задачу.

№3. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5 %?

(Слайд 13)

(Слайд 14)

Нужно взять 7 частей пресной воды и 3 части морской воды. По условию нам известно, что морской воды 30 кг и это 3 части нового раствора. Значит на одну часть приходится 10 кг. Следовательно 7частей пресной воды – это 70 кг.

Ответ: нужно добавить 70 кг пресной воды.

А теперь я попрошу вас составить задачу на смешение и решить ее алгебраическим способом. (Самостоятельная работа). Какие это могут быть задачи? На смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла. Запишите условие задачи, приведите схему решения и решите ее. Несколько лучших задач мы рассмотрим на доске.

Подведем итог урока. Сегодня мы познакомились с алгебраическим способом решения задач на смешение. Конечно, не все задачи можно решить этим способом, но я думаю, что вам интересно было познакомиться с ним. Дома еще раз осмыслить способ решения и я думаю, что на уроках в 9 классе при подготовке к итоговой аттестации вы успешно примените этот способ.

Реферат «Нестандартные задачи, нетрадиционные способы их решения» алгебра для учащихся 9-11 классов


практические (реальные)

математические

стандартные

нестандартные

нахождение искомых

преобразование или построение

доказательство или объяснение


  1. Расчленение на стандартные или более простые задачи с помощью разбиения на части:


1) условия задачи; 2) объекта задачи; 3) требований задачи.

  1. Замена данной задачи, ей равносильной с помощью:

  1. преобразования 2) замены 3) замены объектов

условия; неизвестных; другими.

  1. Введение вспомогательных элементов для:

  1. с
    ближения 2) расчленения задачи 3) придания задаче

данных и искомых; на части; определенности.

задача


Анализ задачи и построение ее вспомогательной модели


Можно ли вычленить из условия более простые задачи или разбить условия на подзадачи?

Да Нет



Разбить на подзадачи и каждую из них решить.

Можно ли (нужно ли) преобразовывать задачу путем введения вспомогательных элементов (вспомогательных построений)?

Да Нет

Преобразовать (построить модель) и решить.

Да

Можно ли переформулировать задачу в другую, более простую, знакомую?

Да


Нет


Переформулировать (построить модель) и решить.

Надо искать особый прием решения задачи.

В качестве основного признака стандартных задач в определении указано наличие в курсе математики таких общих правил или положений, которые однозначно определяют программу решения этих задач и выполнения каждого шага этой программы, то есть известен алгоритм решения этой задачи. Отсюда понятно, что нестандартные задачи – это задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Хотя такой программы нет, но ученые и педагоги нашли ряд общих указаний – рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач, эти указания называют эвристическими правилами.

Когда встречаешься с хитроумной задачей, то все известные рекомендации и советы почему-то не помогают. И возникает вопрос: как же искать решение задачи?

Отвечая на этот вопрос, один из организаторов математических олимпиад, известный математик, профессор Владимир Абрамович Тартаковский, сравнивал поиск решения задачи с задачей поймать мышь, прячущуюся в куче камней.

− Есть два способа поймать мышь в куче камней: 1) можно постепенно отбрасывать из этой кучи камень за камнем до тех пор, пока не покажется мышь. Тогда бросайтесь и ловите ее…

2) можно иначе, надо ходить и ходить вокруг кучи и зорко смотреть, не покажется ли где-либо хвостик мыши. Как только заметите хвостик – хватайте и вытягивайте мышь из кучи.

Действительно, довольно часто поиск решения задачи напоминает эту операцию по поимке мыши в куче камней.

Для каждого уравнения, даже принадлежащего определенному классу с известным методом решения, существует «свой» способ, может быть даже несколько способов решения, присущих только ему. Во многих случаях эти решения относятся к числу нестандартных. Естественно, они довольно замаскированы, требуют определенной сообразительности, свободного владения различными разделами математики, высокой логикой мышления.

  1. Решить уравнение .

I способ Используем подстановку ,

то .

Уравнение примет вид: .

Пусть

Ответ: х=-2, х=-3.

II способ

  1. Знакомое уравнение с ЕГЭ 2001 года

I способ Раскроем скобки и перенесем число 120

Ответ: х=2, х=-5.

II способ

Корни этого уравнения ищем среди делителей свободного члена: и т.д.

Сумма коэффициентов не равна 0, значит, х=1 не является корнем уравнения, х=-1 тоже не подходит. Проверим х=2:

х=2 является корнем уравнения.




0

0

Ответ: х=-5, х=2.

III способ

Ответ: х=-5, х=2.

IV способ

Пусть

Ответ: х=-5, х=2.

V способ

  1. Решить уравнение:

Ответ:

А если уравнение завуалированное? Например, это же уравнение может выглядеть так: Почленно поделив которое на получим или .

4). Аналогично решается уравнение

.

5). Решить уравнение: ,

Ч
исло 6 перенесем влево и представим в виде суммы трех слагаемых, равных -2.

Решим как квадратное уравнение относительно , то

. Но ОДЗ , значит, . Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: х=1.

6) Более простой вариант уравнения того же типа:

7) Решить неравенство методом интервалов:

Сократим на

──○───●───●────────○─●───►

-5 -3 -1 4 5 Х

Ответ:.

8)

Преобразуем выражение:

это возможно при условии

Ответ: х=-1.

Выкорчевав даже целый лес,

вы едва ли извлечете квадратный корень.

Фольклор.

С помощью иррациональных уравнений и неравенств легко распознать, в какой мере абитуриент владеет понятиями: область определения функции и область допустимых значений, множество решений уравнения и неравенства, равносильность преобразований. Нужно хорошо знать свойства корней степени n.

Вот основные свойства, которыми мы будем пользоваться при решении примеров:

  1. Все корни четной степени являются арифметическими: если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение неотрицательно, то и значение корня неотрицательно.

  2. Все корни нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения и знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

  3. Функции являются возрастающими на всей области определения.

  4. Возводить обе части уравнения запрещается при условии, если правая и левая части уравнения имеют разные знаки.

  5. Если проведение равносильных преобразований затруднительно, нужно делать проверку в конце решения.

  1. Решить уравнение .

Механически решение этого уравнения оформить так:

но данное уравнение не имеет решения,

т.к. при любом значении x, то следовательно условие не выполняется ни при каком значении .

Ответ:

Значит, в ряде случаев при решении уравнений или неравенств целесообразно сначала найти область допустимых значений переменной.

  1. Объясните, почему эти уравнения и неравенства не имеют решения:

  1. ;

  2. одновременно не могут равняться нулю;

  3. сумма двух неотрицательных выражений не может быть отрицательной;

  4. ;

  1. Вычислить: .

  1. Решить уравнение:

Ответ:

  1. Решить уравнение: .

Уравнение перепишем в виде: .

Пусть х-3=y, то

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если каждый из них равен нулю:

Используя подстановку x-3=0 . Можно сделать проверку.

Ответ: х=3.

Если это уравнение решать традиционным способом, то получится уравнение восьмой степени.

  1. Решить уравнение, используя свойство монотонности функций:

функция — монотонно возрастающая, а функция -монотонно убывающая в области определения функций. Поэтому графики этих функций имеют одну общую точку, значит, и данное уравнение имеет одно общее решение, которое можно решить подбором.

Ответ: {3}

  1. Решить уравнение:

ОДЗ: ,

преобразуем подкоренные выражения

найдем нули слагаемых

Ответ: .

Не бывает абсолютных истин; бывают лишь абсолютные величины.

Неизвестный автор

  1. Решить уравнение: .

Т.к. обе части уравнения неотрицательны, то их квадраты тоже равны

Ответ: .

  1. Решить неравенство, используя свойство , если a, b, c, d неотрицательные числа:

.


──○─────○─●───► Ответ:

-2 1 5/3 Х

  1. Решить уравнение: .

Если

т.к. , то используя


───────────► Ответ:

-5 Х

  1. Решить неравенство:

если

т.к. то из условия


──○─────○────► Ответ: .

-2 5/3 Х

В математике все темы взаимосвязаны между собой, поэтому очень трудно рассматривать их изолированно.

  1. Решить неравенство:

При a= в силу монотонности показательной функции имеем:

Корни выражения ищем среди делителей числа 45, подбором находим х=-1 и х=5.

, но

при


о о Ответ:

-1 5 Х

  1. Решить уравнение: . ОДЗ

10. a=1, то показатель – любое число, учитывая ОДЗ,

20. ,

не подходит

Ответ: при а=1 ,

при .

  1. Решить уравнение . ОДЗ: х>0.

10. Если , то равенство справедливо при х>0

20. Если , то

Ответ: х=0,1; х=2; х=1000.

  1. Сравнить .

Преобразуем .

  1. Решить уравнение . ОДЗ: х>0

I способ II способ

Т.к. обе части уравнения

положительны, то прологарифмируем:

Ответ: нет решения.

  1. Решить уравнение

ОДЗ:

10. , число, удовлетворяющее ОДЗ и данному условию.

20.

и



t


0 t

Ответ: х=1 и х=3.

  1. Какая из данных функций является возрастающей, а какая убывающей?

  1. (убыв.)

  2. (возр.)

  3. (возр.)

  4. (уб.)

  5. (уб.)

  6. (уб.)

  7. (возр.)

  1. Решить уравнение

Т.к.

Ответ: х=0.

  1. Задание чуть усложним:

одно решение, которое нетрудно

убыв. возр. угадать, х=2

Ответ: х=2.

  1. Решить уравнение:

Можно попасть ловушку т.к.

используя подстановку:

Ответ:

  1. А если в уравнении (10) рассматривать не

Уравнение не имеет смысла т.к.

Многие задачи повышенной трудности, встречающиеся на экзаменах, могут быть успешно проанализированы и решены с помощью оценок левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство, т.е. пользоваться ограниченностью функций сверху или снизу. Признаком таких задач может быть наличие в них функций различной природы. Например, тригонометрических и показательных и т.д., или количество неизвестных больше количества уравнений. Применение метода оценок окажется успешным, если ученик умеет находить наибольшие и наименьшие значения элементарных функций или их композиций на заданном множестве, а также знаком с некоторыми полезными неравенствами:

  1. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел:

равенство достигается при

  1. Неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента:

  1. Неравенство для суммы двух взаимообратных чисел:

.

Причем равенство достигается при .

  1. Решить уравнение:

Ответ: х=0

  1. Решить уравнение: .

Ответ:

  1. При каких значениях параметра р система имеет единственное решение?

Наименьшее значение достигается при х=-р и оно равно 2-5р+3,

но

Для того, чтобы система имела одно решение нужно, чтобы в I неравенстве стоял знак равенства, т.е.

Ответ:

Предварительная оценка составляющих частей уравнения помогает решить уравнение или убедиться в том, что уравнение не имеет решений.

I способ:

Т.к. , , это условие выполняется если

или эти серии без общих элементов

Ответ: нет корней.

II способ. .

Но , то равенство возможно, если

Ответ: нет корней.

Ответ:

Ответ: решений нет.

  1. .

При решении этого уравнения стандартным методом сведения к одной функции sin x получается уравнение 9-й степени с непростым решением.

Выделим полный квадрат относительно sin x:

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю. Это возможно при условии, если

Из серии нужно отобрать значения , удовлетворяющие первому уравнению:

и тогда

при

четное нечетное

Ответ:

Решить следующие уравнения:

Ответ: .

Ответ:

Ответ: х=1.

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ: х=6.

Решить следующие неравенства:

I. Учитывая свойство монотонности функций решить уравнения:

х1=-2, х2=1 х=4

не подходят

Ответ: х=4.

При доказательстве того, что больше корней нет, чаще всего опираются на свойства монотонности правой и левой частей уравнения: если , причем функция строго возрастает, а функция строго убывает на области допустимых значений х, то уравнение не имеет корней, отличных от х0. Если же в обеих частях стоят возрастающие (убывающие) функции, то вывод о числе корней уравнения сделать трудно. Следовательно, нужно попытаться перейти к такому эквивалентному уравнению, у которого левая часть возрастала, а правая – убывала.

II. Учимся на чужих ошибках.

  1. Не решая уравнения найдите сумму квадратов его

корней:

Где ошибка? (D<0, уравнение не имеет корней)

  1. Найти все значения параметра р, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение.

наименьшее значение которого достигается при р=0.

Ответ: р=0. Где ошибка?

При р=0

Попробуем дальше рассуждать: поскольку , то ее наименьшее значение равно нулю, т. е.

(при исходное уравнение вообще не имеет действительных корней)

Для получения правильного ответа необходимо еще написать условие существования корней

и на этом множестве найти наименьшее значение функции , это условие выполняется при

Ответ:

Потеря корня! tgxобщий множитель выносим за скобки!

tgx=0

При х=8 дробь равна нулю, что удовлетворяет данному неравенству.

Ответ: .


8 10 Х

Ответ: ?


  1. Схематично рисунок выглядит так. Отсюда видно, что х2 – 3х+5>0 при любых х

    Ответ:

Ответ: ?

Иногда найти ошибку оказывается даже труднее, чем самому решить задачу!

На ЕГЭ по математике часто встречаются задания на нахождение области значений функции. Если функция простая, то учитывая свойства этой функции, можно без затруднений найти множество значений функции. А если функция сложная, то проблем немало и не один способ нахождения этих значений.

  1. Пусть дана функция

преобразуем выражение

Область значений этой функции можно найти, решив уравнение:

и выяснив, при каком значении а уравнение имеет решение

— однородное уравнение II степени. Почленно делим на

квадратное уравнение имеет решения, если .

  1. Найти наименьшее значение функции

Чтобы найти множество значений этой функции, решим уравнение

и выясним, при каких значениях а оно имеет решение.

Это уравнение имеет решение, если

т.е. а

y=-1

Иными словами, множество значений функции f может быть описано как совокупность всех значений , при которых уравнение f(x)=a имеет решения.

Уравнение имеет решение, если , т.е

Нередко при исследовании тригонометрических функций помогает формула

  1. Найти область значений функции .

Итак, на приведенных примерах мы видели, что процесс сведения незнакомых задач к знакомым (ранее решенным) производится с помощью каких либо преобразований, переформулирований задачи или разбиения ее на подзадачи.

Существует много разных приемов преобразования, переформулирования и разбиения на подзадачи. С некоторыми приемами вы уже познакомились, перечислить все их вряд ли возможно, да и в этом нет необходимости. Ведь их надо не просто запомнить, а ими надо овладеть! Поэтому, используя эти приемы, надо каждый раз откладывать в своей памяти эти приемы, и тогда постепенно ими можно овладеть. Может встретиться задача, для решения которой ни один из известных приемов не окажется пригодным. Тогда нужно изобретать новый прием. В этом и состоит искусство решения задач.

Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.

Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения есть процесс изобретательства. Помните: чтобы научиться играть на флейте, нужно играть на флейте!

  1. Ангилейко И.М., Атрашенок П.В., Козлова Р.В. Задачи по математике, предлагавшиеся в ВУЗах на вступительных экзаменах (с решениями). – М.: Вышэйшая школа, 1976.

  2. Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1979.

  3. Вовченко И.И., Лежнин П.А., Шевелев М.Л. Сборник конкурсных задач по математике. – Казань: Татарское книжное издательство, 1967.

  4. Единый государственный экзамен по математике. Учебно-методическое пособие. – Йошкар-Ола, 2001.

  5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Дрофа, 1999.

  6. Кутепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. – М.: Высшая школа, 1969.

  7. Тимофеев Г.Н. Математика для поступающих в ВУЗы. – Йошкар-Ола, 2001.

  8. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 1989.

  9. Черняк А.А., Черняк Ж.А. Математика в решениях конкурсных задач из сборника М.И. Сканави. – Минск: Беларусская энцыклапедыя, 2000.

  10. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф, 2001.

  11. Шахно К.У. Сборник задач по математике повышенной трудности. – Минск: Высшая школа, 1969.

  12. Шварцбурд С.И., Боковнев О.А. Углубленное изучение алгебры и анализа. – М.: Просвещение, 1977.

  13. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. – М.: Просвещение, 1972.

Решение неравенств с помощью пошагового решения математических задач

В этой главе мы разработаем некоторые приемы, помогающие решать задачи, сформулированные словами. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3 + ? = 7, 3 + п = 7, 3 + х = 1

и так далее, где символы ?, n и x обозначают число, которое мы хотим найти.Такие сокращенные версии поставленных задач мы называем уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку показатель степени равен 1. Члены слева от знака равенства составляют левый член уравнения; те, что справа, составляют правый член. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левая часть равна x + 3, а правая — 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными. Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной будет подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой уравнение верно (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение. Подставим значение 3 вместо x в уравнение и посмотрим, равен ли левый член правому.

4(3) — 2 = 3(3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Ответ. 3 это решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем проверки.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем проверки.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 является решением, так как 7 + 5 = 12,
b. -5 является решением, поскольку 4(-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

В разделе 3.1 мы решили некоторые простые уравнения первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу очевидны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, имеющие одинаковые решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

эквивалентны уравнениям, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при проверке, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при проверке. При решении любого уравнения мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов генерирования эквивалентных уравнений.

Если к обоим элементам добавляется или вычитается одно и то же количество уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнение.

В символах,

а — b, а + с = b + с и а — с = b — с

являются эквивалентными уравнениями.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

, вычитая 3 из каждого члена.

Решение Вычитание 3 из каждого члена дает

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, так как решение одинаково для обоих, а именно 4.Следующий пример показывает, как мы можем сгенерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив 2 к каждому элементу.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому элементу дает

х-2+2 =10+2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение формы x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому элементу (или вычтем из него 1), мы получим

.

2x + 1- 1 = x — 2- 1

2х = х — 3

Если мы теперь добавим -x к (или вычтем x из) каждого члена, мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2(-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также полезно при решении уравнений. Это свойство указывает

Если а = b, то b = а

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не заботясь о смене знака. Таким образом,

Если 4 = х + 2, то х + 2 = 4

Если х + 3 = 2х — 5, то 2х — 5 = х + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько различных способов применения описанного выше свойства сложения. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала прибавим -3x к каждому элементу, мы получим

2х — 3х = 3х — 9 — 3х

-х = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при проверке мы видим, что решение равно 9, поскольку -(9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавляя -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае мы получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x+ 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. Если мы хотим, мы можем записать последнее уравнение как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА ДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения равно 4. Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем случае мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения разделить на одно и то же (отличное от нуля) полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

В символах,

являются эквивалентными уравнениями.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый элемент на -4.

Решение Деление обоих членов на -4 дает

При решении уравнений мы используем вышеуказанное свойство для получения эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решить 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые члены, чтобы получить

5 лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4х + 7 — х — 7 = х — 2 — х — 1

Далее, объединение одинаковых членов дает

3x = -9

Наконец, мы делим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решением этого уравнения является 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем случае мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножить на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

В символах,

а = b и а·с = b·с (с ≠ 0)

являются эквивалентными уравнениями.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для получения эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение

Сначала умножьте каждый элемент на 5, чтобы получить

.

Теперь разделите каждого члена на 3,

Пример 3 Решить .

Решение Сначала упростите над дробной чертой, чтобы получить

.

Затем умножьте каждый элемент на 3, чтобы получить

.

Наконец, деление каждого члена на 5 дает

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Нет определенного порядка, в котором следует применять свойства. Любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102, могут быть подходящими.

Шаги для решения уравнений первой степени:

  1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
  2. Используя свойство сложения или вычитания, напишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
  3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
  4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
  5. Используйте свойство Division, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решить 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение

Сначала мы объединяем одинаковые члены, 2x — 4x, чтобы получить

5х — 7 = -2х + 14

Затем мы прибавляем +2x и +7 к каждому элементу и объединяем одинаковые члены, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7х = 21

Наконец, мы делим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем дробную черту перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые члены, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Далее мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы делим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, включающие переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую переменную в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и находим неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, подставив 24 вместо d и 3 вместо r. То есть

д = рт

(24) = (3)t

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых имеется более одной переменной для одной из переменных через другие.Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем найти t через r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

, из которых по симметричному закону

В приведенном выше примере мы нашли t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый элемент на a, мы получим

.

Решайте уравнения, упрощайте выражения с помощью пошагового решения математических задач

Алгебра

Раздел алгебры QuickMath позволяет вам манипулировать математическими выражениями всевозможными полезными способами. На данный момент QuickMath может расширять, разлагать или упрощать практически любое выражение, отменять общие множители внутри дробей, разбивать дроби на более мелкие («частичные») дроби и объединять две или более дробей вместе в одну дробь.На подходе более специализированные команды.

Что такое алгебра?
Термин «алгебра» используется для обозначения многих вещей в математике, но в этом разделе мы будем говорить только о том виде алгебры, с которым вы сталкиваетесь в старшей школе.

Алгебра — это раздел элементарной математики, в котором для обозначения неизвестных величин используются символы. В более общем смысле он состоит из решения уравнений или манипулирования выражениями, которые содержат символы (обычно буквы, такие как x, y или z), а также числа и функции.Хотя решение уравнений на самом деле является частью алгебры, это настолько обширная область, что для нее есть отдельный раздел в QuickMath.

Эта часть QuickMath имеет дело только с алгебраическими выражениями. Это математические операторы, которые содержат буквы, цифры и функции, но не имеют знаков равенства. Вот несколько примеров простых алгебраических выражений:

х 2 -1

x 2 -2x+1

аб 2 +3а 3 б-5аб

x 3 +1

Расширить

Команда расширения используется в основном для перезаписи полиномов с умножением всех скобок и целых степеней и сбором всех подобных членов. В расширенном разделе у вас также есть возможность расширения тригонометрических функций, расширения по модулю любого целого числа и оставления нетронутыми определенных частей выражения при расширении остальных.

Перейти на страницу Развернуть

Фактор

Команда factor попытается переписать выражение как произведение меньших выражений. Он заботится о таких вещах, как удаление общих множителей, разложение на множители по парам, квадратичные трехчлены, разности двух квадратов, суммы и разности двух кубов и многое другое.Расширенный раздел включает в себя параметры факторизации тригонометрических функций, факторизации по модулю любого целого числа, факторизации поля целых чисел Гаусса (как раз то, что нужно для этих хитрых сумм квадратов) и даже расширения поля, в котором происходит факторизация, с вашими собственными расширениями.

Перейти на страницу Фактора

Упростить

Упрощение, пожалуй, самая сложная из всех команд для описания. То, как упрощение выполняется в QuickMath, включает просмотр множества различных комбинаций преобразований выражения и выбор той, которая имеет наименьшее количество частей.Помимо прочего, команда «Упростить» позаботится об исключении общих множителей сверху и снизу дроби и сборе одинаковых членов. Расширенные параметры позволяют упростить тригонометрические функции или дать указание QuickMath прилагать больше усилий для поиска упрощенного выражения.

Перейти на страницу упрощения

Отменить

Команда отмены позволяет исключить общие множители в знаменателе и числителе любой дроби, встречающейся в выражении.Эта команда работает путем отмены наибольшего общего делителя знаменателя и числителя.

Перейти на страницу отмены

Частичные дроби

Команда дробей позволяет разделить рациональную функцию на сумму или разность дробей. Рациональная функция — это просто частное двух многочленов. Любую рациональную функцию можно представить в виде суммы дробей, где знаменатели дробей являются степенями множителей знаменателя исходного выражения. Эта команда особенно полезна, если вам нужно интегрировать рациональную функцию. Разбив его сначала на неполные дроби, интегрирование часто можно сделать намного проще.

Перейти на страницу «Частичные дроби»

Объединение фракций

Команда соединения дробей, по существу, выполняет обратную команду частичной дроби. Он перепишет ряд дробей, которые добавляются или вычитаются, как одна дробь. Знаменатель этой единственной дроби обычно будет наименьшим общим кратным знаменателей всех дробей, которые складываются или вычитаются.Любые общие множители в числителе и знаменателе ответа будут автоматически аннулированы.

Перейти на страницу объединения фракций

Понятие соответствия часто встречается в повседневной жизни. Для Например, каждой книге в библиотеке соответствует количество страниц в книга. В качестве другого примера, каждому человеку соответствует дата рождения. К приведите третий пример, если температура воздуха регистрируется в течение всего сутки, то в каждый момент времени есть соответствующая температура.

Примеры соответствий, которые мы привели, включают два множества X и Y. В В нашем первом примере X обозначает набор книг в библиотеке, а Y — набор положительные целые числа. Каждой книге x в X соответствует натуральное число y, а именно количество страниц в книге. Во втором примере, если мы допустим X обозначим множество всех людей, а Y множество всех возможных дат, тогда каждому человеку x в X соответствует дата рождения y.

Мы иногда представляем соответствия диаграммами типа, показанного на Фигура 1.17, где множества X и Y представлены точками внутри областей в самолет. Изогнутая стрелка указывает, что элемент y из Y соответствует элемент x из X. Мы изобразили X и Y как разные множества. Однако X и Y могут имеют общие элементы. На самом деле мы часто имеем X = Y.

Наши примеры показывают, что каждому х в X соответствует один и только один у в Y; то есть y уникален для данного x. Однако один и тот же элемент Y может соответствуют разным элементам X.Например, две разные книги могут иметь одинаковое количество страниц, у двух разных людей может быть один и тот же день рождения, и скоро.

В большей части нашей работы X и Y будут наборами действительных чисел. Для иллюстрации пусть X и Y оба обозначают множество R действительных чисел, и каждому вещественному числу x соответствует назначьте его квадрат x 2 . Таким образом, 3 мы приписываем 9, — 5 мы присваиваем 25, а скоро. Это дает нам соответствие от р до р. Все примеры соответствия, которые мы дали, являются функциями, как определено ниже.

Определение

Функция f из множества X в множество Y является соответствием, которое присваивает каждому элемент x из X уникальный элемент y из Y. Элемент y называется образом x при f и обозначается через f(x). Множество X называется областью определения функции. Диапазон функции состоит из всех изображений элементов X.

Ранее мы ввели обозначение f(x) для элемента Y, который соответствует х. Обычно это читается как «f of x». Мы также называем f(x) значением ф в х.В терминах графического представления, данного ранее, мы можем теперь нарисуйте схему, как на рис. 1.18. Изогнутые стрелки указывают на то, что элементы f(x), f(w), f(z) и f(a) из Y соответствуют элементам x, y, z и a из X. Повторим тот важный факт, что каждому х в X соответствует в точности одно изображение f(x) в Y; однако различные элементы X, такие как w и z на рисунке 1.18 может иметь такое же изображение в Y.

Начинающих учеников иногда смущают символы f и f(x).Запомнить что f используется для представления функции. Его нет ни в X, ни в Y. Однако, f(x) является элементом Y, а именно элементом, который f сопоставляет x. Две функции Говорят, что f и g от X до Y равны, что записывается как

для каждого x в X.

Пример 1 для каждого x в R. Найдите f(-6) и f(a), где a — любое действительное число. Что это диапазон ф?

Решение Значения f (или изображений под f) можно найти, заменив x в уравнение f(x) = x 2 .Таким образом:

Если T обозначает диапазон выключения, то по предыдущему определению T состоит из всех числа вида f(a), где a находится в R . Следовательно, T — множество всех квадраты a 2 , где a — действительное число. Так как квадрат любого действительного число неотрицательно. T содержится в множестве всех неотрицательных вещественных числа. Более того, каждое неотрицательное действительное число c является образом ниже f, так как . Следовательно, диапазон f — это набор всех неотрицательных действительных чисел.

Если функция определена, как в предыдущем примере, символ, используемый для переменная несущественна; то есть такие выражения, как:

и так далее, все определяют одну и ту же функцию.Это верно, потому что если a является любым число в области f, то то же самое изображение a 2 получается без независимо от того, какое выражение используется.

Пример 2 Пусть X обозначает множество неотрицательных действительных чисел и пусть f функция от X до R определяется для каждого x в X. Найдите f(4) и f (пи). Если b и c принадлежат X, найдите f(b + c) и f(b) + f(c).

Решение Как и в примере 1, поиск изображений под f — это просто вопрос подставляя подходящее число вместо x в выражении для f(x).Таким образом:

Многие формулы, встречающиеся в математике и естественных науках, определяют функции. В качестве иллюстрации формула A = pi*r 2 для площади A круга радиуса r присваивает каждому положительному вещественному числу r уникальное значение A. Это определяет функцию f, где f(r) = pi*r 2 , и мы можем написать А = f(r). Буква r, обозначающая произвольное число из домена off, часто называют независимой переменной. Буква А, обозначающая число из диапазона off, называется зависимой переменной, так как ее значение зависит от номер, присвоенный тор.Когда две переменные r и A связаны таким образом, принято использовать фразу A является функцией r. Чтобы привести другой пример, если автомобиль движется с постоянной скоростью 50 миль в час, то расстояние d (мили), пройденное за время t (часы), определяется как d = 50t и, следовательно, расстояние d является функцией времени t.

Мы видели, что разные элементы области определения функции могут иметь такое же изображение. Если изображения всегда разные, то, как и в следующем определении, функция называется один к одному.
 

Фактор многочлена или выражения с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений высших степеней. На самом деле процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, кроме этого пункта, можно выполнить без его понимания.

В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами .Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

Выражение находится в факторизованной форме , только если все выражение является указанным произведением.

Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны учитывать выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но факторизованная форма должна соответствовать приведенному выше определению.

Факторинг — это процесс преобразования выражения суммы или разности слагаемых в произведение факторов.

Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не меняется, а только его форма.

УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

  1. Определите, какие факторы являются общими для всех членов выражения.
  2. Фактор общих факторов.

В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5(2x + 1), чтобы получить 10x + 5. Обычно факторизация «отменяет» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

Чтобы разложить выражение на множители, удалив общие множители, действуйте, как в примере 1.

3x — наибольший общий множитель всех трех членов.

Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и отыщите наибольший из них.Это самый большой общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

Продолжайте, поместив 3x перед набором скобок.

Члены в скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

Обратите внимание, что это свойство распределения. Это обратный процесс, который мы использовали до сих пор.

Исходное выражение теперь преобразуется в факторизованную форму.Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, то должно быть верно, что . Умножьте, чтобы увидеть, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами: «Удалили ли мы все общие факторы? Можем ли мы еще добавить факторы?»

Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x 2 + 6xy + 9xy 2 , ответ был бы

3(x 2 + 2xy + 3xy 2 ).

Умножая для проверки, мы находим, что ответ на самом деле равен исходному выражению. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не является полностью факторизованным.

Это выражение факторизовано, но не полностью.

Для правильного факторинга решение должно удовлетворять двум критериям:

  1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
  2. FВыражение должно быть полностью разложено на .

Пример 2 Коэффициент 12x 3 + 6x 2 + 18x.

Решение

На данный момент нет необходимости перечислять факторы каждого термина. Вы должны быть в состоянии мысленно определить наибольший общий множитель. Хорошей процедурой для подражания является продумывание элементов по отдельности. Другими словами, не пытайтесь сразу получить все общие множители, а сначала получите число, а затем каждую соответствующую букву.Например, 6 — это множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x(2x 2 + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

Спросите себя: «Каков наибольший общий делитель чисел 12, 6 и 18?»
Затем «Каков наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»
Помните, это проверка, чтобы убедиться, что мы правильно рассчитали.

Снова умножьте как чек.

Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы в отдельности.

Если выражение нельзя разложить на множители, говорят, что оно простое .

Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПО ГРУППЕ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

  1. Факторные выражения, когда общий фактор включает более одного члена.
  2. Фактор по группировке.

Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, относится к методу факторинга, называемому группировкой .

Во-первых, мы должны отметить, что общий фактор не обязательно должен быть одним термином. Например, в выражении 2y(x + 3) + 5(x + 3) есть два члена. Это 2y(x + 3) и 5(x + 3). В каждом из этих терминов у нас есть множитель (x + 3), состоящий из термов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага для факторизации.

Решение

Во-первых, обратите внимание, что не все четыре члена в выражении имеют общий делитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем разложить первые два члена на 3, что даст 3(ax + 2y). Если мы разложим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Теперь выражение равно 3(ax + 2y) + a(ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить как (ax + 2y)(3 + a). Умножая (ax + 2y)(3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a 2 x + 2ay и видим, что факторизация верна.

Это пример разложения на множители путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

Умножьте (x — y)(a + 2) и посмотрите, получится ли исходное выражение.
Опять умножить как чек.

Иногда члены должны быть сначала переупорядочены, прежде чем можно будет выполнить разложение по группам.

Пример 7 Коэффициент 3ax + 2y + 3ay + 2x.

Решение

Первые два члена не имеют общего делителя, но первый и третий члены имеют, поэтому мы переставим члены так, чтобы третий член располагался после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором термины могут быть расположены.

Во всех случаях важно быть уверенным, что коэффициенты в скобках абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти термины.
Умножить как чек.

Пример 8 Коэффициент ax — ay — 2x + 2y.

Решение

Обратите внимание, что если мы разложим a из первых двух членов, мы получим a(x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 даст 2(-x + y), но разложение на множители «-2» дает -2(x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому мы действуем таким образом.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ТРЕХНОМОВ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

  1. Умножьте в уме два двучлена.
  2. Разложите на множители трехчлен с коэффициентом первого члена, равным 1.
  3. Найдите делители любого факторизуемого трехчлена.

Большое количество будущих задач будет связано с разложением трехчленов на множители как произведений двух двучленов. В предыдущей главе вы научились умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух двучленов и разработать шаблон для этого типа умножения.

Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на шаблон для этого.

Из примера (2x + 3)(3x — 4) = 6x 2 + x — 12 обратите внимание, что первый член ответа (6x 2 ) получен из произведения двух первых членов множителей , то есть (2x)(3x).

Также обратите внимание, что третий член (-12) получен из произведения вторых членов факторов, то есть ( + 3)(-4).

Теперь у нас есть следующая часть шаблона:

Теперь снова взглянув на пример, мы видим, что средний член (+x) получен из суммы двух произведений (2x)(-4) и (3)(3x).

Теперь для любых двух биномов у нас есть следующие четыре произведения:

  1. Первый срок за первым сроком
  2. Внешние условия
  3. Внутренние условия
  4. Последний срок за последним сроком

Эти продукты показаны этим шаблоном.

Когда произведения внешних членов и внутренних членов дают одинаковые члены, их можно объединить, и решение будет трехчленным.

Этот метод умножения двух двучленов иногда называют методом FOIL.
FOIL расшифровывается как First, Outer, Inner, Last.

Это упрощенный метод умножения двух двучленов, и его полезность будет видна, когда мы разложим трехчлены.

Вы должны запомнить эту схему.

Опять же, возможно, запоминание слова ФОЛЬГА поможет.

Этот образец следует не только запомнить, но и научиться переходить от задачи к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

Выполняя следующие упражнения, постарайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме самого ответа. Чем больше вы практикуете этот процесс, тем лучше у вас будет факторинг.

Теперь, когда мы установили схему умножения двух двучленов, мы готовы разложить трехчлены на множители. Сначала мы рассмотрим разложение на множители только тех трехчленов, у которых коэффициент первого члена равен 1.

Решение

Так как это трехчлен и не имеет общего делителя, мы будем использовать шаблон умножения для множителя.

На самом деле мы будем работать в обратном порядке по сравнению с предыдущим упражнением.

Сначала распишите задачу в скобках.

Теперь мы хотим заполнить термины так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x)(x) = x 2 .

Помните, произведение первых двух членов двучлена дает первый член трехчлена.

Теперь мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и в то же время складывают, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих у нас будет правильный первый и последний термин.

Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение

Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по понятным причинам.

Здесь могут пригодиться некоторые числовые факты из арифметики.
  1. Произведение двух нечетных чисел нечетно.
  2. Произведение двух четных чисел четно.
  3. Произведение нечетного и четного числа равно четному.
  4. Сумма двух нечетных чисел четна.
  5. Сумма двух четных чисел четна.
  6. Сумма нечетного и четного числа нечетна.
Следовательно, когда мы факторизуем такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов бинома должно быть 24, что является четным, а их сумма должна быть равна 11, что является нечетным.
Таким образом, будет работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4 или 2 и 12 и так далее.

Решение

Здесь проблема немного другая. Мы должны найти числа, которые при умножении дают 24 и при этом при сложении дают — 11. Всегда нужно помнить о закономерности. Последний член получается строго путем умножения, а средний член получается, наконец, из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

Решение

Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, а средний член должен исходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить в терминах различия. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

Порядок факторов не имеет значения.

по коммутативному закону умножения.

Следующие пункты помогут вам разложить трехчлены на множители:

  1. Когда знак третьего члена положителен, оба знака в множителях должны быть одинаковыми, и они должны быть одинаковыми со знаком среднего члена.
  2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки множителей должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент первого слагаемого не равен 1, проблема факторинга значительно усложняется, потому что число возможностей значительно увеличивается.

Выполнив предыдущий набор упражнений, вы теперь готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

Обратите внимание, что есть двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один из них имеет 17x в качестве среднего члена.

Конечно, вы могли бы попробовать каждое из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

Есть только один способ получить все три члена:

В этом примере одна из двенадцати возможностей верна. Таким образом, проб и ошибок может занять очень много времени.

Несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод угадывания, это должно быть «обоснованное угадывание», в котором мы применяем все наши знания о числах и упражняемся в умственной арифметике. В предыдущем примере мы бы сразу отбросили многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x в качестве среднего члена, мы не будем пытаться использовать возможности умножения 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12 и т. д., поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетно, мы знаем, что это сумма четного числа и нечетного числа. Все эти вещи помогают сократить количество возможных попыток.

Сначала найдите числа, дающие правильный первый и последний члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего члена.

Решение

Сначала мы должны проанализировать проблему.

  1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
  2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
  3. Множители 6×2 равны x, 2x, 3x, 6x. Делители числа 15 равны 1, 3, 5, 15.
  4. Исключить как слишком большое произведение 15 на 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.
Это автоматически дало бы слишком большой средний член.

Посмотрите, как сократилось количество возможностей.

Решение

Анализ:

  1. Последний член отрицательный, поэтому отличается от знаков.
  2. Мы должны найти произведения, отличающиеся на 5 с большим отрицательным числом.
  3. Мы исключаем произведение 4x и 6 как возможно слишком большое.
  4. Попробуйте несколько комбинаций.
Помните, мысленно попробуйте различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга методом проб и ошибок. Вы станете более опытным в этом процессе благодаря практике.

(4x — 3)(x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принять это как решение, а поменяйте знаки так, чтобы большее произведение совпадало по знаку со средним членом.

К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы должны чувствовать себя намного более комфортно при разложении трехчлена на множители.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ В ФАКТОРИНГЕ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

  1. Определите и разложите на множители разности двух полных квадратов.
  2. Определите и разложите на множители совершенный квадратный трехчлен.

В этом разделе мы хотим рассмотреть некоторые частные случаи факторинга, которые часто встречаются в задачах. Если эти особые случаи признаются, факторинг значительно упрощается.

Первый частный случай, который мы обсудим, — это разность двух полных квадратов .

Вспомним, что при умножении двух двучленов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если эти два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

Когда сумма двух чисел равна нулю, говорят, что одно из чисел является аддитивной инверсией другого.
Например: ( + 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивной инверсией — 3, также -3 является аддитивной инверсией +3.

В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два двучлена умножаются, чтобы получить двучлен (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

Правило можно записать как = (a — b)(a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной в факторинге.

Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители и если она имеет форму , факторы будут (a — b)(a + b).

Решение

Здесь оба члена являются полными квадратами и разделены знаком минус.

Особые случаи действительно облегчают факторинг, но не забудьте признать, что особый случай — это просто особый случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разность двух полных квадратов».

Сумма двух квадратов не разлагается.

Вы также должны быть осторожны, чтобы распознать правильные квадраты.Помните, что совершенные квадратные числа — это числа, квадратные корни которых являются целыми числами. Кроме того, совершенные квадратные показатели четны.

Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) является полным квадратом. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено по этому методу.

Другим частным случаем факторинга является трехчлен с совершенным квадратом. Заметьте, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

Мы узнаём этот случай, отмечая особенности. Три вещи очевидны.

  1. Первый член — полный квадрат.
  2. Третий член — полный квадрат.
  3. Средний член равен удвоенному произведению квадратного корня из первого и третьего членов.
Для целей факторинга удобнее записать отчет как

Решение

  1. 25x 2 — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 5x.
  2. 4 — это совершенный квадратный главный квадратный корень = 2.
  3. 20x в два раза больше квадратных корней из 25x 2 и
  4. 20х = 2(5х)(2).

Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен , сформируйте двучлен из квадратного корня из первого члена, квадратного корня из последнего члена и знака среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.

Таким образом, 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2) 2

Всегда возводите бином в квадрат для проверки правильности среднего члена.

Не является частным случаем совершенного квадратного трехчлена.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАРКИ ДЛЯ ПРОБ И ОШИБОК

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

  1. Найдите ключевое число трехчлена.
  2. Используйте номер ключа, чтобы разложить трехчлен на множители.

В этом разделе мы хотим обсудить некоторые упрощения метода проб и ошибок. Они необязательны по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти сокращения не всегда практичны для больших чисел.Однако они увеличат скорость и точность для тех, кто их освоит.

Первым шагом в этих сочетаниях клавиш является поиск номера ключа . После того, как вы нашли номер ключа, его можно использовать более чем одним способом.

В разлагаемом трехчлене ключевое число есть произведение коэффициентов первого и третьего членов.


Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».

Первое использование номера ключа показано в примере 3.

Решение
Шаг 1 Найдите номер ключа. В этом примере (4)(-10)=-40.
Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена ( + 3). В этом случае (+8)(-5)=-40 и (+8)+(-5)=+3.
Шаг 3 Множители ( + 8) и ( — 5) будут перекрестными произведениями в схеме умножения.


Произведение этих двух чисел является «ключевым числом».»

Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы дать произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x.Это 4x от 4×2 и (+2) от (-10).
Поместите эти факторы на первую и последнюю позиции в шаблоне

Есть только один способ сделать это правильно.

Шаг 5 Забудьте номер ключа на этом этапе и вернитесь к исходной проблеме.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.

Опять же, это можно сделать только одним способом.

Мы знаем, что произведение двух первых слагаемых должно давать 4x 2 , а 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме х.

Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же коэффициенты.Наиболее важным является систематический процесс факторинга.

Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10) и (+2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме как (- 5).
Помните, что если трехчлен можно разложить на множители, то существует только один возможный набор множителей.

Если не удается найти делителей ключевого числа, сумма которых является коэффициентом при средних членах, то трехчлен является простым и не делит.

Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг путем группирования. Работает как в примере 5.

Решение
Шаг 1 Найдите число ключа (4)(-10) = -40.
Шаг 2 Найдите множители (-40), которые в сумме дадут коэффициент среднего члена (+3).

Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, полученные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать

. Шаг 4 Факторизируйте эту задачу из шага 3 с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2


Теперь это становится обычной задачей факторизации с помощью группировки.

Следовательно,
Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которые могут быть получены из данного трехчлена.

Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете разложить трехчлен на множители, выполнив следующие два шага:

  1. Сначала найдите общие факторы.
  2. Разложите на множители оставшийся трехчлен, применяя методы, описанные в этой главе.

Итак, мы изучили все обычные методы факторизации, встречающиеся в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что существует две проверки правильности факторинга.

  1. Будут ли множители умножаться, чтобы дать исходную задачу?
  2. Все ли множители простые?
После того, как общий множитель найден, вы должны проверить, является ли полученный трехчлен факторизуемым.

Если трехчлен имеет какие-либо общие делители, обычно проще сначала разложить их на множители.

При разложении на множители рекомендуется всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, факторизовать то, что осталось.

ОБЗОР

Ключевые слова

  • Выражение находится в факторизованной форме, только если все выражение является указанным произведением.
  • Факторинг — это процесс, который превращает сумму или разность условий в произведение факторов.
  • Простое выражение нельзя разложить на множители.
  • Наибольший общий делитель — это наибольший общий делитель всех терминов.
  • Выражение является полностью разложенным на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
  • Возможность факторизации путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более членов.
  • Метод FOIL можно использовать для умножения двух двучленов.
  • Особые случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов с совершенными квадратами .
  • Ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

Процедуры

  • Чтобы удалить общие делители, найдите наибольший общий делитель и разделите на него каждый член.
  • Трехчлены можно разложить на множители методом проб и ошибок. При этом используется шаблон для умножения, чтобы найти множители, которые дадут исходный трехчлен.
  • Для факторизации разницы двух квадратов используйте правило
  • Чтобы разложить на множители идеальный квадратный трехчлен, сформируйте двучлен с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого двучлена.
  • Используйте ключевое число для помощи в определении факторов, сумма которых является коэффициентом среднего члена трехчлена.

5 приемов решения задач по алгебре

Проблемы со словами по алгебре могут быть неприятными, но навыки алгебры необходимы для очень многих разных вещей в жизни. Изучение алгебры поможет вам развить навыки критического мышления, в том числе связанные с логикой, решением проблем, шаблонами и рассуждениями.

Это не значит, что стать экспертом в решении задач по алгебре легко! На самом деле, чтобы разобраться с этими головоломками, требуется много практики.

Для решения задач по алгебре, которые представляют собой простые вопросы более длинной формы, требующие от вас перевода информации в тексте в уравнения, а затем их решения, вам потребуется несколько навыков.

Вам нужно будет не только понимать, как преобразовывать предложения в уравнения, но также уметь вычислять алгебраические выражения, решать линейные уравнения только с одной переменной и многое другое.

Звучит просто, но это может быть сложнее, чем вы думаете! В этом посте мы познакомим вас с наиболее полезными советами по решению задач со словами по алгебре.

Изучаете ли вы предварительную алгебру, алгебру 1, алгебру 2 или какой-либо другой математический курс, вы обязательно получите пятерку на следующем экзамене!

Каковы 4 шага решения задач по алгебре?

Существует множество различных задач по алгебре со словами, но все они могут быть решены с помощью следующих четырех простых шагов:

  • Определите и идентифицируйте вашу переменную.
  • Напишите уравнение, в котором используется переменная.
  • Решите уравнение.
  • Если переменная не является правильным ответом на задачу со словом, используйте эту переменную, чтобы найти ответ.

Звучит просто, правда? Это может быть – особенно с практикой. Посмотрите это видео, в котором вы найдете еще несколько полезных советов по решению текстовых задач, а затем продолжайте читать, чтобы узнать все, что вам нужно знать о задачах по алгебре:

Как вы решаете задачи по алгебре?

Проблемы со словами по алгебре могут быть сложными для решения, но есть всевозможные ресурсы, которые могут вам помочь.

Например, работа с частным репетитором по математике может помочь вам не отставать от математических тем. Частный репетитор сможет уделить вам индивидуальное внимание, необходимое для работы над понятиями в алгебре или других математических курсах, и работать в темпе, который подходит именно вам.

Репетитор также может предоставить вам тренировочные задачи (например, рабочий лист задач по алгебре или другие ресурсы), посвященные конкретным областям, в которых вам нужна помощь, например, постановка задач по алгебре, в которых одни области подчеркиваются, а не другие.

Фото Венди

Решение уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:

.

Это уравнение говорит: то, что слева (x − 2), равно тому, что справа (4)

Итак, уравнение похоже на утверждение » это равно тому »

Что такое решение?

Решение — это значение, которое мы можем подставить вместо переменной (например, x ), которое делает уравнение истинным .


Пример: х — 2 = 4

Если вместо x поставить 6, получится:

6 — 2 = 4

что правда

Итак, x = 6 — это решение.

Как насчет других значений x ?

  • Для x=5 мы получаем «5−2=4», что неверно , поэтому x=5 не является решением .
  • Для x=9 мы получаем «9−2=4», что неверно , поэтому x=9 не является решением .
  • и т. д.

В этом случае x = 6 — единственное решение.

Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

Несколько решений

Может быть более одного решения .

Пример: (x−3)(x−2) = 0

Когда x равно 3, мы получаем:

(3−3)(3−2) = 0 × 1 = 0

что правда

И когда x равно 2, мы получаем:

(2−3)(2−2) = (−1) × 0 = 0

, что также верно

Итак, решения:

х = 3 или х = 2

Когда мы собираем все решения вместе, это называется набором решений

Приведенный выше набор решений: {2, 3}

Решения везде!

Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и затем вызываются Тождества

Пример:

sin(−θ) = −sin(θ) является одним из тригонометрических тождеств

Попробуем θ = 30°:

sin(-30°) = -0. 5 и

−sin(30°) = −0,5

Итак, верно для θ = 30°

Попробуем θ = 90°:

sin(-90°) = -1 и

−sin(90°) = −1

Так что это также истинное для θ = 90 °

Верно ли для все значения θ ? Попробуйте некоторые значения для себя!

 

Как решить уравнение

Не существует «одного идеального способа» решить все уравнения.

Полезная цель

Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель состоит в том, чтобы получить:

Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени, которое имеет переменная), в правую часть.

Пример: Решите 3x−6 = 9

Начните с: 3x−6 = 9

Прибавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9+6

Разделить на 3:x = (9+6)/3

Теперь у нас есть x = что-то ,

и краткий расчет показывает, что х = 5

Как пазл

На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки. И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

Вот что мы можем сделать:

Пример: Решите √(x/2) = 3

Начните с:√(x/2) = 3

Квадрат с обеих сторон:x/2 = 3 2

Вычислить 3 2 = 9:x/2 = 9

Умножьте обе части на 2:x = 18

И чем больше «трюков» и техник вы изучите, тем лучше у вас будет получаться.

Специальные уравнения

Существуют специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …

Проверьте свои решения

Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно является решением.

Как проверить

Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

Пример: найти x:

2x x − 3 + 3 = 6 x − 3     (x≠3)

Мы сказали x≠3, чтобы избежать деления на ноль.

Умножим на (x − 3):

2x + 3(x−3) = 6

Перенесите 6 влево:

2х + 3(х-3) — 6 = 0

Развернуть и решить:

2х + 3х — 9 — 6 = 0

5х — 15 = 0

5(х — 3) = 0

х — 3 = 0

Это можно решить, если x=3

Проверим:

2 × 3 3 − 3 + 3  = 6 3 − 3

Держись!
Это значит Деление на Ноль!

И вообще, выше мы сказали, что x≠3, так что …

х = 3 на самом деле не работает, и так:

Нет Решение!

Это было интересно… мы думали, что нашли решение, но когда мы посмотрели на вопрос, то обнаружили, что оно не разрешено!

Это дает нам моральный урок:

«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверить!

Советы

  • Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, извлечения квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
  • Показать все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вы или кто-то другой)

 

Научитесь решать X в алгебраических уравнениях