Алгебра глава 4 проверь себя: ГДЗ проверь себя / глава 4 15 алгебра 9 класс Дорофеев, Суворова

Содержание

ГДЗ проверь себя / глава 4 15 алгебра 9 класс Дорофеев, Суворова

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык

ГДЗ Алгебра за 10‐11 класс Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин

Показать решебники

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Математика

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Английский язык

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Русский язык

1 2

Решебник и ГДЗ по Алгебре за 7 класс , авторы Колягин Ю.
М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.

  • Видеорешения
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Физика
  • Химия
  • Немецкий язык
  • Белорусский язык
  • Украинский язык
  • Французский язык
  • Биология
  • История
  • Информатика
  • ОБЖ
  • География
  • Музыка
  • Литература
  • Обществознание
  • Черчение
  • Экология
  • Технология
  • Испанский язык
  • Кубановедение
  • Казахский язык
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
Меню

gdzputina. net

Алгебра: уроки, тесты, задания.

Алгебра: уроки, тесты, задания.
  1. Информация о разделе

    1. Числовые и алгебраические выражения
    2. Что такое математический язык
    3. Что такое математическая модель
    4. Линейное уравнение с одной переменной
    5. Координатная прямая
    1. Координатная плоскость
    2. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
    3. Линейная функция y = kx + m и её график
    4. Линейная функция y = kx
    5. Взаимное расположение графиков линейных функций
    1. Основные понятия
    2. Метод подстановки
    3. Метод алгебраического сложения
    4. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными как математические модели реальных ситуаций
    1. Что такое степень с натуральным показателем
    2. Таблица основных степеней
    3. Свойства степени с натуральным показателем
    4. Умножение и деление степеней с одинаковым показателем
    5. Степень с нулевым показателем
    1. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
    2. Сложение и вычитание одночленов
    3. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень
    4. Деление одночлена на одночлен
    1. Основные понятия
    2. Сложение и вычитание многочленов
    3. Умножение многочлена на одночлен
    4. Умножение многочлена на многочлен
    5. Формулы сокращённого умножения
    6. Деление многочлена на одночлен
    1. Что такое разложение на множители
    2. Вынесение общего множителя за скобки
    3. Способ группировки
    4. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращённого умножения
    5. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов
    6. Сокращение алгебраических дробей
    7. Тождества
    1. Квадратичная функция и её график
    2. Графическое решение уравнений
    3. Что означает в математике запись у = f(x)
    1. Основные понятия
    2. Основное свойство алгебраической дроби
    3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с равными знаменателями
    4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
    5. Умножение, деление и возведение в степень алгебраических дробей
    6. Преобразование рациональных выражений
    7. Первые представления о решении рациональных уравнений
    1. Функция y = kx², её свойства и график
    2. Функция y = k/x, её свойства и график
    3. Как построить график функции у = f(x + l), если известен график функции у = f(x)
    4. Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)
    5. Как построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x)
    6. Функция y = ax² + bx + c, её свойства и график
    7. Графическое решение квадратных уравнений
    1. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа
    2. Функция квадратного корня, его свойства и график
    3. Рациональные числа
    4. Свойства квадратных корней
    5. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня
    1. Основные понятия
    2. Формулы корней квадратного уравнения
    3. Рациональные уравнения
    4. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций
    5. Ещё одна формула корней квадратного уравнения
    6. Теорема Виета
    7. Иррациональные уравнения
    1. Основные понятия
    2. Иррациональные числа
    3. Множество действительных чисел
    4. Модуль действительного числа
    5. Приближённые значения действительных чисел
    6. Степень с отрицательным целым показателем
    7. Стандартный вид числа
    1. Числовые промежутки
    2. Свойства числовых неравенств
    3. Решение линейных неравенств
    4. Решение квадратных неравенств
    5. Исследование функций на монотонность
  1. Международная оценка образовательных достижений учащихся (PISA)

    1. Линейные и квадратные неравенства
    2. Рациональные неравенства
    3. Множества и операции над ними
    4. Системы рациональных неравенств
    1. Основные понятия
    2. Методы решения систем уравнений
    3. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций
    1. Определение числовой функции и способы её задания
    2. Свойства функций
    3. Чётные и нечётные функции
    4. Степенная функция с натуральным показателем
    5. Степенная функция с отрицательным целым показателем
    6. Функция кубического корня
    1. Числовые последовательности
    2. Арифметическая прогрессия
    3. Геометрическая прогрессия
    1. Комбинаторные задачи
    2. Статистика — дизайн информации
    3. Простейшие вероятностные задачи
    4. Экспериментальные данные и вероятности событий
    1. Натуральные числа
    2. Рациональные числа
    3. Иррациональные числа
    1. Обратная функция
    2. Периодические функции (профильный)
    1. Числовая окружность
    2. Синус и косинус. Тангенс и котангенс
    3. Тригонометрические функции числового аргумента
    4. Тригонометрические функции углового аргумента
    5. Свойства функции y = sinx и её график
    6. Свойства функции y = cosx и её график
    7. Периодичность тригонометрических функций, чётность, нечётность
    8. График гармонического колебания (профильный)
    9. Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и график
    10. Обратные тригонометрические функции (профильный)
    1. Арккосинус и решение уравнения cos х = a
    2. Арксинус и решение уравнения sin x = a
    3. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнения tg x = a, ctg x = a
    4. Методы решения тригонометрических уравнений
    1. Синус и косинус суммы и разности аргументов
    2. Тангенс суммы и разности аргументов
    3. Формулы приведения
    4. Формулы двойного аргумента
    5. Формулы понижения степени (профильный)
    6. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
    7. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы
    8. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin (x + t) (профильный)
    1. Числовые последовательности и их свойства
    2. Предел числовой последовательности
    3. Cумма бесконечной геометрической прогрессии
    4. Предел функции
    5. Определение производной
    6. Вычисление производных
    7. Уравнение касательной к графику функции

9-я глава 4 по математике онлайн-тест mcq с ответами на математическую часть 1 Блок математики 4 (Алгебраические выражения и алгебраические формулы)

Наш бесплатный онлайн-тест по математике для 9-х классов поможет учащимся 9-х классов получить хорошие отметки по математике. Мы ввели как онлайн-тест с несколькими вариантами ответов, так и онлайн-тест с короткими вопросами по каждому предмету. Учащиеся 9, 10, 11 и 12 классов могут получить доступ к этой бесплатной онлайн-справке для практики перед выпускными экзаменами.Этот короткий онлайн-тест с вопросами и ответами поможет учащимся 10-го класса подготовиться к ежегодным экзаменам . ilmkidunya , собственно, такие вопросы разрабатываются с учетом учебных программ всех советов среднего и высшего среднего образования страны. Поскольку учебная программа и главы практически одинаковы в каждой провинции, эти тесты помогут студентам со всей страны. С помощью этих онлайн-тестов студенты могут определить свой уровень подготовки к ежегодным экзаменам.Как и субъективные вопросы, наши сеансы онлайн-тестирования с короткими вопросами по математике также разработаны, рассчитаны и помечены так же, как форматы работ предыдущего года.

Глава 4: Алгебраические выражения и алгебраические формулы

Эта глава посвящена алгебре и ее выражению.

  • По этой теме студенты научатся решать различные простые и сложные алгебраические выражения
  • Кроме того, они знакомятся с Surds и их приложением
  • Есть много вопросов и упражнений по рационализации
  • Понимание и изучение данных алгебраических формул в учебнике или программе является обязательным.
  • Если вы хотите научиться решать вопросы по математике с 9 по 12 класс, просто посетите ilmkidunya, чтобы получить исчерпывающую помощь в изучении математики и других предметов. Получите доступ к нашим бесплатным руководствам или пройдите качественные онлайн-тесты , чтобы повысить уровень подготовки к выпускному экзамену. На этом сайте есть все, что нужно для учащихся средних и средних школ, чтобы помочь им в учебе. Помимо содержания обучения, мы также предоставляем бесплатный доступ к различным материалам. Студенты, которые хотят изучать свои курсы с минимальным бюджетом, могут посетить категорию стипендий на нашем сайте, чтобы найти подходящие программы. Мы перечислили множество надежных консультантов по обучению, от которых вы можете посоветоваться, чтобы продолжить свою карьеру.

    9-я глава по математике Мудрый тест
    (средний английский)

    Mathway | Решение задач алгебры

  • Хотя мы рассматриваем очень широкий круг проблем, в настоящее время мы не можем помочь с этой конкретной проблемой.Я разговаривал со своей командой, и мы учтем это для будущих тренировок. Есть ли другая проблема, для решения которой вам нужна дополнительная помощь?

  • Mathway в настоящее время не поддерживает эту тему. Мы более чем рады ответить на любой математический вопрос, который может у вас возникнуть по этой проблеме.

  • Mathway в настоящее время не поддерживает «Спросите эксперта в прямом эфире по химии». Если это то, что вы искали, обратитесь в службу поддержки.

  • Mathway в настоящее время вычисляет только линейные регрессии.

  • Мы здесь, чтобы помочь вам с математическими вопросами.Если у вас возникнут проблемы с вводом ответов в онлайн-задание, вам потребуется помощь вашей школы.

  • Поддержка по телефону доступна с понедельника по пятницу с 9:00 до 22:00 по восточному времени. Вы можете поговорить с членом нашей службы поддержки клиентов по телефону 1-800-876-1799.

  • Промежуточный тест по алгебре

    1. Упростим выражение (4 x +2 2x ) / (2 x )

    A 6
    B 2 + 2 x
    C 2 × 2 x
    D 2 x +1

    2. Упростите выражение (2x 2 -5x-12) / (2x 2 -4x-16).

    A (x-6) / 2 (x-2)
    B (x-6) / 2 (x + 2)
    C (2x + 3) / 2 (x-2)
    D (2x + 3) / 2 (x + 2)

    3. Предположим, что функция f (x) является квадратичной функцией с корнями в x = 2-3i и x = 2 + 3i. Найдите f (x).

    A f (x) = x 2 -4x-5
    B f (x) = x 2 -4x + 13
    C f (x) = x 2 -6ix-5
    D f ( x) = x 2 -6ix + 13

    4.Решите неравенство относительно x. Выбрать все, что подходит.
    4x 3 + 10x 2 -24x <0

    A x <-4
    B -4
    C 0
    D x> 3/2

    5. Бейсбольный мяч подбрасывается в воздух с первого высота 6 футов. Его высота над землей (в футах) через t секунд после броска задается функцией h (t) = — 16t 2 + 46t + 6. Сколько времени потребуется (в секундах), чтобы мяч упал на землю?

    A 2 секунды
    B 5/2 секунды
    C 3 секунды
    D 4 секунды

    6.Решите уравнение относительно x. Выбрать все, что подходит.
    log 2 (8x-x 2 ) = 4

    A x = -8
    B x = 0
    C x = 4
    D x = 8

    7. Вычислите среднюю скорость изменения f между х = 1 и х = 4.
    f (x) = x 3 + 3x + 1

    A 6
    B 20/3
    C 24
    D 72

    8. Упростите выражение (x 3 -3x 2 + 2x-6 ) / (х 2 -9).

    A 1
    B (x-3) / (x + 3)
    C (x 2 +2) / (x-3)
    D (x 2 +2) / (x + 3)

    9.Предположим, этот угол? находится в квадранте I и cos? = 12/13. Найти загар?

    Загар? = 1/13
    B загар? = 13
    C загар? = 5/12
    D загар? = 12/5

    10. Какое выражение эквивалентно 6√x + 10x?

    A 2 (3x -1 + 5x)
    B 2 (3x 1/2 + 5x)
    C 2x (3x -1 +5)
    D 2x (3x 1/2 +5 )

    Ответы и пояснения

    1. D

    Эту проблему можно решить либо (1), упростив числитель и знаменатель по отдельности, а затем упростив результат, либо (2) используя свойство распределения.Для этой задачи мы воспользуемся первым способом.
    Сначала перепишите 4 x как показатель степени 2, используя свойство, (b x ) y = b xy .

    4 x = (2 2 ) x = 2 2x

    Затем используйте это, чтобы упростить числитель со свойством, b x x y = b x + y .

    Наконец, упростите результат, используя b x / b y = b xy


    2. D

    Чтобы упростить выражение , сначала множите числитель и знаменатель. Методом проб и ошибок числитель можно разложить на два бинома следующим образом.

    2x 2 — 5x — 12 = (2x + 3) (x -4)

    Для знаменателя вычтите общий множитель, равный 2.

    2x 2 — 4x — 16
    = 2 (x 2 — 2x -8)
    = 2 (x-4) (x + 2)

    Таким образом, факторизованная форма выражения is

    Обратите внимание, что существует общий множитель (x — 4), который присутствует как в числителе, так и в знаменателе. Следовательно, вы можете еще больше упростить выражение, убрав его.

    3. B

    Корни квадратичной функции f (x) — это значения x, для которых f (x) = 0. Квадратичная функция, записанная в форме f (x) = (x-a) (x-b), имеет корни в x = a и x = b.Поэтому, чтобы найти f (x), подставьте 2-3i и 2 + 3i вместо a и b в это уравнение и упростите результат. Обратите внимание, что (2-3i) (2 + 3i) = 4-9i 2 = 13.

    f (x) = (xa) (xb)
    = [x- (2-3i)] [x- (2 + 3i)]
    = x 2 — (2-3i) x- (2+ 3i) x + (2-3i) (2 + 3i)
    = x 2 -2x + 3ix-2x-3ix + 13
    = x 2 -4x + 13

    4. A и C

    Чтобы решить, сначала разложите многочлен на множители. Обратите внимание, что наибольший общий множитель (GCF) терминов равен 2x. Разложите это выражение на множители, а затем методом проб и ошибок разложите полученный трехчлен на множители.

    4x 3 + 10x 2 -24x
    = 2x (2x 2 + 5x-12)
    = 2x (2x-3) (x + 4)

    Решая относительно 0, мы находим, что корни полинома равны x = 0, x = 3/2 и x = -4.

    Эти значения делят числовую строку на четыре интервала. Выберите номер теста из каждого интервала и определите, является ли результат положительным или отрицательным. Для этой задачи мы будем использовать -5, -1, 1 и 2 в качестве тестовых чисел. Подставьте эти значения в исходный многочлен.

    x = -5:
    4 (-5) 3 +10 (-5) 2 -24 (-5)
    = -375 + 250 + 120
    = -5

    x = -1:
    4 (-1) 3 +10 (-1) 2 -24 (-1)
    = -4 + 10 + 24
    = 30

    x = 1:
    4 (1) 3 + 10 (1) 2 -24 (1)
    = 4 + 10-24
    = -10

    x = 2:
    4 (2) 3 +10 (2) 2 -24 (2)
    = 32 + 40-48
    = 24

    Таким образом, данное неравенство, 4x 3 + 10x 2 -24x <0, удовлетворяется числами меньше -5 и числами от 0 до 3/2.

    5. D

    Бейсбольный мяч ударится о землю, когда его высота равна нулю. В математических обозначениях это произойдет, когда h (t) = 0. Следовательно, нам нужно установить данную функцию равной нулю.

    h (t) = 0
    -16t 2 + 46t + 6 = 0

    Теперь решите полученное уравнение. Разложите левую часть на множители и используйте свойство нулевого произведения, чтобы найти t.

    -2 (8t 2 -23t-3) = 0
    -1 (8t + 1) (t-3) = 0
    t = -1 / 8 t = 3

    Ответ имеет смысл только тогда, когда t положительный, поэтому мы можем отбросить отрицательное значение.Таким образом, калькулятор ударится о землю через 3 секунды после того, как его бросили.

    6. C

    только: Логарифм числа — это показатель степени, до которого необходимо возвести основание, чтобы получить это число. Например, поскольку 2 3 = 8, верно и то, что log_2? 8 = 3. Таким образом, данное уравнение log_2? (8x-x 2 ) = 4 означает, что

    8x-x 2 = 2 4

    Упростите это уравнение и решите относительно x.

    8x-x 2 = 16
    0 = x 2 -8x + 16
    0 = (x-4) 2
    x = 4

    Таким образом, решение x = 4.Проверьте это значение самостоятельно, подставив его в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат является верным.

    7. C

    Средняя скорость изменения функции f между x = a и x = b может быть вычислена по формуле

    Средняя скорость изменения = (f (b) -f (a)) / (ba)
    Чтобы использовать эту формулу, сначала вычислите f (1) и f (4).

    Затем используйте эти значения для расчета средней скорости изменения.

    Средняя скорость изменения = (f (4) -f (1)) / (4-1)

    8.D

    Для упрощения выражения сначала множите числитель и знаменатель. Числитель можно разложить на множители, сгруппировав следующим образом.

    x 3 -3x 2 + 2x-6
    = x 2 (x-3) +2 (x-3)
    = (x 2 +2) (x-3)

    В качестве знаменателя разложите на множители по формуле разности квадратов: a 2 -b 2 = (a + b) (ab).

    x 2 -9 = (x + 3) (x-3)

    Таким образом, факторизованная форма выражения:

    (x 3 -3x 2 + 2x-6) / (x 2 -9)
    = (x 2 +2) (x-3) / (x + 3) (x-3)

    Обратите внимание, что существует общий множитель (x-3), который равен как в числителе, так и в знаменателе.Следовательно, вы можете еще больше упростить выражение, убрав его.

    (x 2 +2) (x-3) / (x + 3) (x-3)
    = (x 2 +2) / (x + 3)

    9. C

    Используйте единичную окружность для моделирования значения косинуса. В прямоугольном треугольнике функция косинуса равна cos? = Смежный / гипотенуза. Используя теорему Пифагора, мы находим, что длина второго отрезка равна

    b = √ (c 2 -a 2 )
    = √ (1 2 — (12/13) 2 )
    = √ (25/169)
    = 5/13

    Так как тангенциальная функция имеет значение tan ? = напротив / рядом, значение загара ? — это загар ? = √ (5/13) / (12/13) = √5 / 12 В квадранте I значения косинуса и тангенса положительны. Следовательно, tan ? = 5/12.

    10. B

    Все варианты выбора включают два преобразования данного выражения: разложение на множители 2 или 2x и изменение радикала на показатель степени. Сначала вычтите наибольший общий фактор (GCF) терминов. В этом случае GCF равен 2.

    6√x + 10x
    = 2 (3√x + 5x)

    Кроме того, квадратный корень из x равен x в степени 1/2.

    2 (3√x + 5x)
    = 2 (3x 1/2 + 5x)

    Алгебра 2 Практические вопросы

    1.Решите систему уравнений.
    y = –3x + 4
    x + 4y = –6

    A. x = –2, y = –1
    B. x = –2, y = 10
    C. x = 2, y = –2
    D. x = 3, y = –5
    E. x = 4, y = –8

    2. Джон может косить свой газон за 3 часа, а его сестра Джули может косить его за 2 часа. Сколько времени им потребуется, чтобы косить газон, если они будут работать вместе?
    A. 1 час 12 минут
    B. 1 час 15 минут
    C. 1 час 20 минут
    D. 1 час 30 минут
    E. 1 час 35 минут

    3. Решите уравнение.

    A. –5
    B. –5 и 2
    C. 2
    D. 2 и 4
    E. 4

    4. Полностью разложите выражение на множители.
    6 × 3- 4 × 2 — 16x

    A. 0
    B. 2x (3 × 2 — 2x — 8)
    C. 2x (3x + 4) (x — 2)
    D. 4x (2x + 1 ) (x — 4)
    E. 2x (2 × 2 + 7x — 4)

    5. Решите уравнение относительно x.

    5 × 2 + 6x = 3

    A.
    B.
    C.
    D.
    E.

    6. Что нужно добавить к обеим частям уравнения x2 — 12x = 5, чтобы решить его по формуле завершение квадрата?
    А.–36
    B. –12x
    C. –6
    D. 12x
    E. 36

    7. Найдите вертикальные асимптоты функции.

    A. x = –5 и x = –3
    B. x = –5, x = –3 и x = 6
    C. x = 3 и x = 5
    D. x = 3 и x = 6
    E. x = 6

    8. Две машины едут на север по шоссе. Первый едет со скоростью 40 миль в час, а второй, который уезжает через 3 часа, движется со скоростью 60 миль в час. Через какое время после того, как вторая машина уедет, вторая машина догонит первую?
    А. 1 час 12 минут
    B. 2 часа
    C. 5 часов
    D. 6 часов
    E. 6 часов 40 минут

    9. Какова область определения функции f (x) = 2x — 4?


    10. Решите уравнение относительно x.


    A. –3
    B.
    C. 2
    D. 3
    E. 5

    Код ответа

    1. C. Обратите внимание, что данная система имеет два уравнения, и каждое уравнение имеет две переменные, х и у. Следовательно, решение системы уравнений будет иметь значения для каждой переменной.Поскольку в первом уравнении y уже выделено в левой части, для решения системы уравнений будет проще использовать метод подстановки, чем метод исключения. Для начала подставьте левую часть первого уравнения, –3x + 4, вместо y во второе уравнение, а затем решите относительно x.

    x + 4y = –6
    x + 4 (–3x + 4) = –6
    x — 12x + 16 = –6
    –11x = –22
    x = 2

    Чтобы найти значение y, подставьте 2 для x в первом уравнении.

    y = –3 (2) + 4
    = –6 + 4
    = –2

    Следовательно, решение данной системы уравнений есть x = 2, y = –2. Проверьте это решение, подставив значения во второе уравнение и убедившись, что полученное равенство истинно.

    2. A. Используя соотношение x время = количество, определите скорость, с которой Джон и Джули стригут газон, если они работают отдельно. Чтобы упростить расчет, перепишите формулу как.

    Затем, если Джон и Джули работают вместе, их общий рейтинг можно найти, сложив отдельные ставки вместе. Другими словами, их общая скорость совместной работы составляет газонов в час.Подставьте это значение в исходную формулу нормы и найдите t — переменную, которая представляет время, затраченное на кошение.

    ставка x время = количество

    Примечания к редакции по математике Глава 11 — Алгебра (6-й класс)

    Спасибо за регистрацию.

    Один из наших консультантов свяжется с вами в течение 1 рабочего дня.

    Пожалуйста, проверьте свою электронную почту, чтобы узнать данные для входа.

    Нажмите, чтобы поговорить

    1800-1023-196

    + 91-120-4616500

    КОРЗИНА 0

    МОЯ КОРЗИНА (5)

    Используйте купон: CART20 и получите скидку 20% на все учебные материалы онлайн.

    ВЕЩЬ

    ДЕТАЛИ

    MRP

    СКИДКА

    ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ЦЕНА

    $ {Имя}

    Активация: сразу после оплаты

    Rs. $ {Price}

    $ {DiscountPercent}%

    Rs. $ {DiscountPrice}

    Rs.$ {Price}

    0%

    Rs. $ {Price}

    $ {Имя}

    Активация: сразу после оплаты

    Rs. $ {CalculateBundlePrice (Темы)}

    $ {DiscountPercent.toFixed ()}%

    Rs. $ {CalculateBundleDiscountedPrice (Topics, DiscountPercent)}

    Matrix Рейтинг

    Этот урок знакомит с концепцией матрицы ранга и объясняет, как ранг матрица раскрывается его эшелонированная форма.

    Ранг матрицы

    Вы можете представить себе матрицу r x c как набор строк r векторы, каждая имеет c элементов; или вы можете представить это как набор c векторы-столбцы, каждый из которых содержит r элементов.

    Ранг матрицы определяется как (а) максимальное количество линейно независимых столбцов векторов в матрице или (б) максимальное количество линейно независимых строк векторов в матрице. Оба определения эквивалентны.

    Для матрицы r x c ,

    • Если r меньше c , то максимальный ранг матрицы составляет r .
    • Если r больше c , то максимальный ранг матрицы это c .

    Ранг матрицы был бы равен нулю, только если бы матрица не имела элементов.Если бы матрица имела хотя бы один элемент, ее минимальный ранг был бы равен единице.

    How to Find Matrix Рейтинг

    В этом разделе мы описываем метод определения ранга любой матрицы. Этот метод предполагает знакомство с эшелонированные матрицы и эшелонные преобразования.

    Максимальное количество линейно независимых векторов в матрице равно к количеству ненулевых строк в его матрица эшелонов строк. Следовательно, чтобы найти ранг матрицы, мы просто преобразовать матрицу к ее форме эшелона строк и подсчитать количество ненулевые строки.

    Рассмотрим матрицу A и ее ряд строк. матрица, A ref .Ранее мы показывали как найти форму эшелона строк для матрицы A .

    Потому что форма эшелона строки A ref имеет две ненулевые строки, мы знаем, что матрица A имеет два независимых вектора-строки; и мы знаем, что ранг матрицы A равен 2.

    Вы можете убедиться, что это правильно. Ряд 1 и Ряд 2 матрицы A линейно независимый.Однако строка 3 — это линейная комбинация строк 1 и 2. В частности, строка 3 = 3 * (строка 1) + 2 * (строка 2). Следовательно, матрица A имеет только два независимых вектора-строки.

    Матрицы полных рангов

    Когда все векторов в матрице линейно независимый, матрица называется , полный ранг . Рассмотрим матрицы A и B ниже.

    Обратите внимание, что строка 2 матрицы A является скалярным кратным ряд 1; то есть строка 2 равна удвоенной строке 1. Следовательно, строки 1 и 2 линейно зависимый. Матрица А имеет только одну линейно независимую строка, поэтому ее ранг равен 1. Следовательно, матрица A не имеет полного ранга.

    Теперь посмотрим на матрицу B . Все его строки линейно независимы, поэтому ранг матрицы B равен 3.Матрица B — полноразмерная.

    Проверьте свое понимание

    Проблема 1

    Рассмотрим матрицу X , показанную ниже.

    Какое у него звание?

    (А) 0
    (В) 1
    (С) 2
    (D) 3
    (E) 4

    Решение

    Правильный ответ (С).Поскольку в матрице больше нуля элементов, его ранг должен быть больше нуля. И поскольку в нем меньше строк, чем столбцов, его максимальный ранг равен максимальному количеству линейно независимые строки. И поскольку ни одна строка не зависит линейно от другой строки, матрица имеет 2 линейно независимых строки; так что его рейтинг 2.

    Проблема 2

    Рассмотрим матрицу Y , показанную ниже.

    Какое у него звание?

    (А) 0
    (В) 1
    (С) 2
    (D) 3
    (E) 4

    Решение

    Правильный ответ (С). Поскольку в матрице больше нуля элементов, его ранг должен быть больше нуля. И поскольку в нем меньше столбцов, чем строк, его максимальный ранг равен максимальному количеству линейно независимых столбцы.

    Столбцы 1 и 2 независимы, потому что ни один из них не может быть получен как скалярное кратное другому. Однако столбец 3 линейно зависит от столбцов 1 и 2, потому что столбец 3 равен столбцу 1 плюс столбец 2. Это оставляет матрицу максимум с двумя линейно независимые колонны; то есть столбец 1 и столбец 2. Таким образом, ранг матрицы равен 2.

    .