Рабочая тетрадь алгебра 8 класс мордкович: ГДЗ рабочая тетрадь по алгебре 8 класс часть 1, 2 Ключникова, Комиссарова К учебнику Мордкович Экзамен

Содержание

ГДЗ рабочая тетрадь по алгебре 8 класс часть 1, 2 Ключникова, Комиссарова К учебнику Мордкович Экзамен

ГДЗ по алгебре для учащихся 8-х классов (Мордкович А. Г. и др.) станет незаменимым помощником для родителей восьмиклассников, которые изучают в школе алгебру по учебнику, составленному авторами данного решебника.

О пользе и вреде использования готовых домашних заданий сказано немало. Для того чтобы пособие ГДЗ по алгебре для 8-го класса (Мордкович А. Г. и др.) не дало ученику возможность бездумно списывать домашние задания, необходим обязательный контроль со стороны родителей.

Дети постоянно ищут легкие пути. Во Всемирной сети легко найти решение любой задачи или примера, но не всегда оно оказывается полностью правильным, поэтому лучше всего пользоваться проверенным источником, таким как сайт Еуроки.ру. У нас можно воспользоваться ГДЗ по алгебре для 8-х классов (Мордкович А. Г. и др.), которые полностью соответствуют школьному учебнику этого же автора. Можно не волноваться по поводу несовпадения чисел в заданиях: правильность решенных задач в пособии стопроцентная, так как и учебник, и решебник создавались одним коллективом авторов.

В 8-ом классе дети изучают достаточно сложные темы по алгебре. Для успешного усвоения программы 8-го класса просто необходимы основательные знания алгебры, полученные в 7-ом классе. Но не всегда желание ребенка знать предмет совпадает с его возможностями. Школьная программа довольно сложная: трудные темы по разным предметам сменяют друг друга, ученик устает и просто не может запоминать огромный объем информации – когда ребенок принимается за решение заданий по алгебре после уроков, у него возникает масса вопросов.

Сборник готовых домашних заданий – реальная помощь родителям

Школьная программа достаточно изменилась с тех пор, когда родители нынешних восьмиклассников ходили в школу, поэтому большое количество тем и заданий вызывает затруднение у мам и пап. Кроме того, изменились правила оформления письменных работ, но ведь ребенок нуждается в помощи. В этом случае есть два выхода: оплачивать недешевые услуги репетитора или воспользоваться ГДЗ по алгебре для 8-го класса (Мордкович А. Г.).

Родители, ознакомившись с правильным решением задачи или примера, смогут его поэтапно объяснить ребенку. Таким образом, ответы на задания помогут родителям и ребенку обрести уверенность в себе; ученик улучшит оценки, а мамы и папы смогут воскресить в памяти забытые школьные знания по алгебре.

ГДЗ по Алгебре для 8 класса рабочая тетрадь Шуркова М.В. на 5

Автор: Шуркова М.В..

Издательство: Бином 2020

Если успеваемость школьника снизилась и он начал приносить домой плохие оценки по контрольным и тестам, тогда самое время обратиться за помощью к «ГДЗ по Алгебре для 8 класса рабочая тетрадь Шуркова ФГОС (Бином)». Готовые домашние задания оформлены в удобном для пользования стиле. Все примеры подкрепляются правильными решениями, а некоторые и несколькими вариантами, что позволяет выбрать наиболее удобный способ выполнения задачи.

Каждый номер ГДЗ соответствует школьному учебнику. Верные ответы на упражнения могут быть всегда под рукой, так как доступ к ним можно получить с любого электронного устройства.

Предметная программа в 8 классе

Год как обычно начнётся с повторения ранее изученного материала, а затем ребятам предстоит освоение новых разделов. Алгебра в 8 классе требует особого внимания и сосредоточенности на уроках, ведь придется вызубрить множество формул и правил. Так, восьмиклассники сначала разберут в теории, а затем закрепят на практике следующие темы: проведение арифметических операций над дробями, корень квадратный, квадратичная функция и её применение, квадратные уравнения. Материал объемный и достаточно сложный для восприятия. Поэтому решебник просто необходим ребятам. Он даст возможность вовремя сделать домашнее задание, проверить правильность ответов и успешно подготовиться к контрольной работе или тесту.

Достоинства решебника по Алгебре для 8 класса рабочая тетрадь Шуркова

«ГДЗ по Алгебре для 8 класса рабочая тетрадь Шуркова М. В. ФГОС (Бином)» снизит нагрузку на школьника и поможет ему в освоении программы. Решебник разрабатывала команда методистов, использовавших для его составления массу материала. Вся информация в нем структурирована и включает только актуальные сведения. ГДЗ качественно выделяется среди других решебников, поскольку:

  1. Включает полный курс предмета за текущий учебный год.
  2. Подразделяется на 43 параграфа, каждый делится на задачи,что облегчает поиск нужного ответа.
  3. Решения всех заданий пошагово расписаны.
  4. Несколько вариантов ответов практических занятий.
  5. Удобство использования и восприятия.

Применяя решебник, родитель или учитель повторит вместе с ребенком пройденный материал, что даст возможность обнаружить пробелы в знаниях и вовремя их устранить. Не рекомендуется применять ГДЗ для списывания ответов, поскольку это не приведёт к желаемым результатам — высокой успеваемости и пониманию предмета.

Календарно-тематическое планирование по алгебре 8 класс ФГОС по учебнику Мордкович А. Г.

Календарно – тематическое планирование

на 2020/2021 учебный год

Предмет алгебра

Класс 8

Учитель ­­­­­­­­­­­­­­­­­­____________________________________

Планирование составлено на основе

Примерной основной образовательной программы основного общего образования, базисного учебного плана общеобразовательных учреждений Российской Федерации в соответствии с примерной программой «Программы. Алгебра и начала математического анализа. 7 – 9 классы / авт.- сост. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. М. : Мнемозина.

Учебник:

Мордкович А. Г. Алгебра, 8 кл. Ч. 1: Учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ А. Г. Мордкович. — М.: Мнемозина; Мордкович А. Г. и др. Алгебра, 8 кл. Ч. 2: Задачник для учащихся общеобразовательных организаций/ А. Г. Мордкович и др. под ред. Мордкович А. Г.— М.: Мнемозина.

Дополнительная литература:

1) Зубарева И. И. Алгебра, 8 кл.: рабочая тетрадь. В 2 ч. / И. И. Зубарева, М. С. Мильштейн. — М.: Мнемозина.

2) Ершова А. П., Голобородько В. В., Ершова А. С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. – М. : Илекса.

3) Звавич Л. И. Дидактические материалы по алгебре: 8 класс к учебнику Ю. Н. Макарычева и др. Алгебра. 7 класс/ Л. И. Звавич, Н. В. Дьяконова. – М. : Экзамен.

4) Алгебра. 8 класс. Тематические тесты. Промежуточная аттестация / Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М.

Календарно – тематическое планирование

(4 часа в неделю, всего 136 часов)

Дата урока

№ урока

Тема урока

Деятельность учащихся

Форма

контроля

ТСО, эксперимент, наглядные пособия

Параграф

или страница учебника

с начала года

по теме

Повторение (8 часов)

1-2

1-2

Алгебраические выражения

Общая,

фронтальная

Устный счет

СР

CD «Математика 5-11 кл. » «Дроби. Десятичные дроби».

3-5

3-5

Уравнения, системы уравнений

Индивидуальная

СР

Задания для устного счета.

«Обыкновенные дроби»

6-8

6-8

Текстовые задачи

Общая,

фронтальная

Тест

Алгебраические дроби (27 часов)

9-10

1-2

Основные понятия

Фронтальная

Устный счет

CD Математика 5-11

«Рациональные числа»

11-14

3-6

Основное свойство алгебраической дроби

Фронтальная,

индивидуальная

СР

«Основное свойство дроби»

Демонстрационный материал «Основное свойство дроби»

15-17

7-9

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Индивидуальная

СР

«Сумма и разность дробей»

Задания для устного счета. «Сумма и разность дробей»

18-22

10-14

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Индивидуальная

СР

«Сумма и разность дробей»

Задания для устного счета. «Сумма и разность дробей»

23

15

Контрольная работа № 1 по теме «Алгебраические дроби»

Индивидуальная

КР

24-26

16-18

Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение

Алгебраической дроби в степень

Общая,

индивидуальная

СР

«Умножение и деление дробей»

Задания для устного счета. «Умножение и деление дробей»

27-29

19-21

Преобразование рациональных выражений

Индивидуальная

Математический

диктант

30-32

22-24

Первые представления о решении рациональных уравнений

Групповая

СР

«Дробные рациональные уравнения»

Демонстрационный материал

«Решение рациональных уравнений»

33-34

25-26

Степень с отрицательным целым показателем

Общая,

фронтальная

Устный счет

Демонстрационный материал

«Определение степени с целым отрицательным показателем»

Задания для устного счета.

«Степень с отрицательным показателем»

35

27

Контрольная работа № 2 по теме «Алгебраические дроби»

Индивидуальная

КР

Функция у = . Свойства квадратного корня (23 часа)

36-37

1-2

Рациональные числа

Общая,

фронтальная

Устный счет

Задания для устного счета. «Действительные числа»

38-40

3-5

Понятие квадратного корня из неотрицательного числа

Общая,

индивидуальная

СР

Демонстрационный материал «Арифметический квадратный корень»

41-42

6-7

Иррациональные числа

Общая,

фронтальная

Устный счет

43-44

8-9

Множество действительных чисел

Общая,

фронтальная

ФО

Задания для устного счета. «Действительные числа»

45-47

10-12

Функция , ее свойства и график

Общая,

фронтальная

ФР

Демонстрационный материал «Функция и ее график»

48-50

13-15

Свойства квадратных корней

Общая,

фронтальная,

индивидуальная

СР

Демонстрационный материал «Применение свойств квадратного корня»

51-54

16-19

Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

Индивидуальная

Тест

55

20

Контрольная работа № 3 по теме «Квадратные корни»

Индивидуальная

КР

56-58

21-23

Модуль действительного числа

Общая,

фронтальная,

индивидуальная

СР

Демонстрационный материал

«Модуль числа»

Квадратичная функция. Функция у = (23 часа)

59-61

1-3

Функция у = kx2, ее свойства и график

Общая,

индивидуальная

Практическая работа

CD Математика 5-11

Виртуальная лаборатория «График функции»

62-65

4-7

Функция у = , ее свойства и график

Общая,

индивидуальная

Практическая работа

Задания для устного счета. Упр.5 «Обратная пропорциональность»

CD Математика 5-11

«Обратная пропорциональность

и ее график» Упр. 1-4.

66

8

Контрольная работа № 4 по теме

«Квадратичная функция. Функция у = »

Групповая

Практическая работа

67-68

9-10

Как построить график функции у = f(x + l), если известен график функции у = f(x)

Индивидуальная

Тест

CD Математика 5-11

«Графики функций»

69-70

11-12

Как построить график функции у = f(x) + m, если известен график функции у = f(x)

Индивидуальная

ПР

CD Математика 5-11

«Графики функций»

71-73

13-15

Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)

Групповая

Практическая работа

CD Математика 5-11

«Графики функций»

74-77

16-19

Функция у = ах2 + bx + c

Индивидуальная

Тест

CD Математика 5-11

«Графики функций»

78-80

20-22

Графическое решение квадратных уравнений

Индивидуальная

СР

81

23

Контрольная работа №5 по теме

«Квадратичная функция»

Индивидуальная

КР

Квадратные уравнения (23 часа)

82-83

1-2

Основные понятия

Общая,

фронтальная

ФО

Демонстрационный материал «Квадратные уравнения»

84-86

3-5

Формула корней квадратных уравнений

Групповая

СР

Задания для устного счета. «Квадратное уравнение и его корни»

87-89

6-8

Рациональные уравнения

Общая,

фронтальная

ФР

Задания для устного счета

«Дробные рациональные уравнения»

90

9

Контрольная работа №6 по теме «Квадратные уравнения»

Индивидуальная

КР

91-94

10-13

Рациональные уравнения как модели реальных ситуаций

Общая,

фронтальная

ФО

Задания для устного счета

«Дробные рациональные уравнения»

95-96

14-15

Еще одна формула корней квадратного уравнения

Фронтальная

СР

«Решение задач с помощью квадратных уравнений»

CD Математика 5-11. Виртуальная лаборатория «Графики уравнений и неравенств»

97-100

16-19

Теорема Виета

Индивидуальная

Тест

Демонстрационный материал «Теорема Виета»

Задания для устного счета. «Теорема Виета»

101

20

Контрольная работа №7 по теме «Квадратные уравнения»

Индивидуальная

КР

102-104

21-23

Иррациональные уравнения

Фронтальная

ФР

Неравенства (17 часов)

105-107

1-3

Свойства числовых неравенств

Фронтальная

Тест

Демонстрационный материал «Свойства числовых неравенств»

108-110

4-6

Исследование функций на монотонность

Общая,

фронтальная

ФО

CD Математика 5-11

«Графики функций»

111-113

7-9

Решение линейных неравенств

Индивидуальная

ПР

CD Математика 5-11. «Линейные неравенства и их системы»

Демонстрационный материал

«Числовые промежутки»

CD Математика 5-11. «Числовые промежутки»

114-117

10-13

Решение квадратных неравенств

Общая,

фронтальная

ФО

118

14

Контрольная работа №8 по теме

«Неравенства»

Индивидуальная

КР

119-120

15-16

Приближенные значения действительных чисел

Общая,

фронтальная

ФО

121

17

Стандартный вид положительного числа

Фронтальная

Тест

Демонстрационный материал

«Стандартный вид числа»

Задания для устного счета.

«Стандартный вид числа»

Статистические исследования (4 часа)

122-123

1-2

Сбор и группировка статистических данных

Групповая

СР

«Сбор и группировка статистических данных»

CD Математика 5-11

Виртуальная лаборатория

«Анализ данных»

ДМ «Статистическое наблюдение, обобщение и систематизация данных»

124-125

3-4

Наглядное представление статистической информации

Общая,

фронтальная

Практическая работа

Устный счет

Демонстрационный материал «Наглядное представление статистической информации»

Повторение (11 часов)

126-127

Решение задач «Преобразования числовых и буквенных выражений»

Фронтальная,

индивидуальная

ФР

CD Математика 5-11

Упражнения «Преобразования числовых и буквенных выражений»

128-129

Функции

Общая,

фронтальная

ФО

CD Математика 5-11

«Графики функций»

130-131

Уравнения

Индивидуальная

ПР

Задания для устного счета

«Дробные рациональные уравнения»

132-133

Неравенства

Общая,

фронтальная

ФО

CD Математика 5-11. «Линейные неравенства и их системы»

Демонстрационный материал

«Числовые промежутки»

CD Математика 5-11. «Числовые промежутки»

134-136

Решение задач

Фронтальная

СР

Spectrum Algebra 1 Workbook, Classes 6-8 Math Охватывает уравнения алгебры, дроби, неравенства, графики, рациональные числа, классную или домашнюю программу: 9781483816647: Spectrum: Books

WORKBOOK FEATURES:

6–8

• 128 страниц, 10,7 дюймов x 8,4 дюймов

• Темы: уравнения и неравенства, функции и графики, рациональные числа

• Предтесты, посттесты, промежуточные тесты и окончательные тесты

• Включает ключ ответа

ФОКУСИРОВАННАЯ ПРАКТИКА: Рабочая тетрадь Spectrum по алгебре по математике для 6-8 классов предназначена для целенаправленной практики в математическом мастерстве для детей в возрасте от 11 до 14 лет. Эта рабочая тетрадь на 128 страниц помогает детям укрепить математические навыки с помощью прогрессивных уроков, упражнений по решению задач и тестов на каждом уроке, чтобы проверить уровень понимания и знаний каждого учащегося по предмету.

СООТВЕТСТВУЕТ ДЕЙСТВУЮЩИМ ГОСУДАРСТВЕННЫМ СТАНДАРТАМ: Эта рабочая тетрадь, основанная на стандартах, поможет вашему ребенку развить беглость и навыки основных алгебраических математических навыков, включая уравнения и неравенства, функции и графики, а также рациональные числа.

КАК ЭТО РАБОТАЕТ: Учащиеся начинают каждую главу с предварительного теста, чтобы определить текущее понимание, а затем продвигаются по веселым и увлекательным урокам, которые включают пошаговые примеры и достаточное количество практических страниц.Промежуточные и итоговые тесты позволяют учащимся проверить свои знания и убедиться, что они усвоили навыки, необходимые для продвижения по учебной программе к следующей концепции.

РАБОТАЕМ ВМЕСТЕ: Родители и учителя могут точно отслеживать и оценивать обучение и навыки учащихся в классе или дома, используя ключ для ответов, запись результатов и оценки.

ПОЧЕМУ SPECTRUM: Уже более 20 лет Spectrum предоставляет решения для родителей, которые хотят помочь своим детям добиться успеха, и для учителей, которые хотят, чтобы их ученики достигали поставленных целей обучения и превосходили их; рабочие тетради также являются отличным ресурсом для домашнего обучения.Компания Spectrum сотрудничает с вами в поддержке образовательного пути вашего ребенка на каждом этапе пути.

Wszystkie prace domowe podręcznika A.G. Mordkovich «Алгебра. Класс 8». FSES, przewodniki do nauki skoroszyty słowniki edukacja nauczanie książki biurowe artykuły szkolne

Zobacz teraz na platformie AliExpress: Wszystkie prace domowe dla podręcznika A.G. Mordkovich «Algebra. Klasa 8». FSES, przewodniki do nauki skoroszyty słowniki edukacja nauczanie książki biurowe artykuły szkolne

 AliExpress для идеального приложения для покупки интернета, w której wszystko, czego potrzebujesz, jest w zasięgu ręki!gu ręki!gu ręki!gu ręki!gu ręki!gu! W tej aplikacji dobra zabawa я atrakcyjne okazje są najważniejsze. Świetny stosunek jakości do ceny – oferujemy conkurencyjne ceny na ponad 100 milionów wysokiej jakości produktów z kategorii Education & Office Supplies i innych.
Międzynarodowa wysyłka – наши продукты сą dostarczane do ponad 200 krajów i regionów, a nasza aplikacja jest dostępna w 12 językach i oferuje wiele walut do wyboru.
Bezpieczne płatności – oferujemy Popularne i bezpieczne methodody płatności, dostęp do Centrum pomocy 24 yearziny na dobę, przez 7 dni w tygodniu oraz program ochrony kupującego, dzięki którym zakupy przebiegają bezpiecznie i bezproblemoznie.AliExpress для торговых марок, товаров, товаров и услуг для образования и офиса, takich jak np. Wszystkie prace domowe podręcznika A.G. Mordkovich "Алгебра. Класс 8". FSES, przewodniki do nauki skoroszyty słowniki edukacja nauczanie xsiążki biurowe artykuły szkolne. Oferujemy konkurencyjne ceny на najwyżej notowane w ratingach i bestsellerowe produkty z kategorii Education & Teaching dzięki wyprzedażom, zniżkom i szybkim ofertom.  Купите продукты из категорий Товары для образования и офиса в магазине AliExpress! Открытый каталог продуктов из категории Books & Magazines.Co powiesz na naszą rekomendację tygodnia: Wszystkie prace domowe podręcznika A.G. Mordkovich "Algebra. Klasa 8". FSES, przewodniki do nauki skoroszyty słowniki edukacja nauczanie książki biurowe artykuły szkolne?

Nie podoba Ci się? Ник не шкодзи. Nieważne, czego szukasz i ile możesz wydać na ten cel – wszystko, co potrzebne, kupisz na platformie AliExpress, dobrze się przy tym bawiąc. Odwiedź naszą platformę i zobacz wszystkie produkty wysokiej jakości z kategorii Books & Magazines! Zobacz szczegółowe informacje oraz więcej przystępnych cenowo ofert na produkty z kategorii Education & Learning.Nie zapomnij odebrać swich kuponów przed zakupem zakupem produktów z kategorii Education & Office Supplies. Теперь можно воспользоваться купоном или акцией на 5 долларов США, которые можно получить за вознаграждение.

Odbierz swoje wyjątkowe kupony i kup okazje z kategorii Books & Magazines.  Nie wiesz, jak ocenic jakość produktu? Przed zakupem przejrzyj opinie innych kupujących! Zobacz zdjęcia i opinie opublikowane przez aktywnych użytkowników, którzy kupili i wyprobwali ten product: Wszystkie prace domowe dla podręcznika A.Г. Мордкович "Алгебра. Класа 8". FSES, przewodniki do nauki skoroszyty słowniki edukacja nauczanie xsiążki biurowe artykuły szkolne. Aby uzyskać więcej inspiracji zakupowych, obejrzyj nasz canal na żywo oraz przejrzyj canal Feed, a następnie wybierz najpopularniejsze produkty z kategorii Education & Teaching.

Spiesz się, okazje szybko znikają! Находясь на AliExpress, найдите платформу для покупки продуктов из категорий. Товары для образования и офиса, книги и журналы. 

Значение алгебраической дроби.Как решать алгебраические дроби? Теория и практика

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в простейших жизненных ситуациях: когда необходимо разделить предмет на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждый получит свой кусок пирога. В этом случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, но возможна ситуация, когда предмет делится на неизвестное количество частей, например, на х.В этом случае возникает понятие дробного выражения. С целочисленными выражениями (не содержащими деления на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональная дробь, а также допустимые значения переменных.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Основные понятия

1. Определение и примеры алгебраических дробей

Рациональные выражения делятся на целых и дробных выражений.

Определение. рациональная дробь — это дробное выражение вида , где — многочлены. — знаменатель числителя.

Примеры рациональных выражений: — дробные выражения; являются целочисленными выражениями. В первом выражении, например, числитель равен , а знаменатель равен .

Значение алгебраическая дробь , как любое алгебраическое выражение , зависит от числового значения переменных, которые в него входят.В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .

2. Вычисление значения алгебраической дроби и две основные задачи на дроби

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби при различных значениях переменных, входящих в нее.

Пример 1. Вычислить значение дроби по а), б), в)

Раствор.Подставьте в указанную дробь значения переменных: а), б), в) — не существует (поскольку на ноль делить нельзя).

Ответ: 3; один; не существует.

Как видите, для любой дроби есть две типичные проблемы: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений литеральных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных — это значения переменных, для которых выражение имеет смысл. Совокупность всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или домен .

3. Допустимые (ОДЗ) и недопустимые значения переменных в дробях с одной переменной

Значение литеральных переменных может быть недопустимым, если знаменатель дроби для этих значений равен нулю. Во всех остальных случаях значения переменных действительны, так как дробь можно вычислить.

Пример 2. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор. Чтобы это выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю.Таким образом, недействительными будут только те значения переменной, у которых знаменатель будет равен нулю. Знаменатель дроби, значит решаем линейное уравнение:

Следовательно, для значения переменной дробь не имеет смысла.

Из решения примера следует правило нахождения недопустимых значений переменных — знаменатель дроби равен нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Давайте рассмотрим несколько подобных примеров.

Пример 3. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор. .

Ответ. .

Пример 4. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор..

Есть и другие постановки этой задачи — найти домен или диапазон допустимых значений выражения (ОДЗ) . Это значит — найти все допустимые значения переменных. В нашем примере это все значения, кроме .Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого вырежем на ней точку, как показано на рисунке:

Таким образом, домен дроби будет состоять из всех чисел, кроме 3.

Ответ..

Пример 5. Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор..

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Ответ..

4. Графическое представление области допустимых (ОДЗ) и недопустимых значений переменных в дробях

Пример 6. Определить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.

Решение.. Получили равенство двух переменных, приводим численные примеры: или и т.д.

Построим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции.

Координаты любой точки на данном графике не входят в диапазон допустимых значений дроби.

Ответ. .

5. Случай типа «деление на ноль»

В рассмотренных примерах мы столкнулись с ситуацией, когда произошло деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда более интересная ситуация возникает с разделением типов.

Пример 7. Определить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.

Раствор..

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если итоговое выражение равно 8 для , то исходное выражение также может быть вычислено, а значит, имеет смысл и для . Однако, если мы подставим его в исходное выражение, то получим — не имеет смысла.

Ответ..

Чтобы подробнее разобраться в этом примере, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?

(дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю).Но исходное уравнение надо решать с дробью, а для не имеет смысла, так как при этом значении переменной знаменатель равен нулю. Значит, данное уравнение имеет только один корень.

6. Правило нахождения ОДЗ

Таким образом, можно сформулировать точное правило нахождения диапазона допустимых значений дроби: для нахождения ОДЗ дроби необходимо и достаточно приравнять ее знаменатель к нулю и найти корни полученного уравнения.

Мы рассмотрели две основные задачи: вычисление значения дроби по заданным значениям переменных и нахождение области допустимых значений дроби .

Теперь рассмотрим еще несколько проблем, которые могут возникнуть при работе с дробями.

7. Разные задачи и выводы

Пример 8. Докажите, что при любых значениях переменной дробь .

Доказательство. Числитель — положительное число.. В результате и числитель, и знаменатель положительные числа, следовательно, и дробь — положительное число.

Доказано.

Пример 9. Известно, что , найти .

Раствор. Разделим дробь почленно. Мы имеем право уменьшить на, учитывая, что для данной дроби недопустимое значение переменной.

Ответ..

В этом уроке мы рассмотрели основные понятия, связанные с дробями. На следующем уроке мы рассмотрим основное свойство дроби .

Библиография

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и соавт. Алгебра 8. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 кл. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей.

2. Старая школа.

3.Интернет-портал lib2.podelise. RU.

Домашнее задание

1. № 4, 7, 9, 12, 13, 14. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.

2. Запишите рациональную дробь, областью определения которой является: а) множество, б) множество, в) вся числовая ось.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби неотрицательно.

4. Найдите область действия выражения.Подсказка: рассмотрим отдельно два случая: когда знаменатель младшей дроби равен нулю и когда знаменатель исходной дроби равен нулю.

Когда ученик переходит в среднюю школу, математика делится на 2 предмета: алгебра и геометрия. Понятий становится все больше, задачи усложняются. Некоторые люди с трудом понимают дроби. Пропустил первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить всю школьную жизнь.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражений P/Q, где P — числитель, а Q — знаменатель. Число, числовое выражение, числовое-алфавитное выражение может быть скрыто под буквенной записью.

Прежде чем задаться вопросом, как решать алгебраические дроби, сначала нужно понять, что такое выражение является частью целого.

Как правило, 1.Число в знаменателе показывает, на сколько частей была разделена единица. Числитель нужен для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в виде математической операции «Деление». В данном случае числитель — делимое, знаменатель — делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят эту тему в школе, им даются примеры для закрепления.Чтобы правильно их решать и находить разные выходы из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличное от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем этого правила является деление обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Такие преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже мы рассмотрим, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, выполнять умножение, деление и сокращение дробей.

Математические действия с дробями

Рассмотрим, как решить основное свойство алгебраической дроби, как применить его на практике. Если вам нужно умножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или вычесть, вы всегда должны следовать правилам.

Итак, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно этот пункт опустить.Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Сложите или вычтите числители. Но! Необходимо помнить, что если перед дробью стоит знак «-», все знаки в числителе меняются местами. Иногда не следует производить никаких подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Этот термин часто используется как сокращение дроби . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на выражение, отличное от единицы (одинаковое для обеих частей), то получится новая дробь.Делимое и делитель меньше, чем раньше, но из-за основного правила дробей они остаются равными исходному примеру.

Целью этой операции является получение нового неприводимого выражения. Эту задачу можно решить, сократив числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм работы состоит из двух пунктов:

  1. Нахождение НОД обеих частей дроби.
  2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предыдущей.

В таблице ниже показаны формулы. Для удобства его можно распечатать и носить с собой в блокноте. Однако, чтобы в дальнейшем при решении контрольной или экзамена не возникало затруднений в вопросе, как решать алгебраические дроби, эти формулы необходимо выучить наизусть.

Некоторые примеры с решениями

С теоретической точки зрения рассматривается вопрос о том, как решать алгебраические дроби. Приведенные в статье примеры помогут лучше понять материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и рассмотрения практических вопросов вопросов больше возникнуть не должно.

В § 42 было сказано, что если деление многочленов нельзя произвести полностью, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель — знаменателем.

Примеры дробных выражений:

Числитель и знаменатель дробного выражения сами могут быть дробными выражениями, например:

Из дробных алгебраических выражений часто приходится иметь дело с теми, в которых числитель и знаменатель равны полиномы (в частности, мономы). Каждое такое выражение называется алгебраической дробью.

Определение. Алгебраическая дробь, представляющая собой дробь, числитель и знаменатель которой являются полиномами, называется алгебраической дробью.

Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгебраической дроби называются членами дроби.

В дальнейшем, изучив действия над алгебраическими дробями, мы сможем использовать любое дробное выражение с помощью идентичных преобразований преобразовать в алгебраическую дробь.

Примеры алгебраических дробей:

Обратите внимание, что все выражение, то есть многочлен, можно записать в виде дроби, для этого достаточно в числителе это выражение записать, а в знаменателе 1.Например:

2. Допустимые буквенные значения.

Буквы, входящие только в числитель, могут принимать любые значения (если по условию задачи не вводятся дополнительные ограничения).

Для букв, входящих в знаменатель, действительны только те значения, которые не обращают знаменатель в нуль. Поэтому в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.

На этом уроке обсуждается понятие алгебраической дроби.С дробями человек сталкивается в простейших жизненных ситуациях: когда необходимо разделить предмет на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждый получит свой кусок пирога. В этом случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, но возможна ситуация, когда предмет делится на неизвестное количество частей, например, на х. В этом случае возникает понятие дробного выражения. С целочисленными выражениями (не содержащими деления на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе.Далее рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимые значения переменных.

Рациональные выражения делятся на целых и дробных выражений .

Определение. рациональная дробь представляет собой дробное выражение вида , где — многочлены. — знаменатель числителя.

Примеры рациональные выражения: — дробные выражения; являются целочисленными выражениями. В первом выражении, например, числитель равен , а знаменатель равен .

Значение алгебраической дроби , как и любое алгебраическое выражение , зависит от числового значения переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .

Рассмотрим первую типовую задачу: вычисление значения рациональной дроби для различных значений входящих в нее переменных.

Пример 1 Рассчитать значение дроби для а), б), в)

Раствор. Подставить в указанную дробь значения переменных: а), б), в) — не существует (поскольку на ноль делить нельзя).

Ответ: а) 3; б) 1; в) не существует.

Как видите, для любой дроби есть две типичные проблемы: 1) вычисление дроби, 2) нахождение допустимых и недопустимых значений литеральных переменных.

Определение. Допустимые значения переменных — это значения переменных, для которых выражение имеет смысл. Совокупность всех допустимых значений переменных называется ОДЗ или домен .

Значение литеральных переменных может быть недопустимым, если знаменатель дроби для этих значений равен нулю. Во всех остальных случаях значения переменных действительны, так как дробь можно вычислить.

Пример 2

Раствор. Чтобы это выражение имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю. Таким образом, недействительными будут только те значения переменной, у которых знаменатель будет равен нулю. Знаменатель дроби, значит решаем линейное уравнение:

Следовательно, для значения переменной дробь не имеет смысла.

Ответ: -5.

Из решения примера следует правило нахождения недопустимых значений переменных — знаменатель дроби равен нулю и находятся корни соответствующего уравнения.

Давайте рассмотрим несколько подобных примеров.

Пример 3 Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла .

Раствор. .

Ответ. .

Пример 4 Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор. .

Есть и другие постановки этой задачи — найти домен или диапазон допустимых значений выражения (ОДЗ) .Это значит — найти все допустимые значения переменных. В нашем примере это все значения, кроме . Область определения удобно изображать на числовой оси.

Для этого вырежем на ней точку, как показано на рисунке:

Рис. один

Таким образом, домен дроби будет состоять из всех чисел, кроме 3.

Ответ. .

Пример 5 Определить, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.

Раствор. .

Изобразим полученное решение на числовой оси:

Рис. 2

Ответ. .

Пример 6

Раствор. . Мы получили равенство двух переменных, приведем числовые примеры: или и т. д.

Построим это решение на графике в декартовой системе координат:

Рис. 3. График функции

Координаты любой точки, лежащей на этом графике, не входят в область допустимых значений дроби.

Ответ. .

В рассмотренных примерах мы столкнулись с ситуацией, когда произошло деление на ноль. Теперь рассмотрим случай, когда более интересная ситуация возникает с разделением типов.

Пример 7 Определить, при каких значениях переменных дробь не имеет смысла.

Раствор. .

Получается, что дробь не имеет смысла при . Но можно возразить, что это не так, потому что: .

Может показаться, что если итоговое выражение равно 8 для , то исходное выражение также может быть вычислено, а значит, имеет смысл и для . Однако, если мы подставим его в исходное выражение, то получим — не имеет смысла.

Ответ. .

Чтобы подробнее разобраться в этом примере, решим следующую задачу: при каких значениях указанная дробь равна нулю?

§ 1 Понятие алгебраической дроби

Алгебраической дробью называется выражение

, где P и Q — многочлены; P — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот примеры алгебраических дробей:

Любой многочлен является алгебраической дробью особого случая, потому что любой многочлен можно записать как

Например:

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.

Например, посчитаем значение дроби

1)

2)

В первом случае получаем:

Обратите внимание, что эту дробь можно уменьшить:

Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается.Давайте использовать это.

Во втором случае получаем:

Как видите, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.

§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение x = -1 недопустимо для этой дроби, так как знаменатель дроби при этом значении x равен нулю. При таком значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Давайте решим несколько примеров.

При каких значениях переменной имеет смысл алгебраическая дробь:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.

При каких значениях переменной алгебраическая дробь равна нулю:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю.Приравниваем числитель нашей дроби к нулю и находим корни полученного уравнения:

Таким образом, при x = 0 и x = 3 эта алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Итак, на этом уроке вы узнали основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.

Список использованной литературы:

  1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 14 ч. Ч. 1 Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 9-е изд., перераб.