Шпаргалка по алгебре 7 класс – Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии

Алгебра. Опорные конспекты по алгебре на сайте Учитель PRO

Конспекты по предмету «Алгебра»

Изучение Алгебры шаг за шагом. Онлайн-учебник.

Кодификатор ОГЭ   ТЕСТЫ по АЛГЕБРЕ   Подобрать репетитора


Глава 1. Математика до алгебры

Математика 5 и 6 классов

 

Глава 2. Алгебра 7 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)

Глава 3. Алгебра 8 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)

Глава 4. Алгебра 9 класс

(остальные материалы готовятся к публикации)


Алгебра (от араб. الْجَبْر‎, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебpа» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгeбра как раздел математики традиционно включает следующие категории: Элементарная, Общая, Универсальная, Линейная (включая матрицы) и Алгебраическая комбинаторика.

Элементарная алгебpа, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгeбpа содержит правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием aлгебра.

Кодификатор ОГЭ   ТЕСТЫ по АЛГЕБРЕ   Подобрать репетитора


Учебные пособия для подготовки к ОГЭ


Источники идей и цитат для конспектов по Алгебре:
  1. Макарычев Ю.Н. Учебники по Алгебре для 7, 8, 9 классов. — М.: Мнемозина.
  2. Лахова Н.В. Алгебра за 7 занятий. 7 класс: учебное пособие — М.: Просвещение, 2016.
  3. Томилина М.Е. Справочник по математике. 5-9 классы — СПб.: Издательский дом «Литера».
  4. ОГЭ. Математика : универсальный справочник / И.В. Третьяк. — М.: Эксмо, 2016
  5. Мерзляк А.Г. Учебники по Алгебре для 7, 8, 9 классов. — М.: Вентана-Граф.
  6. ОГЭ. Математика. Справочник с комментариями ведущих экспертов / Л.В. Кузнецова — М.: Просвещение.

(с) Цитаты из вышеуказанных учебных пособий использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). 

uchitel.pro

Шпаргалки репетитора по математике. Качайте бесплатно!

Ура, свершилось! Наконец то я собрал свои опорные карточки с теоремами и формулами по планиметрии в единый *.doc файл и выложил его на главную страницу в раздел репетитор по математике — методики. Вы можете скачать его бесплатно и использовать при решении задач. Рекомендую своим ученикам ежедневно просматривать материалы независимо от того, имеются ли соответствующее домашнее задание.

Уважаемые репетиторы по математике, обратите внимание на то, что содержание справочника заточено исключительно под цели итогового повторения при подготовке к ЕГЭ по математике и не включает в себя определения используемых понятий и полные формулировки теорем. Я собрал только те сведения (факты и формулы за 7 — 9 класс), на которых репетитор по математике строит практическую работу с задачами в процессе подготовки к ЕГЭ. Если у ученика возникают проблемы с пониманием самой природы геометрии или просыпается желание совместно с репетитором по математике разобраться во всех хитросплетениях предмета «от А до Я», — требуется совершенно иная и долгая работа по усвоению строгих определений и доказательств с совершенно иными формами заданий и сопроводительными материалами (я работаю с теоретической тетрадью и тетрадью для доказательств).

Шпаргалки репетитора по математике призваны помочь школьнику в самостоятельном поиске решений сложных задач и в перспективе добиться (и ускорить) запоминания используемых математических фактов. Подобные материалы можно использовать в работе со сложными учащимися, которых бесполезно погружать в строгую логику и для которых репетитор по математике лишь «провозглашает» теоремы, а не доказывает их. В таких случаях важно классифицировать факты, собирая их в разделы: «окружность», «площади», «трапеция», «векторы» и т.д.

Пользуйтесь шпаргалками на здоровье. При копировании на другие сайты — поставьте с них, пожалуйста, гиперссылку на мой ресурс. Отдельно отмечу, что 10% представленного в шпаргалках материала не входит в общеобразовательную программу по математике за 7 — 9 класс или рассматривается только как отдельные рядовые задачи к параграфам учебников. При отсутствии хорошего репетитора по математике и проводимой им работы по выделению и повторению теоретического материала, абитуриент к концу 9 класса благополучно забывает большинство фактов. Это является одной из причин возникновения серьезных проблем на ЕГЭ с задачей С4.

Формулы и теоремы сортированы по их фигуральному, смысловому или вычислительному родству. Скачать материалы можно с главной страницы или по прямой ссылке — опорный справочник репетитора по математике. Планиметрия. Подготовка к ЕГЭ.

В каникулы, скорее всего, я завершу работу над аналогичным справочником по стереометрии и выложу его в соответствующий раздел главной страницы. Следите за новостями.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — Москва. Строгино.

Метки: Справочник репетитора

ankolpakov.ru

Шпоры по алгебре и геометрии

приобрести
Шпоры по алгебре и геометрии
скачать (20.7 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.rtf

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)2 = а2 ± 2ав + в2

(а ± в)3 = а3 ± 3а2в + 3ав2 ± в3

а2 — в2 = (а + в) (а — в)

а3 + в3 = (а + в) (а2 — ав + в

2)

а3 — в3 = (а — в) (а2 + ав + в2)

(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс

Степени.

ам ан = ам + н

ам : ан = ам н

(ав)м = ам вм

м)н = амн

(а : в)м = ам : вм

а м = 1 : ам

ам : н = нÖ ам

Корни.

нÖав =нÖа нÖв

нÖа мÖв = н мÖам вн

нÖа : в = нÖа : нÖв

(нÖам)х = нÖа

м х

нÖам = ам/н

мÖнÖа = мнÖа

(нÖа)м = нÖам

Арифметическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, аn-1, аn

аn-1 — аn= d

d – разность прогрессии

а2 = а1+ d

а3 = а2 + d = а1 + 2d

аn= а1 + d(n-1)

Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

прогрессии.

d – разность прогрессии.

d > 0 – прогрессия возрастающая

d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, аn-1, аn

аn+1 / аn= q

а2 = а1 q

q — знаменатель прогрессии.

а3 = а2 q = а1 q2

аn= а1 qn-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = аnq — а1 = а1 (qn -1 : q – 1)

q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а1 (1 — qn)

1 — q

Сумма членов бесконечно убывающей

Прогрессии

Sn = а1

1 — q

Вектора.

а = М1М2 ={х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1}

Длина вектора

çа ç=Ö(х2 — х1)2 +(у2 — у1)2 + (z2 — z1)2

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcos j

cos j = х1х2 + у1у2 + z1z2

Öх12 + у12 +z12 Öх2222 + z22

а2 = çа ç2

а в = х1х2 + у1у2 + z1z2

Параллельность векторов

а ççв, то х1 = у

1 = z1

х2 у2 z2

Перпендикулярность векторов

а ^ в, то х1х2 + у1у2 + z1z2

Производная.

(c u)¢ = с u¢

u ¢ = u¢ v – u v¢

v v2

(c)¢ = 0

(xn )¢ = n xn-1

(ax= ax ln a

х)¢ = ех

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = — sin x

(tg x)¢ = 1

cos2 x

(ctg x)¢ = — 1

sin2 x

(ln x)¢ = 1

х

(1 / х)¢ = — 1

х2

(Öх)¢ = 1

2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

logав = с

logа 1 = 0

logа а = 1

logа (m n) = logа m + logа n

logа m = logа m — logа n

n

logа mn = n logа m

logа nÖm = 1 logа m

n

logав = logсв

logс а
Основные тригонометрические тождества

sin2x + cos2x = 1

tg x = sin x

cos x

ctg x = cos x

sin x

1 + ctg2 x = 1

sin2 x

1 + tg2 x = 1

cos2 x

tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a ± b) = sina cosb ± cosa sinb

cos (a ± b) = cosa cosb ± sina sinb

tg (a ± b) = (tga ± tgb)

(1 + tga tgb)

ctg (a ± b) = ctga ctgb + 1

ctgb ± ctga
sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a — b)


  1. 2

sina — sinb = 2 cos (a + b) sin (a — b)

  1. 2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a — b)

  1. 2

cosa — cosb = — 2 sin (a + b) sin (a — b)

  1. 2

tga ± tgb = sin (a ± b)

cosa cosb

ctga ± ctgb = sin (b ± a)

sina sinb

sin2a — sin2b = cos2b — cos2a =

sin (a + b) sin (a — b)

cos2a — sin2b = cos2b — sin2a =

cos (a + b) cos (a — b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ± Ö1 — cos2a

sina = tga

± Ö1 + tg2a

sina = 1

± Ö1 + ctg2a
cosa = ± Ö1 — sin2a

cosa = 1

± Ö1 + tg2a

cosa = ctga

± Ö1 + ctg2a
tga = sina

± Ö1 — sin2a

tga = ± Ö1 — cos2a

cosa

tga = 1

ctga
ctga = ± Ö1 — sin2a

sina

ctga = cosa

± Ö1 — cos2a

ctga = 1

tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a — b) — cos (a + b)

2

cosa cosb = cos (a — b) + cos (a + b)

2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a — b)

2

tga tgb = tga + tgb

ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos2a — sin2a =

= 1 — 2sin2a =

= 2cos2a — 1

tg2a = 2 tga

1 — tg2a

= 2

ctga — tga

tga = 2 tg (a/2)

1 — tg2 (a/2)

ctg2a = ctg2a — 1

2 ctga

= ctga — tga

2

ctga = ctg2 (a/2) — 1

2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)n arksin a + pn
cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn
tg x = a

x = arktg a + pn
ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 — a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p — a) = + sina

sin (p + a) = — sina

sin (3p/2 — a) = — cosa

sin (3p /2 + a) = — cosa

sin (2p — a) = — sina

sin (2p + a) = + sina

—————-

cos (p/2 — a) = + sina

cos (p/2 + a) = — sina

cos (p — a) = — cosa

cos (p + a) = — cosa

cos (3p/2 — a) = — sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p — a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

——————

tg (p/2 — a) = + ctga

tg (p/2 + a) = — ctga

tg (p — a) = — tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 — a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = — ctga

tg (2p — a) = — tga

tg (2p + a) = + tga

————-

ctg (p/2 — a) = + tga

ctg (p/2 + a) = — tga

ctg (p — a) = — ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 — a) = + tga

ctg (p/2 + a) = — tga

ctg (2p — a) = — ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (- a) = — sina

cos (- a) = cosa

tg (- a) = — tga

В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

a = b = c

sina sinb sing

теорема косинусов:

a2 = b2 + c2 — 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d1 d2 sina,

d1 и d2 — диагонали

a — угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d1 d2 sina

Трапеция

S = a + b h = ½ d1 d2 sina

2

Круг

S = l r = p r2

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p — a) (p — b) (p — c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a2 = d2/2

Ромб

S = a2 sina = ah = ½ dD

где d — малая диагональ

D — большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sосн h

Куб

V = abc = a3

Призма

V = Sосн h = S^сеч l

l — грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sосн h

Цилиндр

V = Sосн h = p r2 h = 1/4p d2 h

r — радиус основания

d — диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sосн h = 1/3 p r2 h

Шар

V = 4/3 p r3

Площади поверхностей

Призма

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = ph = S^сеч l

p = a + b +c

Куб

Sп = 6a2

Пирамида четырехугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = ½ Pосн h

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Sосн cosj

j — угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = 2p rh

Sосн = 2pr (h + r)

Конус

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = prl

Sосн = pr (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = Pосн l

Шар

S = 4 pr2

Значения углов

a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0

cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

tg 0 1/Ö3 1 Ö3 — 0

ctg — Ö3 1 1/Ö3 0 —



nashaucheba.ru

Справочные таблицы по алгебре 7 класса — К уроку — Математика, алгебра, геометрия


Алгебраические выражения. 7кл.А.01

Числовое выражение – запись, состоящая из чисел, соединённых, знаками действий.
1,2 • ( — 3) — 9 ÷ 0,5 — числовое выражение.
Алгебраическое выражение – выражение, состоящее из чисел и букв, соединённых знаками действий.
2 ( m + n ) ; 3a + 2ab – 1 — aлгебраическое выражение.
Числовое значение алгебраического выражения – число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами.
• Найти значение выражения
3a + 2ab -1
Если a=2 , b= 3, тогда 3 • 2 + 2 • 2 • 3 – 1 =17
Если a=-1 , b= 5, тогда 3 •(-1) + 2• (-1)• 5 – 1 = -14.
Алгебраическая сумма – запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединённых знаками « + » и « — ».
Правила раскрытия скобок

 Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы.
14 + ( 7 — 23 + 21 ) = 14 + 7 – 23 + 21
a +( b – c – d ) = a + b – c – d
 Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный.
14 – (7 — 23 + 21 ) = 14 – 7 + 23 – 21
a — ( b – c – d ) = a — b + c +d
Уравнение с одним неизвестным 7 кл.А.02
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.
Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, называется правой частью уравнения.
Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.
Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.
Уравнение может иметь бесконечно много корней.
Уравнение может и не иметь корней.
9 х -23 = 5х- 11
9х-5х=23-11
4х=12│÷4
х=3 Ответ.х=3
 Любой член уравнения можно перенести из одно части в другую, изменив его знак на противоположный.
 Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно ито же число, не равное нулю.
Алгоритм решения уравнения:
 Переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую часть.
 Приводят подобные слагаемые.
 Делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.
Алгоритм решения задач с помощью уравнения:
 Составить уравнение по условию задачи.
 Решить полученное уравнение.
Свойства степеней 7 кл. А.03
Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а :
=а•а•а•а•…•а
n раз

а – основание степени, n-показатель степени
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели вычитаются.

3. При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются.

)m=
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель.

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель и знаменатель.
, где b

Одночлены и многочлены 7 кл. А.04

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.
abc, (-4)a3ab, 2,5xу – одночлены.
Одночлены, которые содержат только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями, называют одночленами стандартного вида.
3,5 abc, -5ху3 — одночленами стандартного вида.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Приведением подобных слагаемых называют упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом.
Результаты действий с одночленами и многочленами

Действие
Результат

Одночлен

Одночлен
Многочлен

Одночлен

Одночлен
Одночлен

Одночлен

Многочлен

Многочлен

Одночлен


Многочлен
Многочлен

Многочлен

Многочлен
Многочлен

Многочлен

Многочлен
Многочлен
Разложение многочленов на множители 7 кл. А.05

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно:
 Найти общий множитель.
 Вынести его за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:
 Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена.
 Вынести этот общий множитель за скобки
Формулы сокращённого умножения
• Формула разность квадратов
( a – b )(a + b ) = a2 – b2
• Формула квадрата суммы
(a + b )2 = a2 + 2ab + b2
• Формула квадрата разности
(a — b )2 = a2 — 2ab + b2
• Формула куба суммы
( a + b)3=a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
• Формула куба разности
( a — b)3=a3 — 3 a2 b + 3 a b2 — b3
• Формула суммы кубов
a3 + b3 = ( a + b )(a2 – ab + b2 )
• Формула разности кубов
a3 — b3 = ( a — b )(a2 + ab + b2 )

Алгебраические дроби 7 кл.А.06
Выражение называют алгебраической дробью.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель.

Для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно:
 Найти общий знаменатель данных дробей.
 Для каждой дроби найти дополнительный множитель .
 Умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.
 Записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно:
 Найти общий знаменатель дробей.
 Привести дроби к общему знаменателю.
 Сложить или вычесть полученные дроби.
 Упростить результат, если возможно.

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, что и умножение, и деление обыкновенных дробей:

Линейная функция и её график 7 кл.А.07
у
ось ОХ – ось абсцисс Прямоуголь-
0 х ось ОУ – ось ординат ная система
1 О – начало координат координат
О1 –единичный отрезок

Линейной функцией называется функция вида у = kx + b, где k и b – заданные числа.
Графиком линейной функции у = kx + b является прямая.
Для построения графика функции у = kx + b достаточно построить две точки этого графика.
у = 2 х + 3 у = 2 х
х -1 2
у 1 5
х -1 2
у -2 4

у
у = 2 х + 3

у = 2 х

0 х

График функции у = kx + b получается сдвигом графика функции у = kx на b единиц вдоль оси ординат.
Графиками функций у = kx и у = kx + b являются параллельные прямые.

Системы двух уравнений 7кл.А.08
с двумя неизвестными
х + у = 10
х – у = 4 — система двух уравнений с двумя неизвестными
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить , что их нет.
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки, нужно:
 из одного уравнения системы ( всё равно из какой) выразить одно неизвестное через другое, например у через х.
 полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х.
 решить это уравнение, найти значение х.
 подставив найденное значение х в выражение для у, найти значение у.
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения, нужно:
 уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
 Складывая и вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.
 Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.
Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными графическим способом, нужно:
 Построить графики каждого из уравнений системы.
 Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)
На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых- графиков уравнений системы.
 Прямые пересекаются ,т .е. имеют одну общую точку. Система уравнений имеет единственное решение.
 Прямые параллельны, т.е.не имеют общих точек. Система уравнений не имеет решений.
 Прямые совпадают. Система уравнений имеет бесконечно много решений.

Алгебра
7 класс

1. Алгебраические выражения.
2. Уравнения с одним неизвестным.
3. Свойства степеней.
4. Одночлены и многочлены.
5. Разложение многочленов на множители.
6. Алгебраические дроби.
7. Линейная функция и её график.
8. Системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Полный текст материала Справочные таблицы по алгебре 7 класса смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен фрагмент.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Есть мнение?
Оставьте комментарий

Оставить комментарий

pedsovet.su