Практическая работа по геометрии 7 класс: Практическая работа по геометрии 7 класс «Смежные и вертикальные углы»

Содержание

Практические работы по геометрии для 7-го класса

Древняя мудрость гласит: «К водопою коня может привести даже маленький ребенок. А вот заставить этого коня напиться не смогут даже десять взрослых мужчин». Так и в школе: можно посадить детей за парты, можно контролировать дисциплину, но без возникновения у самих детей желания учиться, мы не сможем их ничему научить. Поэтому перед каждым учителем стоит важнейшая задача: пробудить у учащихся познавательный интерес, чтобы они сами, добровольно захотели испить из «источника знаний». Целесообразно использовать задачи прикладного характера. Тогда у учащихся будет формироваться информационная компетенция и накапливаться жизненный опыт. Это, в свою очередь, повысит интерес к предмету.

Те знания, которые были приобретены посредством напряжения своих собственных сил, которые сопровождались эмоционально окрашенным фоном, становятся тем багажом, который учащиеся вынесут за стены школы.

Одним из способов пробудить у учащихся познавательный интерес на уроках геометрии – это использование такой формы работы, как практическая работа.

Я предлагаю разработку практических работ по геометрии в 7 классе.

Практическая работа №1:

Тема: «Точки, прямые, отрезки»

Цели: Познакомить учащихся с понятиями точка, прямая и их взаимным расположением.

Инструменты: Карандаш, линейка, резинка.

Задания:

  1. Проведите прямую, обозначьте ее буквой а и отметьте точки А и В, лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и а, используя символы принадлежности.
  2. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
  3. Отметьте точки А,В,С,Д так, чтобы точки А,В,С лежали на одной прямой, а точка Д не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
  4. Сделайте вывод.

Практическая работа №2:

Тема: «Равенство геометрических фигур»

Цели: Познакомить учащихся с понятиями равных фигур.

Инструменты: Карандаш, линейка, резинка, ножницы, калька, рисунки равных фигур.

Задания:

  1. Каждой группе предлагается найти не менее двух способов доказательства того факта, что изображенные на рисунках фигуры являются равными (подсказка: вырезать одну фигуру и наложить на другую, перевести на кальку одну фигуру и наложить на другую).
  2. Сделать вывод.

Практическая работа №3:

Тема: «Смежные и вертикальные углы»

Цели: Познакомить учащихся со свойствами смежных и вертикальных углов.

Инструменты: Карандаш, линейка, резинка, транспортир.

Задания:

  1. Начертить смежные углы. С помощью транспортира измерить каждый из смежных углов.
  2. Выдвинуть гипотезу.
  3. Выполнить доказательство гипотезы.
  4. Начертить вертикальные углы. С помощью транспортира измерить каждый из вертикальных углов.
  5. Выдвинуть гипотезу.
  6. Выполнить доказательство гипотезы.
  7. Сделать выводы.

Практическая работа №4:

Тема: «Медианы, высоты, биссектрисы треугольника»

Цели: Познакомить учащихся с понятиями медиана, высота, биссектриса треугольника.

Инструменты: Карандаш, линейка с делениями, резинка, транспортир, треугольник.

Задания:

  1. Построить остроугольный треугольник. С помощью карандаша, линейки с делениями, транспортира, треугольника построить в нем высоту, медиану и биссектрису.
  2. Сделать вывод.
  3. Построить прямоугольный треугольник.
  4. С помощью карандаша, линейки с делениями, транспортира, треугольника построить в нем высоту, медиану и биссектрису.
  5. Сделать вывод.
  6. Построить тупоугольный треугольник.
  7. С помощью карандаша, линейки с делениями, транспортира, треугольника построить в нем высоту, медиану и биссектрису.
  8. Сделать вывод.

Практическая работа №5:

Тема: «Первый и второй признак равенства треугольников»

Цели: Познакомить учащихся с теоремой о первом и втором признаке равенства треугольников.

Инструменты: Карандаш, линейка с делениями, транспортир, ножницы.

Задания:

  1. Построить треугольник АВС, у которого АВ=10 см, угол А=30°, ВС=15 см.
  2. Вырезать построенный треугольник.
  3. Сравнить свой треугольник с треугольником соседа по парте.
  4. Сделать вывод.
  5. Построить треугольник АВС, у которого угол А=40°, АВ=10 см, угол В=45°.
  6. Вырезать построенный треугольник.
  7. Сравнить свой треугольник с треугольником соседа по парте.
  8. Сделать вывод.

Практическая работа №6:

Тема: «Теорема о сумме углов треугольника»

Цели: Познакомить учащихся с теоремой о сумме углов треугольника.

Инструменты: Карандаш, линейка, транспортир.

Задания:

  1. Изобразить остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.
  2. С помощью транспортира измерить углы каждого треугольника и найти их сумму.
  3. Сделать выводы.

Список используемой литературы:

  1. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина «Геометрия 7-9», учебник для общеобразовательных учреждений.

Лабораторная работа по геометрии в 7 классе по теме «Сумма углов треугольника» по учебнику Л.С.Атанасяна

Тема «Сумма углов в треугольнике»

Лабораторная работа по теме:

«Значение суммы углов в треугольнике»

Цель: Определить сумму градусных  мер углов треугольника.

Оборудование: Линейка, транспортир.

Подготовительные вопросы:

  1. Отметим какие-нибудь три точки, не _____________ на одной прямой, и соединим их отрезками. Мы получим геометрическую фигуру, которая называется ______________.
  2. В треугольнике ______ угла.

Указание к работе:

  1. Начертите  три треугольника: остроугольный ▲АВС, тупоугольный ▲ЕСР и  прямоугольный ▲ MNP.
  2. Измерьте  с помощью транспортира градусные меры углов  у каждого треугольника и запишите полученный результат в таблицу.
  3. Сложите полученные градусные меры углов в каждом треугольнике и запишите ответ в таблицу.

Треугольники

1-ый угол

2-ой угол

2-ой угол

Сумма углов

АВС

 

 

 

 

ЕСР

 

 

 

 

MNP

 

 

 

 

 

  1. Сделайте вывод: Сумма углов в любом треугольнике равна ________.

 

Работа с интерактивной моделью:

  1. Изменяя положение вершин и сторон треугольника, выясните, будет изменяется сумма углов треугольника?
  2. Исследуя поведение модели, подтвердите (опровергните) свой вывод.

 

Самостоятельная работа по геометрии 7 класса по теме «Медиана, биссектриса, высота треугольника»

Обучающая самостоятельная работа по теме «Медиана, биссектриса, высота треугольника»

Вариант 1

1. Выполните по порядку следующие действия на одном чертеже:

а) начертите остроугольный треугольник с разными сторонами;

б) обозначьте его вершины буквами M, N, К;

в) проведите в нем медиану МА;

г) биссектрису угла N;

д) высоту из вершины К.

2. Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Обозначьте равные стороны, равные углы. Проведите медиану к боковой стороне.

Вариант 2

1. Выполните по порядку следующие действия на одном чертеже:

а) начертите остроугольный треугольник с разными сторонами;

б) обозначьте его вершины буквами А, В, С;

в) проведите в нем медиану АК;

г) биссектрису угла С;

д) высоту из вершины В

2. Начертите равнобедренный треугольник TOS с основанием TO. Обозначьте равные стороны, равные углы. Проведите медиану к боковой стороне.

Вариант 3

1. Выполните по порядку следующие действия на одном чертеже:

а) начертите остроугольный треугольник с разными сторонами.

б) обозначьте его вершины буквами Y, R, K;

в) проведите в нем медиану RL;

г) биссектрису угла Y;

д) высоту из вершины К.

2. Начертите равнобедренный треугольник АDN с основанием AD. Обозначьте равные стороны, равные углы. Проведите медиану к боковой стороне.

Критерии оценивания

Задание 1

а) Изображенный треугольник удовлетворяет условию

1 балл

б) Вершины обозначены заданными буквами

1 балл

в) Проведена медиана из заданной вершины

1 балл

г) Проведена биссектриса заданного угла

1 балл

д) Проведена высота из заданной вершины

1 балл

Задание 2

Изображен равнобедренный треугольник

1 балл

Треугольник правильно обозначен

1 балл

Обозначены или указаны равные стороны

1 балл

Обозначены или указаны равные углы

1 балл

Проведена медиана к одной из боковых сторон

1 балл

Итог

10 баллов

Лабораторная работа «Задачи на построение», геометрия 7 класс – УчМет

Краткое описание

Лабораторная работа проводится в курсе геометрии 7 класса при изучении темы «Задачи на построение» с использованием программной среды GeoGebra при организации дистанционного обучения детей с ограниченными возможностями здоровья.
Использование программной среды GeoGebra дает возможность использовать в дистанционном обучении наглядные чертежи геометрических фигур и геометрических тел.

Описание

Дистанционное обучение обладает рядом качеств, которые делают его весьма эффективным при работе с детьми с ограниченными возможностями здоровья. Дистанционное обучение позволяет свести до минимума непродуктивное использование времени учащегося. Электронный лабораторный эксперимент всегда пройдет четко, по заданному сценарию; поисковые системы позволят быстро найти нужные материалы… Это позволяет освоить учебный материал в более сжатые сроки, по сравнению с классно-урочной системой.
В задачах на построение речь идет о построении геометрических фигур (отрезок, угол, пара параллельных прямых и т.д.) с помощью некоторых инструментов, что создает ограничение иллюстративных возможностей учителя в учебном процессе при дистанционном обучении.
При организации дистанционного обучения детей с особыми потребностями возникают определенные трудности: ограничение возможности развития творческих способностей детей; ограничение информационных и иллюстративных возможностей учителя в учебном процессе; ограничение непосредственного эмоционального влияния учителя на ребенка с целью поддержки его интереса и учебной мотивации; вопросы технического и методического обеспечения процесса обучения.
Использование программной среды GeoGebra дает возможность использовать в обучении наглядные чертежи геометрических фигур и геометрических тел. В данной среде возможны быстрые изменения в чертежах и рисунках, что позволяет сделать чертеж подвижным и более понятным. Современное программное обеспечение меняет качество уроков.
GeoGebra — бесплатная программа предоставляющая возможность создания динамических («живых») чертежей для использования на разных уровнях обучения геометрии, алгебры, планиметрии и других смежных дисциплин. Программа обладает богатыми возможностями работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д.). В отличии от других программ для динамического манипулирования геометрическими объектами, идея GeoGebra заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления.
GeoGebra предназначена прежде всего для решения задач школьного курса алгебры и геометрии: в ней можно создавать всевозможные конструкции из точек, векторов, отрезков, прямых, строить графики элементарных функций, которые также возможно динамически изменять варьированием некоторого параметра, входящего в уравнение, а также строить перпендикулярные и параллельные заданной прямой линии, серединные перпендикуляры, биссектрисы углов, касательные, определять длины отрезков, площади многоугольников и замкнутых кривых и т. д. применяется также для демонстрации теорем. Решенные с помощью Geogebra задачи легко просмотреть с начала в режиме презентации. Созданный файл можно экспортировать как интерактивный чертеж в формат Web-страницы (для ее корректного отображения следует предварительно установить Java Runtime Enviroment).
Решить задачу на построение – это значит найти способ построения фигуры, осуществить это построение и доказать, что построенная фигура – фигура, обладающая требуемыми свойствами. Решение задачи расчленяют на четыре части: анализ, построение, доказательство и исследование. Анализ или поиск решения задачи состоит в установлении зависимости между данными фигурами и искомой фигурой с целью нахождения способа решения задачи.

«Практическая геометрия для 7-го класса» от Winspark Learning Innovations

Эта рабочая тетрадь является полноценным помощником для самообучения ваших учащихся в изучении практической геометрии. Эта рабочая тетрадь, разработанная учителями с более чем 20-летним опытом, представляет собой очень подробное путешествие к пониманию каждой концепции в соответствии с подходом «карты знаний».

Учебник содержит следующие темы:

• Построение треугольников (ASA и RHS)

• Построение треугольников (SSS и SAS)

• Построение параллельных линий

PlanetSpark использует следующие методы для поощрения самостоятельной работы. обучение среди детей:

1) Управляемая практика: Ребенка направляют через ментальные модели, необходимые для понимания структуры проблемы.Это помогает в долгосрочном сохранении концепции.

2) Интервальное повторение: концепция повторяется через разные промежутки времени и в разных форматах, чтобы облегчить запоминание.

3) Активное мышление: Ребенку даются контекстуальные подсказки или идеи для размышлений во время понимания проблемы, чтобы поддерживать активное участие ума в решении проблемы.

4) Визуализация: Концепции представлены визуально, чтобы помочь лучшему пониманию и запоминанию.

Каждая тема рассматривается очень всесторонне, начиная с теоретических понятий, за которыми следуют задачи на 4 уровнях: Easy, Normal, Super и Olympiad.

Легкий уровень: Проверяет базовые знания фактов и определений. Он также проверяет предварительные знания, необходимые для изучения главы.

Нормальный уровень: Глубокое погружение в детальную практику с использованием последовательной «карты знаний»

Суперуровень: Самостоятельное применение понятий, усвоенных в процессе управляемой практики

Уровень олимпиады: Применение более высокого порядка и применение нескольких понятий с «Фазой обмена», где учащиеся могут поделиться своими знаниями и пересмотреть концепции, которые они изучили.

15 заданий по геометрии для вовлечения учащихся всех классов

Если вы оглядитесь в своем классе, то, скорее всего, везде увидите геометрию — в квадратах календаря, длинных шестиугольных карандашах или прямоугольных ковриках.

Геометрия полна важных основополагающих понятий, но не все студенты лучше всего усваивают ее на лекциях и бесконечных практических задачах. К счастью, ваши планы уроков геометрии легко связать с реальными приложениями! Занятия по геометрии могут дать вашим ученикам практический опыт и вовлечь их в учебный процесс.

Попробуйте эти 15 увлекательных занятий , которые помогут вам преподавать геометрию и сделать из ваших учеников любознательных и увлеченных учеников.

Юные ученики: попробуйте эти интерактивные задания по геометрии

Практические занятия — отличный способ познакомить учащихся с такими математическими понятиями, как формы и узоры .

Эти увлекательные занятия помогут им изучить свойства 2D- и 3D-фигур в реальном мире и дадут им возможности для обучения, которые заложат основу для дальнейшего обучения.

1. Создавайте трехмерные фигуры с помощью зубочисток и пластилина

Раздайте учащимся зубочистки, пластилин или зефир и предложите им построить трехмерные фигуры, такие как призмы и кубы. Это отличный способ для учащихся понять свойства трехмерных фигур в реальной жизни!

Кроме того, учащиеся могут использовать это задание, чтобы оживить двухмерные фигуры и понять соответствующие понятия, такие как вершины, углы и стороны.

2. Создавайте 2D-фигуры с помощью танграмм

В головоломках Tangram, возникших в Китае и принесенных в Европу в начале 19 века торговыми путями, используются семь плоских геометрических фигур для создания силуэтов.Хотя танграмы обычно делаются из дерева, вы можете сделать наборы для своего класса из цветной плотной бумаги или войлока.

Танграммы — отличный инструмент для учащихся, которым нравится управлять своей работой, и могут помочь юным учащимся понять свойства различных форм. Кроме того, есть много разных шаблонов для учащихся! Дайте им разные узоры и наблюдайте, как шестиугольник, трапеция и четырехугольник превращаются в зайчика, домик или солнце.

3.Создавайте геометрические узоры с помощью блоков узоров

Для учащихся начальных классов часть понимания форм также связана с пониманием геометрических узоров. Блоки шаблонов помогают учащимся создавать шаблоны, практиковать вращение фигур и сортировать различные фигуры.

Создание моделей важно не только для геометрии — это основополагающая концепция критического мышления и анализа, которая может помочь учащимся устанавливать связи между различными концепциями.

4. Решайте геометрические загадки с помощью наборов LEGO

Будь то головоломки или загадки, математические головоломки могут помочь учащимся решить сложные задачи, сделать выводы и углубить свое понимание.

LEGO — отличный многоцелевой инструмент для вашего класса, который может помочь учащимся лучше понять свойства форм. Дайте учащимся описания различных 2D- и 3D-форм (количество сторон, вершин и длина сторон) и попросите их построить правильный объект!

5. Потренируйтесь формировать фигуры с помощью геобордов

Геоборды — это классический геометрический инструмент, который помогает учащимся создавать фигуры с помощью резинок, натянутых на колышковые доски.

Особенно удобно для кинестетических учащихся. Используйте геоборды, чтобы учащиеся могли создавать различные формы, описывать их свойства и измерять их.Они могут воспроизводить уже знакомые формы или использовать их для изучения новых.

В вашем классе нет геобордов? Без проблем! Предложите учащимся получить доступ к этой цифровой версии на компьютере или планшете.

Старшие классы: развивайте понимание геометрии с помощью различных средств

Когда учащиеся перейдут в старшие классы начальной или средней школы, они начнут больше узнавать о свойствах фигур , а не только об их внешнем виде.

Они начнут использовать геометрические инструменты и смогут более глубоко изучить применение геометрии в реальной жизни.Используйте эти задания с 3 по 5 класс, чтобы приступить к ним весело и совместно!

1. Создавайте сегменты линий с помощью геобордов

Ваши ученики могут удивиться, узнав, что на уроке математики линия — это не , а линия. Независимо от того, изучаете ли вы перпендикулярные линии или сегменты линий, используйте геоборды для практического отображения различных концепций.

Когда дело доходит до геометрии, нужно знать много слов, поэтому используйте геодоски, чтобы пополнить новый словарный запас и поощрить математические разговоры в классе.

2. Нарисуйте геометрические идеи с помощью карандаша и бумаги

Иногда написание новых понятий является лучшим способом их запоминания учащимися! Все прямые углы, вершины и линии геометрии особенно хорошо подходят для визуальной среды.

Каждый учащийся может практиковаться в рисовании геометрических фигур и делать наглядные заметки о новых концепциях. Они также смогут попрактиковаться в использовании таких инструментов, как линейки, компасы и транспортиры для измерения углов и длины.

Чтобы получить дополнительные ресурсы, разместите в классе опорные схемы или предложите учащимся сделать свои собственные с помощью маркеров и цветной бумаги.

3. Дополните уроки в школе онлайн-играми

Цифровое игровое обучение сочетает в себе все удовольствие от видеоигры с эффективными результатами обучения, согласованными с учебным планом.

Математическая игра Prodigy позволяет вам легко управлять обучением учащихся, пока они играют онлайн! Зарегистрируйте бесплатную учетную запись учителя, чтобы отправлять оценки ученикам, пока они исследуют увлекательный фэнтезийный мир.Кроме того, Prodigy позаботится об оценке за вас!

Создайте мою бесплатную учетную запись учителя сейчас

Другие онлайн-инструменты, такие как Geogebra, также могут помочь учащимся одновременно развивать свои навыки работы с компьютером по геометрии и .

4. Практикуйте геометрические понятия с помощью карточек с заданиями

Карточки с заданиями помогают разбивать более сложные идеи и задания на более мелкие, выполнимые части. Это отличный способ помочь учащимся сосредоточиться на одном вопросе за раз, не перегружая себя, независимо от того, работают ли они:

Попробуйте эти бесплатные распечатанные карточки с заданиями по геометрии от учителей, платных учителям, или сделайте свои собственные, чтобы получить еще больше возможностей для настройки! Какую бы концепцию геометрии ни изучают учащиеся, для этого есть карточка с заданием.

5. Закрепить навыки с помощью рабочих листов по геометрии

Интернет — прекрасный инструмент, особенно когда дело доходит до поиска рабочих листов по геометрии. Просто зайдите на свой любимый сайт и распечатайте что-нибудь в качестве домашнего задания или для тех, кто раньше всех закончит.

Используйте рабочие листы по геометрии, чтобы учащиеся практиковали понятия на подходящем для них уровне, или используйте Prodigy для отправки онлайн-задания, над которым они могут работать в школе или дома.

Создайте мою бесплатную учетную запись учителя сейчас

6. Какой формы ваша земля?

В этом умном геометрическом задании учащиеся должны создать фигуру с наибольшей площадью поверхности из предварительно нарезанной нити.

Учащиеся могут использовать геоборд или веревку и гвозди, чтобы сделать свою фигуру. Им придется использовать формулы, которые они уже выучили, для нахождения площади поверхности, или они могут считать квадраты на бумаге с сеткой или на геобордах.

7. Лента Мёбиуса

Это магия? Это геометрия? Ваши ученики будут настолько поражены, что им может быть трудно понять это. Пусть они смоделируют задачу с помощью полосок бумаги и сами увидят, как эта задача о площади поверхности работает в реальной жизни.

Предложите учащимся поиграть со своими лентами Мёбиуса и провести вокруг них линии, разрезать их посередине или поэкспериментировать с различными поворотами, чтобы посмотреть, что получится.

Другие способы разнообразить изучение геометрии в разных классах

1.

Организуйте поиск предметов по геометрии

Предложите учащимся искать различные геометрические фигуры в вашем классе. Предложите им найти:

  • Восемь прямых углов
  • Квадратную призму
  • Наибольшее количество кругов

Или что-нибудь еще, что, по вашему мнению, они могли бы найти в вашем классе!

Для получения дополнительной информации попросите учащихся вычислить площадь поверхности фигур, записать свои выводы в математический журнал и описать их свойства самостоятельно или в небольших группах.

2. Сыграйте в геометрическую игру для всего класса. Игра «Опасность»

«Опасность» — это проверенное временем занятие, в котором участвует весь класс. Используйте бесплатный шаблон, чтобы настроить его в соответствии с тем, что вы изучаете в классе, с разными категориями для разных подтем геометрии.

Предложите учащимся идентифицировать фигуры по картинкам или описать свойства фигур и назвать их.

3. Для младших школьников попробуйте форму БИНГО

Для дополнительного сопоставления и определения формы попробуйте классическую игру в классное бинго! Распечатайте наш шаблон карты BINGO и добавьте к каждой из них разные формы.

Либо назовите фигуры, чтобы помочь учащимся попрактиковаться в их идентификации, либо опишите форму и попросите дать ответ. Выигрывает тот, кто первым заполнит полный ряд!

Помогите своим учащимся получить максимальную отдачу от вашего раздела геометрии

Каждый учащийся вашего раздела геометрии найдет что-то для себя — практические занятия, практические приложения и возможности для увлекательных игр в классе.

Используйте эти 15 заданий, чтобы закрепить ключевые понятия и поддерживать интерес учащихся к процессу обучения.Скоро они станут мастерами геометрии!

Присоединяйтесь к Prodigy Math Game, чтобы узнать больше о способах проведения веселых занятий по геометрии в соответствии с учебным планом. Ваша бесплатная учетная запись учителя включает в себя инструменты, которые помогут вам согласовывать вопросы, на которые учащиеся отвечают, когда они играют, с тем, что вы преподаете в классе! Кроме того, всего за несколько кликов вы сможете получать информацию об учащихся и легко различать их.

Создать мою бесплатную учетную запись учителя сейчас

геометрия | математика | Britannica

Самые ранние из известных недвусмысленных примеров письменных источников, датируемых Египтом и Месопотамией около 3100 г. до н. э., показывают, что древние люди уже начали разрабатывать математические правила и методы, полезные для съемки участков земли, строительства зданий и измерения емкостей для хранения.Начиная примерно с VI века до н. ) для измерения Земли.

В дополнение к описанию некоторых достижений древних греков, в частности логического развития Евклидом геометрии в Элементах , в этой статье рассматриваются некоторые приложения геометрии в астрономии, картографии и живописи от классической Греции до средневекового ислама и Европы эпохи Возрождения. .Он завершается кратким обсуждением расширений неевклидовой и многомерной геометрии в современную эпоху.

Древняя геометрия: практическая и эмпирическая

Происхождение геометрии лежит в заботах повседневной жизни. Традиционное описание, сохранившееся в «Истории » Геродота (5 век до н. э.), приписывает египтянам изобретение геодезии для восстановления стоимости собственности после ежегодного разлива Нила. Точно так же стремление узнать объемы твердых цифр проистекало из необходимости оценивать дань, хранить масло и зерно, строить плотины и пирамиды.Даже три непонятные геометрические задачи древности — удвоить куб, разделить угол на три части и возвести в квадрат круг, все из которых будут обсуждаться позже — вероятно, возникли из практических вопросов, из религиозного ритуала, хронометража и строительства, соответственно, в догреческих обществ Средиземноморья. И главный предмет позднейшей греческой геометрии, теория конических сечений, обязан своим общим значением, а может быть, и своим происхождением, своему применению к оптике и астрономии.

Хотя многие древние личности, известные и неизвестные, внесли свой вклад в эту тему, никто не мог сравниться по влиянию с Евклидом и его « Элементами геометрии», книге, которой уже 2300 лет и которая является объектом столь же болезненного и кропотливого изучения, как Библия. Однако о Евклиде известно гораздо меньше, чем о Моисее. На самом деле, единственное, что известно с достаточной степенью достоверности, это то, что Евклид преподавал в Александрийской библиотеке во времена правления Птолемея I (323–285/283 до н. э.). Евклид писал не только по геометрии, но и по астрономии и оптике, а может быть, и по механике и музыке. Только Elements , который был тщательно скопирован и переведен, сохранился нетронутым.

« Элементы » Евклида были настолько полны и ясно написаны, что буквально стерли работу его предшественников.То, что известно о греческой геометрии до него, исходит главным образом из фрагментов, цитируемых Платоном и Аристотелем, а также более поздними математиками и комментаторами. Среди других ценных предметов они сохранили некоторые результаты и общий подход Пифагора ( ок. 580– ок. 500 до н.э.) и его последователей. Пифагорейцы убедили себя, что все вещи являются числами или обязаны своими отношениями числам. Учение придавало математике первостепенное значение в исследовании и понимании мира.Платон развил подобный взгляд, и философы, находившиеся под влиянием Пифагора или Платона, часто восторженно писали о геометрии как о ключе к толкованию вселенной. Таким образом, древняя геометрия ассоциировалась с возвышенным, дополняя свое земное происхождение и свою репутацию образца точного рассуждения.

Нахождение прямого угла

Древние строители и геодезисты должны были иметь возможность строить прямые углы в поле по требованию. Метод, применяемый египтянами, принес им в Греции прозвище «дергальщики каната», по-видимому, потому, что они использовали веревку для выкладки своих строительных инструкций.Один из способов, которым они могли использовать веревку для построения прямоугольных треугольников, заключался в том, чтобы пометить веревку с петлями узлами, чтобы, если ее удерживать за узлы и туго натягивать, веревка образовывала прямоугольный треугольник. Самый простой способ выполнить трюк — взять веревку длиной 12 звеньев, завязать узел на 3 звена с одного конца и еще 5 звеньев на другой конец, а затем связать концы вместе, чтобы получилась петля, как показано на рисунке. анимация. Однако египетские писцы не оставили нам указаний об этих процедурах, не говоря уже о том, что они знали, как обобщить их для получения теоремы Пифагора: квадрат на прямой, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов на двух других. стороны.Точно так же ведические писания древней Индии содержат разделы, называемые sulvasutra s, или «правила веревки», для точного расположения жертвенных алтарей. Требуемые прямые углы были сделаны из веревок, размеченных для получения триад (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

В вавилонских глиняных табличках ( c. 1700–1500 гг. до н. э.) современные историки обнаружили задачи, решения которых указывают на то, что теорема Пифагора и некоторые специальные триады были известны более чем за тысячу лет до Евклида.Однако случайный прямоугольный треугольник вряд ли будет иметь все стороны, измеряемые одной и той же единицей измерения, то есть каждая сторона будет целым числом, кратным некоторой общепринятой единице измерения. Этот факт, который был шокирован, когда его обнаружили пифагорейцы, породил концепцию и теорию несоизмеримости.

Поиск недоступных

Согласно древней традиции, Фалес Милетский, живший до Пифагора в VI веке до н. э., изобрел способ измерения недоступных высот, таких как египетские пирамиды.Хотя ни одно из его сочинений не сохранилось, Фалес, возможно, хорошо знал о вавилонском наблюдении, что для подобных треугольников (треугольников, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер) длина каждой соответствующей стороны увеличивается (или уменьшается) на одно и то же кратное число. На рисунке показано определение высоты башни с помощью подобных треугольников. Древние китайцы пришли к измерению недоступных высот и расстояний другим путем, используя «дополнительные» прямоугольники, как показано на следующем рисунке, который, как можно показать, дает результаты, эквивалентные результатам греческого метода с использованием треугольников.

Сравнение китайской и греческой геометрических теорем На рисунке показана эквивалентность китайской теоремы о дополнительных прямоугольниках и греческой теоремы о подобных треугольниках.

Британская энциклопедия, Inc.

Оценка богатства

Вавилонская клинописная табличка, написанная около 3500 лет назад, посвящена проблемам плотин, колодцев, водяных часов и раскопок. В нем также есть упражнение на круглые ограждения с подразумеваемым значением π = 3. Подрядчик бассейна царя Соломона, который построил пруд 10 локтей в поперечнике и 30 локтей вокруг (3 Царств 7:23), использовал то же значение.Однако евреи должны были получить свое число π от египтян до того, как переплыли Красное море, поскольку папирус Райнд ( ок. 2000 г. до н. э.; наш основной источник по древнеегипетской математике) подразумевает π = 3,1605.

Знание площади круга имело практическое значение как для чиновников, следивших за данью фараона, так и для строителей алтарей и бассейнов. Ахмес, писец, скопировавший и комментировавший папирус Райнда ( ок. 1650 гг. до н. э.), может многое сказать о цилиндрических зернохранилищах и пирамидах, целых и усеченных.