Алгебра 7 класс упр 23: Номер №23 — ГДЗ по Алгебре 7 класс: Мерзляк А.Г.

Содержание

ГДЗ по Алгебре за 7 класс А.Г. Мордкович задачник

автор: А.Г. Мордкович.

Издательство: Мнемозина 2015 год.

Для чего нужен решебник?

На протяжении долгих лет учебы в школе, каждый ученик испытывает свои сложности. Это естественно, т.к. эти одиннадцать классов важны не только с точки зрения получения знаний, но и со стороны социализации.

Самые проблематичные ситуации возникают в тех случаях, когда ребенок отстает от своих одноклассников. Он не понимает того, что понимает большинство школьников. Однако это – распространенная ситуация, которую можно исправить. Для этого нужно не пропускать ни один урок, выполнять даже самые сложные упражнения и, конечно же, заниматься самостоятельно. Особенно это касается точных наук – к примеру, алгебры.

Многие думают, что для дополнительных уроков нужны большие вложения.

Однако не нужно нанимать репетитора или записываться на кружки. Все, что нужно – решебник, который может послужить отличным самоучителем.

Как пользоваться ГДЗ?

Готовое домашнее задание – это далеко не только ресурс для списания. Большинство подобных пособий, в том числе и по задачнику А.Г. Мордковича ФГОС за 7 класс, содержат не только правильные ответы на любой номер, но и решение заданий. Это позволяет не списывать, а анализировать, запоминать и учить наизусть информацию. При помощи такого подхода можно зазубрить алгоритм, а потом воспроизводить его на схожих задачах.

Учащиеся, которые используют ГДЗ правильно, могут извлечь из него пользу:

— благодаря наличию ответов, можно сверяться со своими получившимися результатами. Это позволит точно быть уверенным в том, правильно ли выполнена работа на дом. Можно не переживать и насчет вызова к доске;

— благодаря тому, что есть возможность анализировать упражнение и смотреть каждый шаг, учащийся тренируется и запоминает много, чего просто так запомнить не смог бы. За счет этого повышается успеваемость и усваивается рабочая программа

;

найти решебник можно у нас в режиме онлайн. Благодаря этому, пособие доступно и портативно, в отличие от бумажной версии. Его удобно носить с собой и доставать на любом тесте, контрольной работе, проверочной работе.

ГДЗ Алгебра за 7 класс А.Г. Мордкович задачник

Показать решебники

Классы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Математика

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Английский язык

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Русский язык

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Алгебра

1 2 3 4 5 6 7 8

Гдз по алгебре 7 класс Мордкович А. Г.

Учебник по алгебре за 7 класс под авторством Мордковича предлагает школьникам плавный переход от изучения математики к более узкой науке. Напомним, что, начиная с 7 класса, привычная всем математика разделяется на два предмета: алгебру и геометрию.

Не возникнуть проблем в изучении нового предмета просто не может. Каждый ребенок почувствует сложность перехода на новый уровень изучения математики. В это время нам, как родителям, главное помочь вовремя разобраться в непонятных темах, чтобы пробелы в знаниях не нарастали, как снежный ком.

Руку помощи готов протянуть решебник по алгебре за 7 класс к учебнику Мордковича. В этой бесплатной книге, которую создали своими руками авторы сайта, собраны подробные решения всех заданий из учебника. К каждому даны корректные и правильные ответы.

Преимущества использования данного сайта:

  • Всегда бесплатные гдз;
  • Без подписок, смс и регистрации;
  • Правильные ответы ко всем номерам.

Выберите номер задания из учебника

1. 11.21.31.41.51.61.71.81.91.101.111.121.131.141.151.161.171.181.191.201.211.221.231.241.251.261.271.281.291.301.311.321.331.341.351.361.371.381.391.401.411.421.431.441.451.461.472.12.22.32.42.52.62.72.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.202.212.222.233.13.23.33.43.53.63.73.83.93.113.123.133.143.153.163.173.183.193.203.213.223.233.243.253.263.273.283.293.303.313.323.333.343.353.363.373.383.393.403.413.423.433.443.453.474.14.24.34.44.54.64.74.94.104.114.124.134.144.154.164.174.184.194.204.214.224.234.244.254.264.274.284.294.304.314.324.334.344.354.364.374.384.394.404.414.424.435.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.125.135.145.155.165.175.185.195.205.215.225.235.245.255.265.275.285.295.305.315.325.335.345.355.365.375.385.395.405.415.426.16.26.36.46.56.66.76.86.96.106.116.126.136.146.156.166.176.186.196.206.216.226.236.256.266.276.286.296.306.316.326.336.346.356.366.377,27.17.37.47.57.67.77.87.97.107.117.127.137.147.157.167.177.187.197.207.217.227.237.247.257.267.277.287.297.307.317.
327.337.347.357.367.377.387.398.18.28.38.48.58.68.78.88.98.108.118.128.138.148.158.168.178.188.198.208.218.228.238.248.258.268.278.288.298.308.318.328.338.348.358.368.378.388.398.408.418.428.438.448.458.468.478.488.498.508.518.528.538.548.558.568.578.588.598.608.618.628.638.648.658.669.19.29.39.49.59.69.79.89.99.109.119.129.139.149.159.169.179.189.1910.110.210.310.410.510.610.710.810.910.1010.1110.1210.1310.1410.1510.1710.1810.1910.2010.2110.2210.2310.16311.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.1511.1611.1711.1811.1911.2011.2112.112.212.312.412.512.612.712.812.912.1012.1112.1212.1312.1412.1512.1612.1712.1812.1912.2012.2112.2212.2312.2412.2512.2612.2712.2813.113.213.313.413.513.613.713.813.913.1013.1113.1213.1313.1413.1513.1613.1713.1814.114.214.314.414.514.614.714.814.914.1014.1114.1214.1314.1414.1514.1614.1714.1814.1914.2014.2114.2214.2314.2414.2514.2614.2714.2814.2914.3014.3114.3214.3314.3414.3514.3614.3714.3815.115.215.315.415.515.615.715.815.915.1015.1115.1215. 1315.1415.1515.1615.1715.1815.1915.2015.2115.2215.2315.2415.2515.2615.2715.2815.2915.3015.3115.3215.3315.3415.3515.3615.3716.116.216.316.416.516.616.716.816.916.1016.1116.1216.1316.1416.1516.1616.1716.1816.1916.2016.2116.2216.2316.2416.2516.2617.117.217.317.417.517.617.717.817.917.1017.1117.1217.1317.1417.1517.1617.1717.1817.1917.2017.2117.2217.2317.2417.2517.2717.2817.2917.3017.3117.3217.3317.3417.3517.3617.3717.3817.3917.4017.4117.4217.26518.118.218.318.418.518.618.718.818.918.1018.1118.1218.1318.1418.1518.1618.1718.1818.1918.2018.2118.2218.2318.2419.119.219.319.419.519.619.719.819.919.1019.1119.1220.120.220.320.420.520.620.720.820.920.1020.1120.1220.1320.1420.1520.1620.1720.1820.1921.121.221.321.421.521.621.721.821.921.1021.1121.1221.1321.1421.1521.1621.1721.1821.1921.2021.2121.2221.2321.2421.2521.2621.2721.2821.2921.3021.3121.3221.3321.3421.3521.3621.3721.3821.3921.4021.4122.122.222.322.422.522.622.722.822.922.1022.1122.1222.1322.1422.1522.1622.1722.1822.1922.2022.2122.2222.2322.2422. 2522.2622.2722.2822.2922.3022.3122.3222.3322.3423.123.223.323.423.523.623.723.823.923.1023.1123.1223.1323.1423.1523.1623.1723.1823.1924.124.224.424.524.624.724.824.924.1024.1124.1224.1324.1424.1524.1624.1724.1824.1924.2024.2124.2224.2324.2424.2524.2624.2724.2825.125.225.325.425.525.625.725.825.925.1025.1125.1225.1326.126.326.426.526.626.726.826.926.1026.1126.1226.1326.1426.1526.1626.1726.1826.1926.2026.2126.2226.2326.2426.2526.2626.2726.2826.2926.3026.3126.3226.3327.127.227.327.427.527.627.727.827.927.1027.1127.1227.1327.1427.1527.1627.1727.1827.1927.2027.2127.22

ГДЗ решебник по алгебре 7 класс Мордкович, Александрова, Мишустина, Тульчинская

ГДЗ и решебники.

  • 1 класс
    • Английский язык
    • Информатика
    • Литература
    • Математика
    • Окружающий мир
    • Русский язык
  • 2 класс
    • Английский язык
    • Информатика
    • История
    • Литература
    • Математика
    • Немецкий язык
    • Окружающий мир
    • Русский язык
  • 3 класс
    • Английский язык
    • Информатика
    • История
    • Литература
    • Математика
    • Окружающий мир
    • Русский язык
  • 4 класс
    • Английский язык
    • Информатика
    • История
    • Литература
    • Математика
    • Немецкий язык
    • Окружающий мир
    • Русский язык
  • 5 класс
    • Английский язык
    • Биология
    • География
    • Информатика
    • История
    • Математика
    • Немецкий язык
    • Обществознание
    • Окружающий мир
    • Русский язык
    • Физика
  • 6 класс
    • Английский язык
    • Биология
    • География
    • Информатика
    • История
    • Математика
    • Немецкий язык
    • Обществознание
    • Русский язык
    • Физика
    • Химия
  • 7 класс
    • Алгебра
    • Английский язык
    • Биология
    • География
    • Геометрия
    • Информатика
    • История
    • Литература
    • Немецкий язык
    • Обществознание
    • Русский язык
    • Физика
    • Химия
  • 8 класс
    • Алгебра
    • Английский язык
    • Биология
    • География
    • Геометрия
    • Информатика
    • История
    • Литература
    • Немецкий язык
    • Обществознание
    • Русский язык
    • Физика
    • Химия
  • 9 класс
    • Алгебра
    • Английский язык
    • Биология
    • География
    • Геометрия
    • История
    • Литература
    • Немецкий язык
    • Обществознание
    • Русский язык
    • Физика
    • Химия
  • 10 класс
    • Алгебра
    • Английский язык
    • Биология
    • География
    • Геометрия
    • Немецкий язык
    • Русский язык
    • Физика
    • Химия
  • 11 класс
    • Алгебра
    • Английский язык
    • Биология
    • География
    • Геометрия
    • Немецкий язык
    • Русский язык
    • Физика
    • Химия

ГДЗ по алгебре для 7 класса Ю. Н. Макарычев

  • ГДЗ
  • 1 Класс
    • Окружающий мир
  • 2 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 3 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Окружающий мир
  • 4 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Окружающий мир
  • 5 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Биология
    • История
    • География
    • Литература
    • Обществознание
    • Человек и мир
    • Технология
    • Естествознание
  • 6 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Био

Решенное упражнение на логическую алгебру 131004063357 phpapp 02

ТИП A: ОЧЕНЬ КОРОТКИЙ ОТВЕТ НА ВОПРОСЫ

ПРИМЕЧАНИЕ: вместо «̅» используется «‘ ».

1. Ответ

Назовите человека, который разработал булеву алгебру. Джордж Буль был развит булевой алгеброй. 2. Ответ

Как еще называется булева алгебра? В каком году была разработана булева алгебра? Другое название булевой алгебры — «Алгебра переключений». Булева алгебра была разработана в 1854 году. 3. Ответ

Что такое бинарное решение? Что вы подразумеваете под двоичной переменной?  Решение, результатом которого является ДА (ИСТИНА) или НЕТ (ЛОЖЬ), называется бинарным решением.  Переменные, которые могут хранить истинные значения ИСТИНА или ЛОЖЬ, называются логическими переменными или переменными с двоичными значениями. 4. Ответ

Что вы подразумеваете под тавтологией и заблуждением? Если результатом любого логического утверждения или выражения всегда является ИСТИНА или 1, это называется тавтологией, и если результат всегда равен ЛОЖЬ или 0 это называется ошибкой.5. Ответ

Что такое логический вентиль? Назовите три основных логических элемента. Гейт — это просто электронная схема, которая работает с одним или несколькими сигналами для создания выходного сигнала. Три основных логических элемента: 1. Инвертор (НЕ ворота) 2. OR Gate 3. И ворота 6. Ответ

Какие ворота реализуют логическое сложение, логическое умножение и дополнение?  ИЛИ вентиль реализует логическое сложение  Элемент И реализует логическое умножение  Инвертор (НЕ вентиль) реализует дополнение 7.Ответ

Как еще называют ворота НЕ? Другое название затвора НЕ — затвор инвертора. 8. Ответ

Что такое таблица истинности? Как еще называется таблица истинности? Таблица истинности — это таблица, которая представляет все возможные значения логических переменных / операторов вместе со всеми возможные результаты заданных комбинаций значений. 9. Ans :

Запишите двойственное: 1 + 1 = 1 Двойное число 1 + 1 = 1 равно 0. 0 =

10.

Отв.

Дайте двойственное из следующего в булевой алгебре: (i) X. X ’= 0 для каждого X (ii) X + 0 = X для каждого X (i) X + X ’= 1 (ii) X. 1 = X 11.

Отв.

Какое из следующих булевых уравнений неверно? Напишите правильные формы неправильных: (a) A + A ’= 1 (b) A + 0 = A (c) A. 1 = A (d) AA ’= 1 (e) A + AB = A (f) A (A + B)’ = A (g) (A + B) ’= A’ + B (h) (AB) ’= A’B’ (i) A + 1 = 1 (j) A + A = A (k) A + A’B = A + B (l) X + YZ = (X + Y) (X + A) (a) Правильно (b) Правильно (c) Правильно (d) Неправильно. Правильная форма — A. A ’= 0 (e) Правильно (f) Правильно (g) Неправильно.Правильная форма: (A + B) ’= A’B’ (h) Неправильно. Правильная форма: (AB), = A ’+ B’ (i) правильно (j) правильно (k) правильно (l) Неправильно. Правильная форма: X + YZ = (X + Y) (X + Z) 12. Ответ

В чем значение принципа двойственности? Принцип двойственности — очень важный принцип, используемый в булевой алгебре. Это означает, что начиная с логического отношение, другое логическое отношение может быть получено следующим образом: 1. Замена каждого знака ИЛИ (+) на знак И (.). 2. Изменение каждого знака И (.) на знак ИЛИ (+). 3. Замена каждого 0 на 1 и каждого 1 на 0

13.

Отв.

Сколько комбинаций входов может быть в таблице истинности логической системы, имеющей (N) входных двоичных переменных? В таблице истинности логической системы может быть 2N входных комбинаций, имеющих (N) входных двоичных переменных. 14.

Отв.

Запишите двойственное из следующего логического выражения: (a) (x + y ’) (b) xy + xy’ + x’y (c) a + a’b + b ’(d) (x + y’ + z) (x + y) (а) xy ’(b) (x + y) (x + y’) (x ’+ y) (c) а.(а ’+ b). b ’(d) xy’z + xy 15.

Отв.

Найдите дополнение к следующим функциям, применяя теорему Де’Моргана (а) F (x, y, z) = x’yz ’+ x’y’z (b) F (x, y, z) = x (y’z + yz) (а) x’yz ’+ x’y’z = (x’yz ’+ x’y’z)’ = (x’yz ’)’ (x’y’z) ’ = (x ’’ + y ’+ z’ ’) (x’ ’+ y’ ’+ z’) = (x + y ’+ z) (x + y + z’)

(b) x (y’z + yz) = x ’+ (y’z + yz)’ = x ’+ (y’ ’+ z’) (y ’+ z’) = x ’+ (y + z’) (y ’+ z’)

16. Ответ

Как называется логическое произведение нескольких переменных? Как называется логическая сумма нескольких переменных? Логическое произведение нескольких переменных называется Minterm, а логическая сумма нескольких переменных — Maxterm.17. Ответ

Что такое процедура «Разорвать линию, сменить знак»? Процедура «Разорвать линию, поменять знак» называется деморганизацией, которая выполняется в следующем порядке: 1. Дополните всю функцию 2. Замените все И (.) На ИЛИ (+) и все ИЛИ (+) на И (.) 3. Дополните каждую из отдельных переменных. 18. Ответ

Какой логический продукт содержит все переменные вызываемой функции? Логический продукт, содержащий все переменные функции, называется Minterm.19. Ответ

Что такое логическая сумма, в которой все переменные вызваны? Логическая сумма, содержащая все переменные функции, называется Maxterm. 20. Ответ

Что вы понимаете под Minterm и Maxterm? Minterm: — Minterm — это продукт всех литералов в логической системе. Каждый литерал может быть с полосой или без нее. (т.е. дополнены). Maxterm: — Maxterm — это продукт всех литералов в логической системе. Каждый литерал может быть с полосой или без нее. (т.е.дополнены). 21. Ответ

Запишите minterm и Maxterm для функции F (x, y, z), когда x = 0, y = 1, z = 0. Минтерм: x’yz ’ Maxterm: x + y ’+ z 22. Ответ

Запишите minterm и Maxterm для функции F (x, y, z), когда x = 1, y = 0, z = 0. Minterm: xy’z ’ Maxterm: x ’+ y + z 23. Ответ

Напишите сокращенные обозначения для следующих минтерминов: XYZ, X’YZ ’, X’YZ. Сокращенное обозначение минтермов XYZ, X’YZ ’, X’YZ: F = ∑ (2, 3, 7) 24.

Отв.

Запишите сокращенные обозначения для следующих maxterms: X + Y + Z, X + Y ’+ Z, X’ + Y + Z ’, X + Y’ + Z ’ Сокращенное обозначение maxterms X + Y + Z, X + Y ’+ Z, X’ + Y + Z ’, X + Y’ + Z ’: F = π (0, 2, 3, 5) 25.Ответ

Как называется логическое выражение, содержащее только сумму minterms? Булево выражение, содержащее только сумму минтермов, называется канонической формой суммы-произведения. выражение. 26. Ответ

Как называется логическое выражение, содержащее только произведение Maxterms? Булево выражение, содержащее только произведение Maxterms, называется каноническим произведением суммы суммы. выражение. 27. Ответ

Как еще называется карта Карно? Кто изобрел карты Карно? Другое название карты Карно — диаграммы Вейча.Морис Карно изобрел карты Карно. 28. Ans :

Почему ворота NAND и NOR называются универсальными воротами? Цепи, использующие NAND и NOR, популярны, поскольку их проще проектировать и, следовательно, дешевле. Функции других ворот могут быть легко реализованы с использованием вентилей И-НЕ и ИЛИ-ИЛИ. По этой причине их называют универсальными воротами. 29. Ответ

Какие ворота называются универсальными воротами и почему? Вентили NAND и NOR называются универсальными воротами, потому что вентили NAND и NOR дешевле и проще в разработке.Также другие функции (НЕ, И, ИЛИ) могут быть легко реализованы с использованием вентилей И-НЕ / ИЛИ.

0 Y R

0 0 0

0 1 0

Из таблицы истинности доказывается, что 0. Y является ошибкой. 4. Ответ

Что такое таблица истинности? В чем его значение? Таблица истинности — это таблица, которая представляет все возможные значения логических переменных / операторов вместе со всеми возможные результаты заданных комбинаций значений. С помощью таблицы истинности мы можем узнать все возможные комбинации значений и результатов логических утверждений.5. Ответ

В булевой алгебре проверьте с помощью таблицы истинности, что X + XY = X для каждого X, Y в {0, 1}. X Y XY X + XY 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Оба столбца X и X + XY идентичны, следовательно, доказано. 6. Ответ

В булевой алгебре проверьте с помощью таблицы истинности, что (X + Y) ’= X’Y’ для каждого X, Y в {0, 1}. X Y X + Y (X + Y) ’X’ Y ’X’Y’ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 Оба столбца (X + Y) ’и X’Y’ идентичны, следовательно, доказано. 7. Ответ

Приведите таблицу истинности для логического выражения (X + Y ’)’. X Y Y ’X + Y’ (X + Y ’)’ 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 8.

Отв.

Нарисуйте таблицу истинности для следующих уравнений: (а) M = N (P + R) (а) M = N (P + R) (b) M = N + P + NP ’ Н П Р П + Р Н (П + П) 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

NPR P ‘NP’ N + P + NP ‘

0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1

1 1 1 0 0 1

9.

Отв.

Используя таблицу истинности, докажите, что AB + BC + CA ’= AB + CA’. A B C A ’AB BC CA’ AB + BC + CA ’AB + CA’ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 Оба столбца AB + BC + CA ’и AB + CA’ идентичны, следовательно, это доказано. 10. Каковы основные постулаты булевой алгебры?

Отв. Ниже приведены основные постулаты булевой алгебры: 1) Если X не равно 0, то X равно 1; и если X не равно 1, то X равно 0 2) Отношения ИЛИ (логическое сложение) (i) 0 + 0 = 0 (ii) 0 + 1 = 1 (iii) 1 + 0 = 1 (iv) 1 + 1 = 1 3) Отношения И (логическое умножение) (i) 0.0 = 0 (ii) 0. 1 = 0 (iii) 1. 0 = 0 (iv) 1. 1 = 0 4) Правила дополнения (i) 0 ’= 1 (ii) 1’ = 0 11. Ответ

Что утверждает принцип двойственности? Как оно используется в булевой алгебре? Принцип двойственности гласит, что, начиная с булевого отношения, другое логическое отношение может быть получено следующим образом: 1. Замена каждого знака ИЛИ (+) на знак И (.). 2. Замена каждого знака И (.) На знак ИЛИ (+). 3. Замена каждого 0 на 1 и каждую 1 на 0. Принцип двойственности — использование в булевой алгебре для дополнения логического выражения.12.

Отв.

Сформулируйте принцип двойственности в булевой алгебре и дайте двойственное булеву выражение: (X + Y). (X ’+ Z’). (Y + Z) Принцип двойственности гласит, что, начиная с булевого отношения, другое логическое отношение может быть получено следующим образом: 1. Замена каждого знака ИЛИ (+) на знак И (.). 2. Замена каждого знака И (.) На знак ИЛИ (+). 3. Замена каждого 0 на 1 и каждую 1 на 0. Двойственное (X + Y). (X ’+ Z’). (Y + Z) — это XY + X’Z ’+ YZ 13.

Отв.

Сформулируйте законы распределения булевой алгебры. Чем они отличаются от законов распределения обычной алгебры? Распределительные законы булевой алгебры утверждают, что (i) X (Y + Z) = XY + XZ (ii) X + YZ = (X + Y) (X + Z) 1 правило X (Y + Z) = XY + XZ выполняется для всех значений X, Y и Z в обычной алгебре, тогда как X + YZ = (X + Y) (X + Z) выполняется подходит только для двух значений (0, 1) X, Y и Z. 14. Ответ

Докажите закон идемпотентности булевой алгебры с помощью таблицы истинности.Закон идемпотентности гласит, что (a) X + X = X (b) X. X = X (а) X + X = X (б) X. X = X Чтобы доказать этот закон, составим следующую таблицу истинности: X X R 0 0 0 1 1 1

Чтобы доказать этот закон, составим следующую таблицу истинности: X X R 0 0 0 1 1 1 0 + 0 = 0 и 1 + 1 = 1 0. 0 = 0 и 1. 1 = 1 Из таблицы истинности доказывается, что X + X = X Из таблицы истинности доказывается, что X. X = X 15. Ответ

Докажите закон дополнительности булевой алгебры с помощью таблицы истинности. Закон дополнительности гласит, что (а) X + X ’= 1 (b) X.X ’= 0 (а) X + X ’= 1 (b) X. X’ = 0 Чтобы доказать этот закон, составим следующую таблицу истинности: X X ’R 0 1 1 1 0 1

Чтобы доказать этот закон, составим следующую таблицу истинности: X X ’R 0 1 0 1 0 0 0 + 1 = 1 и 1 + 0 = 1 0. 1 = 0 и 1. 0 = 0 Из таблицы истинности доказывается, что X + X ’= 1 Из таблицы истинности доказывается, что X. X’ = 0 16. Ответ

Дайте доказательство таблицы истинности для закона распределения булевой алгебры. Распределительный закон утверждает, что (a) X (Y + Z) = XY + XZ (b) X + YZ = (X + Y) (X + Z) (а) X (Y + Z) = XY + XZ Чтобы доказать этот закон, составим следующую таблицу истинности: X Y Z Y + Z XY XZ X (Y + Z) XY + XZ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

(X + Y) + (XY) ’= 1

(X + Y) + (XY)’ = ((X + Y) + X ’).((X + Y) + Y ’) (см. X + YZ = (X + Y) (X + Z)) = (X + X ’+ Y). (X + Y + Y’) = (1 + Y). (X + 1) (см. X + X ’= 1) = 1,1 (см. 1 + X = 1) = 1 Итак, первая часть доказана. Теперь докажем вторую часть, т.е. (X + Y). (XY) ’= 0 (X + Y). (XY) ’= (XY)’. (X + Y) (см. X (YZ) = (XY) Z) = (XY) ’X + (XY)’ Y (см. X (Y + Z) = XY + XZ) = X (XY) ’+ X’YY’ = 0 .Y + X ’. 0 (см. X. X ’= 0) = 0 + 0 = 0 Итак, вторая часть также доказана. Таким образом: X + Y = X ’. Y ’

(ii) (X.Y) ’= X’ + Y ’ Снова, чтобы доказать эту теорему, мы воспользуемся дополнительным законом i.е., X + X ’= 1 и X. X’ = 0 Если дополнение XY равно X + Y, то должно быть верно, что (а) XY + (X ’+ Y’) = 1 и (b) XY (X ’+ Y’) = 0 Чтобы доказать первую часть L.H.S = XY + (X ’+ Y’) = (X ’+ Y’) + XY (см. X + Y = Y + X) = (X ’+ Y’ + X). (X ’+ Y’ + Y) (см. (X + Y) (X + Z) = X + YZ) = (X + X ’+ Y’). (X ’+ Y + Y’) = (1 + Y ’). (X’ + 1) (см. X + X ’= 1) = 1,1 (см. 1 + X = 1) = 1 = R.H.S Теперь вторая часть, т.е. XY. (X + Y) = 0 L.H.S = (XY) ’. (X’ + Y ’) = XYX ’+ XYY’ (см.Х (Y + Z) = XY + XZ) = XX’Y + XYY ’ = 0.Y + X.0 (см. X. X ’= 0) = 0 + 0 = 0 = R.H.S. XY. (X ’+ Y’) = 0 и XY + (Xʹ + Y ’) = 1 (XY) ’= X’ + Y ’. Значит доказано. 21.

Отв.

Используйте теорему двойственности, чтобы вывести другое логическое отношение из: А + А’Б = А + В А. (A ’+ B) = A.B 22. Ответ

Каким будет дополнение к следующему: (a) A ’(BC’ + B’C) (b) xy + y’z + z’z? (а) A ’(BC’ + B’C) = (A ’(BC’ + B’C)) ’ = ((A ’)’ (BC ’+ B’C)’) = ((A ’)’ ((BC ’)’ + (B’C) ’) = ((A) ((B ’C) + (BC’)) = A + (B ’+ C) (B + C’)

(b) xy + y’z + z’z = (xy + y’z + z’z) ’ = (xy) ’(y’z)’ (z’z) ’ = (x ’+ y’) (y ‘’ + z ’) (z’ ’+ z’) = (x ’+ y) (y + z’) (z + z ’)

23.Ответ

Докажите (обосновав), что [(x + y) ’+ (x + y)’] ’= x + y [(x + y) ‘+ (x + y)’] ‘= ((x + y)’) ‘. ((x + y)’) ‘(Используя первую теорему Де Моргана, то есть (A + B)’ = A’B ‘) = (х + у). (х + у) (∵X ’= X) = х + у (Х. Х = 1) 24. Ответ

Найдите дополнение к следующей логической функции: F 1 = AB ’+ C’D’ (AB ’+ C’D’) ’= (AB’) ’. (C’D’) ’(первая теорема Де Моргана) = (A ’+ B’ ’). (C’ ’+ D’ ’) (вторая теорема ДеМоргана, т.е. (A.B)’ = A ’+ B’)

= (A ’+ B’). (C + D) ((X ’)’ = X)

25.

Отв.

Докажите следующее: (i) A (B + B’C + B’C ’) = A (ii) A + A’B’ = A + B ‘ (iii) (x + y + z). (x ’+ y + z) = y + z (iv) A’B’C + A’BC + AB’C = A’C + B’C (i) A (B + B’C + B’C ’) = A A B C B’C B’C ’B + B’C + B’C’ A (B + B’C + B’C ’) 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 Оба столбца A (B + B’C + B’C ’) и A идентичны, следовательно, доказано.(ii) A + A’B ’= A + B ‘ A B C A ’B’ A’B ’A + A’B’ A + B ‘ 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 Оба столбца A + A’B’ и A + B’идентичны, следовательно, это доказано. (iii) (x + y + z). (x ’+ y + z) = y + z x y z X ’x + y + z x’ + y + z (x + y + z). (x ’+ y + z) y + z. 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Оба столбца (x + y + z).(x ’+ y + z) и y + z идентичны, следовательно, доказано. (iv) A’B’C + A’BC + AB’C = A’C + B’C A B C A ’B’ A’B’C A’BC AB’C A’C B’C A’B’C + A’BC + AB’C A’C + B’C 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Оба столбца A’B’C + A’BC + AB’C и A’C + B’C идентичны, следовательно, это доказано. 26.

Отв.

Что вы подразумеваете под канонической формой логического выражения? Что из следующего является каноническим? (i) ab + bc (ii) abc + a’bc ’+ ab’c’ (iii) (a + b) (a ’+ b’) (iv) (a + b + c) (a + b ’+ c) (a’ + b + c ’) (v) ab + bc + ca Логическое выражение, полностью состоящее из Minterms или maxterms, называется канонической формой Boolean выражение.

X = 0, Y = 0, Z = 1

Для этой комбинации выход равен 1, иначе выход равен 0. Подготовив для него таблицу истинности, мы получаем X Y Z F Условия использования продукта / Минтермс 0 0 0 0 X’Y’Z ’ 0 0 1 1 X’Y’Z 0 1 0 1 X’YZ ’ 0 1 1 0 X’YZ 1 0 0 1 XY’Z ’ 1 0 1 0 XY’Z 1 1 0 0 XYZ ’ 1 1 1 0 XYZ Складывая все минтермы, для которых вывод равен 1, получаем X’Y’Z + X’YZ ’+ XY’Z’ = F Это желаемая каноническая форма суммы произведений. 34.

Отв.

Выходные единицы появляются в таблице истинности для следующих входных условий: ABCD = 0001, ABCD = 0110 и ABCD = 1110.какая такое уравнение суммы произведений? ABCD = 0001 = A’B’C’D ABCD = 0110 = A’BCD ’ ABCD = 1110 = ABCD ’ Уравнение суммы произведений выглядит следующим образом: F = A’B’C’D + A’BCD ’+ ABCD’ 35.

Отв.

Преобразуйте следующее выражение в каноническую форму Sum-of = Product: (a) X + X’Y + X’Z ’(b) YZ + X’Y (c) AB’ (B ’+ C’) (а) X + X’Y + X’Y ’ = X (Y + Y ’) (Z + Z’) + X’Y (Z + Z ’) + X’Z’ (Y + Y ’) = (XY + XY ’) (Z + Z’) + X’YZ + X’YZ ’+ X’YZ’ + X’Y’Z ’ = Z (XY + XY ’) + Z’ (XY + XY ’) + X’YZ + X’YZ’ + X’YZ ’+ X’Y’Z’ = XYZ + XY’Z + XYZ ’+ XY’Z’ + X’YZ + X’YZ ’+ X’YZ’ + X’Y’Z ’ Удалив повторяющиеся термины, мы получим каноническую форму Sum-of = Product: XYZ + XY’Z + XYZ ’+ XY’Z’ + X’YZ + X’YZ ’+ X’Y’Z’ F = ∑ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) F = м 1 + м 2 + м 3 + м 4 + м 5 + м 6 + м 7 (б) YZ + X’Y = YZ (X + X ’) + X’Y (Z + Z’) = XYZ + X’YZ + X’YZ + X’YZ ’ Удалив повторяющиеся термины, мы получим каноническую форму Sum-of = Product: XYZ + X’YZ + X’YZ ’ F = ∑ (2, 3, 7) F = м 2 + м 3 + м 7 (c) AB ’(B’ + C ’) Попробуйте сами.36.

Отв.

Выразите в форме Произведения сумм, булеву функцию F (x, y, z) и таблицу истинности для которой приведены ниже: X Y Z F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Добавьте новый столбец, содержащий Maxterms. Теперь таблица такая:

X Y Z F Maxterms 0 0 0 1 Х + Y + Z 0 0 1 0 X + Y + Z ’ 0 1 0 1 X + Y ’+ Z 0 1 1 0 X + Y ‘+ Z’ 1 0 0 1 X ’+ Y + Z 1 0 1 0 X ‘+ Y + Z’ 1 1 0 1 X ’+ Y‘ + Z 1 1 1 1 X ’+ Y’ + Z ‘ Теперь, умножая Maxterms на выходные 0, мы получаем желаемый продукт выражения сумм, который (X + Y + Z ’) (X + Y’ + Z ’) (X’ + Y + Z ’) 37.

Отв.

Дана таблица истинности функции F (x, y, z). Запишите выражения S-O-P и P-O-S из следующей таблицы истинности: X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Добавьте новый столбец, содержащий Minterms и Maxterms. Теперь таблица такая: X Y Z F Минтермс Макстермс 0 0 0 0 X’Y’Z ’X + Y + Z 0 0 1 0 X’Y’Z X + Y + Z ’ 0 1 0 0 X’YZ ’X + Y’ + Z 0 1 1 1 X’YZ X + Y ‘+ Z’ 1 0 0 1 XY’Z ’X’ + Y + Z 1 0 1 0 XY’Z X ‘+ Y + Z’ 1 1 0 0 XYZ ’X’ + Y ‘+ Z 1 1 1 1 XYZ X ’+ Y’ + Z ‘ Теперь, добавив все minterms, для которых вывод равен 1, мы получаем желаемое выражение суммы продуктов, которое X’YZ + XY’Z ’+ XYZ Теперь, умножив Maxterms на выходные 0, мы получим желаемый продукт выражения сумм, который (X + Y + Z) (X + Y + Z ’) (X + Y’ + Z) (X ‘+ Y + Z’) (X ’+ Y‘ + Z) 38.

Отв.

Преобразуйте следующие выражения в каноническую форму произведения суммы (a) (A + C) (C + D) (b) A (B + C) (C ’+ D’) (c) (X + Y) (Y + Z) (X + Z) (а) (А + С) (С + D) = (A + BB ’+ C + DD’) (AA ’+ BB’ + C + D) = (A + B + C + D) (A + B ’+ C + D’) (A + B + C + D) (A ’+ B’ + C + D) Удалив повторяющиеся термины, мы получим каноническую форму произведения суммы: (A + B + C + D) (A + B ’+ C + D’) (A ’+ B’ + C + D) F = π (0, 5, 12) F = M 0 + M 5 + M 12 (б) A (B + C) (C ’+ D’) Попробуйте сами. (в) (X + Y) (Y + Z) (X + Z) = (X + Y + ZZ ’) (XX’ + Y + Z) (X + YY ’+ Z) = (X + Y + Z) (X + Y + Z ’) (X + Y + Z) (X’ + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y ’+ Z) Удалив повторяющиеся термины, мы получим каноническую форму произведения суммы: (X + Y + Z) (X + Y + Z ’) (X’ + Y + Z) (X + Y ’+ Z) F = π (0, 1, 2, 4) F = M 0 + M 1 + M 2 + M 4

Отв.

Завершение данной K-карты У нас есть 1 группа, которая является Quad, т.е. м 1 + м 3 + м 5 + м 7 = X’Y’Z + X’YZ + XY’Z + XYZ = X’Z (Y ’+ Y) + XZ (Y’ + Y) = X’Z + XZ = Z (X ’+ X) = Z Упрощенное логическое выражение для данной K-карты: F (X, Y, Z) = Z.

42.

Отв.

Используя технику Карно, получите упрощенное выражение в виде суммы произведений для следующей карты.

Завершение данной K-карты У нас есть 1 группа, которая является Quad, т.е. м 2 + м 3 + м 6 + м 7 = X’YZ + X’YZ ’+ XYZ + XYZ’ = X’Y (Z + Z ’) + XY (Z + Z’) = X’Y + XY = Y (X ’+ X) = Y Упрощенное логическое выражение как сумма произведений для данной K-карты: F (X, Y, Z) = Y.43.

Отв.

Получить упрощенное выражение в форме суммы произведений для булевой функции F (X, Y, Z), отображение Карно для который приведен ниже:

Завершение данной K-карты У нас есть 2 пары, т.е. Пара-1 — это m 3 + m 6, а пара-2 — это m 4 + m 6. = X’YZ ’+ XYZ’ + XY’Z ’+ XYZ’ = YZ ’(X’ + X) + XZ ’(Y’ + Y) = YZ ’+ XZ’ Упрощенное логическое выражение как сумма произведений для данной K-карты: F (X, Y, Z) = YZ ’+ XZ’. 44. Ответ

Минимизируйте следующую функцию, используя карту Карно: F (W, X, Y, Z) = ∑ (0, 4, 8, 12).

Отображая данную функцию в K-карту, мы получаем 1 Quad, т.е. м 0 + м 4 + м 8 + м 12 = W’X’Y’Z ’+ W’XY’Z’ + WXY’Z ’+ WX’Y’Z’ = W’Y’Z ’(X’ + X) + WY’Z ’(X + X’) = W’Y’Z ’+ WY’Z’ = Y’Z ’(W’ + W) = Y’Z ’ Упрощенное логическое выражение для данной K-карты: F (W, X, Y, Z) = Y’Z ’ 45.

Отв.

Нарисуйте и упростите карты Карно X, Y, Z для: (a) m 0 + m 1 + m 5 + m 7 (b) F = ∑ (1, 3, 5, 4, 7) (c) m 0 + m 2 + m 4 + m 6 (а) м 0 + м 1 + м 5 + м 7

Отображая данную функцию в K-карту, мы получаем 2 пары i.е., Пара-1 — это m 0 + m 1, а пара-2 — это m 5 + m 7. = X’Y’Z ’+ X’Y’Z + XY’Z + XYZ = X’Y ’(Z’ + Z) + XZ (Y ’+ Y) = X’Y ’+ XZ Упрощенное логическое выражение для данной K-карты: F (X, Y, Z) = X’Y ’+ XZ. (б) F = ∑ (1, 3, 5, 4, 7) Преобразуя данную функцию в K-карту, мы получаем 1 пару и 1 квад, т. Е. Пара — это m 4 + m 5, а Quad — это m 1 + m 3 + m 5 + m 7 = X’Y’Z + X’YZ + XY’Z + XYZ + XY’Z ’+ XY’Z = X’Z (Y ’+ Y) + XZ (Y’ + Y) + XY ’(Z’ + Z) = X’Z + XZ + XY ’ = Z (X ’+ X) + XY’ = Z + XY ’ Упрощенное логическое выражение для данной K-карты — F (X, Y, Z) = Z + XY ’.(в) м 0 + м 2 + м 4 + м 6 Преобразуя данную функцию в K-карту, мы получаем 2 пары, т.е. Пара-1 — это m 0 + m 4, а пара-2 — это m 2 + m 6. = X’Y’Z ’+ XY’Z’ + X’YZ ’+ XYZ’ = Y’Z ’(X’ + X) + YZ ’(X’ + X) = Y’Z ’+ YZ’ = Z ’(Y’ + Y) = Z ’ Упрощенное логическое выражение для данной K-карты — F (X, Y, Z) = Z ’. 46. ​​

Отв.

Используя K-карту, выведите минимальное произведение сумм выражения для F (X, Y, Z), таблица истинности которого приведена ниже: X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

Завершив K-карту, поместив 0, где F дает 0, мы получаем 2 пары i.е., Пара-1 — это M 0. M 4, а пара-2 — M 2. M 6. Приведенные выражения выглядят следующим образом: Для Пары-1 (Y + Z) (при удалении X: X меняется на X ’) Для пары-2 (Y ’+ Z) (X меняется на X; следовательно, исключается) Следовательно, окончательное выражение P-O-S будет F (X, Y, Z) = (Y + Z) (Y ’+ Z) 47.

Отв.

Используя карту, упростите следующее выражение, используя форму суммы произведений: (а) A’B’C ’+ AB’C’ + ABC + A’B’C (б) ABCD + A’B’C’D + A’BCD + A’B’CD + ABCD ’

(а) A’B’C ’+ AB’C’ + ABC + A’B’C Преобразуя данную функцию в K-карту, мы получаем 2 пары i.е., Пара-1 — это m 0 + m 1, а пара-2 — это m 0 + m 4. = A’B’C ’+ A’B’C + A’B’C’ + AB’C ’+ ABC = A’B ’(C’ + C) + B’C ’(A’ + A) + ABC = A’B ’+ B’C’ + ABC Упрощенное логическое выражение как сумма произведений для данной K-карты составляет

51.

Отв.

Разработайте схему (3 входа), которая дает высокий вход, когда есть четное количество низких входов. Следующая таблица истинности дает высокий вклад, когда есть даже количество низких входов: X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

Из таблицы истинности получаем следующую функцию: F = X’Y’Z + X’YZ ’+ XY’Z’ Логическая схема для функции F следующая:

52.

Отв.

Разработайте схему (3 входа), которая дает высокий вход только тогда, когда есть четное количество низких или высоких входов. Следующая таблица истинности дает высокий вклад, только когда есть четное количество низких или высоких входов: X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

Из таблицы истинности получаем следующую функцию: F = X’Y’Z + X’YZ ’+ X’YZ + XY’Z’ + XY’Z + XYZ ’ Логическая схема для функции F следующая:

53.

Отв.

Разработайте логическую схему для реализации булевой функции f (x, y) = x. у + х ‘. ты Принципиальная схема для приведенного выше выражения будет следующей:

54.

Отв.

Изобразите логическую схему для этого логического уравнения: y = A’B’C’D + AB’C’D + ABC’D + ABCD ’ = A’B’C’D + AB’C’D + ABC’D + ABCD ’ = B’C’D (A ’+ A) + ABC’D + ABCD’ = B’C’D + ABC’D + ABCD ’

Логическая схема для вышеуказанного логического уравнения будет следующей:

55.

Отв.

Нарисуйте логическую схему для следующего, используя k-карты: (i) F (A, B, C, O) = ∑ (1, 3, 5, 9, 10) (ii) F (A, B, C) = π (0, 2, 4, 5) (iii) F (A, B, C) = ∑ (1, 2, 4, 6, 7) (iv) F (A, B, C) = π (1, 3, 5, 7) (i) F (A, B, C, O) = ∑ (1, 3, 5, 9, 10)

Есть три пары, которые уменьшаются как дано ниже: Пара-1 (m 1 + m 3) сводится к A’B’O Пара-2 (m 1 + m 5) сводится к A’C’O Пара-3 (m 1 + m 9) сводится к B’C’O А одиночный 1 из 10 м — AB’CO ’ Упрощенное логическое выражение для данного K- карта F (A, B, C, O) = A’B’O + A’C’O + B’C’O + AB’CO ’

Логическая схема будет следующей:

(ii) F (A, B, C) = π (0, 2, 4, 5) Есть две пары, которые уменьшаются как дано ниже: Пара-1 (М 0.M 2) сводится к (A + C) Пара-2 (M 4 .M 5) сокращается до (A ’+ B) Упрощенное логическое выражение для данной K-карты является F (А, В, С) = (А + С). (A ’+ B)

Логическая схема будет следующей:

(iii) F (A, B, C) = ∑ (1, 2, 4, 6, 7) Есть три пары, которые уменьшаются как дано ниже: Пара-1 (m 2 + m 6) сводится к BC ’ Пара-2 (m 6 + m 7) сводится к AB Пара-2 (m 4 + m 6) сводится к AC ’ И одиночные единицы в m 1 — это AB’C Упрощенное логическое выражение для данного K- карта F (A, B, C) = BC ’+ AB + AC’ + AB’C

Логическая схема будет следующей:

(iv) F (A, B, C) = π (1, 3, 5, 7) Есть Quad, который уменьшает, как показано ниже: Пара-1 (М 1.M 3 .M 5 .M 7) сводится к C ’ Упрощенное логическое выражение для данной K-карты это C ’.

Логическая схема будет следующей:

56.

Отв.

Нарисуйте схему И-ИЛИ для: y = AB’C’D ’+ ABC’D’ + ABCD. Сокращенное выражение для данного выражения выглядит как следует: = AB’C’D ’+ ABC’D’ + ABCD = AC’D ’(B’ + B) + ABCD = AC’D ’+ ABCD

Схема И-ИЛИ

выглядит следующим образом:

57.

Отв.

Выведите логическое выражение для выхода F в сети, показанной ниже:

Логическое выражение для выхода F — (A’B ’+ CD)’ 58.Ответ

Преобразуйте вышеуказанную схему в логическую схему NAND-to-NAND. Данное логическое выражение можно записать как = (НЕ ((НЕ А) И-НЕ (НЕ Б)) И-НЕ (C-НЕ-И-D))

Отв.

(i) логическое выражение в форме minterm (ii) логическое выражение в неканонической форме. Для функции F (X, Y, Z) (i) Сумма выражения minterms равна XYZ + XYZ + XYZ + XYZ (ii) Неканоническая форма суммы произведений XY + YZ + ZX + XY 65.

Отв.

Какую функцию реализует показанная схема

(a) x’y ’+ z (b) (x’ + y ’) z (c) x’y’z (d) x’ + y ’+ z (e) ни один из этих

(e) правильный ответ 66.

Отв.

Какую функцию реализует показанная схема

(a) x + y + z (b) x + y + z ’(c) x’y’z (d) x’ + y ’+ z’ (e) ни один из этих

(б) правильный ответ 67.

Отв.

Какую функцию реализует показанная схема

(a) xz ’+ y (b) xz + y (c) x’z + y’ (d) x’y ’+ y’z’ (e) x’y ’+ y’z

(д) правильный ответ

68.

Отв.

Какому вентилю эквивалентна следующая схема?

(а) И (б) ИЛИ (в) ИЛИ (г) ИЛИ (д) Ни один из этих

(c) правильный ответ 69.

Отв.

Какая из следующих функций соответствует функции: f = x + yz ’? (a) x (y ’+ z) (b) (y + x) (z’ + x) (c) (y + x ’) (x’ + z ’) (d) Ни один из этих (б) правильный ответ 70.

Отв.

Любая возможная функция двоичной логики может быть реализована с использованием только. (a) И (b) ИЛИ (c) НЕ (d) AA (достаточно любого) (e) NAND Попробуйте сами. 71. Функция в следующей схеме:

Отв.

(a) abcd (b) ab + cd (c) (a + b) (c + d) (d) a + b + c + d (e) (a ‘+ b’) + (c ‘+ d ‘) (e) правильный ответ 72.

Отв.

Учитывая, что F = A’B + (C ’+ E) (D + F’), используйте теорему де Моргана, чтобы найти F ’. (a) ACE ’+ BCE’ + D’F (b) (A + B ’) (CE’ + D’F) (c) A + B + CE’D’F (d) ACE ’+ AD’F + B’CE’ + B’CE ’+ B’D’F (e) NA A’B + (C ’+ E) (D + F’) = (A’B) ’+ ((C’ + E) (D + F ’))’ = (AB ’) + (C’ + E) ’(D + F’) ’ = (AB ’) + (C + E’) (D ’+ F) = (A + B ’) (CE’ + D’F) Итак, F ’= (A + B’) (CE ’+ D’F) 73.

Отв.

Функция в следующей цепи:

(a) x ’+ y’ + z ’(b) x + y + z (c) x’z’ + y’z ’(d) xy + z (e) z (c) правильно.74.

Отв.

Старайтесь усерднее Упростите следующее: {[(AB) ’C] D]}’ (a) (A ‘+ B’) C + D (b) (A + B ‘) C’ + D ‘(c) A’ + (B ‘+ C’) D (d) A ‘+ B’ + С ‘+ D’ (д) А + В + С + D Попробуйте сами. 75.

Отв.

Укажите отношение, которое представляет двойственное свойство логического свойства A + 1 = 1? [Запись. * = И, + = ИЛИ и ‘= НЕ] (a) A. 1 = 1 (b) A. 0 = 0 (c) A + 0 = 0 (d) A. A = A (e) A. 1 = 1 Отношение, представляющее двойное свойство логического свойства A + 1 = 1, есть A.0 = 0 76.

Отв.

Упростите логическое выражение (A + B + C) (D + E) ’+ (A + B + C) (D + E) и выберите лучший ответ. (a) A + B + C (b) D + E (c) A’B’C ’(d) D’E’ (e) Ничего из этого (A + B + C) (D + E) ‘+ (A + B + C) (D + E) = (A + B + C) ((D + E) + (D + E)’) (Распределительный Закон) = (A + B + C). (1) (X + X ’= 1) = А + В + С Итак, упрощение логического выражения (A + B + C) (D + E) ’+ (A + B + C) (D + E) дает A + B + C 77.

Отв.

Какое из следующих отношений представляет собой двойственное свойство логического свойства x + x’y = x + y? (a) x ‘(x + y) = x’y’ (b) x (x’y) = xy (c) x * x ‘+ y = xy (d) x’ (xy ‘) = x’y ‘(e) x (x’ + y) = ху Отношение x * x ’+ y = xy представляет двойственное свойство логического свойства x + x’y = x + y. 78.

Отв.

С учетом функции F (X, Y, Z) = XZ + Z (X ’+ XY) эквивалентное наиболее упрощенное логическое представление для F: (a) Z + YZ (b) Z + XYZ (c) XZ (d) X + YZ (e) Ни один из этих XZ + Z (X ‘+ XY) = XZ + X’Z + XYZ (закон распределения) = Z (X + X ’) + XYZ (закон распределения) = Z (1) + XYZ (Закон дополнительности) = Z + XYZ (закон идентичности) Эквивалентное наиболее упрощенное логическое представление для F — Z + XYZ. 79.

Отв.

Какой из следующих результатов дает упрощение логического выражения (A + B) ’(C + D + E)’ + (A + B) ’? (a) A + B) (b) A’B ’(c) C + D + E (d) C’D’E’ (e) A’B’C’D’E ’ (A + B) ‘(C + D + E)’ + (A + B) ‘= (A + B) ’((C + D + E) +1) (Distb.Закон) = (A + B) ’. 1 (Закон идентичности) = (A + B) ’(Закон идентичности) = A’B ’(Закон ДеМоргана) Итак, упрощение логического выражения (A + B) ’(C + D + E)’ + (A + B) ’дает A’B 80. Учитывая, что F = A’B ’+ C + D’ + E ’, что из следующего представляет единственное правильное выражение для F’?

PPT — Расширенное занятие по алгебре для 7-го класса Презентация PowerPoint, скачать бесплатно

  • Расширенное занятие для 7-го класса 26 апреля 2012 г. 8: 30-11: 00 Зал 606

  • Приветствие и введение

  • Результаты Участники: • Понимают план реализации для перехода на общую базовую учебную программу.• Примите участие в заданиях и мероприятиях, которые станут частью учебной программы предалгебры 7 класса в следующем году. • Изучите веб-страницу с учебными ресурсами, предназначенную для поддержки учителей в переходный период • Узнайте о возможностях профессионального развития для поддержки учителей с помощью нового контента

  • 2014-2015 2013-14 • Полная реализация оценки PARCC 2012-13 • Полная реализация MCCSC • Новый учитель и основные инструменты оценки • Полевое тестирование оценки PARCC • Начало реализации инструкции Common Core 2011-12 • Стандарты математической практики • Стандарты написания

  • График PARCC SY 2012-13 Пилотные / полевые испытания первого года и соответствующие исследования и данные сбор SY 2013-14 Пилотные / полевые испытания второго года и соответствующие исследования и сбор данных SY 2014-15 Полное администрирование оценок PARCC Лето 2015 Установка уровней достижений, включая уровни успеваемости для поступления в колледж SY 2010-11 Этап запуска и разработки SY 2011-12 Начало разработки

  • Английский язык Искусство / грамотность и математика, 3–11 классы Гибкость • В конце года • Оценка • Инновационные компьютерные задания • Полугодовая оценка • На основе успеваемости • Акцент на трудноизмеримых • стандартах • Потенциально суммативный • На основе успеваемости • Оценка (PBA) • Расширенные задачи • Применение концепций и навыков • Диагностическая оценка • Ранний индикатор знаний и навыков учащихся для • информирования инструкций, • поддержки, а также PD Устная речь и аудирование Суммарная оценка для подотчетности Формирующая оценка

  • Понимание Переход на Common Core Команды учителей математики округа Ховард, ITL и MIST разработали план перехода: • Проверенные группы студентов • Исследовали, какие предварительные навыки необходимы для успешного прохождения каждого общего основного курса • Исследовали, какие навыки студенты в настоящее время получены • Определено, как лучше всего заполнить пробелы для удовлетворения потребностей • Организована информация в плане перехода

  • Как будет выглядеть предварительная алгебра 7-го класса в 2012–2013 годах? • В 2012-2013 гг. Учащиеся будут получать смесь из учебных программ Common Core 7 и Common Core 8.• Будут существовать некоторые пробелы, поэтому будут сделаны примечания по поводу сочетания с учебной программой штата Мэриленд и другими стандартами / целями для углубленного обучения. • Предварительная алгебра 7-го класса выглядит иначе, чем предварительная алгебра 8-го класса и 6-й класс GT.

  • 2012-2013 Essentials Единицы, организованные по доменам Структура Common Core Пурпурный жирный шрифт примечания относительно содержания на 2012-2013 годы

  • Задание 1: Let’s Paint Источник изображения: http://www.diylife.com / 2010/09/08 / do-you-have-diy-envy /

  • Задание 1: Давайте раскрасим Ваши родители попросили вас и вашего старшего брата покрасить офис и спальню наверху.Вчера вы и ваш брат нарисовали стену в офисе размером 12 футов на 15 футов. Вам потребовался один час, чтобы покрасить стену, и вашему брату потребовалось 40 минут, чтобы покрасить стену такого же размера. Сегодня вам и вашему брату нужно будет закончить покраску офиса и спальни наверху. Если вы с братом будете работать вместе, сколько времени займет покраска обеих комнат?

  • Задание 1: Давайте раскрасим

  • Задание 1: Давайте раскрасим Дополнительный вопрос: Ваш брат должен присутствовать на тренировке по баскетболу сегодня утром, поэтому он будет на час позже.Если вы начнете сейчас, и ваш брат присоединится к вам через два часа, сколько времени уйдет на то, чтобы покрасить две комнаты?

  • Задание 1 Подведение итогов • Поделитесь своим дизайном с другими группами. • Какие математические концепции и навыки были необходимы для выполнения задачи? • Посмотрите на модуль «Выражения и уравнения» — когда можно представить такую ​​задачу?

  • Осмотр пешеходных переходов 7 и 8 классов • Что такое документ пешеходного перехода? • Как его использовать? • Что означает пешеходный переход в предалгебре в 7 классе?

  • Краткий перерыв

  • Мини-урок: Пропорциональные отношения и алгебра Как бы вы описали пропорциональные отношения… • словами? • с моделью? • со столом? • уравнением? • с графиком?

  • Мини-урок: Пропорциональные отношения и алгебра Нарисуйте набор из 3 прямоугольников, которые имеют пропорциональные отношения.Обязательно отметьте длину и ширину каждого прямоугольника.

  • Мини-урок: пропорциональные отношения и алгебра • Теперь создайте таблицу значений, сравнивающую длину и ширину. • Из этой таблицы нарисуйте график и сгенерируйте уравнение для описания этой связи. • Сравните ваши графики и уравнения с другими. Что общего?

  • Задание 2: Бейсбольный магазин Бейсбольный сувенирный магазин предлагает следующие наборы для подписанных бейсбольных мячей, шляп и бит: Если бейсбольный магазин продает каждый товар отдельно, какова стоимость каждого товара?

  • Задание 2 Подведение итогов • Поделитесь своими решениями с другими группами.• Какие математические концепции и навыки были необходимы для выполнения задачи? • Посмотрите на модуль «Выражения и уравнения» — когда можно представить такую ​​задачу?

  • Где найти ресурсы? • Мы разработали веб-сайты, чтобы помочь вам в проведении этих переходных курсов. • Вам не нужно присоединяться как участник или вводить какие-либо пароли для доступа к ресурсам !! • Главная страница для посещения: http://secondarymathcommoncore.hcpss.wikispaces.net/

  • Дальнейшие действия • Весна 2012: уроки / задачи / ресурсы будут продолжаться • Лето 2012: команды будут продолжать развиваться ресурсы для курсов и семинаров по математике • Лето 2012: для учителей математики и специальных педагогов будут предложены различные курсы повышения квалификации • Осень 2012: некоторые курсы повышения квалификации будут предложены для учителей математики и специальных педагогов

  • Летние предложения НПР Все курсы будут работать по будням с 8.00.м. до 13:00 • Коэффициенты и пропорциональные отношения (1 кредит CPD) — 13 июня — 15 июня • Система счисления / дроби (2 кредита CPD) — 18 июня — 22 июня • Геометрия (1 кредит CPD) — 26 июня — 28 июня • Статистика и вероятность ( 2 кредита CPD) — 9 июля — 13 июля

  • Летние предложения CPD Все курсы будут проходить в будние дни с 8:00 до 13:00 • Выражения и уравнения (2 кредита CPD) — 23 июля — 27 июля • Функции (1 кредит CPD) — 30 июля — 1 августа • Обучающий математический семинар (3 кредита CPD) — 1 августа — 8 августа

  • Вопросы?

  • СПАСИБО !!!

  • Математика 6130: Алгебра 1

    О курсе

    Из каталога курсов

    Изучает теорию групп и теорию колец.Обязательные требования кафедры, MATH 3140. Для студентов бакалавриата требуется согласие преподавателя. Реквизиты: только для аспирантов.

    Неофициальное описание

    Этот курс предназначен для поступающих аспирантов и предназначен для подготовки вас как к предварительным экзаменам, так и к вашей дальнейшей карьере в области математических исследований. Есть некоторые очень специфические математические цели, а именно изучение основ теории групп и теории колец (по сути, главы с 1 по 9 книги Даммита и Фута), но есть и более труднодостижимые цели, такие как развитие вашей способности читать, писать и подумайте о математике.

    Предварительные требования

    Этот курс требует очень мало предварительных знаний математики. Мы будем использовать некоторую теорию множеств, включая функции, отношения и классы эквивалентности, а также основные свойства целых чисел и конгруэнтности относительно модуля. Вы можете найти обзор этих тем в Главе 0 («Предварительные сведения») Dummit and Foote, и я рекомендую изучить ее до начала семестра. Если вы не уверены, подходит ли вам этот урок, просмотр главы 0 даст вам представление о том, как все будет представлено в классе.

    Другое предварительное условие сложнее определить, но его часто называют математической зрелостью . Это означает опыт корректуры, абстрактное мышление, отделение концепций от вычислений, четкое общение и, вероятно, многое другое. Вы развиваете его, усердно размышляя о математике и объясняя свои мысли другим, и вы продолжите развивать его на протяжении всего курса и в ходе вашей математической карьеры. Однако в этом курсе невозможно будет начать с нуля: с самого начала потребуется определенная математическая зрелость.

    Учебник

    Даммит и Фут, Абстрактная алгебра , 3-е издание

    Есть много других замечательных учебников алгебры. Я рекомендую вам просмотреть множество разных учебников и найти тот, который вам больше всего подходит. (Конечно, вы должны будете найти части вашего любимого учебника, которые соответствуют заданиям Даммита и Фута.) Вот неполный список (вы можете составить гораздо больший список с небольшим поиском в Интернете):

    • Jacobson, Basic Algebra, I , 2nd Edition
    • Lang, Algebra , 3-е издание
    • Хангерфорд, Алгебра , 8-е издание
    • Артин, Алгебра

    Оценка

    Домашнее задание: 1/3
    Экзамен 1: 1/3
    Экзамен 2: 1/3

    Время работы

    У меня всегда будет несколько рабочих часов каждую неделю, хотя расписание может иногда меняться.Пожалуйста, назначьте встречу, если вы хотите поговорить наедине, но в противном случае не стесняйтесь заглядывать. Предупреждение: я обычно ограничиваюсь 3 рабочими часами в неделю. Если они будут израсходованы или запланированы в начале недели, я могу быть недоступен позже.

    Назначения

    Вы не можете научиться говорить на языке, прочитав учебник по грамматике, и вы не можете научиться ездить на велосипеде, изучая механику. Точно так же вы не можете изучить алгебру или любой другой математический предмет, просто читая учебник и слушая лекции.Вам необходимо активно заниматься материалом, и один из лучших способов сделать это — упражнения.

    Упражнения будут публиковаться каждую неделю, будут отправлены в электронном виде на следующей неделе. Я буду оценивать примерно четыре упражнения каждую неделю из тех, что вы отправляете (фактическое количество будет зависеть от того, сколько времени уйдет на оценку задач). Две задачи, которые я оцениваю, будут на ваш выбор, а две другие — на мой выбор. Вам следует выбирать сложные задачи, в которых вы добились значительного прогресса.

    Я буду оценивать ваши работы на основе ясности вашего письма, правильности ваших ответов и уместности выбранных вами задач.

    Ваша оценка по каждому заданию будет представлять собой одну букву: A, B, C. Они примерно соответствуют критериям «сдано», «условно сдано» и «не пройдено» в предварительных экзаменах, а не оценкам, которые вы в конечном итоге получите за курс. Я предоставлю комментарии, которые, я надеюсь, вы прочитаете и иногда обсудите со мной (в этом весь смысл моей оценки ваших упражнений).

    Правила подачи заданий
    • Задания (после первого) должны быть набраны с использованием латекса и отправлены в электронном виде через D2L. Если хотите, вы можете отправить первый в электронном виде. Не отправляйте домашнее задание по электронной почте.
    • Каждое задание должно включать в себя раздел с подробными ссылками, с которыми вы консультировались. Если вы обращаетесь к ссылке, и она способствует тому, что вы пишете, вы должны процитировать ее. Невыполнение этого требования — плагиат!
    • Укажите в верхней части своей заявки количество ровно двух упражнений, которые вы хотите, чтобы я оценил.Если вы этого не сделаете, я выберу две задачи, которые легче всего оценить.
    Руководство по сотрудничеству и использованию ресурсов

    Призываю к сотрудничеству! Одноклассники будут вашим самым ценным ресурсом на протяжении всей аспирантуры. Говорите с ними, учитесь у них. Но, пожалуйста, следуйте приведенным ниже правилам, когда дело касается домашних заданий.

    Точно так же хорошо поищем другие точки зрения на материал, который мы изучаем. Изучение математики — это непрерывный процесс реорганизации в поисках интуитивной точки зрения.Все люди разные, и вы можете обнаружить, что одни тексты лучше подчиняются вашей интуиции, чем другие.

    Тем не менее, в Dummit and Foote легко найти решение для каждого упражнения в Интернете. Вот ссылка. Легко сотрудничать или использовать онлайн решения непродуктивным или контрпродуктивным образом, поэтому, пока вы можете обращаться к другим ресурсам, вы должны сделать это в соответствии с правилами ниже:

    1. Прежде чем обсуждать проблему или обращаться к внешнему ресурсу, постарайтесь решить ее самостоятельно.
    2. Убедитесь, что, когда вы разговариваете с другими или читаете сторонний материал, вы активно участвуете в разработке решения и изучении того, как оно работает. Один из способов сделать это — попытаться улучшить решение либо в математической аргументации, либо в ее изложении.
    3. Когда вы пишете свои решения , не используйте никаких заметок или других ресурсов , кроме вашего недавно улучшенного мозга. Это настоящая проверка того, улучшили ли вы свое понимание.
    4. Вы должны перечислить все обсуждения или ресурсы, которые каким-либо образом способствовали вашим решениям, в разделе ссылок на ваши решения. Невыполнение этого требования — плагиат!
    5. Все, что вы отправляете как как решение для упражнения, должно отражать ваше понимание этого упражнения и только ваше.
    Неделя 1 (§1.1–1.5): Срок сдачи: понедельник, 31 августа

    §1.1: # 5, 7, 20, 22, 24, 30 (см. Пример 6 на стр. 18), 32
    §1.2: дополнение, # 3 (попробуйте сделать это, не записывая таблицу умножения), 7, 12
    §1.3: # 5, 7, 11, 15 (подсказка состоит в том, чтобы использовать упражнение 10 из §3 и упражнение 24 из §1), 16
    §1.4: # 10

    Неделя 2 (§1.6, 1.7, 2.1): Срок сдачи: среда, 9 сентября

    §1.6: # 4, 6 (Подсказка: ждите §1.6, пример 21), 17, 23, дополнение
    §1.7: # 8, 10a, 17, 18, 19, 21, 23
    §2.1: # 6 (Подсказка: рассмотрите «бесконечную группу диэдра»), 8, 10

    Неделя 3 (§2.1–2.4): Срок сдачи: вторник, 15 сентября

    §1.3: дополнение
    §1.7: # 13
    §2.2: # 7, 10, 14 (вы можете предположить, что F = & Ropf; если вы не знакомы с полями)
    §2.3: # 9, 12b, 18, 24, 25 (примечание: это отображение не может быть гомоморфизмом!), 26
    § 2.4: # 7, 12 (Составление таблицы умножения не учитывает 7 и 12. Совет: используйте представление двугранной группы.), 14cd, 15

    Неделя 4 (§2.5, 3.1): Срок сдачи: понедельник, 21 сентября

    §2.5: # 14 (просто сделайте диаграмму; никакого обоснования не требуется; вы можете передать диаграмму на бумаге, если хотите)
    §3.1: # 9, 12, 14, 19, 22, 25, 34, 35, 36, 42, приложение

    Неделя 5 (Приложение I, §3.2–3.4): Срок сдачи: понедельник, 28.09.

    §2.4: № 17
    §3.2: № 4, 9, 11, 14, 18, 22
    §3.3: # 4 (Подсказка: используйте универсальные свойства!), 6, 7, 10
    §3.4: # 4

    Неделя 6 (§3.4, 3.5, 4.1, 4.2): Срок сдачи: понедельник, 5 октября

    §3.4: # 5
    §3.5: # 10, 12
    §4.1: # 1, 9
    §4.2: # 7 (Подсказка: каждая нетривиальная подгруппа в Q 8 содержит 〈-1〉), 8, 13 (Подсказка : составить левое регулярное представление перестановки со знаком гомоморфизма и вычислить образ элемента порядка 2)
    §4.3: # 17 (Подсказка: распознавать D как ядро ​​действия), 29

    Неделя 7 (§4.3, 4.6): Срок сдачи: понедельник, 12.10.

    §4.3: # 13, 19, 25, 26 (Подсказка: используйте, что если H — подгруппа группы G, а G — объединение сопряженных с H, то G = H), 30
    §4.4: # 14
    §4.6: # 4

    Неделя 8 (§4.4, 4.5, 5.1, 5.2): Срок сдачи: понедельник, 19.10.

    §4.4: # 1, 20 (a)
    §4.5: # 16, 19, 30, 32, 34
    §5.1: # 11
    §5.2: # 13 (обратите внимание, что вы доказываете универсальное свойство!)

    Неделя 9 (§5.1–5.5): Срок сдачи: понедельник, 26.10.

    §4.4: № 18
    §5.2: # 4bc, 14
    §5.4: # 5 (помните универсальное свойство частного по коммутатору), 7 (это хорошая предварительная практика), 11
    §5.5: # 11, 22, 23

    Неделя 10 (§5.2, 6.3, обзор): Срок сдачи: среда, 4 ноября
    Выполняйте экзаменационные задачи как домашнее задание. Если вы уверены, что правильно решили проблему, не стесняйтесь пропустить ее и вместо этого выполните одну из этих задач.
    Неделя 11 (§7.1–7.3): сдать в понедельник, 9 ноября

    Выполните до 5 из них: §7.1, # 3, 5, 6, 7, 15, 21; §7.2, # 3b; §7.3, # 2, 11
    Сделайте следующее: §7.1, # 10, 13bc; §7.2, № 2; §7.2, № 3c, 5a, 7, 13; § 7.3, № 12, 15
    Выполните на 5 задач меньше, чем вы выполнили из первой группы: §7.1, № 26, 27; §7.2, # 5b; §7.3, № 14, 26c

    Неделя 12 (§7.4–7.6): среда, 18 ноября

    Выполните до 5 из них: §7.3, # 5 (помните, что все гомоморфизмы колец унитальны), 7, 10, 22, 24; §7.4, № 9, 15, 18; §7.5, # 7
    Сделайте следующее: §7.3, # 29; §7.4, # 2, 13 (для части (а) обратите внимание, что φ -1 (P) = R невозможно, когда φ — унитальный гомоморфизм), 19, 39, 36 ; §7.5, №6, 9;
    §7.5, # 5
    Сделайте на 5 задач меньше, чем вы сделали из первой группы: §7.3, # 33; §7.4, # 33, 45, 46 (эти три упражнения требуют небольшой топологии), §7.4, # 40 ; §7.5, № 11

    Неделя 13 (§7.6, §8.1–8.2, §9.2): Срок сдачи: среда, 2 декабря

    Сделайте до трех из них: §7.6, # 1, 7; §8.1, # 7, 11b; §8.2, №2, 6а; приложение
    Сделайте следующее: §7.6, № 6, приложение; §8.1, # 4 (для первой половины части (а) вам не нужно, чтобы R был евклидовой областью), 6 (проблема 4 может оказаться полезной), 8
    Сделайте на 3 меньше, чем вы сделали из первая группа: §7.6, # 8, 10, 11, приложение

    Неделя 14 (§9.4–9.5): Срок сдачи: понедельник, 14.12.

    Выполните 8 задач:
    §9.4, # 6, 11
    §9.5, # 1, 4, 5
    приложение

    Экзамены

    Будет два экзамена, один промежуточный и один заключительный. Каждый из них будет имитировать условия предварительного экзамена. Каждый будет состоять из трех вопросов, взятых из предыдущих предварительных экзаменов или в том же стиле, что и задачи из предыдущих экзаменов.

    • Промежуточный экзамен: четверг, 29 октября, 18–20 часов в ECCR 110
    • Выпускной экзамен:

    Политики

    Сообщите мне, если вам нужно пропустить задание или экзамен.Я буду рад приспособиться, если ваш запрос будет разумным. Чем раньше вы предупредите меня о своих потребностях, тем легче будет их удовлетворить.

    Прочие материалы

    Группы порядка 90 не простые

    .