Прямые на плоскости и в пространстве 6 класс самостоятельная работа: Урок «Прямые на плоскости и в пространстве» 6 класс

Содержание

Самостоятельная работа по теме «Координатная прямая» 6 класс

Самостоятельная работа по теме «Координатная плоскость». 6 класс. Вариант 1

  1. На координатной плоскости, с единичным отрезком 1 см, отметьте точки

А(3;2), С(2;0), М(-1;4), Р(-4;-3), Х(0; 6)

  1. Постройте прямоугольник АСМО по координатам его вершин

А(-5;1), С(-5;4), М(-1;4), О(-1;1). Найдите его площадь и периметр.

Единичный отрезок 1 см.

  1. Постройте прямоугольник А С М О , симметричный данному относительно оси ординат.

Самостоятельная работа по теме «Координатная плоскость». 6 класс. Вариант 2

  1. На координатной плоскости, с единичным отрезком 1 см, отметьте точки

А(2;3), С(0;2), М(-4;1), Р(-3;-3), Х(5; 0)

  1. Постройте прямоугольник АОРК по координатам его вершин

А(-5;-1), О(-5;-4), Р(-1;-4), К(-1;-1). Найдите его площадь и периметр.

Единичный отрезок 1 см.

  1. Постройте прямоугольник А О Р К , симметричный данному относительно оси абсцисс.

Самостоятельная работа по теме «Координатная плоскость». 6 класс. Вариант 1

  1. На координатной плоскости, с единичным отрезком 1 см, отметьте точки

А(3;2), С(2;0), М(-1;4), Р(-4;-3), Х(0; 6)

  1. Постройте прямоугольник АСМО по координатам его вершин

А(-5;1), С(-5;4), М(-1;4), О(-1;1). Найдите его площадь и периметр.

Единичный отрезок 1 см.

  1. Постройте прямоугольник А С М О , симметричный данному относительно оси ординат.

Самостоятельная работа по теме «Координатная плоскость». 6 класс. Вариант 2

  1. На координатной плоскости, с единичным отрезком 1 см, отметьте точки

А(2;3), С(0;2), М(-4;1), Р(-3;-3), Х(5; 0)

  1. Постройте прямоугольник АОРК по координатам его вершин

А(-5;-1), О(-5;-4), Р(-1;-4), К(-1;-1). Найдите его площадь и периметр.

Единичный отрезок 1 см.

  1. Постройте прямоугольник А О Р К , симметричный данному относительно оси абсцисс.

План-конспект урока по математике (6 класс) по теме: Открытый урок математика 6 класс. Тема: «Прямые на плоскости и в пространстве. Расстояние».

Слайд 1

Прямые на плоскости и в пространстве Слепцова Наталья Григорьевна, учитель математики

Слайд 3

Цели урока: 1. Образовательные: продолжить формирование навыков построения параллельных и перпендикулярных прямых, нахождения расстояния между точками, точкой и прямой/ плоскостью; обобщить знания по основным геометрическим понятиям; продолжить работу по формированию устойчивого интереса к предмету. 2. Воспитательные: создание условий для отношений сотрудничества между учащимися, воспитание взаимоуважения; формирование чувства ответственности за порученную работу; умения слушать и слышать. 3. Развивающие: развитие творческого и алгоритмического мышления, развитие самоанализа и рефлексии.

Слайд 4

План урока: 1. Организационный момент. 2. Графический диктант. 3.Тест 4. Решение задач по готовым чертежам. 5. Решение творческих задач. 6. Самостоятельная работа. 7. Итоги урока.

Слайд 5

Графический диктант — Да — Нет

Слайд 6

Графический диктант 1.Перпендикулярные прямые – это прямые, которые пересекаются под прямым углом. Если две прямые пересекаются, то они могут быть перпендикулярными. Вариант — 1 Вариант — 2

Слайд 7

2. Параллельные прямые – это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. 2. Если прямые лежат в одной плоскости, то они параллельны. Вариант — 1 Вариант — 2 Графический диктант Да Нет

Слайд 8

Вариант — 1 Вариант — 2 Графический диктант Да Нет

Слайд 9

4. Если прямые лежат в одной плоскости, то они пересекаются. 4. Если прямые лежат в одной плоскости, то они могут быть параллельными. Вариант — 1 Вариант — 2 Графический диктант Да Нет

Слайд 10

Вариант — 1 Вариант — 2 Графический диктант Да Нет

Слайд 11

6. Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки. 6. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой. Вариант — 1 Вариант — 2 Графический диктант Да Нет

Слайд 12

7. Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние между двумя точками, взятыми на этих прямых. 7. Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние между точкой, взятой на одной из этих прямых, до другой прямой. Вариант — 1 Вариант — 2 Графический диктант Да Нет

Слайд 13

8. Расстояние от точки до плоскости – это расстояние от этой точки до любой точки плоскости. 8. Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Вариант — 1 Вариант — 2 Графический диктант Да Нет

Слайд 14

Ответы: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Вариант — 1 Вариант — 2

Слайд 16

1.Найдите величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении прямых а и в.

Слайд 17

2.Найдите величины всех углов, образовавшихся при пересечении прямых

Слайд 18

3.Через точку М проведите прямую, перпендикулярную прямой а.

Слайд 19

4.Параллельные прямые с и d пересечены прямой k . Известна величина одного из получившихся углов. Найдите величины остальных углов d

Слайд 20

5. Измерьте расстояние от точки Р до каждой прямой. К какой из данных прямых точка Р расположена ближе? . Р m n

Слайд 21

6.Чему равно расстояние между параллельными прямыми с и d? d c

Слайд 23

1. Проложите кратчайшие пути от дома до шоссе, до колодца, до опушки леса. Найдите расстояние от дома до автобусной остановки(А) (1 см на плане соответствует 200м на местности).

Слайд 24

2.Хозяйка, приведя козу на пастбище, вбила два колышка (А и В) на расстоянии 4 метра друг от друга и натянула между ними веревку с кольцом, которое свободно перемещается по ней. К кольцу привязала веревку с козой. Длина веревки составляет два метра. Нарисуйте образовавшееся пастбище. А В

Слайд 25

3.Дачный участок прямоугольной формы огорожен забором. Хозяин участка хочет вырыть колодец так, чтобы сумма расстояний от колодца до каждой стенки забора была наименьшей. Объясните, почему он может вырыть колодец в любой точке участка.

Слайд 26

1 . Найдите расстояние : от точки А до точки В от точки А до точки С от точки А до точки D от точки А до точки D1 от точки А до точки С1 2. Найдите расстояние : от точки А до прямой ВС от точки А до прямой D С от точки А до прямой А1 D1 3. Найдите расстояние : от точки А до грани ВВ1С1С от точки А до грани DD1C1C от точки А до грани А1В1С1 D1

Слайд 27

Самостоятельная работа. 1.Постройте угол АВС, равный 110 °. Внутри этого угла возьмите точку Т и проведите через эту точку прямые, параллельные сторонам угла. 2.Постройте угол КМЕ, равный 60°. На стороне угла КМ возьмите точку A и проведите через эту точку прямую перпендикулярную стороне МЕ. 1.Постройте угол МРЕ, равный 130 °. На стороне угла РЕ возьмите точку В и проведите через неё прямую, параллельные стороне РМ. 2.Постройте угол АВС, равный 80°. Внутри этого угла возьмите точку К и проведите через эту точку прямые, перпендикулярные сторонам угла. Вариант — 1 Вариант — 2

Слайд 28

Рефлексия 1) «Я активно работал, все понял, могу помочь товарищу» 2) «Я работал хорошо, быстро находил свои ошибки, сам исправлял их» 3) «Мне было трудно работать, я еще не все понял, но я хочу научиться» 4) «Мне было интересно потому, что…»

Прямые на плоскости и в пространстве. Расстояние. 6-й класс

Тип урока: урок закрепления знаний.

Цели урока:

  1. Образовательные: продолжить формирование навыков построения параллельных и перпендикулярных прямых, нахождения расстояния между точками, точкой и прямой/ плоскостью; обобщить знания по основным геометрическим понятиям; продолжить работу по формированию устойчивого интереса к предмету.
  2. Воспитательные: создание условий для отношений сотрудничества между учащимися, воспитание взаимоуважения; формирование чувства ответственности за порученную работу; умения слушать и слышать.
  3. Развивающие: развитие творческого и алгоритмического мышления, развитие самоанализа и рефлексии.

Технологические особенности

Технические условия: кабинет математики, оборудованный 1ПК.

Используемое оборудование: 1ПК, интерактивная доска, программа ГеоГебра.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Графический диктант.
  3. Решение задач по готовым чертежам.
  4. Решение творческих задач.
  5. Самостоятельная работа.
  6. Итоги урока.

Ход урока

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки построения параллельных и перпендикулярных прямых, нахождение расстояния между точками, точкой и прямой, точкой и плоскостью.

Вспомним:

  1. Какие углы образуются при пересечении прямых.
  2. Какими свойствами эти углы обладают.

Домой вам было задано повторить основные определения и геометрические понятия (параллельные и перпендикулярные прямые, расстояние между прямыми, точкой и прямой, между двумя точками).

Проверим домашнее задание с помощью графического диктанта.

1. Графический диктант:

слайды 4 – 11.

После выполнения диктанта, учащиеся меняются листочками, осуществляют взаимопроверку. Слайд 12.

2. Решение задач по готовым чертежам

.

У учащихся на партах листы с заданиями.

Приложение 1

Учащиеся выполняют задания на листах и на доске в интерактивном режиме. Слайды 14 – 19.

3. Выполнение творческих заданий

.

Слайды 20 – 22. Приложение 4

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Примеры решения творческих задач можно показать, используя программу ГеоГебра: дом, дом 2, колодец, коза:

Рис 1

Рис 2

Рис 3

Рис 4

Выполнение слайда 23 происходит в интерактивном режиме, на доске и на листах, выданных учащимся. Приложение 2

4. Самостоятельная работа. Приложение 3

5. Итог урока:

Итак, что мы сегодня на уроке делали? Какие прямые называют перпендикулярными? Какие отрезки и какие лучи называют перпендикулярными? С помощью каких чертежных инструментов строят перпендикулярные прямые?

Как найти расстояние между точками, точкой и прямой, между прямыми, точкой и плочкостью?

6. Домашнее задание:

Придумать и решить задачу с использованием изученного материала.

7. Рефлексия

.

Оценить урок с помощью смайликов.

Литература:

  1. Учебник “Математика 6”, под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещение,2008.
  2. Математика 6 класс. Поурочные планы по учебнику Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Часть 1: Волгоград: Учитель, 2007.
  3. Математика 6. Рабочая тетрадь. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2010
  4. Программа ГеоГебра.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Цели урока:

  1. Образовательные: продолжить формирование навыков построения параллельных и перпендикулярных прямых, нахождения расстояния между точками, точкой и прямой/ плоскостью; обобщить знания по основным геометрическим понятиям; продолжить работу по формированию устойчивого интереса к предмету.
  2. Воспитательные: создание условий для отношений сотрудничества между учащимися, воспитание взаимоуважения; формирование чувства ответственности за порученную работу; умения слушать и слышать.
  3. Развивающие: развитие творческого и алгоритмического мышления, развитие самоанализа и рефлексии.

Технологические особенности

Технические условия: кабинет математики, оборудованный 1ПК.

Используемое оборудование: 1ПК, интерактивная доска, программа ГеоГебра.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Графический диктант.
  3. Решение задач по готовым чертежам.
  4. Решение творческих задач.
  5. Самостоятельная работа.
  6. Итоги урока.

Ход урока

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки построения параллельных и перпендикулярных прямых, нахождение расстояния между точками, точкой и прямой, точкой и плоскостью.

Вспомним:

  1. Какие углы образуются при пересечении прямых.
  2. Какими свойствами эти углы обладают.

Домой вам было задано повторить основные определения и геометрические понятия (параллельные и перпендикулярные прямые, расстояние между прямыми, точкой и прямой, между двумя точками).

Проверим домашнее задание с помощью графического диктанта.

1. Графический диктант:

слайды 4 – 11.

После выполнения диктанта, учащиеся меняются листочками, осуществляют взаимопроверку. Слайд 12.

2. Решение задач по готовым чертежам

.

У учащихся на партах листы с заданиями. Приложение 1

Учащиеся выполняют задания на листах и на доске в интерактивном режиме. Слайды 14 – 19.

3. Выполнение творческих заданий

.

Слайды 20 – 22. Приложение 4

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Примеры решения творческих задач можно показать, используя программу ГеоГебра: дом, дом 2, колодец, коза:

Рис 1

Рис 2

Рис 3

Рис 4

Выполнение слайда 23 происходит в интерактивном режиме, на доске и на листах, выданных учащимся. Приложение 2

4. Самостоятельная работа. Приложение 3

5. Итог урока:

Итак, что мы сегодня на уроке делали? Какие прямые называют перпендикулярными? Какие отрезки и какие лучи называют перпендикулярными? С помощью каких чертежных инструментов строят перпендикулярные прямые?

Как найти расстояние между точками, точкой и прямой, между прямыми, точкой и плочкостью?

6. Домашнее задание:

Придумать и решить задачу с использованием изученного материала.

7. Рефлексия

.

Оценить урок с помощью смайликов.

Литература:

  1. Учебник “Математика 6”, под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещение,2008.
  2. Математика 6 класс. Поурочные планы по учебнику Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Часть 1: Волгоград: Учитель, 2007.
  3. Математика 6. Рабочая тетрадь. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2010
  4. Программа ГеоГебра.

Приложение 5

Презентация

«Прямые на плоскости и в пространстве»

Часть 1.

1. Прямая – это

А) Линия, которая не искривляется, имеет начало, но не имеет конца;

Б) Линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, можно бесконечно продолжать в обе стороны;

В) Линия, состоящая из нескольких отрезков не лежащих на одной прямой;

Г) Линия, которая имеет и начало и конец

2. Угол – это

А) геометрическая фигура, образованная двумя луча, выходящие из одной точки

Б) геометрическая фигура, образованная двумя луча, выходящие из разных точек

В) геометрическая фигура, образованная двумя прямыми

Г) геометрическая фигура, образованная двумя отрезками

3. Вертикальные углы – это

А) пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Б) пара углов с общей вершиной и одной общей стороной

В) пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла не являются продолжением сторон другого.

Г) несколько углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла не являются продолжением сторон другого.

4. Смежные углы – это

А) пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Б) пара углов с общей вершиной и одной общей стороной

В) пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла не являются продолжением сторон другого.

Г) несколько углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла не являются продолжением сторон другого.

5. Параллельные прямые – это

А) две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Б) две непересекающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости.

В) две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Г) две пересекающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости.

6. Скрещивающиеся прямые – это

А) две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Б) две непересекающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости.

В) две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Г) две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку, .

7. Пересекающиеся прямые – это

А) две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Б) две непересекающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости.

В) две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Г) две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку, .

8. Перпендикулярные прямые – это

А) две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Б) две непересекающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости.

В) две пересекающиеся прямые под прямым углом, лежащие в одной плоскости.

Г) две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку, .

9. Расстояние между параллельными прямыми – это

А) длина отрезка заключенного между ними

Б) кратчайшее расстояние от точки до фигуры

В) длина перпендикуляра опущенного из этой точки к прямой

Г) длина перпендикуляра заключенного между этими прямыми

10. Расстояние между двумя точками – это

А) длина отрезка заключенного между ними

Б) кратчайшее расстояние от точки до фигуры

В) длина перпендикуляра опущенного из этой точки к прямой

Г) длина перпендикуляра заключенного между этими прямыми

11. Расстояние между точкой и прямой – это

А) длина отрезка заключенного между ними

Б) кратчайшее расстояние от точки до фигуры

В) длина перпендикуляра опущенного из этой точки к прямой

Г) длина перпендикуляра заключенного между этими прямыми

12. Транспортир – это

А) инструмент для построения и измерения углов

Б) инструмент для построения и измерения прямых

В) инструмент для построения перпендикулярных и параллельных прямых

Г) инструмент для построения геометрических фигур

13. Какие углы в сумме образуют развернутый угол

А) вертикальные

Б) смежные

В) перпендикулярные

Г) скрещивающие

14. Какие углы равны между собой

А) вертикальные

Б) смежные

В) перпендикулярные

Г) скрещивающие

15. Сколько углов образуют две параллельные прямые

А) два

Б) четыре

В) один

Г) не одного

Часть 2

16. Один из углов образовавшийся при пересечении двух прямых равен 1020. Найдите остальные углы.

17. Прямые a и b параллельны. Прямая c пересекает прямые a и b под углом 570. Найдите все получившиеся углы.

18. Прямые a и b параллельны, точка К не лежит на прямых. Найдите расстояние между прямыми, если расстояние от точки К до прямой a равно 2см, а до прямой b 5 см.

19. Прямые a и b параллельны. Отметьте точку М, находящиеся на расстоянии 15 мм от прямой b и 25 мм от прямой a. Отметьте точку С равноудаленную от прямых a и b.

20. постройте четырехугольник удовлетворяющий условиям: АВ╫ СД,ВС ║АД,СД┴ АД.

План-конспект урока по математике (6 класс): Контрольная работа по математике «Прямые на плоскости и в пространстве»

  1. Постройте прямую АВ, через точку М, не лежащую на прямой АВ, проведите прямую CD, так что СD перпендикулярно АВ.

  1. Угол 1 равен 35о . Найдите углы 2, 3, 4.

  1. ABCD – прямоугольник. Докажите, что прямая АВ параллельна прямой CD.

  1. Постройте перпендикуляр к прямой АВ из точки N.

  1. Прямые а, b, с – параллельны друг другу. 
    Найдите расстояние:
    А) между прямыми а и с;
    В) от прямой а до точки К.

  1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Выберите все пары скрещивающихся прямых.
    1) АВ и CC1         3) BC и DD1

2) AA1 и BB1       4) AD и BC

  1. Доп.задание.
    Запишите, что такое:
    1) параллельные отрезки
    2)Что такое расстояние от точки до прямой?
    3) Какие виды взаимного расположения прямых в пространстве и на плоскости вы знаете?

Контрольные работы по математике 6 класс Дорофеев

Контрольные работы по математике 6 класс Дорофеев

Контрольные работы по математике 6 класс Дорофеев с ответами. Цитаты контрольных работ из учебного пособия «Математика. Контрольные работы. 6 класс / Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др. — М.: Просвещение, 2017», которое используется в комплекте с учебником «Математика. 6 класс» под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина, а также ответы на задания (4 варианта). Ответы адресованы родителям.

Цитаты из пособия указаны в учебных целях (только в 2 вариантах). При постоянном использовании контрольных работ по математике в 6 классе рекомендуем купить книгу: Кузнецова, Минаева, Рослова: Математика. 6 класс. Контрольные работы, в которой есть все 4 варианта контрольных.


 

Контрольная работа № 1. Дроби и проценты

Контрольная работа КР-1

 

Контрольная работа № 2. Десятичные дроби.
Прямые на плоскости и в пространстве

Контрольная работа КР-2

 

Контрольная работа № 3. Действия с десятичными дробями

Контрольная работа КР-3

 

Контрольная работа № 4. Отношения и проценты. Окружность

Контрольная работа КР-4

 

Контрольная работа № 5. Выражения, формулы, уравнения. Симметрия

Контрольная работа КР-5

 

Контрольная работа № 6. Целые числа. Множества. Комбинаторика

Контрольная работа КР-6

 

Контрольная работа № 7. Рациональные числа

Контрольная работа КР-7

 

Контрольная работа № 8. Итоговая за 6 класс

Контрольная работа КР-8


Контрольные работы по математике 6 класс с решениями и ответами по УМК Дорофеев. Цитаты контрольных работ из учебного пособия «Математика. Контрольные работы. 6 класс / Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др. — М.: Просвещение, 2017», которое используется в комплекте с учебником «Математика. 6 класс» под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина.

Контрольная работа по математике в 6 классе на тему «Прямые на плоскости и в пространстве»

К/р № 2       Вариант 1       (  «3» —  3-4 б.         «4» — 5-6 б.             «5» — 7-8 б.            «5» и «5» — 9 б.)

 

1.       Выберите верные утверждения:                                                                             (1 б.)

 

1.      Смежные углы равны.

2.      На рисунке угол 1 и угол 2 вертикальные.

3.      Вертикальные углы равны.

4.      На рисунке a || b.

                                                         

2.      Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 57°.

 Найдите остальные углы.                                                                                          (1 б.)                                                                

3.      Прямые  a и b параллельны, угол 1 = 78°. Укажите величину угла 2.                  (1 б.)

4.      а) Постройте прямую 𝑛, перпендикулярную прямой 𝑙 в точке 𝐵. б) Проведите через точку 𝐶 прямую 𝑚, параллельную прямой 𝑙.                                                           (1б.)

5.      Закончите предложение.

Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они …                            (1б.)

6.      Прямые 𝑏 и 𝑐 параллельны.

а) Отметьте какую-нибудь точку 𝑁 , находящуюся на расстоянии 20 мм от прямой 𝑏 и на расстоянии 10 мм от прямой 𝑐.                                                                     (2б.)  

7.      Сумма трёх углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 240°. Найдите величину каждого угла.                                                                                            (2б.)                               

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         

  К/р № 2      Вариант 2       (  «3» —  3-4 б.         «4» — 5-6 б.             «5» — 7-8 б.          «5» и «5» — 9 б.)

 

1.       Выберите верные утверждения:                                                                             (1б.)                      

                                                                              

1.      Сумма вертикальных углов равна 180°.

2.      На рисунке угол 1 и угол 2 смежные.

3.      Сумма смежных углов равна 180°.

 

4.      На рисунке a  b

 

 

2.      Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 75°.

            Найдите остальные углы.                                                                                           (1б.)                                                                                                                                                       

      .                                                                                              

3.      Прямые  a и b параллельны, угол 1 = 57°. Укажите величину угла 2.                  (1 б.)

4.      а) Постройте прямую 𝑛, перпендикулярную прямой 𝑐 в точке 𝐿. б) Проведите через точку 𝐵 прямую 𝑚, параллельную прямой 𝑐.                                                          (1б.)

5.      Закончите предложение.

Если две прямые, лежащие в одной плоскости, перпендикулярны одной и той же прямой,  то они …                                                                                                      (1б.)

6.      Прямые 𝑏 и 𝑐 параллельны.

а) Отметьте какую-нибудь точку 𝑁 , находящуюся на расстоянии 5 мм от прямой 𝑐 и на расстоянии 25 мм от прямой 𝑏.                                                                        (2б.)

7.       Сумма трёх углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 320°. Найдите величину каждого угла.                                                                                    (2б.)

                                                                                                                           


 

линий и плоскостей в космосе Эссе

ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

PLANE — это такая поверхность, что если любые две точки на ней соединяются прямой линией, линия полностью лежит на поверхности.

ПОСТУЛАТ 1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно пройти одну и только одну плоскость.

Плоскость определяется любым из следующих условий:

1. Три неколлинеарных точки;

2. Линия и точка не на линии;

3.Две пересекающиеся линии; или

4. Две параллельные линии.

ПОСТУЛАТ 2. Если две плоскости встречаются, они имеют как минимум две общие точки.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ — линии, которые лежат в одной плоскости и не могут пересекаться, как бы далеко они ни производились.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ — плоскости, которые не пересекаются, как бы далеко они ни производились.
НОГА ЛИНИИ — точка пересечения прямой и плоскости или линии и второй линии.
NORMAL TO PLANE — линия, перпендикулярная плоскости.

Проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра, позволяющего упасть из точки на плоскость.
Проекция прямой на плоскость — это геометрическое место проекции всех ее точек.

ТЕОРЕМЫ:

1. Если две плоскости пересекаются, их пересечение представляет собой линию.

2. Через одну прямую можно пройти бесконечное количество плоскостей.

3. Пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью являются параллельными линиями.

4.Если две прямые параллельны, плоскость, содержащая одну и только одну прямую, параллельна другой прямой.

5. Если прямая линия параллельна плоскости, а другая плоскость, содержащая эту линию, пересекает данную плоскость, пересечение параллельно данной прямой.

6. Если параллельные плоскости пересекают две прямые, соответствующие точки пересечения пропорциональны.

7. Две линии, параллельные одной линии, параллельны друг другу.

8. Если два угла, не лежащих в одной плоскости, имеют соответствующие стороны, параллельные друг другу и продолжающиеся в одном направлении от их вершин, углы равны, а плоскости равны…

Продолжить чтение

Присоединяйтесь к StudyMode, чтобы прочитать полный документ

.

Уравнение прямой в различных формах — Учебный материал для IIT JEE

 

Прямые линии составляют важную тему трехмерной геометрии.Тема немного сложная, но, немного поработав, можно получить несколько прямых вопросов. Прямая линия может быть представлена ​​в разных формах, и вопросы часто задаются на экзамене по этим формам. Сначала мы обсудим некоторые формы представления прямой линии, а затем перейдем к некоторым связанным вопросам.


Что такое прямая линия?

В трехмерной геометрии прямая линия определяется как пересечение двух плоскостей.Таким образом, общее уравнение прямой линии сформулировано как уравнения обеих плоскостей вместе, т.е. общее уравнение прямой линии имеет вид 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 …… (1)

Итак, уравнение (1) представляет собой прямую, полученную пересечением двух плоскостей.

Посмотреть видео по прямым


Уравнение прямой в разных формах

Симметричная форма:

  • Уравнение прямой, проходящей через точку P (x 1 , y 1 , z 1 ), направляющие косинусы которого равны l, m, n равно

(x – x 1 ) / l = (y — y 1 ) / m = (z — z 1 ) / n.

  • Уравнение прямой, проходящей через две точки P (x 1 , y 1 , z 1 ) и Q (x 2 , y 2 , z 2 ), равно

x – x 1 / x 2 — x 1 = y – y 1 / y 2 — y 1 = z — y 1 / z 2 — z 1

  • Формула сечения: Если P (x, y) делит линию, соединяющую A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) в соотношении m: n, то ,

x = (mx 2 + nx 1 ) / (m + n) и y = (my 2 + ny 1 ) / (m + n)

  • Форма пересечения: Если прямая линия пересекает, скажем, «a» и «b» по осям x и y соответственно, тогда уравнение прямой будет иметь вид
  • Общие координаты точки на линии задаются выражением (x 1 + lr, y 1 + mr, z 1 + nr), где r — расстояние между точкой (x 1 , y 1 , z 1 ) и точку, координаты которой необходимо записать.

Иллюстрация: Найдите уравнения прямых, проходящих через точку (a, b, c), которые равны

(а) параллельно оси z (б) перпендикулярно оси z

Решение: (i) Уравнение прямых линий, параллельных оси z, имеет

α = 90 0 , β = 90 0 , γ = 0 0

=> l = 0, m = 0, n = 1.

Следовательно, уравнение прямой, параллельной оси z и проходящей через (a, b, c), равно

(х — а) / 0 = (у — б) / 0 = (г — в) / 1

(ii) Уравнение прямой, перпендикулярной оси z

Предположим, что он составляет угол α и β с осями x и y соответственно.

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной оси z и проходящей через (a, b, c), равно

(x – a) / cos α = (y — b) / sin α = (z — c) / 0

=> (x – a) / l = (y — b) / m = (z — c) / 0.

Иллюстрация: Найдите координаты точки, в которой линия, соединяющая точки (2, –3, 1) и (3, –4, –5), пересекает плоскость 2x + y + z = 7.

Решение: Соотношения направлений линии составляют 3 — 2, –4 — (–3), –5 — 1 i.е. 1, –1, –6

Следовательно, уравнение линии, соединяющей данные точки, равно

(x – 2) / 1 = (y + 3) / –1 = (z — 1) / — 6 = r (скажем)

Координаты любой точки на этой прямой: (r + 2, –r — 3, –6r + 1).

Если эта точка лежит на данной плоскости 2x + y + z = 7, то

2 (r + 2) + (–r — 3) + (–6r + 1) = 7 => r = –1

Координаты точки: (–1 + 2, — (- 1) — 3, –6 (–1) + 1), то есть (1, –2, 7).

Примечание: Если уравнение прямой задано в общем виде, его можно преобразовать в симметричный. Метод описан на следующей иллюстрации.

Иллюстрация: Найдите в симметричной форме уравнения прямой

3x + 2y — z — 4 = 0 = 4x + y — 2z + 3.

Решение: Уравнения прямой в общем виде:

3x + 2y — z — 4 = 0, 4x + y — 2z + 3 = 0 …… (1)

Пусть l, m, n — направляющие косинусы прямой.Поскольку линия является общей для обеих плоскостей, она перпендикулярна нормали к обеим плоскостям.

Следовательно, 3l + 2m — n = 0, 4l + m — 2n = 0

Решая их, получаем,

L / –4 + 1 = m – 4 + 6 = n / 3–8

т.е. 1 / –3 = m / 2 = n / –5 = 1 / √ (–3) 2 + 2 2 + (–5) 2 = 1 / √38

Итак, направляющие косинусы линии равны –3 / √38, 2 / √38, –5 / √38.

Теперь, чтобы найти координаты точки на прямой: давайте найдем точку, в которой она пересекает плоскость z = 0.Положив z = 0 в уравнение (1), получим

3х + 2у — 4 = 0, 4х + у + 3 = 0

Решая их, получаем x = –2, y = 5

Итак, одна точка линии равна (–2, 5, 0).

∴ Уравнение прямой в симметричной форме

Иллюстрация: Если P = (1, 0), Q = (-1, 0) и R = (2, 0) — три заданные точки, то геометрическое место точек удовлетворяет соотношению SQ 2 + SR 2 = 2SP 2 , это….? (1988)

Решение: Пусть координата S будет (x, y).

Тогда согласно заданному условию SQ 2 + SR 2 = 2SP 2

Так как координаты заданы, подставляем их в условие и получаем

(x + 1) 2 + y 2 + (x-2) 2 + y 2 = 2 [(x-1) 2 + y 2 ]

Это дает, x 2 + 2x + 1 + y 2 + x 2 — 4x + 4 + y 2 = 2 (x 2 + 1-2x + y 2 )

Это дает 2x + 3 = 0.

Следовательно, x = -3/2.

Следовательно, линия, удовлетворяющая данному условию, является прямой линией, параллельной оси y.

Иллюстрация: Пусть a и b ненулевые действительные числа, тогда что означает уравнение

(ax 2 + by 2 + c) (x 2 — 5xy + 6y 2 ) представляют? (2008 г.)

Решение: пусть a и b будут двумя ненулевыми действительными числами.

Следовательно, уравнение (ax 2 + by 2 + c) (x 2 — 5xy + 6y 2 ) подразумевает, что либо

(x 2 — 5xy + 6y 2 ) = 0

Это дает (x-2y) (x-3y) = 0

Или x = 2y и x = 3y

Это две прямые, проходящие через начало координат или

.

(ax 2 + by 2 + c) = 0, когда c = 0 и a и b имеют одинаковые знаки, тогда

(ax 2 + by 2 + c) = 0 и x = 0 и y = 0

Фактически это точка, указанная в начале координат.

Когда a = b и c имеет знак, противоположный знаку a, (ax 2 + на 2 + c) представляет собой круг. Следовательно, данное уравнение может представлять две прямые и окружность.

askIITians — это онлайн-портал, который действует как платформа для соискателей JEE, где они могут задавать любые вопросы в 3D, такие как уравнение оси Y в 3D, демонстрация общей формы прямой линии или уравнения оси Z в 3D.


Связанные ресурсы

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по 3D Геометрия , включая учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д.Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .


Особенности курса

  • 731 Видео-лекции
  • Примечания к редакции
  • Документы за предыдущий год
  • Интеллектуальная карта
  • Планировщик исследования
  • Решения NCERT
  • Обсуждение форума
  • Тестовая бумага с видео-решением

.

Уравнение прямой

Линия — это бесконечная линия, которая образует кратчайший путь между любой из двух своих точек.

Уравнение прямой на плоскости

Общий вид линейного уравнения

Любое уравнение прямой на плоскости можно записать в общем виде

А х + В у + С = 0

, где A и B не равны нулю.

Slope intercept form of a line equation

Форма пересечения линии уклона

Общее уравнение прямой при B ≠ 0 можно привести к следующему виду

у = к х + Ь

, где k — наклон линии , а b — точка пересечения с осью Y . Наклон прямой равен тангенсу угла между этой линией и положительным направлением оси x. Координата y — это место, где линия пересекает ось y.

k = tg φ

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки на плоскости

Если линия проходит через две точки A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ), то есть x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2 , тогда уравнение линии можно найти по следующей формуле

х — х 1 = г — г 1
х 2 — х 1 л 2 — л 1
Parametric equations of a line on plane

Параметрические уравнения прямой на плоскости

Параметрическое уравнение линии можно записать как

Parametric equations of a line on plane x = l t + x 0
y = m t + y 0

, где N (x 0 , y 0 ) — координаты точки, лежащей на прямой, a = {l, m} — координаты вектора направления линии.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если вам известны координаты точки A (x 0 , y 0 ) Если вам известны координаты точки n = {l; m}, то уравнение прямой можно записать в канонической форме с помощью следующей формулы

Пример 1. Найдите уравнение прямой, проходящей через две точки A (1, 7) и B (2, 3).

Решение. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки

х — 12 — 1 = у — 73 — 7

Из этого уравнения выразим y через x

х — 11 = у — 7-4

Найдите форму пересечения кривой для линейного уравнения.

Умножьте уравнения на -4.

у — 7 = -4 (х — 1)

г = -4x + 11

Найдите параметрические уравнения этой строки

Мы используем MN как вектор направления линии.

МН = {2 — 1; 3–7} = {1; -4}

Используем координаты точки М в параметрических уравнениях линии

х = т + 1у = -4т + 7

Пример 2. Найдите уравнение прямой, проходящей через две точки M (1, 3) и N (2, 3).

Решение. Невозможно использовать Уравнение прямой, проходящей через две разные точки, так как M y — N y = 0.

Найдите параметрические уравнения этой прямой. Мы используем MN как вектор направления линии.

МН = {2 — 1; 3–3} = {1; 0}

Используем координаты точки М в параметрических уравнениях линии

х = т + 1у = 3

Уравнение линии в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки в пространстве

Если линия проходит через две точки A (x 1 , y 1 , z 1 ) и B (x 2 , y 2 , z 2 ), то есть x 1 ≠ x 2 , y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2 , тогда уравнение линии может быть найдено по следующей формуле

х — х 1 = г — г 1 = z — z 1
х 2 — х 1 л 2 — л 1 z 2 — z 1

Параметрические уравнения линии в пространстве

Параметрическое уравнение линии можно записать как

Parametric equations of a line on plane x = l t + x 0
y = m t + y 0
г = п т + г 0

где (x 0 , y 0 , z 0 ) — координаты точки, лежащей на линии, {l; м; n} — координаты вектора направления линии.

Каноническое уравнение линии в пространстве

Если известны координаты точки A (x 0 , y 0 , z 0 ), лежащей на прямой, и вектор направления этой прямой n = {l; м; n}, то уравнение прямой можно записать в канонической форме с помощью следующей формулы.

х — х 0 = г — г 0 = z — z 0
л кв.м n

Прямая как пересечение двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то уравнение прямой может быть найдено как решение следующей системы уравнений

Parametric equations of a line on plane A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

при условии отсутствия равенства

А 1 = В 1 = К 1 .
А 2 В 2 С 2
.

Очки, линии и плоскости урока для четвертого класса

Я даю ученикам возможность попрактиковаться в этом навыке, позволяя им работать вместе. Я считаю, что совместное обучение жизненно важно для успеха студентов. Студенты учатся друг у друга, обосновывая свои ответы и критикуя рассуждения других.

Для этого задания я разделил студентов на пары. Я даю каждой группе Точки, Линии и Плоскости в Таблице действий Группы. Студентам разрешается использовать свои учебники по математике для помощи в выполнении задания.Учащиеся должны работать вместе, чтобы определять точки, линии и плоскости. Они должны нарисовать точки линий и плоскости (MP4). Они должны общаться именно с другими членами своей группы. Они должны использовать четкие определения и терминологию, поскольку они подробно обсуждают эту проблему .

Учащиеся приходят к концептуальному пониманию через вопросы своих одноклассников, а также меня. Студенты общаются друг с другом и должны согласовать ответ на задачу.Поскольку учащиеся должны согласовать ответ, это потребует обсуждения, критики и обоснования ответов обоими учащимися. Из видео вы можете услышать, как студенты обсуждают проблему и согласовывают ответ на нее. Когда пары обсуждают проблему, они должны быть точными в своем общении в своих группах, используя соответствующую математическую терминологию для этого навыка . Когда я хожу, я слушаю, как студенты используют «разговор», который приведет к ответу.Я призываю студентов нести ответственность за собственное обучение.

Во время работы я отслеживаю и оцениваю их понимание с помощью вопросов.

1. Каковы характеристики этой фигуры?

2. Есть ли конечная точка? Есть ли стрелки на обоих концах?

3. Пересекаются ли они? При встрече они образуют углы?

Прогуливаясь по классу, я слышал, как студенты общаются друг с другом по поводу задания.Из видео вы можете услышать классную болтовню и постоянную дискуссию среди учеников. До появления Common Core я думал, что тихий класс, работающий по книге, — это идеальный урок. Теперь меня удивляют некоторые разговоры, происходящие в классе между студентами.

Любые группы, которые завершают задание раньше, могут пойти к компьютеру, чтобы попрактиковаться в этом навыке на следующем сайте, пока мы не будем готовы к совместному использованию всей группы.

Мои наблюдения:

Когда я ходил вокруг, чтобы контролировать и слушать, я заметил, что большинство студентов хорошо справились с этим уроком.Я чувствую, что большая часть этого связана с ресурсами, которые им было разрешено использовать. Этот урок был призван познакомить студентов с точками, линиями и плоскостями как основой для будущих уроков. Если ученики начнут рисовать фигуры, это поможет им запомнить и понять концепцию. С учетом сказанного, одна из областей, которую нужно улучшить нескольким ученикам, — это рисование прямых линий для фигур. Это будет рассмотрено по мере продолжения работы с линиями.

.