Отрицательные и положительные числа 6 класс мордкович зубарева мордкович: ГДЗ по математике 6 класс Зубарева, Мордкович

Содержание

ГДЗ по математике за 6 класс: Зубарева, Мордкович. Решение задач.

Глава I. Положительные и отрицательные числа. Координаты

§1. Повороти центральная симметрия:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Контрольные задания

§2. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая:

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 Контрольные задания

§3. Модуль числа. Противоположные числа:

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 Контрольные вопросы и значения

§4. Сравнение чисел:

107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 Контрольные вопросы и значения

§5. Параллельность прямых:

146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 Контрольные вопросы и значения

§6. Числовые выражения, содержащие знаки +, -:

170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 Контрольные задания

§7. Алгебраическая сумма и ее свойства:

221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 Контрольные вопросы и значения

§8. Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел:

258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 Контрольные вопросы и значения

§9. Расстояние между точками координатной прямой:

285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 Контрольные вопросы и значения

§10. Осевая симметрия:

306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 Контрольные задания

§11. Числовые промежутки:

332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 Контрольные задания

§12. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел:

364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 Контрольные вопросы и значения

§13. Координаты:

402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 Контрольные задания

§14. Координатная плоскость:

414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 Контрольные задания

§15. Умножение и деление обыкновенных дробей:

444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 Контрольные задания

§16. Правило умножения для комбинаторных задач:

492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 Контрольные задания

§17. Раскрытие скобок:

518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 Контрольные вопросы и значения

§18. Упрощение выражений:

545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 Контрольные вопросы и значения

§19. Решение уравнений:

576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 Контрольные вопросы и значения

§20. Решение задач на составление уравнений:

593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 Контрольные задания

§21. Две основные задачи на дроби:

612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 Контрольные задания

§22. Окружность. Длина окружности:

648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 Контрольные задания

§23. Круг. Площадь круга:

675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 Контрольные задания

§24. Шар. Сфера:

690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 Контрольные вопросы и значения

§25. Делители и кратные:

703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 Контрольные вопросы и значения

§26. Делимость произведения:

740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 Контрольные задания

§27. Делимость суммы и разности чисел:

768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 Контрольные вопросы и значения

§28. Признаки делимости на 2, 5, 10,4 и 25:

808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 Контрольные задания

§29. Признаки делимости на 3 и 9:

850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 Контрольные задания

§30. Простые числа. Разложение числа на простые множители:

879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 Контрольные вопросы и значения

§31. Наибольший общий делитель:

929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 Контрольные задания

§32. Взаимно простые числа. Признак делимости на произведение. Наименьшее общее кратное:

948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 Контрольные вопросы и значения

§33. Отношение двух чисел:

979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 Контрольные вопросы и значения

§34. Диаграммы:

1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 Контрольные задания

§37. Разные задачи:

1030 1031 1032 1033 1034 1035 1036 1037 1038 1039 1040 1041 1042 1043 1044 1045 1046 1047 1048 1049 1050 1051 Контрольные вопросы и значения

§36. Решение задач с помощью пропорций:

1052 1053 1054 1055 1056 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072 Контрольные вопросы и значения

§37. Разные задачи:

1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091 1092 1093 1094 1095

§38. Первое знакомство с понятием «вероятность»:

1096 1097 1098 1099 1100 1101 1102

§39. Первое знакомство с подсчетом вероятности:

1103 1104 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112 1113 1114

Домашние контрольные работы:

Работа №1 Работа №2 Работа №3 Работа №4 Работа №5 Работа №6 Работа №7 Работа №8

ГДЗ по математике 6 класс рабочая тетрадь Ерина к учебнику Зубарева

Авторы:

Ерина

Издательство: Экзамен

Тип книги: Рабочая тетрадь

ГДЗ готовые домашние задания к рабочей тетради по математике 6 класс Ерина часть 1, 2 к учебнику Зубарева ФГОС от Путина. Решебник (ответы на вопросы и задания) учебников и рабочих тетрадей необходим для проверки правильности домашних заданий без скачивания онлайн

Часть 1

§ 1. Поворот и центральная симметрия

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

§ 2. Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

§ 3. Модуль числа. Противоположные числа

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

§ 4. Сравнение чисел

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 5. Параллельность прямых

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 6. Числовые выражения, содержащие знаки +, —

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 7. Алгебраическая сумма и ее свойства

1 2 3 4 5

§ 8. Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

§ 9. Расстояние между точками координатной прямой

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 10.

Осевая симметрия

1 2 3 4 5 6 7

§ 11. Числовые промежутки

1 2 3

§ 12. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

§ 13. Координаты

1 2 3 4 5 6

§ 14. Координатная плоскость

1 2 3 4 5



§ 15. Умножение и деление обыкновенных дробей

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

§ 16. Правило умножения для комбинированных задач

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§ 17. Раскрытие скобок

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 18. Упрощение выражений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

§ 19. Решение уравнений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§ 20. Решение задач на составление уравнений

1 2 3 4 5 6

§ 21. Две основные задачи на дроби

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

§ 22. Окружность. Длина окружности

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Часть 2

§ 23.

Круг. Площадь круга

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§ 24. Шар. Сфера

1 2 3 4 5 6 7

§ 25. Делители и кратные

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

§ 26. Делимость произведения

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 27. Делимость суммы и разности чисел

1 2 3 4

§ 28. Признаки делимости на 2, 5, 10, 4 и 25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

§ 29. Признаки делимости на 3 и на 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

§ 30. Простые числа. Разложение числа на простые множители

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

§ 31. Наибольший общий делитель

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§ 32. Взаимно простые числа. Признак делимости на произведение. Наименьшее общее кратное

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

§ 33. Отношение двух чисел

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

§ 34.

Диаграммы

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 35. Пропорциональность величин

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

§ 36. Решение задач с помощью пропорций

1 2 3

§ 37. Разные задачи

1 2 3 4 5 6 7

§ 38. Первое знакомство с понятием вероятность

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 39. Первое знакомство с подсчетом вероятности

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Страница не найдена

Новости

25 мар

Школьникам Московской области больше не надо приносить медсправки в учебные заведения после выздоровления. Школа получит эту информацию напрямую — благодаря интеграции системы ЕМИАС и Школьного портала.

25 мар

Пресс-служба Роспотребнадзора сообщила, что ведомство отменило ряд противоэпидемических мер в общеобразовательных учреждениях.

25 мар

Президент и академик Российской академии образования (РАО) Ольга Васильева прокомментировала идею каждый день поднимать в школах флаг России.

23 мар

В Калининграде родители школьников напишут ЕГЭ по базовой математике 25 марта.

22 мар

Единый день сдачи ЕГЭ для родителей состоится 23 марта в Московской области. Он позволит проверить знания по математике.

22 мар

Глава Адыгеи Мурат Кумпилов провёл рабочее совещание, участники которого обсудили реализацию программы капитального ремонта школ.

22 мар

Рособрнадзор в связи с рисками распространения коронавируса перенёс проведение всероссийских проверочных работ в школах с весны на осень.

Тема «Положительные и отрицательные числа»

Тема «Положительные и отрицательные числа» Класс: 6 Программа: программа основного общего образования   по математике       Учебник: И. И. Зубарева, А.Г. Мордкович, «Математика» Цель урока:  Образовательная:  обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по темам «Координатная прямая», «Противоположные числа», «Модуль числа». развивающая:  способствовать   формированию   умений:   обобщать,   сравнивать,   выделять   главное,   развивать   математический   кругозор, мышление, внимание и память. воспитательная: содействовать воспитанию интереса к математике. Предметные результаты:   развивать вычислительные навыки,  формировать умение применять изученное понятия для решения задач практического характера.  Метапредметные УУД:  Познавательные – применять методы информационного поиска, декодирование, знаково­символическое моделирование;  Регулятивные  ­   определять   цель,   проблему   в   деятельности:   учебной   и   жизненно­практической;  оценивать   результаты   работы, анализировать собственную работу.  Коммуникативные ­ планировать учебное сотрудничество, грамотно выражать свои мысли и выслушивать мнение команды, не  перебивая, принимать коллективное решение;   Личностные УУД:  развивать чувство патриотизма, совершенствовать имеющиеся знания, умения, оценивать собственную деятельность: свои достижения, инициативу,  причины неудач. Тип урока: урок обобщения и систематизации. Применяемые методы,  педтехнологии: дидактическая игра. Формы организации познавательной деятельности обучающихся:  фронтальная, работа в парах, индивидуальная. Используемые средства обучения:  интерактивная доска, презентация, плакаты, раздаточный материал для работы в группах, учебник для 6  класса по математике  А.Г. Мордковича. Используемые Интернет­ресурсы: 1. Стребкова Н.С. ­ http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/deystviya­s­desyatichnymi­drobyami­ 2. Ранько Е.А. Шаблон презентации. [www документ] — URL: http://pedsovet.su/ Этапы урока 1. Организа­ция класса (2 мин) 2. Постановка  целей, задач  урока,  мотивационная  деятельность  учащихся (5 мин) Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учащихся УУД Создать  благоприятный  психологичес­ кий настрой на  работу Обеспечение  мотивации учения  детьми, принятие  ими целей урока. Приветствие, проверка подготовленности к  учебному занятию, организация внимания  детей. Включаются в деловой ритм урока. Делают записи в тетрадях ­Здравствуйте ребята. Сегодня на урок к нам  пришли гости, поприветствуйте их. Откройте  тетради, запишите число   Вместе с учениками определяет тему и цель  урока. ­Какую тему мы с вами закончили изучать? А с   какими   новыми   понятиями   мы познакомились в этой теме?  ­ А что нового научились делать?  ­ Мы написали вчера к.р. Сделали работу над ошибками, проанализировали их. Но перейти сразу к новой теме нам рано. Что мы обычно Отвечают на вопросы учителя,  взаимодействуют с учителем во  время опроса, осуществляемого во  фронтальном режиме. Формулируют  учебную проблему и тему урока. ­ называют все новые понятия темы ­ называют все новые действия ­повторяем,   закрепляем   знания   и обобщаем материал Л: самоопределение. Р: целеполагание.  К: планирование учебного  сотрудничества с учителем  и сверстниками. К: постановка вопросов,  планирование учебного  сотрудничества с учителем  и сверстником,  П: логический анализ  объектов с целью  выделения признаков,  самостоятельное  выделение­ формулирование  познавательной цели. Р: выделение и осознание делаем, когда тема подошла к концу?   ­  Итак,   какая   тема   будет   сегодняшнего урока?  ­ Какую цель мы поставим себе сегодня?  ­А как нам достичь поставленной цели?  (Слайд 2) Напоминает, как заполнять листы  самооценки. 3.  Актуализация. (8 мин) Актуализация  опорных знаний и  способов действий. Повторение теории по теме. (Слайд 3 ) ­Давайте проверим свои работы.  Просит прочитать ответы разных учеников. ­ Оцените себя, заполните листы самооценки  повторить,   обобщить ­ «Положительные и отрицательные  числа» ­   и систематизировать материала по этим темам ­ повторим теорию, решать  упражнения Отвечают письменно на вопросы. 4.Обобщение и  систематизация знаний.  (10 мин) Выявление  качества и уровня  усвоения знаний и  способов действий, а также выявление  недостатков в  знаниях и способах действий,  установление  причин  выявленных  Организовывает работу в парах. Задаёт  вопросы. Отвечают на вопросы учителя,  взаимодействуют с учителем во  время опроса, осуществляемого во  фронтальном режиме.  Выдвигают  предположения. ­ Итак, мы отлично справились с  теоретическим заданием. Поэтому готовы  отправиться в путешествие в историю  математики. На карточках  у вас задание,  расшифровав которые вы узнаете, где  Выполняют задание в парах,   кооперируют усилия по решению  учебной задачи, осуществляют  взаимоконтроль процесса выполнения задания, распределяют роли. По  того, что уже пройдено.  целеполагание. Л: самоопределение. П: логический анализ  объектов с целью  выделения признаков Р: осознание того, что уже  пройдено. Л: совершенствование  имеющихся знаний, умений; умение оценить  собственную деятельность К: инициативное  сотрудничество в поиске и  сборе информации, умение  выслушивать мнение членов команды, не перебивая,  принятие коллективного  решения, управление  поведением партнера,  оценка действий партнера. П: логический анализ  объектов с целью выделения признаков. Применение метод   информационного поиска,  декодирование. доказательство. Р: планирование,  прогнозирование. Л: совершенствование  имеющихся знаний, умений; умение оценить  собственную деятельность:  свои достижения,  инициативу, причины  неудач. недостатков. впервые появились отрицательные числа.  (Слайд 5) окончании выполнения задания  наглядно представляют результаты  работы пары. ­   Если   вы   верно   выполнили,   то   получили название страны – Китай.  ­ Заполняем лист самооценки. Заполняют лист самооценки.   числа   Отрицательные ­   появились значительно   позже   натуральных   чисел   и обыкновенных   дробей.   Первые   сведения   об отрицательных   числах   встречаются   у китайских   математиков   во   II   в.   до   н.   э. Положительные числа тогда толковались как имущество,   а   отрицательные   –   как   долг, недостача. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательных чисел не знали. Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относились  к  ним  с  некоторым   недоверием. (Слайд 5­6) ­ Ребята, а где мы встречаем положительные и отрицательные числа в нашей жизни?   (Слайд 8­14) ­  Выполни   задание   №3   и   расшифруйте фамилию   математика,   который   ввел   в математический   язык   символы   «+»   и   «­». (Слайд 15) ­Термометр,   полюса   батарейки   ­ положительный   и   отрицательный заряды, и отрицательные герои сказок, глубина и высота над уровнем моря… Выполняют задание в парах. положительные ­   Видман.   ­   Верный   ответ     Чешский математик   Ян   Видман   ввёл     современные знаки   «+»   и   «–»     в   последнее   десятилетие XVв.   Заполните лист самооценки. ­   Ребята,   а   теперь   немного   подвигаемся. Встаньте   ровно   в   проход.   Если   я   называю отрицательное   число   –   вы   садитесь, положительное  ­ встаете. ­3; 5; ­1,5; 8; 1/3; ¼; … Заполняют лист самооценки. Учащиеся сменили вид деятельности  и готовы продолжать работу. ­   Последний   этап   –   это   самостоятельная работа.  Выполняем в тетрадях. (Слайд 16) Выполняют самостоятельную работу  по вариантам. ­   Обменялись   тетрадями.     Выполняем взаимопроверку.   Ставим   «+»   если   верно решено,   или   ничего   не   ставим.   Сосчитайте количество   «+».   Поставьте   оценку   друг другу.   Заполните   листы   самооценки. Поставьте итоговую оценку. Поднимите руку те, кто получил оценку 5, 4, 3? Подводятся итоги работы на уроке. ­ Какую цель мы ставили в начале урока? ­Достигли мы этой цели? ­ Поставьте себе  итоговую оценку в листах  самооценки. Поднимите руку, кто получил  оценку 5? 4? 3?  Выполняют взаимопроверку.  Выставляют оценку партнеру. Заполняют лист самооценки. Отвечают на вопросы. Обучающиеся называют цели урока,  умения, которые получили на уроке. Р: оценка­осознание уровня и качества усвоения;  контроль Подсчитывают итоговую оценку, как  среднее арифметическое, выставляют её в листах самооценки. Р: контроль, коррекция,  выделение и осознание  того, что уже усвоено и что 5.  Физкультминут ка (2 мин) Сменить  деятельность,  обеспечить  эмоциональную  разгрузку  учащихся 6. Обобщение и систематизация знаний.  (продолжение) (10 мин) 7. Подведение  итогов (2 мин) Дать качественную оценку работы  класса 8. Рефлексия (5 мин) Инициировать  рефлексию детей  по поводу ­ Подведём итог: что вам помогло сегодня на  уроке? Что мешало? Какие темы до сих пор  вызывают затруднения?  ­Теперь вы готовы продолжить изучать тему  «Положительные и отрицательные числа».   Как вы думаете, что мы будем изучать на  следующих уроках?  Называет задания для домашней работы.  еще подлежит усвоению,  осознание качества и  уровня усвоения; оценивать результаты работы. Л: самоопределение. К: умение с достаточной  полнотой и точностью  выражать свои мысли. ­Арифметические действия с  положительными и отрицательными  числами психоэмоцио­ нального  состояния,  мотивации их  собственной   деятельности и  взаимодействия с  учителем и  другими детьми в  классе. Обеспечение  понимания детьми  цели, содержания и способов  выполнения  домашнего  задания. 9. Информа­ ция о  домашнем  задании (1 мин)

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. 6-й класс

Пояснительная записка

Особое место в жизни ребенка занимает игровая деятельность. Суметь сделать урок интересным, насыщенным – дело не простое! Помимо традиционных форм обучения я применяю и нетрадиционные. Одной из эффективных форм по закреплению, обобщению изученной темы служит – игра. Во время игры появляется возможность раскрыться порой ещё не реализованным способностям и задаткам личности. Любой ребёнок, независимо от его способностей и талантов, пережив ситуацию успеха во время игры, может повысить свою самооценку, самоутвердиться и самореализоваться в ней. Игра объединяет участников для совместного группового сотрудничества, речевого и предметного взаимодействия, направленного на решение совместной задачи.

По определению Г.К.Селевко, «игра — это вид деятельности в условиях ситуаций, направленных на воссоздание и усвоение общественного опыта, в котором складывается и совершенствуется самоуправление поведением».

Игровая деятельность выполняет следующие функции:

  • Развлекательная;
  • Коммуникативная;
  • Самореализация в игре;
  • Игротерапевтическая;
  • Диагностическая;
  • Функция коррекции;
  • Функция межнациональной коммуникации;
  • Социализации.

Игра, являясь развлечением, способна перерасти в обучение. Во время игры дети приобретают самые разнообразные знания о предметах и явлениях окружающего мира. Во время игры развивается детская наблюдательность и способность определять свойства предметов, учатся выявлять их существенные признаки. Игра оказывает большое влияние на умственное развитие детей, совершенствуя их мышление, внимание, творческое воображение. На уроках математики игра приобретает особое значение. Во время игры активное участие может принимать любой ученик, с любым уровнем знаний. Победителями игры становятся не только хорошо успевающие учащиеся. Много терпения и настойчивости проявляют в игре те ученики, у которых этого не хватает для систематического приготовления уроков. К.Д.Ушинский утверждал: “Сделать учебную работу насколько возможно интересной для ребёнка и не превратить её в забаву – это одна из труднейших задач дидактики”.

Значимость урока-игры заключается в том, что учащиеся в игровой форме повторяют изученную тему и готовятся к контрольной работе. Обобщающий урок по теме «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел» в 6 классе по программе И. И.Зубаревой, А.Г.Мордковича, я провожу в форме игры-путешествие «В стране положительных и отрицательных чисел». Такая форма урока позволяет повторить основные понятия темы, отработать правила умножения и деления положительных и отрицательных числел, необходимые для выполнения контрольной работы.

Основная часть

Цель урока: обобщение и закрепление знаний и умений по теме «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел», с учетом разноуровневой подготовки учащихся.

Задачи урока:

  • Образовательные: обобщить и закрепить знания по изученной теме, создать условия для развития умений умножать и делить положительные и отрицательные числа применяя правила.
  • Развивающие: развивать познавательные процессы обучающихся, развивать познавательный интерес к математике, расширять математический кругозор, навыки самоконтроля; навыки коллективной деятельности.
  • Воспитательные: воспитание культуры общения, уважения к одноклассникам, умения работать в группе, воспитание творческой активности, интереса к предмету через нетрадиционную форму проведения урока, воспитывать у учащихся аккуратность, сознательное отношение к учебе, чувство ответственности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: урок-путешествие.

Форма организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Необходимое оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями.

Технологии: игрового обучения, дифференцированного обучения, личностно-ориентированного обучения.

Виды проверки знаний: самопроверка, взаимопроверка.

Рефлексия – самооценка работы на уроке.

Результаты для учащихся (по ФГОС)

  • предметные: учатся решать вычислительные примеры на умножение и деление положительных и отрицательных чисел, и применяют полученные знания для решения уравнений и текстовых задач, используя правила расстановки знаков;
  • метапредметные: учатся выбирать способы решения поставленных  задач, нести ответственность за свой выбор, прилагать волевые усилия для отстаивания своей точки зрения, строить логические рассуждения, делать выводы в ходе рассуждений; оценивать свои ответы и ответы товарищей;
  • личностные: учатся организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с одноклассниками, устанавливать рабочие отношения в группе, планировать общие способы работы, уметь слушать собеседника, адекватно и осознанно использовать устную и письменную речь, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение, самостоятельно оценивать правильность выбранного решения.

Учет психологических особенностей класса позволяет выбрать оптимальные формы работы для учеников. Для ребенка-визуала задания и ответы выводятся на доску, для аудиалов есть возможность послушать ответы товарищей и выступить самим, кинестетики очень активны во время игровых этапов.

Правила игры.

Накануне урока учитель делит детей на две команды, учитывая их познавательные и межличностные интересы. В одной команде должны находиться учащиеся с разным уровнем знаний предмета. Желательно, чтобы группы между собой были равны по количеству участников и уровню подготовки.

При проведении игры учитель выступает в роли ведущего-консультанта, направляет ход игры, консультирует команды во время выполнения заданий.
Для создания соревновательной мотивации внутри игрового коллектива необходимо озвучить правила игры:

  • в игре принимают участие 2 команды;
  • каждая команда выбирает капитана, название;
  • за правильные ответы на вопросы и правильно выполненные задания команды получают баллы, за нарушение дисциплины -1 балл. Все баллы, заработанные командой, суммируются.

Правила поведения в игре:

  1. Работай в группе дружно, помни — вы одна команда.
  2. Принимай активное участие в работе.
  3. Не бойся высказывать своё мнение.
  4. Уважай мнение других участников команды.
  5. Думай сам, а не рассчитывай на других.

В случае неправильного ответа группы не вини никого, отвечай за себя. Помни, что каждый человек имеет право на ошибку.

В ходе урока ученики сообща находят ответы на поставленные вопросы, выбирают делегатов для устных выступлений, осознают влияние своей работы на результат всей команды.  Учащиеся овладевают навыками коллективной деятельности.

План урока:

  1. Организационный этап (1 мин)
  2. Целеполагание (1 мин)
  3. Проведение игры (32 мин)
  4. Рефлексия, подведения итогов (5 мин)
  5. Домашнее задание (1 мин)

Ход урока

1. Вводно-мотивационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас с вами необычный урок, урок игра. Мы отправимся в путешествие по «Стране положительных и отрицательных чисел». Надеюсь, что наше путешествие поможет вам подготовиться к предстоящей контрольной работе. Девизом нашего урока будут слова французского ученого Паскаля о том, что «ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ НАСТОЛЬКО СЕРЬЁЗЕН, ЧТО ПОЛЕЗНО НЕ УПУСКАТЬ СЛУЧАЯ ДЕЛАТЬ ЕГО НЕМНОГО ЗАНИМАТЕЛЬНЫМ». Последуем этому совету, постараемся с желанием. Сегодня ваша задача быть внимательными, активными, постарайтесь показать все ваши знания по данной теме. В игре принимают участие две команды. Каждая команда подготовила название команды, предварительно выбрали капитанов команды. У каждой команды на столе лежит лист «Карта результатов урока», это документ, по которому вы получите оценку. Подпишите этот лист. Задача капитанов проставить баллы команде. Ставить баллы капитаны будут только по моей команде [Приложение 1].

2. Целеполагание

Мы с вами изучили тему «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел». Сегодня повторим и обобщим действия с отрицательными и положительными целыми числами, обыкновенными дробями, смешанными числами, а также применим знания при решении задач. Актуальность данной темы в том, что умножение и деление положительных и отрицательных чисел встречаются на экзаменах, используется при изучении следующих тем.

Затем учитель разъясняет правила игры, правила поведения во время игры.

3. Проведение игры

Путешествие начинается. Ребята, любая игра начинается с чего? Правильно, с разминки.

1. Устные упражнения (актуализация знаний)

Даны числа: -9; 12; ; — 4,6;  ; 9; 6,08;  — ; 0,001; 123; -12; 0, назовите из заданных чисел

  • Отрицательные числа:
  • Положительные числа:
  • Натуральные числа:
  • Дробные числа:
  • Целые числа:

А знаете ли вы, кто был одним из первых математиков, начавших использовать положительные и отрицательные числа? БРАХМАГУПТА – это имя известного индийского математика, который жил в VII веке. Он одним из первых начал использовать положительные и отрицательные числа. Положительные числа он называл – «имущества», а  отрицательные – «долги». Сумма двух имуществ – имущество, сумма двух долгов – долг.

— Какие действия мы умеем выполнять с положительными и отрицательными числами? (Складывать, вычитать, делить, умножать).

2. Фронтальная работа

Каждая команда получает карточки с заданиями (задания одинаковые). В выполнении заданий принимает участие вся команда.

1 карточка.

Ребята, первое задание для вас, это дописать правило. Сформулируйте правило умножения чисел:

При умножении двух чисел с разными знаками в результате получается…(отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей).

При умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается…(положительное число, модуль которого равен произведению модулей множителей).

При умножении любого числа на 1, … ( получается то же самое число).

При умножении числа на (-1), … (получается число, ему противоположное)

Ответы сдают учителю. За каждое правильно записанное правило команды получают по 2 балла.  За выполненное задание можно получить 8 баллов. Проверку удобно проводить при помощи документ-камеры.

2 карточка. Найдите значение произведения:

1 уровень

2 уровень

(-23)*0=
(-0,29)*1=
(-2,7)*(-3)=
(-3)*(-12)=
(-0,3)*(-40)=
(-)*5=
(-107)*5 =
7*(-)=
5*(-)=
8*(-)=

(-2,71)*10=
(-0,023)*1,23=
(-2,51)*(-3,35)=
(-3,38)*(-1,12)=
(-0,22)*(-40)=
(-)*5,5=
(-10,1)*5,7 =
7,7*(-)=
1,5*(-)=
1,8*(-)=

Карточку с выполненным заданием сдают учителю. За каждый правильный записанный ответ 1 уровня команды получают 1 балл, за правильный ответ 2 уровня команды получают по 2 балла. Проверку удобно проводить при помощи документ-камеры.

3 карточка. Найдите ошибки, если ответ неверный зачеркните его и напишите верный:

1 уровень

2 уровень

3 уровень

– 3∙ (-6) = — 18

-24∙  (-0,5) = -12

-10 ∙ (-10) = 100

5 ∙ (-0,4) =  2

-10  ∙34 = — 3,4

6∙ (-1,2) = — 7,2

Выполнив задание карточку сдают учителю. За каждый правильный ответ команды получают 1 балл. Проверку удобно проводить при помощи документ-камеры. Капитаны заполняют карту результатов урока, учитывая вклад каждого члена команды в выполнение данного задания.

4. Закрепление изученного материала

1) Ребята, я раздаю вам карточку с заданием и карточку с вариантами ответов. Вам необходимо выполнить задание, затем найти в карточке с ответами ваш ответ и записать соответствующую ему букву. В результате вы должны назвать имя великого математика. Считается, что благодаря этому ученому в Европе появились отрицательные числа. За правильное выполнение задания команда получает 9 баллов. Капитаны заполняют карту результата урока, учитывая вклад каждого члена команды в выполнение данного задания.

Задание для I команды.

Решив эти задания, вы узнаете фамилию итальянского математика, который первым в Европе стал использовать отрицательные числа.

1

276:(-138)=

Ч

2

8,4:(-0,7)=

Б

3

-0,98:1,4=

А

4

-8,88:2,4=

Н

5

-6,17(-0,7)=

О

6

43(-0,3)=

И

7

-27·13=

Ф

8

-6,02·3,8=

Ч

9

-4,7·(-5)=

И

Задание для II команды.

Решив эти задания, вы узнаете фамилию русского математика, который ввел термины «множитель», «делитель», «произведение», «извлечение корня». Заменил устаревшие слова «тьма, легион» словами «миллион, биллион, триллион, квадриллион».

2) Решение уравнений

Вам сейчас предстоит выполнить сразу две задачи. Во-первых, вспомнить правила решения уравнений, во-вторых, найти ошибки. После нахождения ошибки уравнение необходимо перерешать. Каждая команда получает три одинаковых уравнения, за верно выполненное задание команда получит 3 балла. Капитаны заполняют карту результата урока, учитывая вклад каждого члена команды в выполнение данного задания.

1 уровень

2 уровень

3 уровень

x * 8 = – 48

x = – 48 * 8

x = 384

x = –169 : 12

x = 12


  

3) Решение задач

Каждая команда получает по задаче. В результате нужно решить задачу и презентовать её решение. Презентовать задачу может любой участник команды. Задание творческое. Объяснение задачи ребята продумывают самостоятельно. (Изобразить градусник, шкалу, координатную прямую). За правильное решение и объяснение команда получит 2 балла.

Задача для I команды

Температура воздуха понижается каждый день на 7o. Сейчас термометр показывает 0o. Какую температуру воздуха будет показывать термометр через 5 дней?

Задача для II команды

Температура воздуха понижалась каждый день на 5o. Сейчас термометр показывает 0o. Какую температуру воздуха показывал термометр 3 дня назад?

4) Физкультминутка

Вы, наверное, устали? Предлагаю вам усталость снять физкультминуткой:

Раз — подняться, потянуться.
Два — согнуться и присесть.
Три — в ладоши три хлопка, головою три кивка.
На четыре — руки шире,
Пять — руками помахать
Шесть — за парту тихо сесть.

5. Самостоятельная работа

Для самостоятельной работы каждая команда получает карточки с заданиями трех уровней сложности. Первый уровень сложности — зеленого цвета, второй — желтого, третий — красного. Каждый член команды должен решить по два задания, выбирая уровень сложности на свое усмотрение. Сначала все берут по одной карточке и решают самостоятельно. Затем, по мере выполнения, берут следующую карточку. Если возникают трудности при решении, то на помощь приходят члены команды. После решения заданий, учитель выдает командам «листы самопроверки» с ответами. Цвет листов соответствует уровню сложности заданий. За каждый правильный ответ на карточку первого уровня – 1 балл, второго уровня — 2 балла, третьего уровня — 3 балла. Капитаны заполняют карту результата урока, учитывая вклад каждого члена команды в выполнении задания.

Зеленые карточки
1 уровень сложности

Желтые карточки
2 уровень сложности

Красные карточки
3 уровень сложности

-27:(-9)=
-30:(-5)=
-21:7=
-40:(-8)=
-9:3=
-28:7=
49:(-7)=
0:8=

-8·(-2)=
-7·9=
-9·8=
-21:(-3)=
-40:(-5)=
-63:7=
-64:(-8)=
-48:4=  

16 · (-1,6)=
-2 · (-4,5)=
0,3 · (-8)=
-100 : (-0,4)=
8,7 : (-10)=
-1,3 · (-10)=

6 : (-0,12)=
-1,2 · 6=
0,8 · (-8)=
-3 · 5,7=
17 · (-1,6)=
-2 9· (-3,5)=
0,3 · (-8,1)=
-537 : (-0,5)=










6. Рефлексия, подведение итогов

Итак, ребята, сегодня мы весь урок путешествовали по «Стране положительных и отрицательных чисел». Какой была цель нашего урока? Как вы думаете, мы ее достигли? (заслушиваются ответы учащихся). Оцените свою работу на уроке.

Учащиеся проводят рефлексию своей деятельности и оценивают результат своей работы, ставят отметку в графу самооценка. Дают взаимооценку деятельности и ее результативности.

Каждая команда выражает свои мысли по поводу своих результатов, сдают карту результатов учителю. Ведется подсчет баллов, набранных командами. Объявляются победители и призеры.

Учащиеся каждой команды заканчивают предложение:

На уроке: 

  • было интересно…
  • было трудно…
  • я выполнял задания…
  • я понял, что…
  • теперь я могу…
  • я почувствовал, что…
  • я научился…
  • у меня получилось …
  • я смог…
  • я попробую…
  • мне захотелось. ..
  • мне понравилось…
    мне интересна работа в группе, потому что…

7. Домашнее задание

Составить математическое лото на умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Список источников информации
  1. Е.В.Алтухова Математика 5-11. Уроки учительского мастерства-В.: Учитель, 2007.
  2. А.Г.Асмолов. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/ под ред. А.Г.Асмолова. — М.: Просвещение, 2010.
  3. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Математика учебник для учащихся общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2010.
  4. В.Г.Коваленко. Дидактические игры на уроках математики. — М., 1990.
  5. Г.К.Селевко. Современные образовательные технологии. — М.: Народное образование, 1998.
  6. М.Ю.Шуба. Учим творчески мыслить на уроках математики. — М.: Просвещение, 2012.
  7. Журналы «Математика в школе».

Тематическое планирование по математике 6 класс

Тематическое планирование по математике 6 класс

Количество часов: 5 часов в неделю, всего 170 часов.

Цель создания данного тематического планирования (основанного на использовании данного УМК) — обеспечить максимальную степень преемственности между обучением по системе Занкова в начальной школе и среднем звене, интеллектуальное развитие учащихся.

15 сентября 2007 г.

Учитель: Соловьева О.И.

Количество часов всего: 170 часов (5 часов в неделю)

Учебник: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика 5»

Дополнительная литература: И.И. Зубарева «Рабочая тетрадь по математике 6 класс»; И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Методическое пособие для учителя»; дидактические материалы по математике.

Планирование составлено на основе государственной программы для общеобразовательных школ.

Соответствует системе развивающего обучения.

§

Содержание

Требования к ЗУН учащихся по теме

Кол-во часов

Дата

1 четверть

45

1. Положительные и отрицательные числа

Цель: расширение представлений учащихся о числе путем введения понятия отрицательных чисел; выработать прочные навыки арифметических действий с отрицательными числами

62

1

Поворот и центральная симметрия

Уметь изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой; усвоить понятие модуля числа.

5

2

Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая

4

3

Противоположные числа. Модуль числа

4

4

Сравнение чисел

4

5

Параллельность прямых

3

Контрольная работа №1

1

6

Числовые выражения, содержащие знаки +, —

Формирование алгоритма сложения и вычитания чисел с использованием свойств суммы; находить значения сложных выражений, содержащих числа с разными знаками.

4

7

Алгебраическая сумма и ее свойства

4

8

Правило вычисления значения алгебраической суммы двух чисел

3

9

Расстояние между точками координатной прямой

3

10

Осевая симметрия

3

11

Числовые промежутки

3

Контрольная работа N2

1

Резерв

2

2 четверть

35

12

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

Формирование алгоритма умножения и деления целых и дробных чисел;

Иметь представление о координатах и координатной плоскости

3

13

Координаты

1

14

Координатная плоскость

5

15

Умножение и деление обыкновенных дробей

4

16

Правило умножения для комбинационных задач

3

Контрольная работа №3

1

Анализ ошибок контрольной работы. Решение задач

1

2. Преобразование буквенных выражений

Цель: формирование навыков учащихся в упрощении выражений; решении уравнений и задач на составление уравнений

38

17

Раскрытие скобок

Преобразовывать буквенные выражения путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых; решать линейные уравнения

4

18

Упрощение выражений

6

19

Решение уравнений

4

20

Решение задач на составление уравнений

2

Резерв

1

3 четверть

50

20

Решение уравнений и задач на составление уравнений

Знать и уметь применять формулы длины и площади круга; выражать из формул одни переменные через другие.

6

Контрольная работа №4

1

Анализ ошибок контрольной работы.

1

21

Нахождение части от целого и целого по его части

3

22

Окружность. Длина окружности

3

23

Круг. Площадь круга

3

24

Шар. Сфера

2

Контрольная работа №5

1

Анализ ошибок контрольной работы.

1

3. Делимость натуральных чисел

Цель: систематизировать сведения о рациональных числах; выработать умения в применении признаков делимости в процессе решения задач

30

25

Делители и кратные

Иметь четкое представление о делителе и кратном числа, признаках делимости чисел. Находить НОК и НОД числа.

3

26

Делимость произведения

4

27

Делимость суммы и разности чисел

4

28

Признаки делимости на 2, 5, 10, 4 и 25

4

29

Признаки делимости на 3 и 9

4

Контрольная работа №6

1

30

Простые числа. Разложение числа на простые множители

4

31

Наибольший общий делитель

2

32

Взаимно простые числа. Признак делимости на произведение. Наименьшее общее кратное

3

Контрольная работа N7

1

4 четверть

40

4. Математика вокруг нас

Цель: формирование понятия пропорции, прямой и обратной пропорциональности; навыков решения задач на составления пропорций

18

33

Отношение двух чисел

Усвоить основное свойство пропорции, применять данное свойство при решении задач на проценты

4

34

Диаграммы

4

35

Пропорциональность величин

4

36

Решение задач с помощью пропорций

5

Контрольная работа N8

1

5. Введение в вероятность

Цель: сформировать основные приемы решения комбинаторных и вероятностных задач.

11

Разные задачи

Знать основные понятия комбинаторики. Уметь решать простейшие комбинаторные и вероятностные задачи.

7

Первое знакомство с понятием вероятности

2

Первое знакомство с подсчетом вероятности

2

Задачи на повторение

10

Итоговая контрольная работа №9

1

Сравнить отрицательные числа пример. Сравнение чисел

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Назовите координаты точек, изображенных на координатной прямой Назовите точки, которые лежат левее нуля Назовите точки, которые лежат правее нуля.

Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число: -3 0 2,6

Найди соответствие 7 0,1 5 -0,5 -0,1 -5 0,5 -7

«Восстанови равенство» │12│= │0│= │- 6│= 12 6 0

Числа отрицательные новые для вас Лишь совсем недавно изучил ваш класс Сразу же прибавилось вам теперь мороки: Изучить все правила сравнения на уроке.

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

Девиз: Вместе возьмемся, всего добьемся

15 28 13,7 8,6 12,3 о -8 6 — 25 -32.

1 Вывести правило сравнения положительных чисел и нуля. 1. Отметьте точки на координатной прямой: А(3), В(5), D(1), O(0). 2 . Левее или правее находятся точки относительно нуля? 3 . Сравните с помощью координатной прямой числа: 3 * 0 5 * 0 1 * 0 4 . Сформулируйте правило сравнения любого положительного числа и нуля. Приведите свои примеры. Положительное число всегда ……… нуля больше

Вывести правило сравнения отрицательных чисел и нуля. 1. Отметьте на координатной прямой точки: А(-3), В(-5), D (-1), O (0). 2. Левее или правее расположены точки относительно нуля? 3. Сравните с помощью координатной прямой числа: -3 * 0 -5 * 0 0 * -1 4. Сделайте вывод о сравнении любых отрицательных чисел с нулем. Приведите свои примеры. Отрицательное число всегда ………..… нуля. меньше

3. Вывести правило сравнения положительных и отрицательных чисел 1.Отметьте на координатной прямой точки: А(-5), В(2), O(0), С(-2) 2. Точки с какой координатой лежит левее точки О(0), какая правее токи О(0)? 3.Выполните сравнение: -5 * 2 -2 * 2 4 . Какое больше из чисел положительное или отрицательное? 5 . Сформулируйте правило сравнения отрицательных и положительных чисел. 6. приведите свои примеры Положительное число всегда ……….. отрицательного. больше

1. Отметьте на координатной прямой точки: А(-3), В(-2). 2. Точка с какой координатой лежит левее? 3. Найдите модули этих чисел. |- 3| = |-2|= 4. Сравните модули. Какой из двух модулей больше? |- 3| * |-2| 5. Сравните числа -3 и -2. Какое число будет меньше? -3 * -2 6. Какое из двух отрицательных чисел будет меньше? 7. Сформулируйте правило сравнения двух отрицательных чисел. Приведите свои примеры. IV. Вывести правило сравнения двух отрицательных чисел. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого ………. больше

1.Положительное число всегда больше отрицательного. 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. 3.Отрицательное число всегда меньше нуля. 4. Положительное число всегда больше нуля.

*** Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой

Положительное число всегда ……….. отрицательного. больше Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого ………. больше Отрицательное число всегда ………..… нуля. меньше Положительное число всегда ……… нуля. больше

Я хорошо понял, как сравнивают числа и могу научить другого -Я не все понял, у меня были затруднения

Спасибо Вам за урок! Вы- большие молодцы!

В этом уроке мы вспомним, как сравнить положительные числа и рассмотрим сравнение отрицательных чисел.

Начнем с задачи. Днем температура воздуха была +7 градусов, к вечеру понизилась до +2 градусов, ночью стала -2 градуса, а на утро еще понизилась до -7 градусов. Как изменялась температура воздуха?

В задаче речь идет о понижении, т.е. об уменьшении температуры. Значит, в каждом случае конечное значение температуры меньше начального, поэтому 2

Обозначим числа 7, 2, -2, -7 на координатной прямой. Вспомним, что на координатной прямой большее положительное число расположено правее.

Посмотрим на отрицательные числа, число -2 находится правее, чем -7, т.е. для отрицательных чисел на координатной прямой сохраняется тот же порядок: при движении точки вправо ее координата увеличивается, а при движении точки влево ее координата уменьшается.

Можно сделать вывод: Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа. 1 > 0; 12 > -2,5. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. -59

Сравнивать рациональные числа (т.е. все и целые, и дробные числа) удобно с помощью модуля.

Положительные числа раполагаются на координатной прямой в порядке возрастания от начала координат, значит чем дальше число от начала координат, тем больше длина отрезка от нуля до числа, т. е. его модуль. Следовательно, из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше. Таким образом, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.


Например. Сравним числа -1 и -5. Точка, соответствующая числу -1расположена ближе к началу отсчёта, чем точка, соответствующая числу -5. А значит длина отрезка от 0 до -1 или модуль числа -1 меньше, чем длина отрезка от 0 до -5 или модуль числа -5 , значит, число -1, больше, чем число -5.

Делаем выводы:

При сравнении рациональных чисел обращаем внимание на:

– знаки: отрицательное число всегда меньше положительного и нуля;

– на расположение на координатной прямой: чем правее, тем больше;

– на модули: у положительных чисел модуль больше и число больше, у отрицательных чисел модуль больше, а число меньше.

Литература:

1. Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.

2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013 г.

3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013 г.

4. Справочник по математике — http://lyudmilanik.com.ua

5. Справочник для учащихся в средней школе

Правило сравнения положительных и отрицательных чисел. Сравнение чисел

Отрицательные числа Числа со знаком минус (-), например -1, -2, -3. Читается так: минус один, минус два, минус три.

Пример применения отрицательных чисел — термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура отрицательная (или, как говорят в народе, «минусовая»).

Например, -10 градусов холода:

Обычные числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3, называются положительными.Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывается, из-за чего мы видим обычные цифры 1, 2, 3. Но следует иметь в виду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, + 3.

Содержание урока

Это прямая, на которой расположены все числа: как отрицательные, так и положительные. Как следует:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная линия бесконечна.На рисунке показан лишь небольшой его фрагмент.

Числа на линии координат отмечены точками. На рисунке жирная черная точка является отправной точкой. Отсчет начинается с нуля. Отрицательные числа отмечаются слева от начала координат, а положительные числа — справа.

Координатная линия бесконечно продолжается с обеих сторон. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будем обозначать −∞, положительное – +∞. Тогда можно сказать, что все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности расположены на координатной прямой:

Каждая точка на линии координат имеет свое имя и координату. Имя Любая латинская буква. Координата Число, показывающее положение точки на этой линии. Проще говоря, координата — это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной линии.

Например, точка A (2) читается как «Точка A с координатой 2» и будет обозначаться на координатной линии следующим образом:

Здесь А Имя точки, 2 координата точки А.

Пример 2. Точка B (4) читается как «Точка B с координатой 4»

Здесь B Имя точки, 4 координата точки B.

Пример 3. Точка M (−3) читается как «Точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной линии следующим образом:

Здесь M Имя точки, −3 координата точки M .

Точки могут быть обозначены любой буквой.Но принято обозначать их заглавными латинскими буквами. Причем начало отчета, которое иначе называют origin принято обозначать заглавной латинской буквой O

Легко видеть, что отрицательные числа находятся слева от начала координат, а положительные — справа.

Встречаются такие фразы, как «Чем левее, тем меньше» и «Чем правее, тем больше» … Вы наверное уже догадались о чем речь.С каждым шагом влево число будет уменьшаться вниз. И с каждым шагом вправо число будет увеличиваться. Стрелка, указывающая вправо, указывает на положительное направление счета.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше , чем три, несмотря на то, что пять бросается в глаза в первую очередь, как число больше трех.

Это связано с тем, что -5 отрицательно, а 3 положительно. На координатной линии видно, где расположены числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит слева, а 3 справа. А мы сказали, что «Чем левее, тем меньше» … А правило гласит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5

«Минус пять меньше трех»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньшее слева от координатной линии.

Например, давайте сравним числа -4 и -1. Минус четыре меньше , чем минус один.

Это опять же связано с тем, что на координатной линии −4 находится левее −1

Видно, что −4 лежит слева, а −1 справа. А мы сказали, что «Чем левее, тем меньше» … А правило гласит, что из двух отрицательных чисел меньше то, что расположено левее на координатной прямой.Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус один

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравните 0 и −3. Ноль больше , чем минус три. Это связано с тем, что на линии координат 0 расположен правее, чем −3

Видно, что 0 лежит справа, а −3 слева. А мы говорили, что «Чем правее, тем больше» … А правило гласит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравните 0 и 4. Ноль меньше , чем 4. Это, в принципе, понятно и верно. Но попробуем увидеть это своими глазами, опять же по координатной линии:

Видно, что на координатной линии 0 расположен слева, а 4 справа.А мы сказали, что «Чем левее, тем меньше» … А правило гласит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше четырех

Понравился урок?
Вступайте в нашу новую группу Вконтакте и начните получать уведомления о новых уроках

§ 1 Сравнение положительных чисел

В этом уроке мы рассмотрим, как сравнивать положительные числа, и рассмотрим сравнение отрицательных чисел.

Начнем с проблемы. Днем температура воздуха была +7 градусов, к вечеру опустилась до +2 градусов, ночью стала -2 градуса, а утром опустилась до -7 градусов. Как изменилась температура воздуха?

В задании речь идет о понижении, т.е. о снижении температуры. Следовательно, в каждом случае конечное значение температуры меньше начального, поэтому 2

Отметим на координатной линии числа 7, 2, -2, -7.Напомним, что на координатной прямой большее положительное число находится правее.

Посмотрим на отрицательные числа, число -2 правее, чем -7, т.е. для отрицательных чисел на координатной прямой сохраняется тот же порядок: при движении точки вправо ее координата увеличивается, а при движении точки движется влево, его координата уменьшается.

Мы можем сделать вывод: любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа. 1> 0; 12>-2,5.Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. -59

Удобно сравнивать рациональные числа (т. е. все как целые, так и дробные числа) с помощью модуля.

Положительные числа расположены на координатной прямой в порядке возрастания от начала координат, а значит, чем дальше число от начала координат, тем больше длина отрезка от нуля до числа, т.е. его модуль. Следовательно, из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше.

§ 2 Сравнение отрицательных чисел

При сравнении двух отрицательных чисел большее из них будет располагаться правее, то есть ближе к началу координат. Это означает, что его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше. Таким образом, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Например. Сравним числа -1 и -5. Точка, соответствующая числу -1, расположена ближе к началу координат, чем точка, соответствующая числу -5.Значит длина отрезка от 0 до -1 или модуль числа -1 меньше длины отрезка от 0 до -5 или модуля числа -5, значит число -1 больше чем число -5.

Делаем выводы:

При сравнении рациональных чисел обратите внимание на:

Знаки: отрицательное число всегда меньше положительного и нуля;

К месту на координатной линии: чем правее, тем больше;

Для модулей: положительные числа имеют больший модуль и большее число, отрицательные числа имеют больший модуль и меньшее число.

Список использованной литературы:

  1. Математика. 6 класс: планы уроков к учебнику И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович // Составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009
  2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. — М.: Мнемосина, 2013.
  3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.- М.: Мнемосина, 2013
  4. Справочник по математике — http://lyudmilanik.com.ua
  5. Пособие для старшеклассников http://shkolo.ru

Продолжаем изучать рациональные числа. В этом уроке мы научимся их сравнивать.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число расположено на линии координат, тем оно больше. И соответственно, чем левее число расположено на линии координат, тем оно меньше.

Например, если сравнить числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше 1. Это вполне логичное утверждение и с этим согласятся все.

В качестве доказательства можно привести координатную линию. Видно, что четверка лежит правее единицы

На этот случай также есть правило, которым вы можете воспользоваться, если хотите. Выглядит так:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос, какое число больше, а какое меньше, нужно сначала найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а затем ответить на вопрос.

Например, сравните одинаковые числа 4 и 1, применив вышеуказанное правило

Найти модули чисел:

|4| = 4

|1| = 1

Сравним найденные модули:

4 > 1

Отвечаем на вопрос:

4 > 1

Есть еще одно правило для отрицательных чисел, оно выглядит так:

Из двух отрицательных чисел больше число, модуль которого меньше.

Например, сравните числа -3 и -1

Нахождение модулей чисел

|−3| = 3

|−1| = 1

Сравним найденные модули:

3 > 1

Отвечаем на вопрос:

−3

Модуль числа не следует путать с самим числом. Распространенная ошибка многих новичков. Например, если модуль числа -3 больше модуля числа -1, это не означает, что число -3 больше числа -1.

Число -3 меньше числа -1. Это можно понять, если использовать координатную линию

.

Видно, что число −3 лежит левее −1. А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнить отрицательное число с положительным, то ответ напрашивается сам собой. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше 2 

.

Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше.

Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки цифр. Минус перед числом означает, что число отрицательное. Если у числа нет знака, то число положительное, но для наглядности его можно записать. Напомним, что это плюс

.

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа несложно, а также изобразить их на координатной прямой.

Гораздо труднее сравнивать другие виды чисел, такие как дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых отрицательные. Здесь, в основном, придется применять правила, потому что не всегда удается точно изобразить такие числа на координатной прямой. В некоторых случаях число потребуется, чтобы упростить сравнение и понимание.

Пример 1. Сравнение рациональных чисел

Итак, вам нужно сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому, не теряя времени, отвечаем, что меньше

Пример 2.

Вы хотите сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Найти модули чисел:

Сравним найденные модули:

Пример 3. Сравните числа 2,34 и

Вы хотите сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому, не теряя времени, отвечаем, что 2,34 больше

.

Пример 4. Сравнить рациональные числа и

Найти модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведем их к понятному виду, чтобы было легче сравнивать, а именно переведем их в неправильные дроби и приведем к общему знаменателю

По правилу из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Таким образом, рациональное больше, чем, потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 5.

Вы хотите сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше

Пример 6. Сравните рациональные числа 0 и

Вы хотите сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше

Пример 7 … Сравните рациональные числа 4,53 и 4,403

Вы хотите сравнить два положительных числа.Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем количество знаков после запятой одинаковым в обеих дробях. Для этого в дроби 4,53 добавляем один ноль в конце

Нахождение модулей чисел

Сравним найденные модули:

По правилу из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит, рациональное число 4,53 больше 4.403, потому что модуль 4,53 больше, чем модуль 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа и

Вы хотите сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Найти модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведем их к понятному виду, чтобы было легче сравнивать, а именно переведем смешанное число в неправильную дробь, затем обе дроби приведем к общему знаменателю:

По правилу из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.Таким образом, рациональное больше, чем, потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Сравнивать десятичные дроби гораздо проще, чем сравнивать дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос, какая дробь больше, а какая меньше.

Для этого нужно сравнить модули целых частей. Это позволит вам быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь, как известно, целые части в десятичных дробях имеют больший вес, чем дробные.

Пример 9. Сравните рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15.4 больше модуля целой части дроби 2,1256

поэтому дробь 15,4 больше дроби 2,1256

15,4 > 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на сложение нулей дроби 15,4 и сравнение полученных дробей, как с обычными числами.

154000 > 21256

Правила сравнения остаются прежними.В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравните рациональные числа −15,2 и −0,152

Вы хотите сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы будем сравнивать только модули целых частей

Мы видим, что модуль целой части дроби -15,2 больше, чем модуль целой части дроби -0,152.

Итак, рациональное значение −0.152 больше -15,2, потому что модуль целой части числа -0,152 меньше модуля целой части числа -15,2

−0,152 > −15,2

Пример 11. Сравните рациональные числа −3,4 и −3,7

Вы хотите сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы будем сравнивать только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

В этом случае придется использовать старый метод: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

Сравним найденные модули:

По правилу из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.Следовательно, рациональное число -3,4 больше, чем -3,7, потому что модуль числа -3,4 меньше модуля числа -3,7

−3,4 > −3,7

Пример 12. Сравните рациональные числа 0, (3) и

Вы хотите сравнить два положительных числа. И сравните периодическую дробь с простой дробью.

Переведем периодическую дробь 0, (3) в обыкновенную дробь и сравним ее с дробью. После преобразования периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь она превращается в дробь

Найти модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведем их к понятному виду, чтобы было легче сравнивать, а именно приведем к общему знаменателю:

По правилу из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Следовательно, рациональное число больше 0, (3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0, (3)

Понравился урок?
Присоединяйтесь к нашей новой группе Вконтакте и начните получать уведомления о новых уроках

Сравнение чисел — одна из самых простых и приятных тем в курсе математики.Однако, должен сказать, что это не так просто. Например, мало кто испытывает трудности со сравнением однозначных или двузначных положительных чисел.

А вот числа с большим количеством знаков уже вызывают проблемы, часто люди путаются при сравнении отрицательных чисел и не помнят, как сравнивать два числа с разными знаками… Попробуем ответить на все эти вопросы.

Правила сравнения положительных чисел

Начнем с самого простого — с цифр, перед которыми нет знака, то есть с положительных.

  • В первую очередь стоит помнить, что все положительные числа по определению больше нуля, даже если речь идет о дробном числе без целого числа. Например, десятичная дробь 0,2 будет больше нуля, так как на координатной прямой соответствующая ей точка находится еще в двух малых делениях от нуля.
  • Если речь идет о сравнении двух положительных чисел с большим количеством знаков, то сравнивать нужно каждую из цифр. Например — 32 и 33.Десятки у этих чисел одинаковые, но число 33 больше, потому что в разряде единиц «3» больше «2».
  • Как сравнить две десятичные дроби? Здесь нужно смотреть в первую очередь на целую часть — например, дробь 3,5 будет меньше 4,6. Что, если целая часть одинакова, а десятичные разряды разные? В этом случае действует правило для целых чисел — сравнивать знаки нужно по цифрам, пока не найдете большие и меньшие десятые, сотые, тысячные доли.Например, 4,86 ​​больше 4,75, потому что восемь десятых больше семи.

Сравнение отрицательных чисел

Если в нашей задаче есть числа -а и -с, и нам нужно определить, какое из них больше, то применяем универсальное правило. .. Сначала выписываются модули этих чисел — | а | и | с | — и сравниваются друг с другом. Число, модуль которого больше, будет меньше по сравнению с отрицательными числами, и наоборот — большим будет то число, модуль которого меньше.

Что делать, если вам нужно сравнить отрицательное и положительное число?

Здесь работает только одно правило, и оно элементарно. Положительные числа всегда больше, чем числа со знаком минус, какими бы они ни были. Например, число «1» всегда будет больше числа «-1458» просто потому, что единица находится правее нуля на линии координат.

Также нужно помнить, что любое отрицательное число всегда меньше нуля.

В статье ниже мы озвучим принцип сравнения отрицательных чисел: сформулируем правило и применим его при решении практических задач.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Правило сравнения отрицательных чисел

Правило основано на сравнении модулей исходных данных. По сути, сравнение двух отрицательных чисел означает сравнение положительных чисел, равных абсолютным значениям сравниваемых отрицательных чисел.

Определение 1

При сравнении двух отрицательных чисел меньшее число является числом, модуль которого больше; тем больше число, модуль которого меньше. Указанные отрицательные числа равны, если равны их абсолютные значения.

Сформулированное правило применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным и действительным числам.

Геометрическая интерпретация подтверждает озвученный в указанном правиле принцип: на координатной прямой меньшее отрицательное число находится левее большего отрицательного. Это утверждение вообще верно для любого числа.

Примеры сравнения отрицательных чисел

Самый простой пример сравнения отрицательных чисел — это сравнение целых чисел. Начнем с аналогичной задачи.

Пример 1

Необходимо сравнить отрицательные числа — 65 и — 23.

Раствор

Согласно правилу, чтобы выполнить действие сравнения отрицательных чисел, сначала нужно определить их модули. | — 65 | = 65 и | — 23 | = 23. Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65 > 23. Применим снова правило, что больше отрицательное число, модуль которого меньше.Таким образом, получаем: — 65

Ответ: — 65

Сравнение отрицательных рациональных чисел немного сложнее: действие в конечном итоге приводит к сравнению дробей или десятичных знаков.

Пример 2

Необходимо определить, какое из заданных чисел больше: — 4 3 14 или -4, 7.

Раствор

Определим модули сравниваемых чисел. — 4 3 14 = 4 3 14 и | — 4, 7 | = 4, 7. Теперь сравним полученные модули. Целые части дробей равны, поэтому начнем сравнивать дробные части: 3 14 и 0, 7. Осуществим перевод десятичных 0, 7 в обычные: 7 10, находим общие знаменатели сравниваемых дробей, получаем: 15 70 и 49 70. Тогда результат сравнения будет: 15 70 или 3 14 4 3 14 . fff Применяя правило сравнения отрицательных чисел, имеем: — 4 3 14

Также можно было провести сравнение, переведя обыкновенную дробь в десятичную. Разница лишь в удобстве расчета.

Ответ: — 4 3 14

Сравнение отрицательных действительных чисел следует тому же правилу.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Пример сравнения отрицательных чисел.Сравнение номеров

Для использования предпросмотра презентаций создайте себе аккаунт (аккаунт) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Назовите координаты точек, показанных на координатной линии. Назовите точки, лежащие левее нуля. Назовите точки, лежащие правее нуля.

Между какими целыми числами на координатной прямой находится число: -3 0 2,6

Совпадение 7 0,1 5 -0,5 -0.1 -5 0.5 -7

«Восстановить равенство» │12│= │0│= │- 6│= 12 6 0

Отрицательные числа для вас в новинку Только недавно изучали свой класс Сразу теперь у вас добавилось хлопот: Узнать все правила сравнения на уроке.

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

Девиз: Сделаем вместе, всего добьемся

15 28 13,7 8,6 12,3 o -8 6 — 25 -32.

1 Получение правила сравнения положительных чисел и нуля. 1. Отметьте точки на координатной прямой: A(3), B(5), D(1), O(0).2. Находятся ли точки относительно нуля слева или справа? 3 . Сравните, используя координатную линию числа: 3 * 0 5 * 0 1 * 0 4 . Сформулируйте правило сравнения любого положительного числа и нуля. Приведите свои примеры. Положительное число всегда ………ноль больше

Выведите правило сравнения отрицательных чисел и нуля. 1. Отметьте на координатной линии точки: А (-3), В (-5), D (-1), О (0). 2. Слева или справа точки относительно нуля? 3. Сравните с помощью координатной линии числа: -3 * 0 -5 * 0 0 * -1 4.Сделайте вывод о сравнении любых отрицательных чисел с нулем. Приведите свои примеры. Отрицательное число всегда ………..…ноль. меньше

3. Выведите правило сравнения положительных и отрицательных чисел 1. Отметьте на координатной прямой точки: А (-5), В (2), О (0), С (-2) 2. Точки, с которыми координата лежит левее точки O(0), правее которой токи O(0)? 3. Выполните сравнение: -5 * 2 -2 * 2 4 . Какое число больше положительное или отрицательное? пять . Сформулируйте правило сравнения отрицательных и положительных чисел.6. приведите свои примеры Положительное число всегда ……….. отрицательное. подробнее

1. Отметить на координатной линии точки: A (-3), B (-2). 2. Точка с какой координатой лежит слева? 3. Найдите модули этих чисел. |- 3| = |-2|= 4. Сравните модули. Какой из двух модулей больше? |- 3| * |-2| 5. Сравни числа -3 и -2. Какое число будет меньше? -3 * -2 6. Какое из двух отрицательных чисел будет меньше? 7. Сформулируйте правило сравнения двух отрицательных чисел. Приведите свои примеры.IV. Выведите правило сравнения двух отрицательных чисел. Из двух отрицательных чисел меньшее то, модуль которого равен ………. далее

1. Положительное число всегда больше отрицательного. 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. 3. Отрицательное число всегда меньше нуля. 4. Положительное число всегда больше нуля.

*** Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой

Положительное число всегда ……….. отрицательный. Больше Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого равен ………. больше Отрицательное число всегда ………..… ноль. меньше Положительное число всегда ……… ноль. подробнее

Я хорошо понял как сравниваются числа и могу научить еще — не все понял, были трудности

Спасибо за урок! Ты большой молодец!

В этом уроке мы вспомним, как сравнивать положительные числа, и посмотрим, как сравнивать отрицательные числа.

Начнем с задания. Днем температура воздуха составляла +7 градусов, вечером опускалась до +2 градусов, ночью до -2 градусов, утром до -7 градусов. Как изменилась температура воздуха?

В задании речь идет о даунгрейде, т.е. о снижении температуры. Это означает, что в каждом случае конечное значение температуры меньше начального, поэтому 2

Обозначим на координатной прямой числа 7, 2, -2, -7. Напомним, что на координатной прямой большее положительное число расположено правее.

Посмотрим на отрицательные числа, число -2 правее, чем -7, т.е. для отрицательных чисел на координатной прямой сохраняется тот же порядок: при движении точки вправо ее координата увеличивается, а при движении точки движется влево, его координата уменьшается.

Мы можем сделать вывод: любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа. 1 > 0; 12 > -2.5. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. -59

С помощью модуля удобно сравнивать рациональные числа (то есть все целые и дробные числа).

Положительные числа располагаются на координатной прямой в порядке возрастания от начала координат, а это значит, что чем дальше число от начала координат, тем больше длина отрезка от нуля до числа, т.е. его модуль. Следовательно, из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее из них будет располагаться правее, то есть ближе к началу координат. Это означает, что его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше. Таким образом, из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.


Например. Сравним числа -1 и -5. Точка, соответствующая числу -1, расположена ближе к началу координат, чем точка, соответствующая числу -5.Значит длина отрезка от 0 до -1 или модуль числа -1 меньше длины отрезка от 0 до -5 или модуля числа -5, значит число -1 больше чем число -5.

Делаем выводы:

При сравнении рациональных чисел обратите внимание на:

– признаки: отрицательное число всегда меньше положительного числа и нуля;

— по расположению на координатной линии: чем правее, тем больше;

— по модулям: для положительных чисел модуль больше и число больше, для отрицательных чисел модуль больше, а число меньше.

Литература:

1. Математика.6 класс: планы уроков к учебнику И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович // автор-составитель Л.А. Топилин. Мнемозина 2009

2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013

3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013

4. Справочник по математике — http://lyudmilanik.com.ua

5. Пособие для учащихся средних школ

Умножение и деление противоположных чисел. Деление отрицательных чисел, обычно примеры. Правило деления чисел с разными знаками

Данная статья посвящена делению отрицательных чисел . Сначала дается правило деления отрицательного числа на отрицательное, дается его обоснование, а затем даются примеры деления отрицательных чисел с подробным описанием решений.

Навигация по страницам.

Правило деления отрицательных чисел

Прежде чем привести правило деления отрицательных чисел, напомним смысл действия деления. Деление, по сути, представляет собой нахождение неизвестного фактора из известного продукта и известного другого фактора. То есть число с есть частное от деления а на b при с b = а, и наоборот, если с b = а, то а: b = с.

Правило деления отрицательных чисел следующее: частное от деления одного отрицательного числа на другое равно частному от деления числителя на модуль знаменателя.

Запишем озвученное правило буквами. Если a и b отрицательные числа, то равенство a: b = | а |: | б | .

Равенство a: b = a b −1 легко доказать, исходя из свойств умножения действительных чисел и определений взаимно обратных чисел. Действительно, на этом основании можно записать цепочку равенств вида (ab −1) b = a (b −1 b) = a 1 = a, которая в силу упомянутого в начале смысла деления статьи, доказывает, что a · b−1 есть частное от деления a на b.

И это правило позволяет перейти от деления отрицательных чисел к умножению.

Осталось рассмотреть применение рассмотренных правил деления отрицательных чисел при решении примеров.

Примеры деления отрицательных чисел

Разберем примера деления отрицательных чисел … Начнем с простых случаев, где отработаем правило деления.

Пример.

Разделите отрицательное число -18 на отрицательное число -3, затем вычислите частное (-5): (- 2).

Раствор.

Согласно правилу деления отрицательных чисел, частное от деления −18 на −3 равно частному от деления абсолютных значений этих чисел. Поскольку | −18 | = 18 и | −3 | = 3, тогда (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , осталось только выполнить деление натуральных чисел, имеем 18:3=6.

Аналогично решаем вторую часть задачи. Поскольку | −5 | = 5 и | −2 | = 2, то (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 … Это частное соответствует обыкновенной дроби 5/2, которую можно записать в виде смешанного числа.

Те же результаты получаются, если использовать другое правило деления отрицательных чисел. Действительно, число −3 обратно пропорционально числу, тогда , теперь выполняем умножение отрицательных чисел: . .. Аналогично, .

Ответ:

(-18): (- 3) = 6 и .

При делении дробных рациональных чисел удобнее всего работать с обыкновенными дробями. Но, если удобно, то можно разделить конечные десятичные дроби.

Пример.

Разделить −0.004 на -0,25.

Раствор.

Модули делимого и делителя равны 0,004 и 0,25 соответственно, тогда по правилу деления отрицательных чисел имеем (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

  • или выполнить деление десятичных дробей столбиком,
  • или перейти от десятичных дробей к обыкновенным дробям, а затем разделить соответствующие обыкновенные дроби.

Рассмотрим оба подхода.

Чтобы разделить 0.004 на 0,25 в столбик, сначала переместите запятую на 2 цифры вправо, таким образом мы придем к делению 0,4 на 25. Теперь делаем длинное деление:

Итак, 0,004: 0,25 = 0,016.

Теперь покажем, как бы выглядело решение, если бы мы решили перевести десятичные дроби в обыкновенные. Потому что и тогда, и выполнить

Задача 1. Точка движется по прямой слева направо со скоростью 4 дм. в секунду и в данный момент проходит через точку А.Где будет движущаяся точка через 5 секунд?

Легко сообразить, что точка будет на 20 дюймах. справа от A. Запишем решение этой задачи в относительных числах. Для этого договоримся о следующих показаниях:

1) скорость вправо будем обозначать знаком +, а влево знаком -, 2) расстояние движущейся точки от А вправо будем обозначать знаком +, а влево — знаком а — знак, 3) интервал времени после настоящего момента знаком + и до настоящего момента знаком -.В нашей задаче даны следующие числа: скорость = + 4 дм. в секунду, время = + 5 секунд и получилось, как вычислили арифметически, число + 20 дм., выражающее расстояние движущейся точки от А за 5 секунд. По смыслу задачи мы видим, что она относится к умножению. Поэтому удобно писать решение задачи:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Задача 2. Точка движется по прямой слева направо со скоростью 4 дм. в секунду и в данный момент проходит через точку А. Где была эта точка 5 секунд назад?

Ответ ясен: точка находилась левее А на расстоянии 20 дм.

Решение удобно, по условиям относительно знаков, и, учитывая, что смысл задачи не изменился, его можно записать так:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Задача 3. Точка движется по прямой справа налево со скоростью 4 дм.в секунду и в данный момент проходит через точку А. Где будет движущаяся точка через 5 секунд?

Ответ однозначен: на 20 дм. слева от A. Следовательно, по тем же условиям для знаков решение этой задачи можно записать так:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Задача 4. Точка движется по прямой справа налево со скоростью 4 дм. в секунду и в настоящее время проходит через точку A. Где была точка движения 5 секунд назад?

Ответ однозначен: на расстоянии 20 дм.справа от A. Следовательно, решение этой задачи следует записать так:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20,

Рассмотренные задачи показывают, как распространить действие умножения на относительные числа. Имеем в задачах 4 случая умножения чисел со всеми возможными сочетаниями знаков:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Во всех четырех случаях следует перемножить абсолютные значения этих чисел, произведению поставить знак + при одинаковых знаках множителей (1-й и 4-й случаи) и знак — при разных множителях знаки (корпуса 2 и 3).

Отсюда мы видим, что произведение не меняется от перестановки множителя и множителя.

Упражнения.

Давайте выполним один пример вычисления, включающего сложение, вычитание и умножение.

Чтобы не путать порядок действий, обратим внимание на формулу

Здесь записывается сумма произведений двух пар чисел: поэтому нужно сначала умножить число а на число b, затем умножить число с на число d и затем сложить полученные произведения.Также в формуле

необходимо сначала умножить число b на c, а затем вычесть полученное произведение из a.

Если бы требовалось прибавить произведение чисел а и b к с и умножить полученную сумму на d, то нужно было бы написать: (ab+c)d (сравните с формулой ab+cd).

Если бы нужно было умножить разницу между числами а и b на с, то писали бы (а — b) с (сравните с формулой а — bc).

Поэтому установим в общем, что если порядок действий не указан скобками, то надо сначала выполнить умножение, а потом сложение или вычитание.

Приступим к вычислению нашего выражения: сначала выполним сложения, написанные внутри всех маленьких скобок, получим:

Теперь нам нужно выполнить умножение внутри квадратных скобок и затем вычесть полученное произведение из:

Теперь давайте выполним действия внутри скрученных скобок: сначала умножение, а затем вычитание:

Теперь осталось выполнить умножение и вычитание:

16. Произведение нескольких факторов. Пусть требуется найти

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Здесь первое число надо умножить на второе, полученное произведение на третье и т. д. Нетрудно установить на основании предыдущего, что абсолютные значения всех чисел надо умножить друг на друга.

Если все множители были положительными, то на основании предыдущего находим, что произведение также должно иметь знак +.Если бы какой-либо один фактор был отрицательным

например (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

, то произведение всех предшествующих ему множителей дало бы знак + (в нашем примере (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, от умножения полученного произведения на отрицательное число (в нашем Например, +24, умноженное на –1), получит знак нового произведения –; умножив его на следующий положительный множитель (в нашем примере –24 на +5), мы снова получим отрицательное число, так как все остальные множители предполагаются чтобы быть положительным, знак произведения уже не может измениться.

Если бы было два отрицательных множителя, то, рассуждая, как указано выше, нашли бы, что сначала, пока не дошел до первого отрицательного множителя, произведение было бы положительным, от умножения его на первый отрицательный множитель получилось бы новое произведение быть отрицательным, и таким он был бы и оставался до тех пор, пока мы не достигнем второго отрицательного фактора; тогда от умножения отрицательного числа на отрицательное новый продукт оказался бы положительным, который останется таковым и в будущем, если другие множители положительны.

Если бы был еще третий отрицательный множитель, то положительное произведение, полученное от умножения его на этот третий отрицательный множитель, стало бы отрицательным; так оно и осталось бы, если бы все остальные факторы были положительными. Но если есть еще четвертый отрицательный множитель, то умножение на него сделает произведение положительным. Рассуждая таким же образом, находим, что вообще:

Чтобы узнать знак произведения нескольких сомножителей, нужно посмотреть, сколько из этих сомножителей отрицательны: если их нет вообще, или если их число четно, то произведение положительно: если есть нечетный количество отрицательных факторов, то произведение отрицательно.

Итак, теперь мы можем легко узнать, что

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Теперь легко видеть, что знак произведения, как и его абсолютная величина, не зависят от порядка множителей.

Удобно при работе с дробными числами сразу найти произведение:

Это удобно тем, что не приходится делать бесполезные умножения, так как полученное ранее дробное выражение максимально сокращается.

§ 1 Умножение положительных и отрицательных чисел

В этом уроке мы познакомимся с правилами умножения и деления положительных и отрицательных чисел.

Известно, что любое произведение можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых.

Термин -1 нужно добавить 6 раз:

(-1)+(-1)+(-1) +(-1) +(-1) + (-1) =-6

Произведение -1 и 6 равно -6.

Числа 6 и -6 являются противоположными числами.

Таким образом, мы можем сделать вывод:

При умножении -1 на натуральное число получается противоположное число.

Для отрицательных чисел, так же как и для положительных, выполняется смещающий закон умножения:

Если натуральное число умножить на -1, то получится и противоположное число.

При умножении любого неотрицательного числа на 1 получается то же число.

Например:

Для отрицательных чисел верно и это утверждение: -5 ∙ 1 = -5; -2 ∙ 1 = -2.

При умножении любого числа на 1 получается то же самое число.

Мы уже видели, что при умножении минус 1 на натуральное число получается противоположное число. При умножении отрицательного числа это утверждение также верно.

Например: (-1) ∙ (-4) = 4.

Также -1 ∙ 0 = 0, число 0 противоположно самому себе.

При умножении любого числа на минус 1 получается противоположное число.

Перейдем к другим случаям умножения.Найдите произведение чисел -3 и 7.

Отрицательный множитель -3 можно заменить произведением -1 и 3. Тогда можно применить комбинационный закон умножения:

1 ∙ 21 = -21, т.е. произведение минус 3 и 7 равно минус 21.

При умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.

А чему равно произведение чисел с одинаковыми знаками?

Мы знаем, что при умножении двух положительных чисел получается положительное число.Найдите произведение двух отрицательных чисел.

Заменить один из множителей произведением с коэффициентом минус 1.

Применяем наше правило, при умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей,

вы получите -80.

Сформулируем правило:

При перемножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей.

§ 2 Деление положительных и отрицательных чисел

Перейдем к делению.

Подбором находим корни следующих уравнений:

у ∙ (-2) = 10. 5 ∙ 2 = 10, значит, х = 5; 5 ∙ (-2) = -10, поэтому а = 5; -5 ∙ (-2) = 10, поэтому у = -5.

Запишем решения уравнений. В каждом уравнении множитель неизвестен. Находим неизвестный множитель делением произведения на известный множитель; мы уже выбрали значения неизвестных факторов.

Давайте проанализируем.

При делении чисел с одинаковыми знаками (а это первое и второе уравнения) получается положительное число, модуль которого равен отношению модулей делимого и делителя.

При делении чисел с разными знаками (это третье уравнение) получается отрицательное число, модуль которого равен отношению модулей делимого и делителя. Те. при делении положительных и отрицательных чисел знак частного определяется по тем же правилам, что и знак произведения.А модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Итак, мы сформулировали правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел.

Список использованной литературы:

  1. Математика. 6 класс: планы уроков по учебнику И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович // Составитель Л.А. Топилина. — Мнемозина, 2009.
  2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений.И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. — М.: Мнемосина, 2013.
  3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — М.: Мнемосина, 2013.
  4. Справочник по математике — http://lyudmilanik. com.ua
  5. Пособие для старшеклассников http://shkolo.ru

В этой статье мы рассмотрим деление положительных чисел на отрицательные и наоборот. Мы дадим подробный разбор правила деления чисел с разными знаками, а также приведем примеры.

Правило деления чисел с разными знаками

Правило для целых чисел с разными знаками, полученное в статье о делении целых чисел, верно и для рациональных, и для действительных чисел. Вот более общая формулировка этого правила.

Правило деления чисел с разными знаками

При делении положительного числа на отрицательное и наоборот модуль делимого надо делить на модуль делителя, а результат записывать со знаком минус .

Буквально это выглядит так:

а ÷ — б = — а ÷ б

А ÷ b = — а ÷ b.

При делении чисел с разными знаками всегда получается отрицательное число. Рассмотренное правило, по сути, сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел, так как модули делимого и делителя положительны.

Другая эквивалентная математическая формулировка этого правила:

а ÷ б = а б — 1

Чтобы разделить числа а и b, имеющие разные знаки, нужно число а умножить на величину, обратную числу b, то есть b — 1.Эта формулировка применима к множеству рациональных и действительных чисел, она позволяет перейти от деления к умножению.

Теперь рассмотрим, как применить описанную выше теорию на практике.

Как делить числа с разными знаками? Примеры

Ниже мы рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1. Как разделить числа с разными знаками?

Разделить — 35 на 7.

Сначала запишем модули делимого и делителя:

35 = 35, 7 = 7.

Теперь разделим модули:

35 7 = 35 7 = 5 .

Добавим перед результатом минус и получим ответ:

Теперь воспользуемся другой формулировкой правила и вычислим обратное число 7.

Теперь сделаем умножение:

35 · 1 7 = — — 35 · 1 7 = — 35 7 = — 5.

Пример 2. Как делить числа с разными знаками?

Если мы делим дробные числа с рациональными знаками, делимое и делитель должны быть представлены как обыкновенные дроби.

Пример 3. Как разделить числа с разными знаками?

Разделить смешанное число — 3 3 22 на десятичную дробь 0, (23).

Модули делимого и делителя соответственно равны 3 3 22 и 0, (23). Переведя 3 3 22 в обыкновенную дробь, получим:

3 3 22 = 3 22 + 3 22 = 69 22.

Делитель также может быть представлен в виде обыкновенной дроби:

0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 — 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .

Теперь делим дроби, выполняем сокращения и получаем результат:

69 22 ÷ 23 99 = — 69 22 99 23 = — 3 2 9 1 = — 27 2 = — 13 1 2.

В заключение рассмотрим случай, когда делимое и делитель являются иррациональными числами и записываются в виде корней, логарифмов, степеней и т. д.

В такой ситуации частное записывается в виде числового выражения, максимально упрощенного. При необходимости его ориентировочное значение вычисляется с требуемой точностью.

Пример 4. Как разделить числа с разными знаками?

Разделить числа 5 7 и — 2 3.

По правилу деления чисел с разными знаками запишем равенство:

5 7 ÷ — 2 3 = — 5 7 ÷ — 2 3 = — 5 7 ÷ 2 3 = — 5 7 2 3.

Избавимся от нерациональности в знаменателе и получим окончательный ответ:

5 7 2 3 = — 5 4 3 14.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Теперь займемся умножением и делением .

Допустим, мы хотим умножить +3 на -4. Как это сделать?

Рассмотрим такой случай. Три человека в долгах, и у каждого по 4 доллара в долгу. Каков общий долг? Для того, чтобы его найти, нужно сложить все три долга: 4$ + 4$ + 4$ = 12$. Мы решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку речь идет о долге в В этом случае перед 4 стоит «-». Мы знаем, что общий долг составляет 12 долларов, поэтому наша задача теперь выглядит как 3x (-4) = — 12.

Мы получим тот же результат, если по условиям задачи каждый из четырех человек имеет долг в размере 3 долларов. Другими словами, (+4) х (-3) = — 12. А так как порядок множители значения не имеют, получаем (-4) х (+3) = — 12 и (+4) х (-3) = — 12.

Подведем итоги. Когда вы умножаете одно положительное и одно отрицательное число, результат всегда будет отрицательным. Числовое значение ответа будет таким же, как и в случае с положительными числами. Произведение (+4) х (+3) = + 12.Наличие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на числовое значение.

Как умножить два отрицательных числа?

К сожалению, очень сложно подобрать подходящий пример из жизни на эту тему. Легко представить себе долг в 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно представить человека, залезающего в долги -4 или -3.

Возможно, мы пойдем другим путем. При умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения.Если мы изменим знаки обоих множителей, то должны дважды изменить отметку работы сначала с положительного на отрицательное, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть произведение будет иметь начальный знак.

Поэтому вполне логично, хотя и немного странно, что (-3) х (-4) = + 12.

Положение знака при умножении меняется так:

  • положительное число x положительное число = положительное число;
  • отрицательное число x положительное число = отрицательное число;
  • положительное число x отрицательное число = отрицательное число;
  • отрицательное число x отрицательное число = положительное число.

Другими словами, умножив два числа с одинаковым знаком, мы получим положительное число . Умножив два числа с разными знаками, мы получим отрицательное число .

То же правило верно и для действия, противоположного умножению — for.

Вы можете легко убедиться в этом, проведя операции обратного умножения … Если в каждом из приведенных выше примеров умножить частное на делитель, то получится делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же знак, например (- 3) х (-4) = (+ 12).

Так как скоро зима, пора задуматься, на что переобуть своего железного коня, чтобы не скользить по льду и чувствовать себя уверенно на зимних дорогах. Можно, например, взять шины Yokohama на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, чтобы она была качественной, более подробную информацию и цены можно узнать на сайте Mvo.ru.

Противоположный номер. Противоположные числа, определение, примеры

§ 1 Понятие положительного числа

В этом уроке вы узнаете, какие числа называются противоположными, как найти противоположное число, а также что такое целые и рациональные числа.

Начнем с практической работы. На координатной линии отметьте точки А (2) и В (-2). Они симметричны и центром симметрии этих точек является начало координат О (0), так как расстояние ОА = ОВ.

Мы видим, что координаты точек, симметричных относительно начала координат, являются числами, отличающимися только знаком. Такие числа называются противоположными.

Есть и другое определение противоположных чисел. Каковы абсолютные значения чисел 2 и -2? Равно 2.Следовательно, противоположные числа — это числа, имеющие одинаковый модуль, но разные по знаку.

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используйте знак минус, который пишется перед данным числом. То есть число, противоположное а, записывается как -а. Например, число 0,24 противоположно числу -0,24, число -25 противоположно числу — (- 25), а число -25 на координатной прямой противоположно 25, значит — (- 25) = 25. Отсюда следует, что — ( -а) = а и а = — (- а).

§ 2 Свойства противоположных чисел

Выделим некоторые свойства противоположных чисел.

Положительное число является отрицательным, а отрицательное число положительным. Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала координат.

Если число а противоположно числу b, то b противоположно а — это следует из свойства симметрии точек на координатной прямой.

Обратимся к координатной линии. Сколько точек можно отметить на координатной прямой, симметричной данной относительно начала координат? Единственный. Следовательно, для каждого числа существует только одно противоположное число.

Только одно число противоположно самому себе — это число 0, так как 0 = -0 (поэтому не принято писать -0).

Номера с общим признаком образуют набор (или группу), каждый набор имеет свое имя.

Напомним, что числа, которые мы используем при счете, называются натуральными числами, они образуют множество натуральных чисел.

Для каждого натурального числа можно найти противоположное число. Целые числа, противоположные им числа, а число 0 называется целым числом.

Положительные и отрицательные могут быть дробными числами… Все целые числа и все дроби называются рациональными числами. Еще говорят, что все вместе они образуют множество рациональных чисел.

Выделим еще две группы чисел. Возьмем координатную линию. Если убрать часть прямой, на которой расположены отрицательные числа, луч с положительными числами и исходным числом 0.Остальные числа называются неотрицательными, то есть числами, которые больше или равны 0. Следовательно, неположительными числами являются все отрицательные числа и число 0, то есть числа, меньшие или равные 0.

Сегодня мы узнали, что такое противоположные, целые, рациональные, неотрицательные, неположительные числа, научились находить число, противоположное данному.

Список использованной литературы:

  1. Математика. 6 класс: планы уроков по учебнику И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович // Составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009
  2. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. — М.: Мнемосина, 2013.
  3. Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. — М.: Мнемосина, 2013
  4. Справочник по математике — http://lyudmilanik.com.ua
  5. Пособие для учащихся вузов http://shkolo.ru

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что собой представляют противоположные числа. Мы объясним, что они вообще собой представляют, покажем, какие обозначения для них используются, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Чтобы объяснить само понятие оппозиции, нам сначала нужно изобразить координатную линию. Возьмите на ней точку М (но не в самом начале отсчета). Его расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые, в свою очередь, можно разделить на десятые и сотые доли.Если отмерить такое же расстояние от начала координат в направлении, противоположном тому, в котором находится М, то можно попасть в другую аналогичную точку. Назовем его N. Например, от М до нуля расстояние 2, 4 единичных отрезка, и от N до нуля тоже. Взгляните на картинку:

Напомним, что только одно действительное число может быть связано с каждой точкой на линии координат. При этом нашим точкам М и N соответствуют определенные числа, которые называются противоположными. У каждого числа есть противоположное число, кроме нуля. Поскольку это отправная точка, она считается противоположной самой себе.

Запишем определение, чему равны противоположные числа:

Определение 1

Противоположные числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, которые мы получим, если отметим одно и то же расстояние от начала координат в разных направления (положительные и отрицательные). Ноль находится в начале координат и противоположен самому себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом подразделе мы вводим основные обозначения для таких чисел.Если у нас есть определенное число и нам нужно записать ему противоположное, то для этого используем минус.

Пример 1

Предположим, что наше число равно а, следовательно, его противоположность есть а (минус а). Точно так же для 0,26 наоборот будет 0,26, а для 145 будет 145. Если само исходное число отрицательное, например — 9, то запишем обратное как — (- 9).

Какие еще примеры противоположных чисел вы можете привести? Возьмем целые числа: 12 и — 12. Противоположные рациональные числа — это 3 2 11 и — 3 2 11, а также 8, 128 и — 8, 128, 0, (18901) и — 0, (18901) и т. д. Иррациональные числа тоже могут быть противоположными, например, значения числовых выражений 2 + 1 и — 2 + 1.

Напротив иррациональных чисел также будут e и -e.

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы приведем их список с пояснениями.

Определение 2

1.Если исходное число положительное, то противоположное ему число будет отрицательным.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа расположены по разные стороны от отсчета на координатной линии. Если вы забыли понятия положительных и отрицательных чисел, взгляните на материал, который мы публиковали ранее.

Из этого правила можно вывести еще одно очень важное утверждение. В буквальном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного а будет верно — (- а) = а.Покажем на примере, почему это важно.

Возьмем цифру 5. С помощью линии координат можно увидеть, что напротив стоит цифра — 5, и наоборот. Пользуясь обозначением, которое мы указали выше, число напротив — 5 запишем как — (- 5). Получается, что — (- 5) = 5. Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга только наличием знака минус.

2. Следующее свойство обычно называют свойством симметрии.Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Это звучит так:

Определение 3

Если некоторое число a противоположно числу b, то b противоположно числу a.

Очевидно, что это утверждение не нуждается в дополнительных доказательствах.

3. Третье свойство противоположных чисел:

Определение 4

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение следует из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать сразу много чисел.

Определение 5

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета.

Определение 6

5. Если мы сложим противоположные числа, мы получим 0.

Буквально это утверждение выглядит как + (- a) = 0.

Пример 2

Вот несколько примеров таких вычислений:

890 + (- 890) = 0 — 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Как видите, это правило работает для всех чисел — целых, рациональных, иррациональных и т. д.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Интересная концепция из школьного курса обучения — это противоположные числа, которые можно рассматривать как математически, так и геометрически. Понимание этой темы облегчает изучение математики, позволяет быстро справиться с некоторыми задачами — поэтому мы рассмотрим, какие числа называются противоположными, и какие правила для них работают.

В чем суть термина?

Чтобы понять значение противоположных чисел, давайте на мгновение обратимся к геометрии. Проведем линию координат и отметим на ней нулевую точку, а затем поставим на линии еще две метки — например, «2» с правой стороны и «-2» с левой стороны от нуля. Разумеется, от обеих точек расстояние до начала координат будет совершенно одинаковым — и это легко проверяется измерениями. «2» и «-2» находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но в разных направлениях — соответственно, они полностью противоположны друг другу.

Вот в чем дело. Числа могут быть как большими, так и маленькими, целыми или дробными.Однако каждая из них имеет определенное число, составляющее ее полную противоположность. Определение можно дать так – если на прямой координат из двух точек, поставленных по обе стороны от нуля, можно отложить в начало координат равные расстояние – эти точки, а точнее соответствующие им числа, будут противоположны.

Какие правила можно вывести из определения?

Стоит запомнить несколько безоговорочных утверждений, касающихся рассматриваемой темы:

  • Противоположный принцип для двух чисел работает в обе стороны. Например, число 3 противоположно числу -3 — и, следовательно, число -3 противоположно только числу 3, и никакому другому.
  • У числа не может быть двух противоположностей — всегда есть только одна такая.
  • Напротив друг друга могут стоять числа с разными знаками. Если число положительное, то его противоположное число будет со знаком минус — например, 5 и -5. То же самое работает и в обратную сторону — для числа со знаком минус всегда будет противоположное тому, что со знаком плюс — например, -6 и 6.
  • Два противоположных числа имеют одинаковое абсолютное значение или модуль. Другими словами, если для числа 4

В этой статье мы изучим противоположных числа … Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называются противоположными, покажем, как обозначается противоположное число, и приведем примеры . Перечислим также основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Навигация по страницам.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет.

Отметим на координатной прямой точку М, отличную от начала координат. Мы можем попасть в точку М, последовательно откладывая от начала координат в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятый, сотый и так далее. Если отложить такое же количество единичных отрезков и его долей в обратном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N. Приведем пример для иллюстрации наших действий (см. рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой, откладываем в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую часть единицы.Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую часть единицы, в положительном направлении. Это даст нам точку N.

Мы почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось только обсудить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует одно действительное число, поэтому точке M и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Поэтому числа, соответствующие точкам M и N, называются противоположными.

Отдельно следует сказать о точке О — начале координат. Точка О соответствует числу 0. Число ноль считается противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучивать определяя противоположные числа .

Определение.

Два числа называются противоположными, если можно попасть в точки, соответствующие этим числам на координатной прямой, откладывая от начала координат в противоположные стороны одинаковое количество единичных отрезков, а также доли единичного отрезка, число 0 противоположно к себе.

Противоположные числа и примеры

Пришло время ввести противоположные числа .

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используйте знак минус, который пишется перед данным числом. То есть число, противоположное а, записывается как -а. Например, 0,24 напротив -0,24, а -25 напротив — (- 25).

Приведем примера противоположных чисел . .. Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17) является примером противоположных целых чисел.Числа и являются противоположными рациональными числами. Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и -5,126. а также 0, (1201) и -0, (1201). Осталось привести несколько примеров обратного

Противоположность себе.

В отличие от реального

Из определения напротив номера следует

n»=-n

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковый модуль, но разные знаки. Соответственно, противоположные числа n обозначают -n.(- 1)

Написать отзыв о статье «Противоположный номер»

Примечания (редактировать)

см. также

Противоположный номер отрывка

«В олузи ах… в олузи!..» — свистом и торбаном слышал он его, изредка заглушая криком голосов. Офицеру стало весело на душе от этих звуков, но в то же время было и страшно за то, что он виноват, так долго не отдав вверенного ему важного приказа. Было уже девять.Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в сени большого, неповрежденного господского дома, расположенного между русскими и французами. В кладовой и в передней суетились лакеи с вином и едой. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он вдруг увидел всех вместе самых важных генералов армии, в том числе крупную, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых шинелях, с красными, живыми лицами и громко смеялись, стоя полукругом.Посреди комнаты красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко делал трепак.
— Ха-ха-ха! Ах да Николай Иванович! ха, ха, ха! ..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказом, он виновен вдвойне, и ему хотелось подождать; но один из генералов увидел его и, узнав, зачем он, рассказал Ермолову. Ермолов, нахмурившись, вышел к офицеру и, выслушав, взял у него бумагу, ничего ему не сказав.
— Как вы думаете, он ушел случайно? — В тот вечер штабной товарищ сказал офицеру кавалергарда о Ермолове. — Это вещи, это все специально. Подвез Коновницына. Смотри, какая каша будет завтра!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился Богу, оделся и с неприятным сознанием, что ему предстоит вести бой, которого он не одобрял, сел в карету и выехал из Леташевки , в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были собраться наступающие колонны.Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, дело заводится? Но все равно было тихо. Рассвет сырого и пасмурного осеннего дня только начинался. Подойдя к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведущих лошадей к водопою через дорогу, по которой ехала карета. Кутузов внимательно посмотрел на них, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде.«Ошибка, может быть, — подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидел пехотные полки, пушки в ящике, солдат с кашей и дровами, в трусах. Позвали офицера. Офицер доложил, что приказа идти нет.
— Как же нет… — начал было Кутузов, но тут же замолчал и велел позвать старшего офицера. Выбравшись из кареты, опустив голову и тяжело дыша, молча ожидая, он ходил взад и вперед. Когда запрошенный офицер явился генштаба Эйхена, Кутузов побагровел не потому, что этот офицер был виноват в ошибке, а потому, что он был достойным предметом для выражения гнева.И трясясь, задыхаясь, старик, придя в то состояние ярости, в какое он мог прийти, лежа на земле от гнева, бросился на Эйхена, угрожая руками, крича и ругаясь квадратными словами . Та же участь постигла и другого подвернувшегося капитана Брозина, ни в чем не повинного.
— Что это за каналья? Стреляйте в негодяев! Он хрипло кричал, размахивая руками и пошатываясь. Он был в физическом недомогании. Он, главнокомандующий, светлейший, которого все уверяют, что такой власти в России, как он, никто и никогда не имел, поставлен на эту должность — высмеял всю армию.«Напрасно я так утруждал себя молитвой о сегодняшнем дне, напрасно не спал ночей и все обдумывал! — подумал он про себя. «Когда я был мальчишкой офицером, никто бы не посмел надо мной так смеяться… А теперь!» Он испытывал физические страдания, как от телесных наказаний, и не мог не выразить их гневными и страдающими криками; но вскоре силы его ослабли, и он, оглянувшись, чувствуя, что наговорил много дурного, сел в коляску и молча поехал назад.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Числа могут быть положительными или отрицательными

Это номер строки:

Отрицательные числа (-) Положительные числа (+)

«-» — отрицательный знак. «+» — положительный знак

Отсутствие знака означает положительный результат

Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число.

Играй!

На числовой прямой положительный идет вправо, а отрицательный — влево.

Попробуйте использовать ползунки ниже и посмотрите, что произойдет:

числа/изображения/номер-линия-add.js?sub=n

Воздушные шары и гири

Давайте представим числа как шарики (положительные) и веса (отрицательные):

К этой корзине привязаны воздушные шары и грузы:

  • Воздушные шары подтягиваются ( положительный )
  • И гири тянутся вниз ( отрицательный )

Добавление положительного числа

Добавление положительных чисел — это простое сложение.

 

Мы можем добавить воздушные шары (мы добавляем положительное значение )

корзина поднимается вверх (положительный результат)

Пример: 2 + 3 = 5

на самом деле говорит

«Положительное 2 плюс положительное 3 равно положительному 5»

Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)

Вычитание положительного числа

Вычитание положительных чисел — это простое вычитание.

Мы можем забрать воздушные шары (мы вычитаем положительное значение )

корзина опускается вниз (негатив)

Пример: 6 − 3 = 3

на самом деле говорит

«Положительное 6 минус положительное 3 равно положительному 3»

Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)

Добавление отрицательного числа

Теперь давайте посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел:

Мы можем добавлять веса (мы добавляем отрицательные значения )

корзина опускается вниз (негатив)

Пример: 6 + (−3) = 3

на самом деле говорит

«Положительные 6 плюс отрицательные 3 равны положительным 3»

 

Мы могли бы записать это как (+6) + (-3) = (+3)

Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного значения) или добавление веса (добавление отрицательного значения) приводит к тому, что корзина опускается.

Таким образом, они имеют одинаковый результат :

  • (+6) − (+3) = (+3)
  • (+6) + (−3) = (+3)

Другими словами вычитание положительного равносильно добавлению отрицательного .

Вычитание отрицательного числа

Наконец, мы можем убрать веса (мы вычитаем отрицательные значения )

корзина поднимается вверх (положительный результат)

Пример: чему равно 6 − (−3) ?

6−(−3) = 6 + 3 = 9

Да, действительно! Вычитание минуса – это то же самое, что добавление!

Два минуса дают плюс

Что мы нашли?

Добавление положительного числа — это простое сложение…

Добавление положительного Добавление

 

Положительное и отрицательное вместе…

Вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

Пример: Сколько будет 6 − (+3) ?

6−(+3) = 6 3 = 3

Пример.

Сколько будет 5 + (−7) ?

5+(−7) = 5 7 = −2

 

Вычитание отрицательного значения …

Вычитание минуса аналогично Сложение

Пример: чему равно 14 − (−4) ?

14−(−4) = 14 + 4 = 18

Правила:

Все это можно поместить в два правила :

  Правило       Пример
+(+) Два одинаковых знака становятся положительным знаком     3+(+2) = 3 + 2 = 5
−(−)   6−(−3) = 6 + 3 = 9
           
+(-) Два разных знака становятся отрицательным знаком     7+(−2) = 7 2 = 5
−(+)   8−(+2) = 8 2 = 6
           

Они «подобны знакам», когда они похожи друг на друга (другими словами: одинаковы).

 

Итак, все, что вам нужно запомнить, это:

Два подобных знака становятся положительным знаком

Два отличных от знака становятся отрицательным знаком

Пример: чему равно 5+(−2) ?

+(-) — это в отличие от знаков (они не одинаковы), поэтому они становятся отрицательным знаком .

5+(−2) = 5 2 = 3

Пример: чему равно 25−(−4) ?

−(−) — это , как и знака, поэтому они становятся положительным знаком .

25−(−4) = 25+4 = 29

Стартовый отрицательный результат

Что, если мы начнем с отрицательного числа?

Использование числовой линии может помочь:

Пример: чему равно −3+(+2) ?

+(+) — это , как и знака, поэтому они становятся положительным знаком .

-3+(+2) = -3 + 2


Начните с -3 на числовой прямой,
продвиньтесь на 2, и вы окажетесь на -1

-3+(+2) = -3 + 2 = -1

Пример: чему равно −3+(−2) ?

+(-) — это , в отличие от знаков, поэтому они становятся отрицательными знаками .

−3+(−2) = −3 2


Начните с -3 на числовой прямой,
переместитесь назад на 2, и вы окажетесь на -5

−3+(−2) = −3 2 = −5

Теперь поиграй!

  Попробуйте сыграть в Casey Runner, вам нужно знать правила положительного и отрицательного, чтобы добиться успеха!

Объяснение здравого смысла

И есть объяснение «здравого смысла»:

Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас есть (положительно)

Если я скажу «Не есть!» Я говорю обратное (отрицательно).

Теперь, если я скажу: « НЕ НЕ ЕШЬ!», я говорю, что не ем. хочу, чтобы вы голодали, поэтому я снова говорю: «Ешьте!» (положительно).

Итак, два минуса дают плюс, и если вас это устраивает, то вы сделали!

 

Другое объяснение здравого смысла

Друг +, враг —

+ + ⇒ +   друг друга мой друг
+ — ⇒ —   друг врага мой враг
— + ⇒ —   враг друга мой враг
− − ⇒ +   враг врага мой друг

Пример банка

Пример: В прошлом году банк по ошибке списал с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.

Таким образом, банк должен забрать минус 10 долларов .

Допустим, ваш текущий баланс составляет 80 долларов США, поэтому у вас будет:

80 долл. США − (– 10 долл. США) = 80 долл.  + 10 долл. США = 90 долл. США

Итак, вы получаете $10 еще на свой счет.

Длинный пример, который может вам понравиться

Очки союзников

Элли может быть озорной или милой. Итак, родители Элли сказали

«Если вы будете хорошими, мы добавим 3 балла (+3).
Если вы капризничаете, снимаем 3 очка (−3).
Когда вы наберете 30 очков, вы получите игрушку.»

 

Союзник начинает день с 9 очками:   9
Мама Элли обнаруживает пролитое молоко:   9 − 3 = 6

Потом папа признается, что пролил молоко и пишет «отменить».

Как нам «отменить» минус 3?
Мы добавляем 3 обратно!

   
Мама считает:   6 − (−3) = 6 + 3 = 9

Итак, когда мы вычитаем минус, мы получаем
очков (т.е. то же, что добавление точек).


Таким образом, вычитание отрицательного значения равно . Сложение

.

 

Несколько дней спустя. У Элли 12 очков.    



Мама добавляет 3 очка, потому что в комнате Элли чисто.   12 + 3 = 15



Папа говорит: «Я убрал эту комнату» и пишет «отменить» на графике. Мама считает:   15 − (+3) = 12



Папа видит, как Элли расчесывает собаку. Пишет «+3» на графике. Мама считает:   12 + (+3) = 15



Элли бросает камень в окно.Папа пишет «-3» на графике. Мама считает:   15 + (−3) = 12

См.: как « 15 − (+3) », так и « 15 + (−3) » дают 12.

Итак:

Не имеет значения, вычитаете ли вы положительные очки
или добавляете отрицательные очки,
вы все равно теряете очки.

Итак, вычитание положительного
или
Добавление отрицательного
равно
Вычитание

 

Попробуйте эти упражнения …

Теперь попробуйте этот рабочий лист и посмотрите, как у вас получится.

А также попробуйте эти вопросы:

11715, 11716, 11717, 11718, 11719, 11720, 11721, 3445, 3446

Понятие о противоположных числах. Отрицательные числа. Встречные номера (Слупко М.В.)

§ 1 Понятие положительного числа

На этом уроке вы узнаете, какие числа называются противоположными, как найти противоположное число и что такое целые и рациональные числа.

Начнем с практической работы. На координатной линии отметьте точки A(2) и B(-2). Они симметричны и центром симметрии этих точек является начало координат O(0), так как расстояние OA=OB.

Мы видим, что координаты точек, симметричных относительно начала координат, являются числами, отличающимися только знаком. Такие числа называются противоположными.

Есть и другое определение противоположных чисел. Каковы модули чисел 2 и -2? Равно 2. Следовательно, противоположные числа — это числа, имеющие одинаковые модули, но разные по знаку.

Чтобы указать число напротив данного числа, используйте знак минус, который пишется перед данным числом. То есть противоположное a записывается как -a. Например, число 0,24 противоположно числу -0,24, число -25 противоположно числу -(-25), а число -25 на координатной прямой противоположно 25, значит -(-25) = 25. Отсюда следует, что -(-а) = а и а = -(-а).

§ 2 Свойства противоположных чисел

Выделим некоторые свойства противоположных чисел.

Число, противоположное положительному числу, является отрицательным, а число, противоположное отрицательному числу, является положительным. Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала координат.

Если число а противоположно числу b, то b противоположно а — это следует из свойства симметрии точек на координатной прямой.

Посмотрим на координатную линию. Сколько точек можно отметить на координатной прямой, симметричных данной относительно начала координат? Единственный.Это означает, что каждому числу соответствует только одно противоположное число.

Только одно число противоположно самому себе — это число 0, так как 0 = -0 (поэтому не принято писать -0).

Номера с общим признаком образуют набор (или группу), каждый набор имеет свое имя.

Напомним, что числа, которые мы используем при счете, называются натуральными числами, они образуют множество натуральных чисел.

У каждого натурального числа есть противоположное ему число.Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 называются целыми числами.

Может быть положительным или отрицательным дробным числом. Все целые числа и все дроби называются рациональными числами. Еще говорят, что вместе они образуют множество рациональных чисел.

Выделим еще две группы цифр. Возьмем координатную линию. Если убрать часть прямой, на которой расположены отрицательные числа, то получится луч с положительными числами и точкой отсчета будет 0.Остальные числа называются неотрицательными, то есть числами, которые больше или равны 0. Следовательно, неположительными числами являются все отрицательные числа и число 0, то есть числа, меньшие или равные 0.

Сегодня мы узнали, что такое противоположные, целые, рациональные, неотрицательные, неположительные числа, узнали, как найти число, противоположное заданному.

Список использованной литературы:

  1. Математика.6 класс: планы уроков к учебнику И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович // автор-составитель Л.А. Топилин. Мнемозина 2009
  2. Матем. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозина, 2013.
  3. .
  4. Матем. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
  5. .
  6. Справочник по математике — http://lyudmilanik.com.ua
  7. Пособие для учащихся общеобразовательных школ http://shkolo.ru

В этой статье мы попробуем разобраться, что такое противоположные числа. Мы объясним, что они вообще собой представляют, покажем, какие обозначения для них используются, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Чтобы объяснить саму концепцию противоположностей, нам сначала нужно провести координатную линию. Возьмем на ней точку М (только не в самом начале отсчета). Его расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые, в свою очередь, можно разделить на десятые и сотые доли.Если отмерить такое же расстояние от начала координат в направлении, противоположном тому, на котором находится М, то можно попасть в другую аналогичную точку. Назовем его N. Например, от М до нуля — расстояние 2, 4 единичных отрезка, и от N до нуля — тоже. Взгляните на картинку:

Напомним, что каждой точке координатной линии может быть сопоставлено только одно действительное число. При этом нашим точкам М и N соответствуют определенные числа, которые называются противоположными. У каждого числа есть противоположное число, кроме нуля.Поскольку это источник, он считается противоположным самому себе.

Запишем определение, что такое противоположные числа:

Определение 1

Противоположные называются числа, которые соответствуют таким точкам на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одинаковое расстояние от начала координат в разные направления (положительные и отрицательные). Ноль находится в начале координат и противоположен самому себе.

Как обозначаются противоположные числа?

В этом подразделе мы вводим основные обозначения для таких чисел.Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Пример 1

Предположим, что наше число равно а, следовательно, его противоположность равна а (минус а). Точно так же для 0,26 наоборот -0,26, а для 145 будет -145. Если исходное число само по себе отрицательное, например, — 9, то мы записываем обратное как — (- 9) .

Какие еще примеры противоположных чисел вы можете привести? Возьмем целые числа: 12 и — 12. Противоположные рациональные числа — это 3 2 11 и — 3 2 11, а также 8, 128 и — 8, 128, 0, (18901) и — 0, (18901) и т. д.Иррациональные числа также могут быть противоположными, например, значения числовых выражений 2+1 и — 2+1.

Противоположные иррациональные числа также будут e и -e .

Основные свойства противоположных чисел

Такие числа являются определенными свойствами. Ниже мы приводим их список с пояснениями.

Определение 2

1. Если исходное число положительное, то противоположное ему число будет отрицательным.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны от отсчета на координатной линии.Если вы забыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, который мы публиковали ранее.

Из этого правила можно вывести еще одно очень важное утверждение. В буквальном виде его запись такова: для любого положительного a будет верно − (− a) = a . Давайте на примере покажем, почему это важно.

Возьмем цифру 5. С помощью линии координат можно увидеть, что напротив нее стоит цифра — 5, и наоборот. Используя обозначение, которое мы указали выше, запишем число напротив — 5 как — (- 5).Получается, что — (- 5) = 5. Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга только наличием знака минус.

2. Следующее свойство называется свойством симметрии. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Это звучит так:

Определение 3

Если некоторое число a противоположно b, то b противоположно a.

Очевидно, это утверждение не нуждается в дополнительном доказательстве.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Определение 4

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение следует из того, что точки координатной линии не могут соответствовать сразу многим числам.

Определение 5

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета.

Определение 6

5. Если мы сложим противоположные числа, мы получим 0.

Буквально это утверждение выглядит как a + (− a) = 0 .

Пример 2

Вот примеры таких вычислений:

890 + (- 890) = 0 — 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Как видите, это правило работает для всех чисел — целых, рациональных, иррациональных и т. д.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

5 и -5 (рис. 61) равноудалены от точки О и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, нужно пройти те же расстояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и -5 называются противоположными числами: 5 противоположно 5, а -5 противоположно 5.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называются противоположными числами.

Например, противоположными числами будут 8 и -8, так как число 8 = + 8, а значит числа 8 и — 8 отличаются только знаками. Противоположные числа также будут

Для каждого числа существует только одно противоположное число.

Число 0 противоположно самому себе.

Число, противоположное о, равно -а. Если а = -7,8, то -а = 7,8; если а = 8,3, то — а = -8,3; если а = 0, то -а = 0. Запись «- (-15)» означает число, противоположное числу -15. Так как число, противоположное числу -15, равно 15, то — (- 15) = 15. В общем случае — (- а) = а.

Натуральные числа, их противоположные числа и нуль называются целыми числами.

? Какие числа противоположны?

Число b противоположно числу a. Какое число противоположно b?

Что противоположно нулю?

Есть ли число, у которого два противоположных числа?

Какие числа называются целыми?

К 910. Найдите противоположные числа:

911. Замените на такое число, чтобы получить правильное равенство:

912.Найдите значение выражения:

913. Найдите координаты точек А, В и С (рис. 62).

914. Какое число равно -х, если х:

а) отрицательное; б) ноль; в) положительный?

915. Заполните пустые места в таблице и отметьте на координате прямые точки, имеющие в качестве координат номера результирующей таблицы.

916. Решить уравнение:

а) — х = 607; б) — а = 30.4; c) — y= -3

917. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами:


P 918. Вычислите устно:

9000 какое целое число

9000.

координатная линия — число: 2,6; -тридцать; -6; -8

920. Найдите числа, находящиеся на расстоянии на координатной прямой: а) 6 единиц от числа -9; б) 10 единиц из числа 4; в) 10 единиц из числа -4; г) 100 единиц от числа 0.

921. Проведите координатную линию, взяв за единицу отрезок длину 4 клеток тетради, и отметьте на этой прямой точки F (2.25).

НО 922. Отметьте на «линии времени» следующие события из истории математики:

а) Книга «Начала» написана Евклидом в 3 веке до н.э. до н.э.

б) Теория чисел зародилась в Древней Греции в VI веке. до н.э.

в) Десятичные числа появились в Китае в 3 веке.

г) Теория отношений и пропорций была разработана в Древней Греции в 4 веке. до н.э.

д) Позиционная десятичная система счисления распространилась в странах Востока в IX веке. Сколько веков назад произошли эти события? Сравните «линию времени» и линию координат.

923. Укажите пары взаимно обратных чисел:

924. Виктор купил 2,4 кг моркови. Сколько моркови купил Коля, если известно, что он купил:

а) 0.на 7 кг больше, чем у Вити; е) что купил Витя;
б) на 0,9 кг меньше Вити; г) 0,5 от того, что купил Витя;
в) в 3 раза больше, чем у Вити; з) 20% от того, что купил Витя;
г) в 1,2 раза меньше, чем Вити; и) 120% от того, что купил Витя;
д) что купил Витя; j) На 20% больше, чем купил Витя?

925. Решить задачу:

1) Кирпичный завод должен был произвести 270 тысяч кирпичей для строительства Дворца культуры. Первую неделю
он выполнил задач, во вторую неделю выдал на 10% больше, чем в первую неделю.Сколько тысяч кирпичей осталось произвести на заводе?

2) За три дня колхоз продал государству 434 тонны зерна. В первый день он продал это количество, во второй день продал на 10% меньше, чем в первый день, а в третий день продал остаток зерна. Сколько тонн зерна продал колхоз на третий день?

926. Ноты различаются по продолжительности. Знак обозначает целую ноту, ноту половинной длины — половинную, шестнадцатую.

Проверить равенство длительностей:

D 927. Какие числа стоят напротив чисел:

928. Запишите все целые числа, меньшие 5, и числа напротив них.

929. Найдите значение:

930. Во второй день со склада выдано в 2 раза больше проволоки, чем в первый день, а в третий день в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов проволоки было выдано за эти три дня, если в первый день выдали на 30 кг меньше, чем в третий?

931.В колхозе на орошаемых землях собрано по 60,8 ц пшеницы с гектара. Замена старого сорта пшеницы на новый дает прибавку урожая на 25%. Сколько пшеницы теперь собирает колхоз с 23 гектаров орошаемого поля?

932. Составьте уравнение для каждой схемы и решите его:

933. Найдите значение выражения:

Виленкин Н. Я., А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Содержание урока конспект урока опорная рамка презентация урока ускоренные методы интерактивные технологии практика задания и упражнения самопроверка мастер-классы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания вопросы для обсуждения риторические вопросы от учащихся иллюстрации аудио, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графика, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основной и дополнительный словарь терминов прочее Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы нововведений на уроке замена устаревших знаний на новые Только для учителей идеальные уроки календарь план на год рекомендации дискуссионные программы интегрированные уроки

Интересным понятием из школьного курса обучения являются противоположные числа, которые можно рассматривать как математически, так и геометрически. Понимание этой темы упрощает изучение математики, позволяет быстро справиться с некоторыми задачами — поэтому рассмотрим, какие числа называются противоположными, и какие правила для них работают.

В чем суть термина?

Чтобы понять значение противоположных чисел, давайте на мгновение обратимся к геометрии. Проведем координатную линию и отметим на ней нулевую точку, а затем поставим на линии еще две отметки — например, «2» с правой стороны и «-2» слева от нуля.Разумеется, от обеих точек расстояние до начала координат будет совершенно одинаковым — и это легко проверяется измерениями. «2» и «-2» — это одинаковое расстояние от нуля, но в разных направлениях — соответственно, они полностью противоположны друг другу.

Вот в чем дело. Числа могут быть произвольно большими или маленькими, целыми или дробными. Однако у каждого из них есть определенное число, которое является его полной противоположностью. Определение можно дать так — если на линии координат от двух точек, поставленных по обе стороны от нуля, можно отложить равное расстояние до начала координат — эти точки, вернее, соответствующие им числа, будут противоположны .

Какие правила можно вывести из определения?

Стоит запомнить несколько безоговорочных утверждений, касающихся рассматриваемой темы:

  • Принцип противоположностей для двух чисел работает в обе стороны. Например, число 3 противоположно числу -3 — и поэтому число -3 противоположно только числу 3, а не какому-либо другому.
  • У числа не может быть двух противоположностей — всегда есть только одна.
  • Числа могут быть напротив друг друга.разные знаки. Если число положительное, то его противоположное число будет со знаком минус — например, 5 и -5. То же самое работает и в обратную сторону — для числа со знаком минус всегда будет противоположное число со знаком плюс — например, -6 и 6.
  • Два противоположных числа имеют одинаковое абсолютное значение или модуль. Другими словами, если для числа 4

В этой статье мы изучим напротив числа . Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называются противоположными, покажем, как обозначается число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Перечислим также основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Навигация по страницам.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет.

Отмечаем на координатной прямой точку М, отличную от начала координат. Мы можем попасть в точку М, последовательно откладывая от начала координат в направлении точки М одиночный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если отложить такое же количество единичных отрезков и его долей в обратном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N.Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (см. рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой, откладываем в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую часть единицы. Теперь отложим два отдельных сегмента и 4 сегмента, которые составляют десятую часть одного сегмента в положительном направлении. Так мы получаем точку N.

Мы почти готовы принять определение противоположных чисел, осталось только обсудить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует одно действительное число, следовательно, и точка M, и точка N соответствуют некоторым действительным числам.Поэтому числа, соответствующие точкам M и N, называются противоположными.

Отдельно нужно сказать о точке О — начале координат. Точка O соответствует числу 0 . Число ноль считается противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел .

Определение.

Два числа называются противоположными, если до точек, соответствующих этим числам на координатной прямой, можно добраться, отложив от начала координат в противоположные стороны одинаковое количество единичных отрезков, а также доли единичного отрезка, число 0 противоположно сам.

Обозначение противоположных чисел и примеры

Пришло время ввести обозначение противоположных чисел .

Чтобы указать число, противоположное данному числу, используйте знак минус, который пишется перед данным числом. То есть противоположное a записывается как -a. Например, число 0,24 противоположно числу -0,24, а число -25 противоположно числу -(-25) .

Приведем примера противоположных чисел . Пара чисел 17 и -17 (или -17 и 17) является примером противоположных целых чисел.Числа и являются противоположными рациональными числами. Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и -5,126. а также 0,(1201) и -0,(1201) . Осталось привести несколько примеров обратного

.