Общество рабочая тетрадь 6 класс соболева: ГДЗ по обществознанию 6 класс рабочая тетрадь Соболева

Содержание

ГДЗ по Обществознанию за 6 класс Рабочая тетрадь Алгоритм успеха Соболева О.Б.

Обществознание 6 класс Соболева О.Б. рабочая тетрадь

Авторы: Соболева О.Б.

Уроки обществознания не будут казаться такими сложными, если использовать «ГДЗ по обществознанию 6 класс Рабочая тетрадь Соболева (Вентана-граф)». Чаще всего дети испытывают затруднения, если не понимают учебный материал, который по сути им детально должны излагать учителя. Но порой преподавателям не хватает одного урока, чтобы разъяснить все нюансы. Поэтому ребятам приходится постигать все премудрости тематики самостоятельно. Справляются ли они с этим? Зависит от отношения ученика к учебе, так как если нет заинтересованности, то все будет делаться спустя рукава. Поэтому родителям необходимо удостовериться, что весь материал понят правильно, проверять д/з, не пуская это на самотек и конечно давать полноценные пояснения.

Конечно, шестиклассники часто не обращаются за помощью, ведь считают себя большими. Однако это может привести их прямиком к двойкам и не аттестации по предмету. Поэтому мамам и папам стоит вооружиться решебником, либо научить своего ребенка правильно им пользоваться.

ГДЗ — что включено в пособие по обществознанию 6 класс тетрадь Соболева

В сборник вошло 24 параграфа, а также итоговое тестирование. Все номера имеют тематическую направленность, поэтому можно заострить внимание на проблемных моментах. Лаконичные пояснения и верные ответы помогут ученикам:

  1. Улучшить свою успеваемость.
  2. Увеличить уровень знаний и подготовки к каждому уроку.
  3. Подготовиться ко всем проверочным и контрольным, которые решит устроить учитель.

Систематическое использование решебника может существенно улучшить навыки детей и придаст им уверенности в своих силах. К тому же приведенные в пособии сведения легко запоминаются, поэтому ребята легко смогут в дальнейшем ими воспользоваться.

Решебник — пригодится детям

Учеба в средней школе дается учащимся очень непросто, так как присутствует много раздражающих факторов. И одним из них является объем материала, который приходится изучать школьникам. Многие оказываются просто не готовы к тому, что некоторые аспекты программы им придется постигать самостоятельно, без поддержки учителей. Ограниченные во времени, дети начинают выбирать только те дисциплины, которые им нравятся или являются основными. Другие же заучиваются в большой спешке. Чтобы не упустить ничего важного, можно в качестве дополнительного подспорья использовать

«ГДЗ по обществознанию 6 класс Рабочая тетрадь Соболева О.Б. (Вентана-граф)», в котором есть все необходимые пояснения.

ГДЗ по обществознанию 6 класс рабочая тетрадь Соболева

Авторы: О.Б. Соболева

Издательство: Вентана-Граф

Тип книги: Рабочая тетрадь

ГДЗ рабочая тетрадь по обществознанию для 6 класса под редакцией О.

Б. Соболевой издательства Вентана-Граф серии УМК Алгоритм успеха состоит из 1 части и имеет 80 страниц. Данное учебное пособие полностью соответствует тематике и структуре содержания учебника В.В. Барабанова, И.П. Насонова.

Для шестиклассников предлагается познакомиться с более углубленным содержанием теории о системном строении общества, в частности об особенностях взаимоотношений и взаимодействия людей в социальной сфере. Учебно-методический комплект снабжен заданиями и вопросами к каждому теоретическому блоку. Результатом усвоения содержания учебного курса школьники смогут систематизировать полученные знания, обобщить их и применять на практике в процессе жизни в обществе. Шестиклассники поймут значимость толерантного отношения к другим людям, необходимость осуществления рационального выбора модели поведения при межличностном общении.

Сайт ЯГДЗ представляет вниманию своих посетителей авторские готовые домашние задания, содержащие ответы на все вопросы и задания. Наши решебники разработаны по специальном заказу, а вся информация прошла проверку специалистов. Использование наших ГДЗ позволит школьникам быстро и эффективно осуществлять проверку выполнения домашней работы, а также справляться даже с самыми трудными заданиями.

1 Введение

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 1. Происхождение человека

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§ 2. Похожие и непохожие

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 3. В гармонии с природой

1 2 3 4 5 6

§ 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§ 5. Как человек познаёт мир

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 6. Память

1 2 3 5 6

§ 7. Эмоциональный мир человека


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 8. Воспитываем характер

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 9. Способности человека

1 2 3 4 5 6 7

§ 10. Человеком рождаешься, личностью становишься

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

§ 11. Поведение и поступок

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

§ 12

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 13-14

1 2 3 4 5 6 7

§ 15

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 16-17

1 2 3 4 5 6

§ 18. Мораль в жизни человека

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 19

1 2 3 4 5 6 7 8

§ 20. На пике активности

1 2 3 4

§ 21. От зрелости к старости

1 2 3 4

§ 22

1 2 3 4 5 6

§ 23. Во что мы верим

1 2 3 4 5 6 7

§ 24. Искусство и наука

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Итоговое тестирование

ГДЗ путина орг — онлайн ответы на домашние задание

За партой грызть гранит науки современным школьникам приходится одиннадцать лет. К некоторым предметам они за это время проявляют рвение и любовь, другими же заниматься совершенно не хотят, ну или просто не могут, какая-то наука может и совсем не даваться ситуация это совершенно нормальная, поскольку крайне редко рождаются математики, физики и филологи в одном лице. На помощь в таких случаях современным школьникам приходят

готовые домашние задания. Раньше подобная литература продавалась исключительно в магазинах, сегодня же в сети интернет можно найти практически все что угодно, поэтому нет необходимости куда-то за ней ходить.
Достаточно зайти на наш сервис гдз путина орг, ведь он доступен с любого устройства, с которым, готовить домашнюю работу стало гораздо проще.

Большинство решебников рассчитано на учеников с пятого по одиннадцатый класс, однако существуют и по некоторым предметам и для начальных классов (1 по 4 класс). Готовые решения предлагаются по предметам, которые вызывают обычно наибольшее затруднение русскому и английскому языкам, химии, физике, геометрии и алгебре. Для того чтобы в случае сомнений проверить насколько правильно выполнено домашняя работа, нужно просто зайти в соответствующий раздел и сверить собственное решение с тем, которое предлагается в справочнике.

Учебники в разных школах могут различаться, однако для разных изданий выпускаются свои ГДЗ к учебникам и рабочим тетрадям. Часами просиживать, решая трудные задачки, сегодня нет никакой необходимости. Скорее всего, все родители признают, что в школьной программе присутствует много такой информации, которая школьнику в будущем просто не пригодится.

Не стоит считать, что готовыми заданиями пользуются только лентяи. Такие решебники помогают разобраться некоторым только со сложными задачами. К примеру, сама по себе химия школьнику очень даже нравится, однако некоторые номера никак не даются. А так же и сами родители могу разобраться в решении и помочь своему ребенку понять выполнение работы. Или просто же проверить задание, чтоб ваш ученик получил отличную оценку и порадовал вас и себя. В данном пособие он сможет найти подробное описание процесса решения задачи с несколькими вариантами решения, что в дальнейшем позволит ребенку с аналогичными задачами на экзаменах и контрольных справиться значительно лучше.

неравенств Соболева, тепловых ядер при течении Риччи и теории Пуанкаре

Содержание

Введение

Соболев Неравенство в евклидовом пространстве
Слабые производные и соболева площадь

W K, P ( D ), D Подмножество R N
Главная Теорема из вложения для W 0 1, p ( D )
Неравенство Пуанкаре и логнеравенство Соболева
Наилучшие константы и экстремали неравенств Соболева

Основы римановой геометрии
Римановы многообразия, связности, метрика Римана
Вторые ковариантные производные, кривизны
Общие дифференциальные операторы на многообразиях
Геодезические, экспоненциальные отображения, радиус инъективности и т.

д.
Интегрирование и сравнение объемов
Сопряженные точки, место сечения и радиус приемистости
Формулы типа Бохнера–Вейценбока

Неравенства Соболева на многообразиях
Основное неравенство Соболева
Соболев, лог Неравенства Соболева, ядро ​​теплопроводности
Неравенства Соболева и изопериметрические неравенства
Параболическое неравенство Харнака
Принцип максимума для параболических уравнений
Оценки градиента для уравнения теплопроводности 9007

Основы потока Риччи
Локальное существование, единственность и основные тождества
Принципы максимума в потоке Риччи
Качественные свойства потока Риччи
Солитоны, древние решения, модели сингулярности

Энтропии Перельмана и неравенство Соболева
Энтропии Перельмана и их монотонность
(Log) Неравенство Соболева при потоке Риччи
Критическое и локальное неравенство Соболева
Неравенство Харнака для сопряженного уравнения теплопроводности
Фундаментальные решения уравнений теплопроводности

Древние κ Решения и анализ сингулярности
Предварительные прелиминарии
Растворы теплового ядра и κ Растворы
Обратные пределы κ Растворы
Качественные свойства κ Решения
Сингулярность Анализ 3-мерго размеров Ricci

Неравенство Соболева с операциями
Краткое описание процесса операции
Неравенство Соболева, гипотеза о малой петле и операции

Приложения к гипотезе Пуанкаре
Эволюция областей вблизи шапочек перестроек
Каноническое свойство соседства с перестройками
Подведение итогов и заключение

Библиография

Индекс

Моделирование мазеров Ch4OH: приближение Соболева и метод ускоренной лямбда-итерации | Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества

Аннотация

Рассмотрена простая одномерная модель мазера CH 3 OH. Для расчета населенностей уровней молекул используются два метода: метод ускоренных лямбда-итераций и метод большого градиента скорости (LVG), или приближение Соболева. Приближение LVG дает точные результаты при условии, что характерные размеры среды превышают 5–10 длин резонансной области. Мы предполагаем, что это условие может быть выполнено только для самых больших наблюдаемых распределений мазерных пятен. Рассмотрены факторы, контролирующие накачку метанольных мазеров I и II классов.

1 ВВЕДЕНИЕ

Наблюдаются интенсивные мазерные переходы молекулы CH 3 OH в сторону массивных областей звездообразования. Высокая яркостная температура мазерного излучения позволяет нам наблюдать его с помощью метода интерферометрии с очень длинной базой (РСДБ), достигая очень высокого углового и скоростного разрешения.

Метанольные мазеры были эмпирически разделены на два класса (Батрла и др. , 1987; Ментен, 1991). Метанольные мазеры класса I часто обнаруживаются отдельно от мощных источников радиоконтинуума и инфракрасного излучения и связаны с ударно-волновым молекулярным газом (Cyganowski et al.2009 г.; Воронков и соавт. 2014). Самыми сильными и наиболее распространенными метанольными мазерами I класса являются 4 −1 → 3 0 E на частоте 36,2 ГГц и 7 0 → 6 1 A + на частоте 44,1 ГГц (Воронков и др. 20 и др. 20 и др. 20 и др. 20). ). Метанольные мазеры класса II находятся в непосредственной близости от отдельных молодых звездных объектов (YSO). Самые сильные и наиболее распространенные метанольные мазеры класса II наблюдаются на переходах 5 1 → 6 0 A + на частоте 6,7 ГГц и 2 0 → 3 −1 E на частоте 12.2 ГГц. В дополнение к сильным и распространенным мазерным переходам метанола, существует большое количество случаев, когда наблюдается мазерное излучение в меньшем числе источников (Эллингсен и др. , 2011). Метанольные мазеры класса II являются трассерами звездообразования с большой массой, в то время как мазеры класса I обнаруживаются в областях звездообразования как с большой, так и с малой массой (Сю и др., 2008; Чен и др., 2011; Каленский, Курц и др.). Бергман 2013).

Сильнейшие метанольные мазерные источники часто показывают излучение в нескольких переходах и проецируются на ультракомпактные (UC) области H ii, например, W3(OH) (Sutton et al.2001 г.; Москаделли и соавт. 2003). Однако интерферометрические наблюдения метанольных мазеров класса II на частотах 6,7 и 12,2 ГГц показывают, что в большинстве случаев мазерное излучение не связано с каким-либо наблюдаемым излучением радиоконтинуума, которое можно идентифицировать как сигнатуру области UC H ii ( Уолш и др., 1998; Миньер, Конвей и Бут, 2001). Многие метанольные мазеры связаны с источниками внутри темных облаков в инфракрасном диапазоне, которые, как считается, отмечают регионы, где звездообразование большой массы находится на самых ранних стадиях (Эллингсен, 2006). Эти результаты были интерпретированы с точки зрения метанольных мазеров класса II, отслеживающих эволюционную фазу, которая в значительной степени предшествует образованию области UC H ii.

Ранние теоретические модели метанольных мазеров использовали механизм столкновительной накачки (Стрельницкий, 1981). Впоследствии было установлено, что метанольные мазеры класса I имеют механизм столкновительной накачки, а метанольные мазеры класса II нуждаются в поле излучения в качестве источника накачки (Walmsley et al., 1988; Zeng & Lou, 1990; Cragg et al.1992 год; Цзэн, 1992). Основное и первое торсионно-возбужденное состояние молекулы были включены в ранние численные модели. Эти модели не могли объяснить наблюдаемые высокие яркости метанольных мазерных источников класса II. Модель сильного метанольного мазера класса II на частоте 12,2 ГГц была предложена Соболевым и Дегучи (1994). В их модели молекулы метанола возбуждаются до первого и второго торсионно-возбужденных состояний излучением горячей пыли. Инверсная населенность является результатом радиационного и столкновительного каскада обратно в основное состояние в относительно холодном газе.Впоследствии модель была расширена для изучения физических условий, необходимых для накачки мазерной линии 6,7 ГГц и других мазерных переходов (Соболев, Крагг и Годфри, 1997a,b; Крагг, Соболев и Годфри, 2002, 2005).

Были разработаны различные методы получения самосогласованного набора населенностей уровней и радиационных полей (Гринин, 1984; Рыбицки, 1984; Хубени, 2001). Вероятностный подход к решению задач переноса излучения в спектральных линиях в среде с большими градиентами скорости (БСС) был впервые сформулирован Соболевым (1957, 1960).В большинстве случаев для оценки населенностей уровней молекулы метанола применялось только приближение LVG или Соболева. Первоначально сформулированное приближение Соболева не учитывает влияние непрерывной непрозрачности на интенсивность линии. Hummer & Rybicki (1985) обобщили приближение LVG, включив в него эти эффекты. Мы использовали их результаты в наших расчетах.

Настоящее исследование направлено на моделирование механизма накачки метанольных мазеров. Впервые в расчетах населенностей уровней метанола и интенсивностей линий используются приближение LVG с полным учетом континуальных эффектов и метод ускоренных лямбда-итераций (ALI).Обсуждается зона применимости приближения LVG.

2 ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

2.1 Геометрические и физические параметры мазерных облаков

Метанольные мазеры класса II на частотах 6,7 и 12,2 ГГц интенсивно изучались методом РСДБ. Москаделли и соавт. (2003) сообщили о результатах VLBA-наблюдений метанольных мазеров 12,2 ГГц в направлении области UC H ii W3(OH). Мазерное излучение наблюдается как совокупность центров мазерного излучения – «мазерных пятен».Размеры мазерных пятен в W3(OH) варьируются в пределах 1–7 а.е. при среднем размере 3 а. е. Спектры мазерных пятен очень хорошо воспроизводятся одиночными гауссовыми профилями с характерными ширинами линий на полувысоте около 0,1–0,3 км с −1 . Мазерный спектральный анализ предполагает, что мазеры 12 ГГц в W3(OH) ненасыщены (Москаделли и др., 2003). Эмиссия ненасыщенных мазеров значительно сужена по сравнению с профилем линии коэффициента эмиссии. Коэффициент сужения линии составляет около 3–4 для сильных ненасыщенных мазеров (Watson, Sarma & Singleton, 2002).Таким образом, ожидается, что дисперсия турбулентных скоростей в массирующих газовых сгустках будет равна 0,5–1 км с −1 , чтобы обеспечить наблюдаемые ширины мазерных линий.

Мазерные пятна часто сгруппированы в группы – «мазерные детали», излучающие в смежных частотных каналах. Обычно считается, что одна мазерная характеристика соответствует отдельному сгущающемуся облаку газа – кинематическая интерпретация (Moscadelli, Sanna & Goddi 2011). Мы исходили из этой точки зрения в наших расчетах. В некоторых моделях предполагается, что мазерные пятна представляют собой корреляции в распределениях физических параметров в пределах области образования мазера, которая на порядки больше размера пятна (Соболев, Валлин и Уотсон, 1998).Как указывалось в Sobolev & Gray (2012), кинематическая интерпретация скоростей мазерных пятен не должна рассматриваться как противоречащая существованию корреляций в протяженных областях мазинга.

Москаделли и др. (2011) изучали миллисекундную структуру метанольных мазеров класса II на частоте 6,7 ГГц с высоким разрешением по скорости в четырех областях звездообразования с большой массой. Большинство обнаруженных мазерных элементов на частоте 6,7 ГГц представляют собой упорядоченное (линейное или дугообразное) распределение мазерных пятен на плоскости неба вместе с регулярным изменением локальной стандартной скорости покоя пятна (LSR) в зависимости от положения.Размеры мазерных деталей в проекции на небо варьируются от 5 до 50 а.е. Типичные значения амплитуды градиентов скорости LSR (определяемой через производную скорости пятна LSR с положением) оказались равными 0,05–0,1 км с −1 а. е. −1 . Эти данные рассматриваются как оценка градиента скорости газа в мазерных облаках.

На сегодняшний день имеется несколько РСДБ-наблюдений метанольных мазеров класса I (Воронков и др., 2012). Мацумото и соавт. (2014) выполнили VLBI-изображение 44.Метанольный мазер класса I с частотой 1 ГГц в направлении массивной области звездообразования IRAS 18151–1208. Размеры компонентов мазера лежат в диапазоне 5–20 а.е., а яркостные температуры достигают 10 10 К.

Minier et al. (2005) представили многоволновые исследования пяти метанольных мазеров, которые не связаны напрямую с областью UC H ii. Каждый радиотихий мазерный участок связан с массивным и светящимся молекулярным сгустком. Спектральное распределение энергии для большинства источников имеет холодную (40–50 К) и горячую (100–250 К) составляющие.Горячий компонент, скорее всего, исследует центральную область оболочки вокруг светящегося протозвездного объекта. Кроме того, рядом с метанольными мазерами обнаруживаются более холодные газовые сгустки, видимые только в миллиметровом диапазоне. Эти сгустки могут представлять собой еще более раннюю фазу формирования массивных звезд или, наоборот, холодные сгустки могут быть скоплениями маломассивных YSO (Минье и др., 2005). Эти данные можно использовать для оценки характерных температур пыли в метанольных мазерах I и II классов.

Производство метанола в газофазных химических реакциях неэффективно (Hartquist et al.1995). Метанол производится из пылинок путем гидрирования молекул CO (Гаррод и др., 2006). Предполагается, что содержание метанола увеличивается в мазерных областях из-за испарения мантий ледяных зерен или из-за процессов распыления в ударных волнах (Хартквист и др., 1995; Флауэр, Пино Де Форе и Рабли, 2010; Юсеф-Заде и др.). . 2013). Доля содержания метанольного льда выводится из наблюдений за составом ледяной мантии и составляет около 10 −5 в межзвездных облаках (Whittet et al.2011). Эта оценка рассматривается как верхний предел содержания молекул метанола в газовой фазе.

2.

2 Расчетная модель

Рассмотрим одномерную модель плоского газопылевого облака (см. рис. 1). Координатная ось z перпендикулярна плоскости облаков. Предположим, что существует постоянный градиент скорости газа вдоль оси z , k v = d v /d z ≥ 0. Скорость газа v ( z ) = 0 в г = 0.Пусть μ — косинус угла между осью z и направлением излучения. Облако состоит из смеси молекул H 2 и CH 3 OH, атомов He и пылевых частиц. Физические параметры облака (температуры газа и пыли, плотность атомов и молекул, содержание пыли) считались не зависящими от координат.

Рисунок 1.

Рисунок 1.

В расчетах использовалась пылевая модель Weingartner & Draine (2001) со следующими параметрами: отношение визуального погасания к покраснению R V = 3.{{\rm ext}}_{{\rm d}} ​​= 150$| K. Параметры внешнего пылевого слоя аналогичны принятым у других исследователей (Cragg et al. 2005). В нашей модели учитывалось космическое микроволновое фоновое (CMB) излучение при температуре 2,7 К. Фоновое континуумное излучение UC H ii в наших расчетах не учитывалось.

Параметры модели приведены в таблице 1. Наш список физических параметров основан на результатах предыдущих численных моделей (Cragg et al. 2005; McEwen, Pihlström & Sjouwerman 2014).

3 6 K7 Температура пыли, T D 7 50 K0
1 . 2 . 3 .
Толщина облаков, H   30 а.е. 5 × 10 6 см -3 -3 -3 7 номер плотности CH 3 О (A- и E-виды), N M 0 1 100 см -3
Температура газа, T G G 0 50-200 K 150 K
150 K
Микро турбулентная скорость , v турб   0. 5 км -1 -1
градиент скорости, K V V 0 1 0,05 км S -1 AU -1
3 6 K7 Температура пыли, T D 7 50 K0
1 . 2 . 3 .
Толщина облаков, H   30 а.е. 5 × 10 6 см -3 -3 -3 7 номер плотности CH 3 О (A- и E-виды), N M 0 1 100 см -3
Температура газа, T G G 0 50-200 K 150 K
150 K
Микро турбулентная скорость , v турб   0. 5 км -1 -1
градиент скорости, K V V 0 1 0,05 км S -1 AU -1
3 6 K7 Температура пыли, T D 7 50 K0
1 . 2 . 3 .
Толщина облаков, H   30 а.е. 5 × 10 6 см -3 -3 -3 7 номер плотности CH 3 О (A- и E-виды), N M 0 1 100 см -3
Температура газа, T G G 0 50-200 K 150 K
150 K
Микро турбулентная скорость , v турб   0. 5 км -1 -1
градиент скорости, K V V 0 1 0,05 км S -1 AU -1
3 6 K7 Температура пыли, T D 7 50 K0
0
1 . 2 . 3 .
Толщина облаков, H   30 а.е. 5 × 10 6 см -3 -3 -3 7 номер плотности CH 3 О (A- и E-виды), N M 0 1 100 см -3
Температура газа, T G G 0 50-200 K 150 K
150 K
Микро турбулентная скорость , v турб   0. 5 км -1 -1
Градиент скорости, K V V 0 1 0,05 км S -1 AU -1 AU -1 0

3 Расчет CH

3 О уровень популяции

3.1 Спектроскопические данные и коэффициенты частоты столкновений

Молекулы метанола существуют в двух различных формах ядерных спинов, связанных с идентичностью протонов в метильной группе (CH 3 ).В метаноле А-типа спины трех протонов «параллельны», и результирующее квантовое число ядерного спина I = 3/2. Уровни метанола типа А помечены символом «+» или «-», относящимся к квантовому числу четности. В метаноле Е-типа спин одного из протонов противоположен спину двух других, и I = 1/2. Поскольку метанол Е-типа существует в двух вырожденных формах, статистическое отношение численности частиц симметрии равно 1. Здесь предполагается, что молекулы А и Е одинаково распространены.

В наших расчетах заселенностей уровней метанола учитывались уровни с квантовым числом углового момента J ≤ 15 и принадлежащие торсионным состояниям v t = 0, 1 и 2. Число уровней внутри каждого торсионного состояния равно равно 256, что составляет всего 768 уровней для каждого из состояний симметрии молекулы. Уровни энергии и силы линий были взяты из Mekhtiev, Godfrey & Hougen (1999).

Коэффициенты скоростей для столкновительных переходов между уровнями метанола при столкновениях метанола с атомами He и молекулами H 2 взяты из Rabli & Flower (2010a,b, 2011).Для столкновений метанола с атомами He и молекулами пара-H 2 Rabli & Flower (2010a,b) предоставили коэффициенты скоростей для вращательных (упругих при кручении) переходов для набора уровней метанола и температур газа (≤200 K), рассматриваемых в наших расчетах. Для орто-H 2 в качестве партнера по столкновению в столкновениях CH 3 OH–H 2 коэффициенты скоростей были рассчитаны Rabli & Flower (2010b) для переходов с участием уровней с J ≤ 9 от земли. торсионное состояние молекулы метанола (100 уровней).Для 9 < J ≤ 15 и для переходов в торсионно-возбужденных состояниях коэффициенты скоростей полагались такими же, как и для столкновений с пара-H 2 . Это предположение приводит к недооценке вклада орто-H 2 в столкновительный перенос между этими возбужденными уровнями, поскольку коэффициенты скоростей орто-H 2 имеют тенденцию быть больше, чем пара-H 2 (Rabli & Flower). 2010b). Rabli & Flower (2011) рассчитали коэффициенты скоростей для ограниченного набора торсионно-неупругих переходов при столкновениях метанола с атомами гелия.Для торсионно-неупругих переходов, вызванных пара-H 2 , Рабли и Флауэр (2011) предложили использовать доступные коэффициенты скоростей для атомов He и утроить эти значения для столкновений с орто-H 2 .

Поскольку нормальные радиационные и столкновительные процессы не изменяют ядерный спин молекулы, населенности уровней метанола А- и Е-типа рассчитывались независимо. Влияние перекрытия линий на возбуждение метанольных мазеров оказалось незначительным (Cragg et al.2002). Крэгг и др. (2005) исследовали эффекты включения более возбужденных энергетических уровней метанола в расчеты заселенностей уровней (торсионно-возбужденные состояния v t = 3, 4 и колебательная мода CO-растягивания). Они обнаружили, что эти эффекты существенны только при высоких температурах газа T g > 200 К, при температурах пыли T d > 300 К и при больших плотностях столба метанола.

3.{\uparrow}(z) &=& B_{{\rm ki}} J_{{\rm ik}}(z), \end{eqnarray}

(3)где A ik и B ik , B ki — коэффициенты Эйнштейна для спонтанного излучения и вынужденного излучения и поглощения соответственно; J ik ( z ) — усредненная по направлению и по профилю линии интенсивность излучения. Рассмотрен перенос излучения в плоскопараллельной геометрии.{1} {\ rm d} \ мю \; \ phi _ {{\ rm ik}} (z, \ mu , \ nu ) I (z, \ mu , \ nu ), \end{equation}

(4)где I ( z , µ, ν) – интенсивность излучения на частоте ν в направлении µ, а ϕ ik ( z , µ, ν) – интенсивность излучения нормированный профиль спектральной линии. Интенсивность линии I ( z , μ, ν) определяется из уравнения переноса излучения (Mihalas & Mihalas 1984):

\begin{equation} \ mu \ frac {{\ rm d} I (z, \ mu , \ nu )} {{\ rm d} z} = — \ kappa (z, \ mu , \ nu ) I (z, \ mu , \ ню ) + \varepsilon (z,\mu ,\nu ), \end{equation}

(5)где κ( z , μ, ν) и ε( z , μ, ν) — коэффициенты поглощения и излучения соответственно.Спектральный профиль коэффициентов излучения и поглощения в лабораторной системе отсчета равен

\begin{equation} \displaystyle \phi _{{\rm ik}}(z, \mu , \nu) = \tilde{\phi}_{{\rm ik}} \left[\nu — \mu \nu _{{\ rm ik}} v(z)/c \right], \end{equation}

(6)где |$\tilde{\phi}_{{\rm ik}}(\nu )$| – нормированный профиль спектральной линии в сопутствующей системе отсчета газа, ν ik – частота перехода, v ( z ) – скорость газа вдоль оси z . 2, \end{equation}

(7)где v th — наиболее вероятное значение тепловой скорости молекул, а v turb — характерная микротурбулентная скорость в облаке.

3.3 Метод ускоренной лямбда-итерации

Подробное описание метода ALI для решения системы основных уравнений для заселенностей молекулярных уровней, связанной с уравнением переноса излучения, было дано Rybicki & Hummer (1991).Этот метод был использован нами при моделировании мазерной накачки H 2 O в Нестеренок (2013a,b, 2015) и Нестеренок и Варшалович (2014). Здесь численная схема была изменена для учета LVG газа в облаке. Максимальное значение толщины слоя z max определяется условием, что изменение скорости газа на этом расстоянии равно 0,1 v D . Количество слоев, на которые разбилось облако, составляет N ≥ 100 и зависит от величины градиента скорости. Радиационный перенос для переходов с инвертированными населенностями уровней трактовался аналогично тому, как это использовалось в Yates, Field & Gray (1997) – отрицательное значение непрозрачности линии менялось на положительное значение, равное ζ = 0,1 абсолютного значения непрозрачности. Численная схема тестировалась при различных значениях параметра ζ.

3.4 Приближение LVG

Уравнение переноса излучения (5) можно проинтегрировать для плоскопараллельной среды с монотонным полем скоростей (Хаммер, Рыбицки, 1985).В пределе Соболева

\begin{equation} z \gg \Delta z_{{\rm D}}, \quad \Delta z_{{\rm D}} = v_{{\rm D}} \frac{{\rm d}z}{{\rm d }в}, \end{equation}

(8)где z = 0 соответствует границе облака. Характерные размеры среды предполагаются много большими, чем Δ z D . Введем параметры молекулярной линии i k :

\begin{equation} \gamma = \frac{1}{\kappa _{{\rm L}} \Delta z_{{\rm D}}}, \quad \delta = \frac{1}{\kappa _{{\rm c }} \Delta z_{{\rm D}}}, \end{equation}

(9)где κ c — коэффициент поглощения пыли на частоте линии, κ L ϕ( x ) — коэффициент непрозрачности линии, ϕ( x ) = exp (− x 2 )/π 1/2 , x = (ν − ν ik )/Δν ik . Параметры δ и γ считаются общими, медленно меняющимися функциями координаты z . Средняя интенсивность J ik ( z ) в молекулярной линии может быть рассчитана (Hummer & Rybicki 1985):

\begin{выравнивание} J_{{\rm ik}}(z) &=& S_{{\rm L}}(z) \left[1 — 2\scr {P}(\delta , \gamma ) \right] \nonumber\\ &&+\, S_{{\rm c}}(z) \left[ 1 — \scr {L}(\delta , \gamma , \tau _{{\rm c1}}) — \scr {L}( \ дельта , \ гамма , \ тау _ {{\ rm c2}}) \ справа], \end{eqnarray}

(10)где S L — линейная функция источника, S c — функция источника в континууме, τ c1 и τ c2 — оптические глубины континуума к каждой из границ облака.2} \справа).} \end{eqnarray}

(11)При учете непрерывной непрозрачности решение уравнения переноса излучения в приближении LVG зависит не только от локальных параметров δ и γ, но и от размеров облака и распределения пыли в облако. Обратите внимание, что Hummer & Rybicki (1985) не рассматривали поле внешнего излучения.

Значения |$\scr {P}(\delta , \gamma )$| рассчитаны для сетки параметров γ и δ. Диапазоны параметров γ и δ приняты равными [10 −6 , 10 14 ] и [10 −2 , 10 9 ] соответственно; количество узлов сетки на порядок принято равным 16.Мы использовали алгоритмы интегрирования и интерполяции, опубликованные в книге Press et al. (2007). Относительная точность интегрирования была установлена ​​равной 10 −5 , использовалась бикубическая интерполяция в пределах квадрата сетки.

Система уравнений статистического равновесия (2) с интенсивностью линии, заданной уравнением (10), решалась итерационно. Итерационная серия обрабатывалась так же, как и в методе АЛИ (Нестеренок, 2015). Критерием сходимости итерационного ряда служило условие максимального относительного изменения населенностей уровней за две последовательные итерации <10 −4 .

4 РЕЗУЛЬТАТА

4.

1 Аппроксимация LVG и метод ALI

Принятые в расчетах физические параметры газопылевого облака благоприятны для накачки метанольных мазеров II класса (столбец 3 таблицы 1). Но излучение от внешнего пылевого слоя и реликтовое излучение в расчетах не учитывались (используемые в нашей работе аппроксимационные уравнения LVG не учитывают поля внешнего излучения).

Исследовано влияние сплошной непрозрачности на интенсивность линии в приближении LVG. Рассмотрен первый член выражения интенсивности (10): отношение члена с учетом непрозрачности пыли к члену без учета непрозрачности пыли рассчитано для всех радиационных переходов А- и Е-форм метанола . Распределение параметра показано на рис. 2 (сплошная линия). Большинство молекулярных линий оптически тонкие в направлении, перпендикулярном плоскости облака, и имеют значения γ > 1.Значения односторонней функции вероятности проигрыша |$\scr {P}(\delta , \gamma )$| в этом случае близко к 0,5. Однако разница |$1-2\scr {P}(\delta , \gamma )$| очень чувствителен к непрозрачности пыли. Как следствие, первый член в выражении интенсивности (10) уменьшается более чем на порядок для значительной доли молекулярных линий при учете непрозрачности пыли. Рассматривается отношение второго члена выражения интенсивности (10) к полной интенсивности (штриховая линия на рис.2). Видно, что для большинства молекулярных линий параметр близок к единице. Эмиссия пыли определяет интенсивность излучения этих молекулярных линий.

Рис. 2.

Распределение параметров, характеризующих влияние пыли на интенсивность линии. Количество бинов на порядок равно 5 по оси x . Ось y показывает долю молекулярных линий, которые имеют значение параметра в пределах одного бина.Результаты соответствуют z = H /2.

Рис. 2.

Распределение параметров, характеризующих влияние пыли на интенсивность линии. Количество бинов на порядок равно 5 по оси x . Ось y показывает долю молекулярных линий, которые имеют значение параметра в пределах одного бина. 2 A_{{\rm ik}} N}{8 \pi \sqrt{\pi} \Delta \nu _{\rm ij}} \left[n_{{\rm i}}(z)-\frac{g_{{\rm i}}}{g_{{\rm k}}}n_{{\rm k}}(z) \right ], \end{equation}

(12)где N — числовая плотность молекул (метанол с А- или Е-симметрией).На рис. 3 показана зависимость усиления мазерной линии на частоте 6,7 ГГц от глубины облака, рассчитанная с помощью метода ALI и приближения LVG. Имеется значительное расхождение результатов двух методов при высоте облаков H = 30 а.е. Параметр H z D в этом случае равен 2,6. Согласно точным расчетам, усиление имеет отрицательные значения почти на всех глубинах облаков, в то время как приближение LVG обеспечивает высокие положительные значения мазерного усиления.Имеется совпадение результатов двух методик при большой высоте облачности – разница между значениями усиления в центре облачности составляет около 10 % при H = 90 а.е. 7.9) и около 2% при H = 150 а.е. ( H / z D = 13).

Рис. 3.

Коэффициент усиления мазерной линии 6,7 ГГц 5 1 → 6 0 A + в зависимости от глубины облака.Значения усиления даны при Δ z D z H − Δ z D для результатов приближения LVG. Результаты представлены для трех значений высоты облаков: I – 30 а.е.; (II) 90 а.е.; (III) 150 а.е. При рассматриваемых параметрах Δ z D = 11,5 а.е.

Рис. 3.

Коэффициент усиления мазерной линии 6,7 ГГц 5 1 → 6 0 A + мазерная линия в зависимости от глубины облака.Значения усиления даны при Δ z D z H − Δ z D для результатов приближения LVG. Результаты представлены для трех значений высоты облаков: I – 30 а.е.; (II) 90 а.е.; (III) 150 а.е. При рассматриваемых параметрах Δ z D = 11,5 а.е.

На рис. 3 видно, что мазерное усиление существенно зависит от высоты облаков. Чем больше высота облака, тем больше оптическая толщина пыли и тем интенсивнее излучение пыли.Это делает накачку метанольных мазеров класса II более эффективной, поскольку эти мазеры имеют радиационный механизм накачки. При рассматриваемых параметрах модели ( H = 30 а.е.) оптическая толща пыли перпендикулярно плоскости облака составляет около 0,05 на длинах волн 20–30 мкм – примерных длинах волн фотонов накачки. Несмотря на малую оптическую толщину пыли, влияние пыли, смешанной с газом, на мазерную накачку существенно. Этот эффект также обсуждается Sutton et al.(2001).

Результаты моделирования для других мазерных переходов аналогичны результатам моделирования для линии мазера 6,7 ГГц, показанной на рис. 3. Значения усиления, рассчитанные с помощью приближения LVG, выше, чем результаты точных расчетов переноса излучения для мазерных переходов, которые имеют механизм радиационной накачки (метанольные мазеры II класса). Усиление увеличивается с увеличением высоты облаков для этих мазерных линий. Согласно нашим расчетам, результаты приближения LVG ниже, чем точные результаты для мазеров со столкновительной накачкой (метанольные мазеры класса I).Для этих мазеров коэффициент усиления уменьшается с увеличением высоты облаков.

4.2 Метанольные мазеры класса I и класса II

В данном разделе представлены результаты расчетов населенностей уровня метанола методом АЛИ. Учитывалось излучение внешнего пылевого слоя (для метанольных мазеров II класса) и реликтовое излучение.

На рис. 4 представлена ​​зависимость усредненного по облакам коэффициента усиления нескольких метанольных мазеров класса I от температуры газа.Физические параметры приведены в столбце 2 таблицы 1. Коэффициент усиления мазерных переходов увеличивается с ростом температуры газа, что является признаком столкновительного механизма накачки. Наши результаты аналогичны выводам McEwen et al. (2014). Прирост не зависит от обилия холодной пыли в нашей модели.

Рис. 4.

Коэффициент усиления мазерных линий в зависимости от температуры газа. Рассматриваются только метанольные мазеры I класса: 9 −1 → 8 −2 E на частоте 9.9 ГГц, 4 -1 → 3 0 E на 36,2 ГГц, 7 0 → 6 1 A + на 44,1 ГГц, 8 0 → 7 1 A + в 95,2 ГГц и 11 −1 → 10 −2 E на частоте 104 ГГц. Рядом с каждой кривой указана частота линии в ГГц.

Рис. 4.

Коэффициент усиления мазерных линий в зависимости от температуры газа. Рассматриваются только метанольные мазеры I класса: 9 −1 → 8 −2 E на частоте 9.9 ГГц, 4 -1 → 3 0 E на 36,2 ГГц, 7 0 → 6 1 A + на 44,1 ГГц, 8 0 → 7 1 A + в 95,2 ГГц и 11 −1 → 10 −2 E на частоте 104 ГГц. Рядом с каждой кривой указана частота линии в ГГц.

На рис. 5 представлена ​​зависимость усредненного по облакам усиления нескольких мазерных переходов от коэффициента заполнения внешнего пылевого слоя Вт d . Физические параметры представлены в столбце 3 таблицы 1.Усиление метанольных мазеров II класса на частотах 6,7 и 12,2 ГГц увеличивается с увеличением коэффициента заполнения внешнего пылевого слоя. Противоположное верно для мазеров класса I на частотах 9,9, 25 и 104 ГГц. Механизмы столкновительной и радиационной накачки конкурируют друг с другом: сильное инфракрасное излучение гасит мазеры класса I, накачиваемые столкновениями, и усиливает мазеры класса II. Тем не менее, мазеры разных типов могут сосуществовать в одной мазерной области — коэффициент усиления некоторых метанольных мазеров класса I может быть высоким в сильном поле инфракрасного излучения.Наши результаты согласуются с выводами Воронкова и соавт. (2005).

Рис. 5.

Усиление мазерных линий в зависимости от коэффициента заполнения внешнего пылевого слоя. Речь идет о линиях: 5 1 → 6 0 A + на частоте 6,7 ГГц, 2 0 → 3 −1 E на частоте 12,2 ГГц, 9 −1 2 → 8 2 E на частоте 9,9 ГГц, 5 2 → 5 1 E на частоте 25 ГГц и 11 −1 → 10 −2 E на частоте 104 ГГц.

Рис. 5.

Усиление мазерных линий в зависимости от коэффициента заполнения внешнего пылевого слоя. Речь идет о линиях: 5 1 → 6 0 A + на частоте 6,7 ГГц, 2 0 → 3 −1 E на частоте 12,2 ГГц, 9 −1 2 → 8 2 E на частоте 9,9 ГГц, 5 2 → 5 1 E на частоте 25 ГГц и 11 −1 → 10 −2 E на частоте 104 ГГц.

Длина области усиления по лучу зрения должна быть L ≈ 20 H = 600 а.е. для обеспечения оптической толщины τ ≳ 20 в сильных мазерных линиях в нашей модели.По нашим оценкам метанольные мазеры насыщаются на оптических глубинах около 15–20 (угол падения мазерного излучения принимался равным ΔΩ/4π = 10 − 3 , фоновое излучение не учитывалось). Температуры возбуждения мазерных уровней лежат в диапазоне 1–100 К. Таким образом, модель может учитывать высокие яркостные температуры T b ∼ 10 9 –10 10 К метанола как I, так и II класса. мазеров, но требуются большие коэффициенты излучения L / H ≳ 20.Заметим, что для получения высоких значений мазерного усиления в нашей модели было взято высокое содержание молекулы метанола в газовой фазе x m = 10 −5 .

5 ОБСУЖДЕНИЕ

В случае LVG фотовзаимодействие в произвольной точке среды определяется радиационной связью с ее локальной окрестностью – областью резонанса. Длина резонансной области Δ z D зависит от полуширины профиля коэффициента поглощения и градиента скорости в данной точке.Приближение LVG дает точные решения задачи переноса излучения при условии, что характерные размеры среды много больше длины резонансной области (Гринин, 1984). Интенсивность излучения в молекулярных линиях определяется функциями вероятности потерь того, что испущенные в точке фотоны либо вылетают из области резонанса, либо поглощаются в континууме. Поглощение континуумом является важным механизмом потери фотонов в запыленной среде. Кроме того, пылевое излучение может принимать участие в накачке мазеров.Мы показали, что непрерывная непрозрачность играет важную роль в определении интенсивности излучения и должна точно учитываться. Как правило, при решении задачи переноса излучения в высокоскоростных потоках эффекты излучения континуума и поглощения континуумом в области резонанса не учитывались или делались упрощенные предположения (Castor & van Blerkom, 1970; Deguchi, 1981).

Мазерное излучение возникает из компактных областей размером в несколько десятков а.е.Мы предполагаем, что каждой мазерной детали соответствует отдельное газопылевое облако с размерами, сравнимыми с наблюдаемыми размерами излучающей области. В этом случае размер излучающей области на плоскости неба можно принять за характерное расстояние изменения физических параметров среды, таких как плотность газа или содержание молекул. Согласно нашим расчетам, результаты приближения LVG и метода ALI согласуются при большой высоте облаков, H > 5Δ z D .Это условие может быть выполнено только для самых больших наблюдаемых мазерных деталей H > 50 а.е. (при рассматриваемом градиенте скорости и микротурбулентной скорости). В этом случае метод вероятности выхода дает точные результаты в глубоких слоях облаков, но не работает во внешних слоях. Результаты приближения LVG существенно отличаются от результатов точных расчетов при малой высоте облаков H ≃ 2∆ z D (см. рис. 3). В этом случае расчеты, основанные на приближении LVG, дают неправильные ограничения на физические параметры в мазерном источнике.Например, расчеты приближения LVG воспроизведут результаты, показанные на рис. 3, для метода ALI при малой высоте облачности, если плотность газа взять в два раза меньше значения, приведенного в таблице 1.

При малой высоте облачности, реальные функции вероятности потерь выше, чем значения, заданные уравнениями (11) (Rybicki 1984). В этом случае интенсивность излучения в молекулярных линиях завышена, если использовать уравнения (10,11). Это влияет на значения усиления мазеров с радиационной и столкновительной накачкой: значения усиления завышены для мазеров с радиационной накачкой и занижены для мазеров со столкновительной накачкой.

Стрельницкий (1981) и Соболев и Стрельницкий (1983) предложили модель метанольных мазеров, наблюдаемых в направлении молекулярного облака Ориона. В их модели рассматривался столкновительный механизм накачки, в которой ключевую роль в накачке мазеров играет холодная пыль. Наличие холодной пыли значительно усилило бы инверсию населенностей уровней, если оптическая толщина в линиях накачки много больше единицы. В нашей модели большинство роколебательных линий молекулы метанола имеют малую оптическую толщину, а вероятность выхода фотона из области резонанса принадлежит интервалу 0.1–1. В результате поглощение излучения холодной пылью играет небольшую роль в столкновительной накачке метанольных мазеров класса I.

Моделирование накачки мазера может дать оценки физических условий в областях мазера (Соболев и Грей, 2012). Наличие и отсутствие различных мазерных переходов в направлении конкретного YSO потенциально можно использовать для отслеживания изменений физических условий и эволюционного состояния источника (Брин и др., 2010). Считается, что источники, показывающие редкие метанольные мазерные переходы класса II, являются наиболее развитыми источниками, прослеживаемыми метанольными мазерами класса II, и возникают непосредственно перед выключением метанольных мазеров этого класса (Эллингсен и др.2011). Модель, пытающаяся одновременно подобрать все наблюдаемые метанольные мазеры, должна будет учитывать структуру источника и возможные эффекты насыщения (Саттон и др., 2001; Соболев и др., 2002). Приближение LVG представляет собой локальную трактовку переноса излучения, которая не принимает во внимание возможные сильные пространственные вариации физических параметров в источнике. Методы переноса излучения, такие как метод АЛИ, лишены этого недостатка, и в расчетах можно учитывать пространственные вариации физических параметров. Мазерное насыщение необходимо учитывать при моделировании сильных мазерных источников с яркостными температурами T b ≳ 10 10 K. Следующим шагом в моделировании накачки мазера могут быть точные расчеты переноса излучения с использованием конкретной физической модели. источника – нестационарная модель области фотодиссоциации или модель межзвездной ударной волны.

6 ВЫВОДЫ

Рассмотрена простая одномерная модель мазера CH 3 OH.Были сделаны следующие выводы:

  • Приближенные расчеты LVG воспроизводят результаты точных расчетов радиационного переноса при больших высотах облаков и высоких градиентах скорости: высота облаков должна быть порядка или больше 5–10 длин область резонанса.

  • При малой высоте облаков приближение LVG занижает функции вероятности потери фотонов. Это может существенно повлиять на значения усиления мазеров с радиационной и столкновительной накачкой.

  • Поглощение излучения пылью и эмиссия пыли играют важную роль в определении интенсивности излучения и должны точно учитываться.

  • Представленная модель может учитывать высокие яркостные температуры T b ∼ 10 9 –10 10  K метанольных мазеров I и II классов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №.14-02-31302), Программа Президента России поддержки ведущих научных школ (проект № НШ-294.2014.2). Я благодарен Дэвиду Флауэру за предоставление коэффициентов частоты столкновений для столкновений CH 3 OH–H 2 . Благодарю Дмитрия Кокорина за помощь в программировании на C++. Я также благодарю анонимного рецензента за ценные комментарии. Расчеты проводились на суперкомпьютере Санкт-Петербургского филиала Объединенного суперкомпьютерного центра РАН. 2

ССЫЛКИ

2006

Фарадей Обсудить.

133

51

2001

АСП Конф. сер. Том. 247, Спектроскопические проблемы фотоионизированной плазмы

Астрон. соц. пакет

Сан-Франциско

197

1999

Дж. Мол. Спектроск.

194

171

1991

АСП Конф. сер. Том. 16 Атомы, ионы и молекулы: новые результаты в астрофизике спектральных линий

Астрон.соц. пакет

Сан-Франциско

119

1984

Основы радиационной гидродинамики

Издательство Оксфордского университета

Нью-Йорк

2013а

Астрон. лат.

39

717

2013b

J. Phys. конф. сер.

461

012009

2014

Астрон. лат.

40

425

2007

Численные рецепты: искусство научных вычислений

Кембриджский ун-т.Нажмите

Нью-Йорк

1984

Методы радиационного переноса

Кембриджский ун-т. Нажмите

Кембридж

21

1960

Движущиеся оболочки звезд

Гарвардский ун-т. Нажмите

Кембридж

2012

Проц. Симп. МАС. 287, Космические Мазеры — от ОН до НО

Кембриджский ун-т. Нажмите

Кембридж

13

и другие.

2002

Проц. Симп. МАС. 206, Космические мазеры: от протозвезд до черных дыр

Астрон. соц. пакет

Сан-Франциско

179

2012

Проц. Симп. МАС. 287, Космические Мазеры — от OH до H0

Кембриджский ун-т. Нажмите

Кембридж

433

1992

Проц. Симп. МАС. 150, Астрохимия космических явлений

Клювер

Дордрехт

341

© 2015 Авторы Опубликовано Oxford University Press от имени Королевского астрономического общества

Обзоры книг | Математическая ассоциация Америки

— Любой -Abelian GroupsAbstract AlgebraActuarial ScienceAdditive Номер TheoryAdvanced CalculusAffine GeometryAlgebraAlgebraic CombinatoricsAlgebraic DynamicsAlgebraic FunctionsAlgebraic GeometryAlgebraic Graph TheoryAlgebraic GroupsAlgebraic LogicAlgebraic Номер TheoryAlgebraic SemigroupsAlgebraic StatisticsAlgebraic TopologyAlgorithmsAnalysisAnalysis из VarianceAnalytic GeometryAnalytic Номер TheoryApplied AlgebraApplied AnalysisApplied LogicApplied MathematicsApplied ProbabilityApplied StatisticsApplied TopologyApproximationArithmetic Алгебраические GeometryArithmetic DynamicsArithmetic GroupsArtificial IntelligenceAssessmentAsymptotic AnalysisAsymptotic StatisticsAutomataAutomorphic форм и RepresentationsBanach AlgebrasBanach SpacesBayesian StatisticsBest практика для поддержки студентовБиблиографияТеория бифуркацииБиографияБиоинформатикаБиостатистикаКниги для детейБулевы алгебрыБулев анализМетоды начальной загрузкиГраничные задачиБрауновское движениеC*-алгебрыИсчислениеИсчисление V ariationsCatastrope TheoryCategorical DataCategory TheoryCausal InferenceCelebration из MindCelestial MechanicsClassic WorksClassical AlgebraClassical GroupsClassical MechanicsClifford AlgebrasClusteringCoding TheoryCognitive ScienceCollected WorksCollege AlgebraCombinatorial DesignsCombinatorial GamesCombinatorial GeometryCombinatorial Группа TheoryCombinatorial IdentitiesCombinatorial Номер TheoryCombinatorial OptimizationCombinatorial TopologyCombinatoricsCommunicating MathematicsCommutative AlgebraComplex AnalysisComplex DynamicsComplex ManifoldsComplex NumbersComplexityCompressed SensingComputational AlgebraComputational Алгебраические GeometryComputational GeometryComputational Group TheoryComputational MathematicsComputational Номер TheoryComputational StatisticsComputational TopologyComputer AlgebraComputer GraphicsComputer ProgrammingComputer ScienceComputer VisionConformal ГеометрияКоническая оптимизацияКонструктивная математикаКонтактная геометрияНепрерывные дробиМеханика сплошных средCont ributed Бумага SessionsControl TheoryConvex AnalysisConvex GeometryConvex OptimizationCoordinate GeometryCoxeter GroupsCryptographyD-modulesData AnalysisData MiningData ScienceDavid BlackwellDecision TheoryDelay Дифференциальный EquationsDescriptive Набор TheoryDesign из ExperimentsDifference EquationsDifferential AlgebraDifferential EquationsDifferential FormsDifferential Галуа TheoryDifferential GeometryDifferential TopologyDimension TheoryDiophantine ApproximationDiophantine EquationsDiscrete GeometryDiscrete MathematicsDistributionsDynamical SystemsEconometricsEigenvalue ProblemsElementary GeometryElementary MathematicsElementary Номер TheoryElementary школы MathematicsElementary StatisticsElliptic CurvesElliptic FunctionsEngineering MathematicsEnumerative CombinatoricsEnumerative GeometryEnvironmental MathematicsEpidemiologyErgodic ТеорияОценкаЭтноматематикаЕвклидова геометрияЭкспоненты и спонсорыЭкспериментальный дизайнЭкспериментальная математикаИсследовательский анализ данныхExtreme Value TheoryFair DivisionFamous ProblemsFibonacci NumbersFiction и PoetryField TheoryFiltering TheoryFinite Разница MethodsFinite Элемент MethodsFinite FieldsFinite GeometryFinite GroupsFinite MathematicsFinite Объем MethodsFixed Точка TheoryFluid MechanicsFluid Структура InteractionsFoliationsForecastingFoundations из MathematicsFourier AnalysisFractalsFractional CalculusFractional Дифференциальный EquationsFunction FieldsFunctional AnalysisFunctional EquationsFuzzy MathematicsGalois TheoryGame TheoryGeneral RelativityGeneral TopologyGenerating FunctionsGeometric AlgebraGeometric AnalysisGeometric CombinatoricsGeometric DesignGeometric Функция TheoryGeometric Группа TheoryGeometric InequalitiesGeometric Инвариантная TheoryGeometric Мерой ТеорияГеометрическое моделированиеГеометрическая вероятностьГеометрическая статистикаГеометрическая топологияГеометрияГеометрия инцидентностиГеометрия чиселГеостатистикаГлобальный анализТеория графовГрафический анализ данныхГрупповые когомологииГрупповые представленияТеория группГруппоидыВред ОНИК AnalysisHierarchical ModelsHigh Школа MathematicsHilbert SpacesHistory из ComputingHistory в MathematicsHistory из ScienceHistory из StatisticsHodge TheoryHomological AlgebraHomotopy TheoryHopf AlgebrasHyperbolic GeometryIdempotent MathematicsImage AnalysisIndustrial MathematicsInequalitiesInfinite SeriesInformation TheoryInquiry-Based LearningInteger ProgrammingInteger SequencesIntegral EquationsIntegral GeometryIntegral TransformsIntegrationInterest TheoryInterpolationInterval AnalysisInvariant TheoryInverse ProblemsJordan AlgebrasK-TheoryKinematicsKnot TheoryLattice TheoryLiberal искусств MathematicsLie AlgebrasLie GroupsLinear AlgebraLinear ModelsLinear OptimizationLocally Compact GroupsLogicLongitudinal ДанныеНизкомерная топологияМашинное обучениеМногообразияМарковские процессыМатериаловедениеМатематические кружкиМатематическая астрономияМатематическая биологияМатематические блогиМатематическая карьераМатематическая экономикаМатематическая геологияМатематическая логикаМатематические методы наукиМатематика аль ModelingMathematical NeuroscienceMathematical PhysicsMathematical PhysiologyMathematical ProgrammingMathematical социального ScienceMathematical SoftwareMathematical StatisticsMathematical WritingMathematics и ArchitectureMathematics и CultureMathematics и GenderMathematics и LiteratureMathematics и MusicMathematics и PoliticsMathematics и ReligionMathematics и SocietyMathematics и SportsMathematics в качестве ProfessionMathematics EducationMathematics для BusinessMathematics для ChemistsMathematics для EconomistsMathematics для Элементарные TeachersMathematics для EngineersMathematics для окружающей среды SciencesMathematics для здоровья CareersMathematics для физиковМатематика для ученыхМатематика для учителейМатематика для широкого круга читателейМатематика в медицинеМатематика в западной культуреMathFestMathFest; MinicoursesMatrix AlgebraMatroidsMeasure TheoryMechanicsMetamathematicsMetric SpacesMicrolocal AnalysisMiddle Школа MathematicsMinimal SurfacesMinorities Недопредставленный в MathematicsModel TheoryModular форм и FunctionsMonte Карло MethodsMorse TheoryMultilinear AlgebraMultiscale MethodsMultivariable CalculusMultivariate StatisticsNetworksNeural NetworksNon Архимед AnalysisNon-Ассоциативный AlgebrasNon-Коммутативный GeometryNon-евклидовой GeometryNon-Западной CulturesNonlinear AnalysisNonlinear DynamicsNonlinear OptimizationNonparametric StatisticsNonsmooth AnalysisNonstandard AnalysisNumber SystemsNumber TheoryNumerical AnalysisNumerical Линейный АлгебраЧисленные методы решения дифференциальных уравнений в частных производныхОперационное исчислениеИсследование операцийАлгебры операторовТеория операторовОптикаОптимизацияОрбифолдыСтатистика порядкаУпорядоченные алгебраические структурыОбычные дифференциальные уравненияОригамиОртогональные полиномыP-адический анализP-адическая геометрияP-адические числаОценка параметровПараметрическая статистика ticsPartial Дифференциальный EquationsPerturbation TheoryPhilosophyPhilosophy из MathematicsPhilosophy из SciencePhysicsPoisson GeometryPolyhedraPolynomialsPolytopesPopulation StatisticsPoster SessionsPotential TheoryPre-CalculusPrime NumbersProbabilistic ModelsProbabilistic Номер TheoryProbabilityProbability TheoryProblem SolvingProblemsProblems Олимпиадная LevelProblems Putnam LevelProblems Бакалавриат LevelProgramming LanguagesProjective GeometryProof TheoryProofs и LogicPseudodifferential OperatorsPsychology из MathematicsPuzzlesq-AnalysisQuadratic FormsQuality ControlQuantitative LiteracyQuantum AlgebraQuantum CohomologyQuantum ComputingQuantum поле TheoryQuantum GroupsQuantum MechanicsQueueing TheoryRadon TransformRamsey TheoryRandom MatricesRandom Теория матрицСлучайное блужданиеРандомизированные алгоритмыРандомизированная числовая линейная алгебраРедкие событияРеальный анализРазвлекательная математикаРекурсияРегрессионный анализРеляционная математикаТеория относительностиТеория представленийМетоды повторной выборкиRi emann SurfacesRiemannian GeometryRing TheoryRisk AnalysisRoboticsRobust OptimizationRobust StatisticsSampling и SurveysScattering TheoryScheduling TheoryScience для ProgrammingSemigroups Общего ReaderScientific ComputationSemidefinite из OperatorsSensing TheorySequential StatisticsSet TheorySet многозначного AnalysisSeveral комплекса VariablesShape AnalysisShape OptimizationSheaf TheorySignal ProcessingSimulationSingle Variable CalculusSingularitiesSocial Выбор TheorySpatial StatisticsSpecial FunctionsSpectral TheorySphere PackingSpiralSplinesStabilityStatistical ComputingStatistical DistributionsStatistical InferenceStatistical LearningStatistical MatchingStatistical MechanicsStatistical ModelingStatistical ModelsStatistical PhysicsStatistical SoftwareStatisticsStatistics и Государственная политикаСтатистика КарьераСтатистика для социальных наукСтатистика в медицинеСтатистика экстремумовСтатистическое моделированиеПреподавание статистикиСтохастический анализСтохастическое исчислениеСтохастическое дифференциальное уравнение nsStochastic GeometryStochastic ModelsStochastic OptimizationStochastic ProcessesStochastic ProgrammingString TheoryStudent HelpsSurvey ResearchSurveys из MathematicsSurveys из StatisticsSurvival AnalysisSustainabilitySymbolic ComputationSymmetrySymplectic GeometrySystems BiologySystems TheoryTeaching MathematicsTeaching StatisticsTechnical MathematicsTeichmüller TheoryTensor AnalysisTextbooksTheory из ComputationTheory из EquationsThermodynamicsTilingsTime SeriesTomographyTopological данных AnalysisTopological данных AnalysisTopological GroupsTopological Quantum Field TheoryTopological Вектор SpacesTopologyTopos TheoryTranscendence TheoryTransformation GeometryTransition к Расширенный MathematicsTrigonometryTropical MathematicsType TheoryUncertainty QuantificationUndergraduate ActivitiesUniversal AlgebraValuation TheoryVariational НеравенстваВекторное исчислениеВизуализацияАлгебры фон НейманаВейвлетыЖенщины в математике

Список документов Нагес Шанмугалингам

Список документов Нагес Шанмугалингам

Область моих исследований геометрическая теория функций. я интересует связь между неравенствами в анализе и их геометрических следствиях, а также в квазиконформных отображениях и геометрических свойства метрических пространств с мерой, сохраняемые ими. В настоящее время я также изучаю взаимодействия между геометрией и теорией BV в метрических пространствах, и полезность множеств конечного периметра в изучении Пространства Соболева и квазиконформные отображения.


Моя диссертация, 1999 год, Мичиганский университет.

Книга
Пространства Соболева на метрических пространствах с мерой : подход, основанный на верхних градиентах,
(с Юхой Хейноненом, Пеккой Коскела и Джереми Тайсоном),
опубликовано Издательство Кембриджского университета,
Серия «Новые математические монографии»: Февраль 2015 г. (ISBN: 97811070).
А предварительную версию этой книги можно найти здесь.


Имейте в виду, что загрузки следующих документов являются более ранними версиями итоговых статей и поэтому может отличаться от журнальной статьи. Кроме того, Университет Цинциннати находится в процессе преобразования своего сервера веб-страниц, и поэтому это может не обновляться какое-то время.

Список бумаг:



Пространства Ньютона-Соболева для метрических пространств с мерой:

1. Ньютоновы пространства: расширение пространств Соболева до пространств с метрической мерой
появился в Преподобный мат. Iberoamericana, 16 (2000) 243–279.

2. Устранимые множества для неравенства Пуанкаре на метрических пространствах
(с участием Пекка Коскела и Хели Туоминен)
появился в Университет Индианы. Мат. J., 49 (2000) 333—352.

3. Модуль и постоянная емкость
(с Сари каллунки)
появился в Анна. акад. науч. Фенн. Math., 26 (2001) 455—464.

4. Соболевские классы банаховых пространственнозначных функций и квазиконформные отображения
(с Юха Хейнонен, Пекка Коскела и Джереми Тайсон)
появился в Дж. Анал. Матем., 85 (2001) 87—139.

5. Измеримость классов эквивалентности и $MEC_p$-свойство в метрических пространствах
(с участием Эса Ярвенпяя, Маарит Ярвенпяя, Кевин Роговин и Сари Роговин.)
появился в преп.Мат. Iberoamericana, 23 нет. 3 (2007) 811-830.

6. Соболевские расширения гёльдеровых и характеристических функций на метрические пространства
(с участием Андерс Бьорн и Яна Бьорн)
появился в Канадский математический журнал, 59 (№ 6) (2007), 1135–1153.

7. Неравенства Пуанкаре, равномерные области определения и свойства расширения для Пространства Ньютона-Соболева в метрических пространствах
(с участием Яна Бьорн)
появился в Дж.Мат. Анальный. Appl., 332 , № 1 (2007) 190—208.

8. Квазинепрерывность функций Ньютона—Соболева и плотность Липшица функции в метрических пространствах с мерой
(с участием Андерс Бьорн и Яна Бьорн)
появился в Houston J. Math., 34 № 4 (2008) 1197–1211.

9. Точки Лебега и емкости через боксерские неравенства в метрических пространствах
(с участием Юха Киннунен, Рийкка Корте, а также Хели Туоминен)
появился в Университет Индианы.Мат. Дж., 57 нет. 1 (2008) 401-430.

10. Интерполяционные свойства пространств Бесова, определенных на метрических пространствах
(с участием Пекка Коскела а также Амиран Гогатишвили)
появился в Мат. нахр., 283 №2 (2010) 215—231.

11. Геометрические свойства плоских доменов расширения BV
(с участием Пекка Коскела и Мишель Миранда)
появился в функциональные пространства; Темы вокруг исследований проф.Мазья I,
Международная математическая серия (2010 г.) (сборник Springer).

12. Мера Де Джорджи и задача о препятствиях, связанная с минимальные поверхности в метрических пространствах,
(с участием Юха Киннунен, Рийкка Корте, а также Хели Туоминен),
появился в Дж. Матем. Pures Appl., 93 (2010) 599-622.

13. Неконформные оценки типа Левнера для модуля семейств кривых
(с участием Томаш Адамович),
появился в Анна.акад. науч. Фенн. Math., 35 (2010) 609—626.

14. $\infty$-неравенство Пуанкаре в метрических пространствах с мерой
(с участием Эстибалиц Дюран-Картахена а также Хесус А. Харамильо),
появился в Мичиганская математика. Ж., 61 №1 (2012) 63—85.

15. $p$-неравенство Пуанкаре и $\infty$-неравенство Пуанкаре; некоторые контрпримеры,
(с участием Эстибалиц Дюран-Картахена и Алекс Уильямс),
появилось в мат.З., 271 № 1—2 (2012) 447—467.

16. Характеристика ньютоновских функций с нулевыми граничными значениями,
(с участием Юха Киннунен, Рийкка Корте, а также Хели Туоминен),
Вычисл. Вар. ПДЭ, 43 (2012) 507—528.

17. Введение в $p$-модуль семейств путей и ньютоновских пространств,
появился в Дж. Анал., 18 (2010), 349–360.

18. Неравенства Пуанкаре первого порядка в метрических пространствах с мерой
(с Хесусом Харамильо и Эстибалиц Дюран)
появился в Анна. акад. наук Фенн. Матем., 38 (2013), 287—308.

19. Поточечные свойства функций ограниченной вариации в метрических пространствах,
(совместно с Юхой Киннуненом, Рийкка Корте, а также Хели Туоминен)
Появился в Ревиста Мат.Комплутенсе, 27 (2014), 41—67.

20. Пространства Ньютона-Бесова и пространства Ньютона-Трибеля-Лизоркина по метрическим пространствам меры,
(с участием Дачун Ян и Вэнь Юань),
появился в позитиве 19 (2015) нет. 2, 177—220.

21. Геометрический анализ множеств и деревьев Кантора,
(с Андерсом Бьорном, Яной Бьорн и Джим Гилл),
появился в Journal für die reine und angewandte Mathematik (журнал Крелла) 725 (2017), 63–114.

22. Сохранение ограниченной геометрии при сферизации и уплощении,
(совместно с Синин Ли),
появился в Университет Индианы. Мат. Дж. 64 № 5 (2015), 1303—1341.

23. Hajłasz Градиенты — это верхние градиенты,
(с Ренджин Цзян, Дачун Ян и Вэнь Юань),
появился в JMAA, 422 № 1 (2015), 397—407.

24. Семейство кривых Семмеса и характеристика функций ограниченных вариация кривых,
(совместно с Рийккой Корте и Пану Лахти),
появился в Расчет Вар. ПДЭ 54 , Выпуск 2, (2015) 1393—1424.

25. Элементарное доказательство теоремы Чигера о рефлексивности пространств Ньютона-Соболева функций из метрические пространства меры,
(с Эстибалиц Дюран-Картахена),
появился в Дж.Анализ, 21 (2013 г., опубликовано в 2015 г.), 73–83.

26. Геометрические характеристики p-неравенств Пуанкаре,
(с Эстибалиц Дюран Картахеной и Хесусом Харамильо), 90 010 появился в пабе. Мат. 60 (2016), 81—111.

27. Модуль бесконечности и основная метрика,
(с Натаном Альбином, Джаредом Хопписом и Пьетро Поджи-Коррадини),
появился в JMAA, 467 , выпуск 1 (2018), 570–584.н$.,
(с Джеффом Линдквистом) (2020).
появился в «Комплексном анализе и его синергии», Современный геометрический и комплексный анализ: празднование 60-летия Пекки Коскелы,
7 (2021), вып. 1, статья № 7, 12 стр.


$p$-гармонических функций в метрических пространствах с мерой:

1. Гармонические функции на метрических пространствах
появился в Иллинойс Дж. Матем., 45 нет. 3 (2001) 1021—1050.

2. Регулярность квазиминимайзеров на метрических пространствах
(с участием Юха Киннунен)
появился в Manuscripta Math., 105 (2001) 401–423.

3. Жирные множества и поточечные граничные оценки для $p$-гармонических функции в метрических пространствах
(с участием Яна Бьорн и Пол Макманус (
) появился в Дж. Анальный. Math., 85 (2001) 339—369.

4. Задача Дирихле для $p$-гармонических функций на метрических пространствах с мерой
(с Андерс Бьорн и Яна Бьорн)
появился в Дж. Рейн Ангью. Мат. (Crelle) 556 (2003) 173—203.

5. Некоторые результаты сходимости $p$-гармонических функций на метрической мере пробелы
появился в Труды Лондонской математики.соц. 87 (2003) 226—246.

6. Метод Перрона для $p$-гармонических функций в метрических пространствах
(с участием Андерс Бьорн и Яна Бьорн)
появился в J. Дифференциальные уравнения 195 (2003) 398—429.

7. Проблема Бернштейна о равенстве $p$-гармонической меры множества и его закрытие
(с участием Андерс Бьорн и Яна Бьорн)
появился в проц.амер. Мат. соц. 134 (2006) 509-519.

8. Гельдеровские оценки операторов $p$-гармонического расширения
(файл PDF) (с участием Хироаки Айкава)
появился в J. Дифференциальные уравнения 220 (2006) № 1, 18—45.

9. Полярные наборы на метрических пространствах
(с участием Юха Киннунен)
появился в Сделки амер. Мат. соц. 358 (2006) 11—37.

10. Эквивалентность AMLE, сильный AMLE и сравнение с конусами в метрической мере пробелы (pdf файл)
(с участием Петри Юутинен)
появился в Мат. Нахр. 279 (2006) 1083—1098.

11. Максимальная регулярность через обратные неравенства Гёльдера для эллиптических систем типа $n$-Лапласа включая меры, (с участием Сяо Чжун а также Теро Килпеляйнен)
появился в Ковчег.Мат. 46 (№ 1) (2008) 77—93.

12. Эквивалентность и самоулучшение $p$-полноты и неравенства Харди, и ассоциация с равномерным совершенством
(с участием Riikka Korte)
Math. З. 264 (№ 1) (2010) 99—110.

13. Квазиконформность, гомеоморфизмы между метрическими пространствами с мерой, сохраняющие квазиминимизаторы, и свойство равномерной плотности
(с участием Нико Марола а также Рийкка Корте)
появился в Ковчег. Мат. 50 (2012) 111—134.

14. Сравнения относительных BV-емкостей и соболевских емкостей в метрических пространствах,
(с участием Хейкки Хаккарайнен),
появился в Нелинейный анал., 74 (2011) 5525—5543.

15. Регулярность множеств с квазиминимальными граничными поверхностями в метрических пространствах,
(с участием Юха Киннунен, Рийкка Корте, а также Эндрю Лорент),
Появился в Дж.геом. Анальный., 23 (2013) 1607—1640.

16. Квазиаддитивность вариационной емкости (с участием Юха Лербек),
появился в Потенциальный анал. 40 (2014), вып. 3, 247—265.

17. Граничные меры, обобщенные формулы Гаусса-Грина и среднее свойство value в метрических пространствах мер,
(с Нико Маролой и Мишель Миранда мл.),
появился в Ревиста Мат. Iberoamericana 31 (2015), нет. 2, 497—530.

18. Устойчивость и непрерывность функций наименьшего градиента,
(совместно с Хейкки Хаккарайненом, Рийккой Корте, Пану Лахти),
появился в Анализ и геометрия в метрических пространствах 3 (июль 2015 г.) нет. 1, 123—139.

19. Тонкие свойства и понятие квазинепрерывности для БВ-функций на метрических пространствах,
(с Пану Лахти),
появился в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 107 (2017), вып.2, 150—182.

20. Теоремы о следах и продолжениях для функций ограниченной вариации,
(с Лукашем Малым и Мари Снайпс),
появился в Аннали СНС, 18 (2018) 313—341. (номер DOI: 10.2422/2036-2145.201511_007).

21. Краткий обзор бесконечного неравенства Пуанкаре и существования бесконечно-гармонических функций,
в книжной коллекции
Теория меры в негладких пространствах, под редакцией Никола Джильи (De Gruyter Open) (2017) 243–287.ISBN-978-3-11-055083-2.

22. Дихотомия глобальной плотности емкости в метрическом пространстве,
(с Хироаки Айкавой, Андерсом Бьорном, Яной Бьорн),
появился в Успехи в вариационном исчислении, 11 (2018), 387–404.

23. Аналог задачи Неймана для уравнения 1-Лапласа в метрической постановке: существование, Граничная регулярность и устойчивость, 90 010 (совместно с Пану Лахти и Лукашем Малым),
появился в Анализ и геометрия в метрических пространствах 6 Выпуск 1 (2018) 1—31.

24. Теоремы о следах для функций ограниченной вариации в метрических пространствах,
(с Пану Лахти), на Сервер препринтов CVGMT (2015 г.),
появился в Дж. Функц. Анальный. 274 , Выпуск 10 (2018) 2754—2791.

25. Задача Неймана для $p$-уравнения Лапласа в метрических пространствах с использованием вариационного подхода: существование, ограниченность и граничная регулярность,
(с Лукашем Малым)
на сервере препринтов CVGMT, появился в Дж. Дифф. уравнение, 265 , выпуск 6 (2018), 2431—2460.

26. Понятия задачи Дирихле для функций наименьшего градиента в метрических пространствах с мерой,
(совместно с Рийккой Корте, Пану Лахти, Синин Ли), на Сервер препринтов CVGMT (2016 г.).
Появился в Ревиста Мат. Iberoamericana 35 Выпуск 6 (2019), 1603–1648.

27. Существование и единственность бесконечно-гармонических функций в предположении бесконечность-неравенство Пуанкаре,
(совместно с Эстибалицем Дюран-Картахеной, Хесусом А.Харамильо),
появился в Мат. Анна. 374 Выпуски 1-2 (2019) 881–906.
см. также Online First Math. Анн..

28. Области в метрических пространствах с мерой с границей положительной средней кривизны и задача Дирихле для функций наименьшего градиента,
(совместно с Пану Лахти, Лукасом Мали, Гаретом Спейтом),
появился в Журнал геом. Анальный., 29 Выпуск 4 (2019) 3176—3220.

29. Теорема Лиувилля для $p$-гармонических функций и квазиминимизаторы с конечной энергией,
(с Андерсом Бьорном и Яной Бьорн),
появился в Мат. Z. 297 (2021), no. 1-2, 827—854

30. Эквивалентность решений уравнения эйконала в метрических пространствах,
(с Цин Лю и Сяодань Чжоу),
появился в Дж. Дифф. уравнение 272 (2020), 979—1014.

31. Ограниченная геометрия и p-гармонические функции при униформизации и гиперболизации,
(с Андерсом Бьорном и Яной Бьорн),
появился в Дж. Геом. Анал., 31 (2021), вып. 5, 5259—5308

32. Асимптотическое поведение функций БВ и множеств конечного периметра в пространствах с метрической мерой,
(совместно с Сильвестром Эрикссоном-Бике, Джеймсом Т. Гиллом и Пану Лахти),
arXiv препринт,
появился в транс.амер. Мат. соц., 374 (2021), нет. 11, 8201—8247. .

33. Регулярность решений дробного уравнения Чигера-Лапласиана on Области в метрических пространствах ограниченной геометрии,
(совместно с Сильвестром Эрикссоном-Бике, Джанмарко Джованнарди, Рийккой Корте и Гаретом Спейтом), препринт
CVGMT (2020 г.).
появился в J. Diff. уравнение, 306 (2022), 590—632.

34. $p$-гиперболичность концов и семейств путей в метрических пространствах.
Появился в Фрактальная геометрия и стохастика. VI,
191–205, прогр. Probab., 76 , Birkhäuser/Springer, Cham, (2021).


Конформная граница Мартина и граница простого конца:

1. Сингулярные функции на метрических пространствах с мерой
(с участием Илкка Холопайнен)
появился в Собирать. Math., 53 (2002) 313—332.

2. О конформной границе Мартина областей в метрических пространствах
(с участием Илкка Холопайнен и Джереми Тайсон)
появился в Документы по анализу: Том, посвященный Олли Мартио на по случаю его 60-летия Отчет. ун-т Ювяскюля 83 (2001) 147—168.

3. Сингулярное поведение конформных ядер Мартина и некасательных пределы конформных отображений
появился в Анна.акад. науч. Фенн. Мат. 29 (2004) 195—210.

4. Оценки типа Карлесона для $p$-гармонических функций и конформная функция Мартина граница областей Джона в метрических пространствах с мерой.
(с участием Хироаки Айкава)
появился в Мичиганская математика. J. 53 (2005) 165—188.

5. Граничный принцип Харнака для $p$-гармонических функций в гладких Евклидовы домены
(с участием Хироаки Айкава, Теро Килпеляйнен, а также Сяо Чжун),
появился в Анализ потенциала 26 №3 (2007) 281—301.

6. Единообразие из гиперболичности Громова
(с участием Дэвид Херрон а также Сяндун Се),
появился в Иллинойс Дж. Матем. 52 № 4 (2008) 1065-1109 (опубликовано в ноябре 2009 г. ).

7. Свойство жесткости некоторых разрешимых групп Ли отрицательной кривизны
(с участием Сяндун Се),
появился в Комментарий.Мат. Хелв. 87 № 4 (2012) 805—823.

8. Простые концы для доменов в метрических пространствах,
(совместно с Томашем Адамовичем, Андерс Бьорн, а также Яна Бьорн),
появился в Доп. мат., 238 (2013) 459—505.

9. Расстояние Мазуркевича и множества которые конечно связны на границе,
(с Андерсом Бьорном и Яной Бьорн),
появился в Дж.геом. анал., 26 № 2 (2016) 873—897.

10. Геометрия границы простого конца и задача Дирихле для ограниченных областей в метрических пространствах с мерой,
(совместно с Дьюи Эстепом),
появился в Потенциальный анализ, 42 № 2 (2015) 335—363.

11. Задача Дирихле для $p$-гармонических функций относительно границы Мазуркевича и новые мощности,
(с участием Андерс Бьорн, а также Яна Бьорн),
появился в Дж. Дифф. уравнение 259 (2015), вып. 7, 3078—3114.

12. Пропускная способность недоступных простых концов, разрешающая способность и свойство Келлогга
(совместно с Томашем Адамовичем),
появился в Дж. Функц. Анальный. 293 (2019), 1633—1656.

13. Грубая изометрия между гиперболическими пространствами Громова и униформизация,
(с Джеффом Линдквистом),
появился в Annales Fennici Mathematici (ранее Анна.акад. науч. Фенн.),
46 № 1 (2021) 449—464.

14. Теорема о продолжении типа Каратеодори относительно простых концевых границ,
(с Джошуа Клайном и Джеффом Линдквистом),
появился в Дж. Геом. Анальный. (2020).


Формы Дирихле и другие функциональные пространства на метрических пространствах с мерой:

1. Липшиц-непрерывность гармонических функций Чигера в метрической мере пробелы
(с участием Пекка Коскела и Кай Раджала)
появился в Дж. Функц. Анальный. 202 (2003) 147—173.

2. формы Дирихле, неравенства Пуанкаре и пространства Соболева Кореваар-Шен
(с участием Пекка Коскела и Джереми Тайсон)
появился в Потенциальный анализ. 21 №3 (2004) 241—262.

3. Свойство универсальности пространств Соболева в пространствах с метрической мерой
появился в коллекции Springer Пространства Соболева в математике I, II, III (2009)
принадлежащий Международная математическая серия.\infty$-Вариационные задачи,
(с Пеккой Коскела и Юань Чжоу),
появился в арх. Крыса. мех. Анальный. (АРМА), 214 № 1 (2014), 99—142.

6. Геометрия и анализ Формы Дирихле (II),
(с Пеккой Коскела и Юань Чжоу)
появился в Дж. Функц. Анальный., 267 № 7 (2014), 2437—2477.

7. Характеристика автокарт BMO метрического пространства меры,
(совместно с Юхой Киннуненом, Рийкка Корте и Нико Марола),
появился в Collectanea Math. 66 , Выпуск 3 (2015) 405—421.

8. Характеристики множеств конечного периметра с использованием ядер теплоты в метрических пространствах,
(с Нико Маролой и Микеле Мирандой-младшим),
на сервере препринтов CVGMT (2014 г.),
появился в потенциальном анализе 45 (2016), выпуск 4, стр. 609–633.

9. Эквивалентность двух классов BV функций в метрических пространствах, и существование семейства кривых Земмеса при неравенстве 1-Пуанкаре,
(с Эстибалиц Дюран-Картахеной, Сильвестр Эрикссон-Бике и Riikka Korte), препринт
CVGMT,
появился в « Успехах в вариационном исчислении» , 14 (2021), вып.2, 231—245.

10. Модуль семейств множеств конечного периметра и квазиконформные отображения между метрическими пространствами глобально $Q$-ограниченных геометрия,
(с Ребеккой Джонс и Пану Лахти),
появился в Индианском университете. Мат. Дж., 60 (2021), нет. 5, Бумага № 170, 38 стр.
Более старую версию с более слабым результатом можно найти в Сервер препринтов arXiv (2018 г.).

11. Класс Бесова через полугруппу теплопроводности на пространствах Дирихле I: неравенства соболевского типа,
(совместно с Патрисией Алонсо-Руис, Фабрисом Бодуаном, Ли Ченом, Люком Роджерсом и Александром Тепляевым),
появился в Дж.Функц. Анальный. 11 108459, 48 стр. (2020)
(или эту ссылку для первой онлайн-статьи).

12. Класс Бесова через полугруппу теплопроводности на пространствах Дирихле II: BV-функции и оценки ядра теплопроводности Гаусса,
(совместно с Патрисией Алонсо-Руис, Фабрисом Бодуаном, Ли Ченом, Люком Роджерсом и Александром Тепляевым),
появился в Расчет Вар. ПДЭ. 59 № 3 (2020) Статья № 103, 32 стр.

13. Класс Бесова через полугруппу теплопроводности на пространствах Дирихле III: BV-функции и субгауссовские оценки ядра теплопроводности,
(совместно с Патрисией Алонсо-Руис, Фабрисом Бодуаном, Ли Ченом, Люком Роджерсом и Александром Тепляевым),
появиться в Расчет Вар. ПДЭ.

14. Результаты расширения и трассировки удвоенных пространств метрических мер и их гиперболических заполнений ,
(с Андерсом Бьорном и Яной Бьорн),
на сервере arXiv,
появиться, JMPA.{1,\infty}$,
(совместно с Хесусом Харамильо и Эстибалиц Дюран-Картахеной) в препринте CRM № 895.

1. Функции БВ и пространства Бесова, ассоциированные с пространствами Дирихле,
(совместно с Патрисией Алонсо-Руис, Фабрисом Бодуаном, Ли Ченом, Люком Роджерсом и Александром Тепляевым),
Эта версия содержит многие результаты статей I-III, опубликованных в настоящее время в журналах (перечисленных выше): На сервере arXiv (2018 г.).

2. Классификация пространств метрических мер и их окончания с помощью $p$-гармонических функций,
(с Андерсом Бьорном и Яной Бьорн),
, на сервере arXiv (2021 г.).



Липшиц и полунепрерывные снизу функции, статья моего коллеги Кевина Роговина, размещенные на этом сайте с его разрешение. Это dvi-файл.

Конспект лекций о плоских цепях, из первой части курс для аспирантов, который вел мой советник Юха Хейнонен, в Мичиганском университете зимой 1999 г.

Двойственность модулей и квазиконформные отображения в метрических пространствах Ребекка Джонс и Пану Лахти обращаются к двойной проблеме с одной рассмотрены в моей статье с этими двумя авторами, перечисленными выше.


Последнее обновление 8 января 2022 г.
Присылайте вопросы, комментарии на shanmun «HAT» uc.edu .

Перейдите на домашнюю страницу Калифорнийского университета по математике.

Обзор некоторых работ С.Л. Соболев

Сергей Львович Соболев (1908–1989) — один из самых выдающихся математиков ХХ века.Его результаты оказали огромное влияние на развитие современной теории уравнений в частных производных, уравнений математической физики, функционального анализа, теории функций и вычислительной математики.

С.Л. Интерес Соболева к математике проявился еще в средней школе, программу, которую он осваивал индивидуально. Позже, будучи студентом ЛГУ, он слушал лекции видных профессоров, в частности, Н.М. Гюнтера, В.И. Смирнов, Г.М. Фихтенгольц. Под руководством Н.М. Гюнтер написал свою первую научную работу по уравнениям в частных производных первого порядка. Полученные результаты оказались неожиданными даже для профессора Н.М. Гюнтера, так как в работах студента Сергея Соболева были построены контрпримеры к ряду теорем известного математика и доказаны новые теоремы.

В 1929 г., после окончания Ленинградского государственного университета, С.Л. Соболеву была предложена должность в Теоретическом отделе, которым руководил В.И. Смирнов Сейсмологического института АН СССР.Кафедра сосредоточилась на решении задач теории упругости. Задачи по изучению распространения упругих волн в различных средах были поставлены перед молодым специалистом Сергеем Соболевым.

В своей первой работе, написанной в институте, С.Л. Соболев [1] исследовал задачу о распространении волн в неоднородной среде. Математически эта задача сводится к рассмотрению задачи Коши для волнового уравнения с переменным коэффициентом (1) ∂2u∂t2=c2(x,y,z)(∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2) ,(1) (2) u|t=0=φ1(x,y,z),∂u∂t|t=0=φ2(x,y,z). (2) Ранее задачей Коши (1), (2) занимался выдающийся французский математик Ж. Адамар. Ее решение содержится в монографии [2], опубликованной в 1923 г. В своей работе [1] С.Л. Соболев предложил очень изящный новый метод построения решения задачи Коши. Он преобразовал его в интегральное уравнение типа Вольтерра (3) u(M0,t)=14π∭Dt[u]Δσ(M,M0)dv+14π∬St(σ∂φ1∂n−∂σ∂nφ1+σ ∂τ∂nφ2)ds, (3) где M=(x,y,z),M0=(x0,y0,z0), τ(M,M0) – решение уравнения эйконала τx2+τy2+τz2= c−2(M), σ(M,M0) — решение уравнения 2∇σ∇τ+σΔτ=0, St — квазисфера с центром M0 радиуса t , уравнение которой имеет вид τ (M,M0)=t, Dt — область, ограниченная квазисферой St, и [u]=u(M,t−τ(M,M0)).В случае постоянного коэффициента c(x,y,z)≡c0 выполняются тождества τ(M,M0)≡|M−M0|c0,σ(M,M0)≡1|M−M0|. Следовательно, объемный интеграл в (3) равен нулю, а интеграл по сфере St совпадает с интегралом Кирхгофа, который дает представление решения задачи Коши в точке (M0,t).

В случае переменного достаточно гладкого коэффициента c(x,y,z)>0 (неоднородная среда) при достаточно малых t уравнение (3) имеет единственное решение, которое можно получить обычным методом последовательных приближений. Это решение является решением задачи Коши (1), (2).

Полученная формула решения задачи Коши в литературе называется формулой Соболева [3]. Он часто используется при решении прикладных задач геофизики.

В 1930 г. в СССР состоялся Первый Всесоюзный математический конгресс (Харьков). С.Л. Соболев принял участие в конгрессе и выступил с докладом «Волновое уравнение в неоднородной среде», в котором рассказал о своем методе решения задачи Коши (1), (2).На этом конгрессе Ж. Адамар прочитал пленарную лекцию «Уравнения в частных производных и теория функций действительного переменного». Ж. Адамар слушал С.Л. Соболева и после доклада подошел к С.Л. Соболева и сказал: «Мой молодой коллега, я был бы очень рад, если бы вы могли держать меня в курсе ваших последующих работ, которые я нашел очень интересными». (Ариадна Дмитриевна Соболева, жена Сергея Львовича Соболева, присутствовавшая при этом разговоре, позже сообщила об этом эпизоде.)

Впоследствии дружеские отношения между С. Л. Соболева и Ж. Адамара. Интересно отметить, что С.Л. Некоторые из своих произведений, изданных в 30-е годы в Советском Союзе, Соболев написал на французском языке. К сожалению, некоторые важные работы С.Л. Соболева были опубликованы в Трудах Сейсмологического института АН СССР, которые доступны лишь немногим математикам.

Во время работы в Сейсмологическом институте С.Л. Соболев провел ряд глубоких исследований по задачам распространения упругих волн.В частности, в 1932 г. им была решена знаменитая задача Лэмба о распространении возмущений в упругом полупространстве под действием сосредоточенного импульса на границе раздела сред. Это одна из задач, поставленных Х. Лэмбом в его работе 1904 г., которая явилась продолжением исследований Пуассона, Стокса и Рэлея. В этой работе Х. Лэмб получил интегральные формулы, которые можно использовать для определения составляющих перемещений в любой точке наблюдения на поверхности.В [4] С.Л. Соболев получил формулы, описывающие компоненты перемещений для продольных и поперечных упругих волн в любой точке среды. Для решения этой проблемы он сначала основательно изучил плоскую задачу Лэмба, предложив новый метод описания упругих волн, движущихся под разными углами к границе раздела. В частности, он указал способ описания известных волн Рэлея . Затем, используя формулы Лэмба и применяя метод суперпозиции плоских волн, С.Л. Соболев получил интегральные формулы компонент перемещений для упругих волн в любой внутренней точке среды. На основе полученного результата он впервые предложил решение пространственной задачи Лэмба, уточнив: «Решение уравнений теории упругости для полупространства состоит из продольных и поперечных волн, отраженных под различными углами (иногда большими, чем предельный угол), и, кроме того, волны Рэлея». Отметим, что анализируя полученные формулы, С.Л. Соболев выделил особые случаи, когда возникают разрывы.

Решение описанной задачи Лэмба послужило началом изучения ряда других задач, связанных с упругими колебаниями под действием различных сил, поставленных Х. Лэмбом. Полученные результаты были важны не только для сейсмологов-практиков, но и стали источником новых идей для решения уравнений в частных производных.

Позднее, в серии статей С.Л. Соболев вместе со своим советником В.И. Смирнова [5,6] разработан метод функционально инвариантных решений волнового уравнения с постоянным коэффициентом (4) ∂2u∂t2=c2(∂2u∂x2+∂2u∂y2).(4) построить функционально инвариантные решения уравнения (4), авторы предложили очень простую схему, основанную на рассмотрении линейного уравнения (5) l(v)t+m(v)x+n(v)y−k(v) =0(5) с аналитическими коэффициентами, удовлетворяющими условию (l(v))2=c2((m(v))2+(n(v))2). Оказывается, если можно найти решение v=v(x,y,t) уравнения (5), то оно будет функционально инвариантным решением волнового уравнения (4).Впоследствии С.Л. Соболев показал [7], что все гладкие функционально инвариантные решения уравнения (4) могут быть получены путем решения уравнения вида (5).

В [5,6] методом функционально-инвариантных решений построены решения ряда задач о распространении упругих волн на плоскости и в пространстве. Здесь построение решений носит четкий геометрический характер и не использует довольно громоздких приемов, связанных с преобразованием Фурье и часто приводящих к расходящимся интегралам, как в Г.Работы Лэмба. В частности, В.И. Смирнов и С.Л. Соболев решил обобщенную задачу Лэмба о колебаниях упругого полупространства под действием источника силы, расположенного внутри полупространства. Они получили формулы, описывающие компоненты смещений упругих волн в любой точке среды. На основе полученных формул они дали интерпретацию некоторым физическим явлениям, в частности, пришли к выводу, что на бесконечности упругие колебания порождают волну конечной амплитуды, распространяющуюся со скоростью волны Рэлея.Они назвали эту волну обобщенной волной Рэлея.

Позже, используя метод функционально инвариантных решений, С.Л. Соболев решил ряд фундаментальных задач теории упругости. В частности, он изучал вопросы отражения и преломления упругих волн от плоской границы при свободных и вынужденных колебаниях, решал задачу о колебаниях полуплоскости и упругого слоя при произвольных начальных условиях, задачу о распространении волны Рэлея, а также ряд вопросов теории дифракции волн (см. , например, [8,9]).

Результаты, полученные по динамическим задачам теории упругости, подробно описаны С.Л. Соболевым в главе 12 «Некоторые вопросы теории распространения колебаний» второй части книги «Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики» Ф. Франка и Р. Мизеса (1937). Эти результаты используются в современных математических методах поиска полезных ископаемых, в обратных задачах сейсмологии, при изучении трещин в упругой среде.

Во второй половине прошлого века идея метода функционально инвариантных решений получила широкое распространение при решении различных задач теории уравнений в частных производных.

Прикладные задачи, которыми занимались в теоретическом отделе Сейсмологического института, часто требовали новых подходов к изучению уравнений в частных производных. В частности, одной из важнейших проблем, возникающих при изучении упругих волн , была задача о распространении разрывов . С математической точки зрения описание упругих волн сводилось к рассмотрению уравнений в частных производных. Однако классическая концепция решений дифференциальных уравнений не позволяла математически строго описывать разрывные процессы.Поэтому, рассматривая только классические решения дифференциальных уравнений, исследователь имел неполное соответствие между физическим содержанием задачи и ее математическим отражением.

С.Л. Соболеву неоднократно приходилось сталкиваться с этой проблемой при изучении распространения упругих волн, например, при изучении задач дифракции плоских упругих волн в однородных средах [10]. Как известно, для таких сред уравнения теории упругости сводятся к двум волновым уравнениям вида (4) (с разными коэффициентами c12>c22>0).Поэтому в задачах дифракции волн было естественно ввести математически правильное понятие разрывного или обобщенного решения.

Впервые проблема обобщенных решений уравнений в частных производных возникла в середине XVIII в. в знаменитом споре между выдающимися математиками Л. Эйлером и Ж. Даламбером о том, как назвать решение к уравнению колебаний струны (6) ∂2u∂t2=c2∂2u∂x2. (6) Ж. Даламбер считал, что решения этого уравнения должны быть непрерывно дифференцируемыми до второго порядка, показывая, что они имеют вид (7) u(x,t)=f(x−ct)+g(x +ct).(7) Он защищал эту концепцию решения во всех своих работах (см., например, неопубликованный том 9 Opuscules Mathématiques). Однако Л. Эйлер считал, что определение решения уравнения (6) не должно быть столь жестким и должно быть адекватно физическому пониманию задачи. В качестве аргументов Л.Эйлер указал геометрическую картину распространения волн в зависимости от начального профиля струны. Иными словами, Л. Эйлер впервые поставил задачу об обобщенном решении уравнения колебаний струны.

Интересно отметить, что с учетом начального профиля струны и ее начальной скорости u|t=0=φ(x),∂u∂t|t=0=ψ(x) Л. Эйлер имел уточнил вид функций f и g в (7), получив формулу u(x,t)=φ(x+ct)+φ(x−ct)2+12c∫x−ctx+ctψ( ξ)dξ, которую в литературе называют формулой Даламбера, несмотря на то, что Дж.д’Аламбер считал это неверным.

Позже в спор между Л. Эйлером и Ж. д’Аламбером вмешались Д. Бернулли и Ж. Лагранж. Но, конечно, при том уровне развития математики решить эту задачу в XVIII веке было невозможно. В то время не было даже общепринятого понятия функции!

В XIX веке многие известные математики принимали участие в дискуссиях о концепции обобщенных решений уравнений в частных производных.В начале ХХ века некоторые подходы к понятию обобщенного решения обсуждались в работах Ж. Адамара, Н. Винера, Н. М. Гюнтера, Ж. Лере, К.О. Фридрихс и др. Казалось, в воздухе витала идея новой концепции обобщенного решения! Но именно в работах С.Л. Соболевым в середине 30-х годов было дано определение обобщенных решений, которое стало общепринятым и идеологически основным для развития теории уравнений в частных производных.

Как уже было сказано, с начала 30-х годов С.Л. Соболев активно занимался изучением распространения упругих волн и, в частности, на формальном уровне рассматривал разрывные решения волнового уравнения (4). Стремясь преодолеть этот формализм, в 1934 г. С.Л. Соболев ввел понятие обобщенного решения уравнения (4) и изучил его свойства. В качестве обобщенного решения волнового уравнения в области G он предложил называть суммируемую функцию u(x,y,t), для которой существует последовательность классических решений этого уравнения {um(x, y,t)}, сходящейся к u(x,y,t) в пространстве Лебега, т.е.е. ‖um(x,y,t)−u(x,y,t),L1(G)‖→0,m→∞. Изучая свойства обобщенных решений, С.Л. Соболев установил, что для того, чтобы функция u(x,y,t) была обобщенным решением уравнения (4) в области G , необходимо и достаточно выполнения интегрального соотношения ∭Gu(x,y,t)( ∂2φ(x,y,t)∂t2−c2(∂2φ(x,y,t)∂x2+∂2φ(x,y,t)∂y2))dxdydt=0 для любого гладкого и в G компактно поддерживаемая функция φ(x,y,t). Отметим, что при доказательстве этого критерия С.Л. Соболев применил введенный им оператор усреднения, используя свою знаменитую функцию Соболева типа «шапочка» .

На основании этих результатов С. Л. Соболев решил общую задачу дифракции для двумерного волнового уравнения.

Полученные результаты он представил на Втором Всесоюзном математическом конгрессе (Ленинград, июнь 1934 г.). Результаты по дифракции волн были описаны в разделе «Уравнения математической физики» доклада «Проблема дифракции на римановых поверхностях» [11, с. 87], а об обобщенных решениях — в разделе «Дифференциальные и интегральные уравнения» доклада «Обобщенные решения волнового уравнения» [11, с.88].

Так впервые появилось строгое определение обобщенного решения волнового уравнения. Впоследствии она была обобщена для различных классов уравнений в частных производных и использовалась в многочисленных работах математиков всего мира. В настоящее время это направление еще очень активно развивается.

Следует отметить интересный исторический факт. Как уже упоминалось, задача об обобщенном решении уравнения колебаний струны была поставлена ​​Л.Эйлер в середине 18 века. В это время он жил и работал в России в Санкт-Петербурге. А почти через 200 лет в более общей постановке проблему обобщенных решений решил молодой советский математик С.Л. Соболева в том же городе, но под другим названием — Ленинград.

Работая над задачами дифракции и исследуя проблему обобщенных решений, С.Л. Соболев продолжал изучать распространение волн в неоднородных средах.Во-первых, он обобщил свой результат [1] о задаче Коши (1), (2) на случай, когда начальные условия заданы на произвольной пространственно ориентированной поверхности {t=T(x,y,z)} [12] . Затем он перешел к рассмотрению задачи Коши для гиперболических уравнений второго порядка с достаточно гладкими переменными коэффициентами (8) utt−∑i,j=12k+1ai,j(x,t)uxixj+∑i=12k+1bi(x,t )uxi+c(x,t)u=f(x,t),x∈R2k+1,t>0,(8) (9) u|t=0=u0(x),∂u∂t| t=0=u1(x).(9) Развивая свой метод [1,12], SL Построение решения задачи (8), (9) Соболев свел к рассмотрению интегрального уравнения типа Вольтерра [13], обобщающего уравнение (3).Предполагая наличие достаточно гладкого решения задачи Коши (8), (9), он записал решение этого интегрального уравнения в виде сходящегося ряда (10) u(x0,t0)=∑l=0∞Jl(x0 ,t0),(10) где Jl(x0,t0) — некоторые интегралы, определяемые рекурсивно; при этом интеграл J0(x0,t0) определяется начальными условиями (9) и зависит от коэффициентов уравнения (8). Следовательно, зная, что существует классическое решение задачи Коши, и используя формулу (10), можно задать алгоритм построения приближенного решения.Этот результат был также представлен С.Л. Соболева на Втором Всесоюзном математическом конгрессе [11, с. 87–88] (три доклада на таком представительном форуме!).

В 1934 году «московский период» С.Л. началась деятельность Соболева. Он переехал в Москву и был назначен заведующим кафедрой в Математическом институте им. Стеклова. В своих первых работах в Москве С.Л. Соболев развил результаты, о которых он доложил на Математическом конгрессе в Ленинграде [11]. В 1935 г. в Трудах МИАН им была опубликована статья [14], в которой были даны развернутое изложение понятия обобщенного решения волнового уравнения и подробное решение задачи о дифракции волн.В том же году в Докладах АН СССР была опубликована его статья [15] с изложением идеи доказательства разрешимости задачи Коши (8), (9). А именно, С.Л. Соболев предложил сначала изучить обобщенную задачу Коши , т. е. задачу Коши в пространстве функционалов, а затем выяснить условия, при которых обобщенное решение будет классическим .

На формальном уровне обобщенная задача состоит в нахождении функционала U как решения гиперболического уравнения (11) L(Dt,Dx)U=F(11) с начальными условиями (12) U|t< 0=0,(12) где функционал в правой части (11) определяется формулой (F,φ)=∬R+2k+2fφdxdt+∫R2k+1(u0∂φ∂t+u1φ) |t=0dx для любых гладких функций φ∈Φ с компактным носителем.

В то время С.Л. Идея Соболева оказалась неожиданной, к тому же уровень развития функционального анализа не позволял дать математически строгое определение обобщенного решения задачи Коши (8), (9). Поэтому С.Л. Соболеву нужно было разработать математический аппарат, который можно было бы использовать для реализации его идеи. Для этого в [15] он ввел пространство «основных функций» Φ, указал сходимость в нем последовательности, определил пространство непрерывных функционалов на Φ, указал их основные свойства и возможность регуляризации. В пространстве функционалов он определил простейшие линейные операции, в частности, дифференцирование и умножение на функцию, а затем линейный дифференциальный оператор. Все это позволило придать смысл (11), (12) и тем самым ввести понятие обобщенного решения задачи Коши (8), (9). В той же статье С.Л. Соболев показал, как можно доказать существование и единственность обобщенного решения задачи Коши.

Работа [15] представляет собой краткий очерк основ теории обобщенных функций, предложенной С.Л. Соболев. Подробное изложение результатов [15], а также доказательство существования классического решения задачи Коши (8), (9) содержится в его знаменитой работе [16], опубликованной в «Математическом сборнике» в 1936 г. ( На французском). В этих двух работах были заложены основы современной теории обобщенных функций; более того, основные идеи и конструкции из работ [15,16] вошли в теорию обобщенных функций практически без изменений. Широкое использование теории обобщенных функций (или теории распределений) и ее интенсивное развитие началось в начале 50-х годов после публикации монографии Л. Шварца [17], которая содержала дальнейшее развитие теории.

Появление теории обобщенных функций — одно из главных событий математического анализа ХХ века. Это оказало огромное влияние на развитие теории уравнений в частных производных. Ряд фундаментальных результатов, полученных с начала века в теории дифференциальных уравнений, постепенно приближал появление такой теории. Некоторые исследования, проведенные видными математиками того времени, могли способствовать возникновению идей теории обобщенных функций.По тематике они были очень близки к работам С.Л. Соболев. Такими исследованиями, несомненно, являются работы Ж. Адамара по задаче Коши для гиперболических уравнений, работы Н. Винера по телеграфному уравнению, работы Н. М. Гюнтера, посвященные уравнениям теории потенциала, и, наконец, недавние исследования С.Л. Соболева об обобщенных решениях волнового уравнения и задачи дифракции [11,14]. Интересно, что в 1967 г. выдающийся французский математик Ж. Лере [18] писал о теории обобщенных функций в рецензии на работы С. Л. Соболев:

«Применение теории распределений во всех областях математики, теоретической физики и численного анализа напоминает дремучий лес, скрывающий дерево, из семян которого он вырос. Однако мы знаем, что если бы Соболев не сделал своего открытия около 1935 г. в России, то к 1950 г. оно было бы совершено во Франции и несколько позже в Польше; США также льстят себя тем, что сделают это открытие в те же годы».

Следует подчеркнуть, что теория обобщенных функций появилась в середине 30-х годов в работах С.Л. Соболева как математический аппарат, позволивший решить одну из важнейших задач теории уравнений в частных производных. С.Л. Соболев пришел к изучению этой проблемы, решив важные прикладные задачи динамической теории упругости. В связи с этим напомним, что С.Л. Соболев был представителем Петербурго-ленинградской математической научной школы, основанной выдающимся русским математиком и механиком П.Л. Чебышев. Характерной чертой деятельности этой школы была тесная связь рассматриваемых математических проблем с важными прикладными проблемами науки и техники.

В последующие годы С.Л. Соболев развил теорию обобщенных функций в новом направлении. На основе понятия обобщенной производной он ввел и изучил новые функциональные пространства, которые впоследствии стали известны в литературе как пространств Соболева Wpl. Пространство функций Wpl(G),l∈N,p李1,G⊆Rn, характеризуется тем, что его элементы f имеют все обобщенные производные Dxαf в области G до l -й порядок суммирования с р -й степени на г .Для этих пространств С.Л. Соболев рассмотрел различные способы нормализации и установил некоторые связи между пространствами Wpl и классическими пространствами Ck и Lq, доказав первые теорем вложения [19,20].

Изучая свойства введенных пространств и используя теоремы вложения, он применил их к исследованию краевых задач в многомерных областях [19] для полигармонического уравнения Δmu=0,x∈G и решил задачу Коши для второй квазилинейные гиперболические уравнения порядка utt−∑i,j=12k+1ai,j(x,t,u,∇u)uxixj=f(x,t,u,∇u),x∈R2k+1,t>0, u|t=0=u0(x),ut|t=0=u1(x), где функции ai,j(x,t,y0,y),f(x,t,y0,y) достаточно гладкой и удовлетворяющей некоторой суммируемости [21].

В настоящее время пространства функций с обобщенными производными и теоремы вложения для них стали классическим инструментом при изучении широкого круга задач во многих областях математики. С.Л. Идеи и методы Соболева получили интенсивное развитие и получили приложения в дифференциальных уравнениях, уравнениях математической физики и вычислительной математики. Его теоремы вложения и следа превратились в один из важнейших инструментов современного математического анализа, в рамках которого сформировалось новое направление исследований, получившее название «теория соболевских пространств».

В 1939 году за свои выдающиеся математические открытия С.Л. Соболев был избран в Академию наук СССР, оставаясь долгое время самым молодым членом Академии. Его жена А.Д. Соболева вспоминала: «С.Л. Соболев часто говорил, что он в долгу перед Академией наук СССР и попытается оправдать свой статус академика». Много лет спустя в беседе с журналистами С.Л. Соболев говорил: «Что касается моих статей, то во время моего избрания никто не мог предвидеть, что из них вырастет, и поэтому мое избрание в Академию было моей заслугой».

В своих последующих работах С.Л. Соболев больше не возвращался к обсуждению теоремы о разрешимости задачи Коши для линейных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами [16]. Однако если ознакомиться с его работами [22–24], то невольно возникает гипотеза, что С.Л. Соболев продумывал еще один вариант доказательства разрешимости задачи Коши (8), (9). Первые две работы, опубликованные в 1937 и 1938 гг., были посвящены одному классу многомерных интегро-дифференциальных уравнений.Такие уравнения возникают при решении задач для гиперболических уравнений. В третьей работе, написанной в 1941 г., изучалась новая задача для гиперболических уравнений с краевыми условиями на характеристическом коноиде. Вполне возможно, что эти три работы были подготовительными к созданию многомерного аналога метода Римана и были направлены на разработку конструктивного способа доказательства теоремы существования для задачи Коши (8), (9).

Однако судьба распорядилась иначе. В 1941 году, в самом начале Великой Отечественной войны, С. Л. Соболев был назначен директором МИАН. В 1941–1943 годах он много сделал для организации в институте прикладных исследований военной тематики. В 1944 году С.Л. Соболева пригласили присоединиться к группе видных ученых СССР для работы над советским атомным проектом. Он оставил пост директора МИАН и перешел на работу в лабораторию, возглавляемую И.В. Курчатов. Вскоре он был назначен заместителем И.В. Курчатов и председатель Ученого совета лаборатории.С этого времени, на протяжении более 10 лет, работа в атомном проекте С.Л. Соболев был самым важным.

Сергей Львович Соболев был горячим патриотом своей Родины. Работая в советском атомном проекте, он принимал непосредственное участие в решении важных прикладных задач оборонного значения. В 1951 году С.Л. Соболев получил высшую награду Советского Союза: «за исключительные заслуги перед Отечеством при выполнении особого задания Правительства», ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

Несмотря на огромную занятость атомным проектом, С. Л. В эти годы Соболев выполнил ряд фундаментальных работ по математике. Вот некоторые из них.

В 1945 г. в серии работ [25–27] С.Л. Соболев исследовал почти периодичность классических решений краевых задач в цилиндрических областях для гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами ∂2u∂t2−∑i,j=1n∂∂xi(ai,j(x)∂u∂xj )+c(x)u=0,x∈Ω,t>0 и обобщенное решение первой краевой задачи для волнового уравнения ∂2u∂t2−∑i=13∂2u∂xi2=0,x∈ Ом,t>0.Для получения результатов существенно использовался разработанный им математический аппарат при изучении обобщенных решений и пространств функций с обобщенными производными. Работы [25–27] положили начало направлению в теории уравнений в частных производных, связанному с исследованием поведения решений краевых задач для нестационарных уравнений на бесконечности.

В 1950 году была опубликована его знаменитая книга «Некоторые приложения функционального анализа в математической физике» [28].Эта книга содержит некоторые результаты по анализу и дифференциальным уравнениям, полученные в работах С. Л. Соболева в 30-е годы, а также ряд новых. В частности, представлены теория пространств функций Лебега и Соболева, теоремы вложения, вариационный метод решения краевых задач для эллиптических уравнений, теория задачи Коши для линейных и квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка. Эта книга оказала и до сих пор оказывает огромное влияние на развитие современной теории дифференциальных уравнений, теории функций и вычислительной математики.Это настольная книга для многих начинающих исследователей.

В 1954 г. С.Л. Опубликована ставшая уже классической работа Соболева [29], посвященная изучению малых колебаний вращающейся идеальной жидкости. Математическая постановка сводилась к решению краевых задач для системы дифференциальных уравнений вида (13) vt−[v,ω]+∇p=f,divv=g, (13) где v=v(x,y ,z,t) — вектор скорости, p=p(x,y,z,t) — давление, ω — вектор угловой скорости.В случае f  = 0, g  = 0, ω=(0,0,1) каждая компонента решения системы (13) является решением уравнения (14) ∆utt+uzz=0. (14) Система (13) и уравнение (14) относятся к классам уравнений, не разрешимых относительно старшей производной по времени. По-видимому, впервые такие уравнения были рассмотрены в 1885 г. в известной работе выдающегося французского математика А. Пуанкаре [30]. Однако результатов о разрешимости какой-либо краевой задачи для этих уравнений в литературе не было.В своей работе [29] С.Л. Соболев доказал разрешимость задачи Коши, первой и второй краевых задач для системы (13) и уравнения (14), установил непрерывную зависимость решений от начальных данных и получил явную формулу решения задачи Коши . В тесно связанной с [29] работе [31] исследовался вопрос об устойчивости движения симметричного волчка, заполненного жидкостью. В этих работах сформулирован ряд новых задач математической физики; это было первое глубокое исследование уравнений, не разрешимых относительно старшей производной по времени.Поэтому в литературе система (13) называется системой Соболева , а уравнение (14) называется уравнением Соболева . Отметим, что в обеих работах С.Л. Соболев широко применял методы функционального анализа и, в частности, новый математический аппарат, разработанный при изучении соболевских пространств.

С.Л. Исследования Соболева уравнений (13), (14) были продолжены его учениками: Р.А. Александрян, Р.Т. Денчев, В.И. Лебедев, В.Н. Масленникова, С.Г. Овсепян, Н.Н. Вахания, Г.В. Вирабян, Т.И. Зеленяк. Также хорошо известно, что после появления работ С.Л. Соболев «…И.Г. Петровский указывал на необходимость изучения общих дифференциальных уравнений и систем, не разрешимых относительно старшей производной по времени (систем, не принадлежащих к системам типа Ковалевской)» (см. [32, с. 27]).

С.Л. Работы Соболева [29,31] положили начало новому направлению в изучении различных классов уравнений и систем, не разрешимых относительно старшей производной (15) L(Dx)DtmU+∑k=0m−1Lm−k(Dx) DtkU=F(t,x).(15) В литературе такие уравнения часто называют уравнениями соболевского типа . В настоящее время это направление интенсивно развивается. Большой интерес к уравнениям вида (15) вызван, с одной стороны, тем, что такие уравнения возникают во многих важных прикладных задачах [33,34], с другой стороны, естественным стремлением математиков к изучению новых объекты.

За многолетнюю работу в советском атомном проекте С.Л. Соболеву и его группе пришлось решать множество конкретных задач для уравнений математической физики.О С.Л. всегда говорили. Соболеву о том, что он обладал колоссальной проницательностью в решении задач математической физики. Но для того, чтобы теоретические решения прикладных задач можно было использовать на практике, необходимо было организовать численные расчеты. При этом расчеты должны были быть выполнены с необходимой точностью и в установленные сроки. В то время, кроме арифмометров и цифровых таблиц, в распоряжении ученых и инженеров не было ничего другого, и многие расчеты проводились вручную! С.Л. Соболев руководил основными расчетами, поэтому в эти годы много внимания уделял вопросам вычислительной математики. В частности, он разработал концепцию замыкания вычислительного алгоритма , исследовал дискретные задачи, возникающие при аппроксимации дифференциальных и интегральных уравнений математической физики. Он одним из первых понял необходимость создания вычислительной техники и подготовки высококвалифицированных кадров, способных работать с ней и обслуживать ее.Он был одним из инициаторов создания больших ЭВМ в СССР и заведовал первой в Советском Союзе кафедрой вычислительной математики МГУ. С.Л. Соболев был первым математиком в Европе, который лично писал программы для первых компьютеров и численно решал многомерные задачи математической физики. Решение подобных задач часто сводилось к изучению многомерных интегральных уравнений, и для них, по-видимому, С.Л. Соболев уже тогда изобрел свои первые кубатурные формулы .Позднее С.Л. Соболев вспоминал: «Работая в Институте атомной энергии, я пристрастился к вычислительной математике и осознал ее исключительные возможности».

Осознание необходимости развития вычислительной математики определило С. Л. Соболева на многие годы вперед. Смена научной тематики пришлась на его «сибирский период».

В 1956 г. академики М.А. Лаврентьев, С.Л. Соболев и С.А. Христианович обратились к Правительству СССР с предложением о создании нового научного центра на Востоке Советского Союза.В 1957 г. Правительство приняло решение об организации Сибирского отделения АН СССР в составе нескольких научно-исследовательских институтов, в том числе Института математики. академик С.Л. Соболев был назначен директором института. В 1958 г. «сибирский период» С.Л. началась деятельность Соболева. Потратив год на замещение должностей в нескольких отделах будущего Института математики, он вместе с коллегами переехал в Сибирь, в Новосибирск, за три тысячи километров от Москвы.

«Многие, даже друзья, не могли понять, что именно меня вело», — С.Л. Соболев сказал: «Оставить крепкую кафедру МГУ и отправиться в Сибирь, которая была на самом деле научной целиной». Его собственный ответ на этот вопрос был, как всегда, удивительно скромен: «Это было естественное желание человека прожить несколько жизней, начать что-то новое».

Основная тема тоже была новой: это были кубатурные формулы, т.е. формулы приближенного вычисления интегралов по многомерным областям Ω⊆Rn (16) ∫Ωφ(x)dx≈∑k=1Nckφ(xk), (16) где точки x1,…,xN и параметры c1,…,cN называются узлами и коэффициентами кубатурной формулы соответственно.С.Л. Соболев часто говорил: «После переезда из Москвы в Новосибирск мысли мои заняты кубатурными формулами».

Задача приближенного интегрирования функций является одной из основных проблем теории вычислений. Для функций одной действительной переменной появление формул приближенного интегрирования относится к 18 веку (правило трапеций, правило Симпсона). Более точные формулы появились в 19 веке (правило Грегори, правило Гаусса, правило Чебышева). Но формулы для приближенного вычисления многомерных интегралов появились только в 20 веке, и в отличие от одномерных формул они чрезвычайно трудоемки в вычислительном отношении.

За 25 лет работы в Сибири С.Л. Соболев создал собственную теорию кубатурных формул. При создании теории он предложил функциональный подход, столь характерный для всего научного творчества С.Л. Соболев. В этом подходе предполагается, что множество интегрируемых функций φ принадлежит некоторому банаховому пространству B , а кубатурная формула (16) сопоставляется с функционалом ошибки (17) l(x)=χΩ(x )−∑k=1Nckδ(x−xk), (17) где χΩ(x) — характеристическая функция области Ω, а δ(x) — дельта-функция Дирака.Функционал (17) линейный и непрерывный на B , т. е. является элементом B∗.

В теории кубатурных формул алгебраический и функциональный подходы разделены. Они определяют различные критерии качества кубатурных формул. В алгебраическом подходе лучшей формулой считается та, которая точна на больших наборах многочленов. В функциональном подходе качество основано на норме функционала ошибки, оптимальная кубатурная формула такова, что ее функционал ошибки при заданном числе узлов N имеет наименьшую норму в B∗.Знание нормы функционала ошибки позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы на функциях из пространства B . В этом существенное преимущество функционального подхода перед алгебраическим.

В С.Л. Соболева в теории кубатурных формул можно выделить четыре основных направления.

Первое направление, начавшееся, видимо, в 50-е годы, связано с трехмерными кубатурными формулами , имеющими высокие алгебраические порядки точности.Как известно, построение кубатурной формулы с заданными узлами, точной на многочленах степени l , сводится к решению системы линейных уравнений, размерность которой зависит от l . Чем выше л , тем больше размер системы. Но для областей интегрирования с некоторой симметрией С.Л. Соболев предложил алгоритмы построения инвариантных кубатурных формул, для которых можно было бы существенно уменьшить размерности соответствующих систем линейных уравнений.Нахождение узлов и вычисление коэффициентов таких формул может быть очень эффективным и позволяет добиться высокой точности при заданном объеме вычислений.

Второе направление посвящено асимптотически оптимальным решеточным кубатурным формулам в пространствах L2m. Норма в пространстве L2m определяется выражением ‖φ,L2m(Ω)‖2=∫Ω∑|α|=mm!α!|Dxαφ(x)|2dx, а функционал ошибки кубатурной формулы решетки есть обобщенная функция вида (18) l(x)=χΩ(x)−∑hHγ∈Ωhnc[γ]δ(x−hHγ), (18) где H — ортогональная матрица размерности n×n, detH =1, параметр h >0 — шаг решетки , а γ — вектор-столбец целых чисел.Предполагается, что область Ω лежит строго внутри фундаментальных параллелепипедов Ω0={x∈Rn:x=Hy,0≤yj<1,j=1,…,n}. С.Л. Соболев доказал, что для нормы любого функционала ошибки вида (18) с малым шагом h оценка (19) ‖l,Lm∗‖≥Bn,m|Ω|1/2hm+O(hm+ 1)(19), где Bn,m=(2π)−mζ(H,2m) определяется функцией Эпштейна ζ(H,2m). Кубатурные формулы, нормы функционалов ошибок для которых отличаются от нижней оценки (19) на малую величину более высокого порядка, называются асимптотически оптимальными кубатурными формулами.Изучая такие формулы, С.Л. Соболев, в частности, указал конструктивный способ создания класса кубатурных формул, функционалы ошибок для которых имеют вид (20) l(x)=∑γ∈BL(1)l0(xh−Hγ)+∑γ∈ BL(2)lγ(xh−Hγ), (20) где BL(1) — множество точек из Ω, удаленных более чем на Lh от границы ∂Ω, BL(2) — множество точек, находятся не более чем на Lh от границы ∂Ω, supplγ⊂{x:|x|≤L}. Он назвал такие функционалы функционалами ошибки с регулярным пограничным слоем и доказал верхнюю оценку их нормы (21) ‖l,Lm∗‖≤Bn,m|Ω|1/2hm+Khm+1(21) с константой K независимо от h .Из оценок (19), (21) следует, что при фиксированной матрице H и стремящемся к нулю шаге решетки h соответствующие кубатурные формулы асимптотически оптимальны. При этом константа Bn,m зависит от матрицы H . Поэтому для минимизации нормы функционала ошибки эту матрицу следует выбирать так, чтобы при заданных m соответствующая дзета-функция Эпштейна принимала минимальное значение. Это приводит к изучению нетривиальных задач теории чисел.

Третье направление С.Л. Соболева о кубатурных формулах в классах бесконечно дифференцируемых функций. Он рассматривал пространства периодических функций многих переменных с заданным поведением L2m-норм при m→∞. Изучая решеточные кубатурные формулы в этих пространствах, С.Л. Соболев получил асимптотическое представление логарифма нормы функционала ошибки и установил интересный факт. А именно, если норма функционала ошибки кубатурной формулы для классов функций конечной гладкости убывает степенным образом при h→0, то для бесконечно дифференцируемых функций она убывает экспоненциально.

Четвертое направление относится к С.Л. Соболева по оптимальным решетчатым кубатурным формулам в пространствах L2m. Одним из ключевых результатов в этом направлении является аналитический алгоритм нахождения коэффициентов оптимальных формул с заданной решеткой узлов. Для этого С.Л. Соболев ввел и изучил новые пространства функций многих дискретных переменных, аналогичные соболевским пространствам Wpm, Lpm. Эти пространства использовались в алгоритме нахождения коэффициентов оптимальных формул, основанном на решении дискретного аналога задачи Винера–Хопфа.Для решения этой проблемы С.Л. Соболев определил и исследовал специальный дискретный оператор DhHm[γ], аналогичный полигармоническому оператору ∆m. Его действие на функцию дискретного аргумента представлялось сверткой со специальным ядром. Используя свойства этого оператора, С.Л. Соболев получил аналитическую формулу для искомых коэффициентов.

В 1974 г. С.Л. Вышла фундаментальная монография Соболева «Введение в теорию кубатурных формул» [35], в которой были описаны все четыре направления теории кубатурных формул и указан ряд важных нерешенных проблем.

В 1983 году «сибирский период» С.Л. Деятельность Соболева закончилась, и в 1984 г. он вернулся в Москву, чтобы продолжить работу в МИАН на кафедре, возглавляемой академиком С.М. Никольский. В 1988 году С.Л. Соболев подготовил к печати монографию [36], в которой изложил теорию наиболее известных функциональных пространств, в частности, пространств обобщенных функций. Он подробно описал основные операции в пространствах, различные нормировки и интегральные представления.Для весовых пространств Wpl доказаны теоремы вложения, исследованы вопросы плотности финитных функций и изучена стабилизация на бесконечности. С.Л. Соболев планировал написать продолжение книги по теории кубатурных формул [35]. Однако издан он был лишь в 1996 г. совместно с его учеником В.Л. Васкевич [37].

Выдающийся ученый и общественный деятель С.Л. Соболев был прекрасным учителем, воспитавшим множество талантливых учеников и последователей.Под его руководством кандидатские диссертации (кандидатские диссертации) защитили Х.Л. Смолицкий (1940), В.И. Кондрашов (1942), И.А. Яковлев (1948), Р.А. Александрян (1949), О.А. Ладыженская (1949), Г.В. Мухина (1950), В.Н. Масленникова (1954), Н.П. Трифонов (1954), А.А. Дезин (1957), В.И. Лебедев (1957), М.М. Лаврентьев (1957), Н.С. Бахвалов (1958), Н.Н. Вахания (1958), А.Л. Крылов (1958), Р.Т. Денчев (1960), Ю.И. Гильдерман (1962), Т.И. Зеленяк (1962), Е.Г. Дьяконов (1962), А.Х. Гудиев (1963), И.Г. Глобенко (1963), Г.Н. Салихов (1964), Г.В. Вирабян (1965), В.Р. Портнов (1967), Ц.Б. Шоинжуров (1967), В.И. Половинкин (1968), Л.В. Войтишек (1971), В.Я. Иврий (1972), З.Ж. Жамалов (1975), П.Е. Берхин (1976), С.Ю. Прищепёнок (1976), Н.И. Блинов (1978), М.М. Зарубин (1981), Х. М. Шадиметов (1982), В.Л. Васкевич (1983).

С.Л. Соболев преподавал в Ленинградском государственном университете, Ленинградском электротехническом институте, Военно-транспортной академии Красной Армии, Московском государственном университете и Московском физико-техническом институте.Он был одним из основателей Новосибирского государственного университета, где прочитал самую первую лекцию на открытии университета в 1959 году, основал кафедру дифференциальных уравнений и много лет читал курсы по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям математической физики, спецкурсы по теории обобщенных функций и кубатурных формул.

Блестящая научная и общественная деятельность С.Л. Соболева, что принесло ему большую известность в СССР, получило должное международное признание.Он был иностранным членом Французской академии наук, Национальной академии наук в Риме, Академии наук в Берлине, почетным членом Эдинбургского королевского общества, Московского математического общества и Американского математического общества. Он получил почетные степени различных университетов мира. Вклад С.Л. Соболев был удостоен многих государственных наград. В 1988 году С.Л. За выдающиеся достижения в области математики Соболев был удостоен высшей награды Академии наук СССР — Золотой медали имени Ломоносова.

Сергей Львович Соболев скончался 3 января 1989 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.

К столетию С.Л. Соболева, два тома его избранных работ [38,39] были изданы в Институте математики им. СЛ Соболева Сибирского отделения Российской академии наук. Тома содержат его фундаментальные работы по уравнениям в частных производных, уравнениям математической физики, функциональному анализу, теории функций, вычислительной математике и теории кубатурных формул.

Биография С.Л. Соболева, его интересные научно-популярные и публицистические статьи, ряд редких документов, а также воспоминания современников, коллег, друзей и жены содержатся в книге [40]. Полный список С.Л. Публикации Соболева можно найти в [41]. На сайте Института математики им. С.Л. Соболева есть страница [42], посвященная С.Л. Соболева со ссылками на ресурсы о нем, его работах и ​​деятельности, а также на веб-страницу [43] о конференциях в его честь.

-Адические дробно-псевдодифференциальные уравнения и пространства соболевского типа над -адическими полями

В работе изучаются решения псевдодифференциальных уравнений типа над -адическим полем , где — -адический дробно-псевдодифференциальный оператор. Если функция Брюа-Шварца, то существует распределение фундаментальное решение такое, что является решением. Мы также показываем, что решение принадлежит некоторому пространству Соболева. Кроме того, мы даем условия непрерывности и единственности .

1. Введение

В последние годы -адический анализ привлек большое внимание в связи с его приложениями в математической физике; см., например, [1–11] и ссылки в них. В связи с этим возникли новые математические задачи, в том числе изучение -адических псевдодифференциальных уравнений; см. , например, [10–16] и ссылки в них. В данной работе мы изучаем решения -адических псевдодифференциальных уравнений дробного порядка на пространствах соболевского типа.

Дробно-адический псевдодифференциальный оператор , определенный Су в 1992 г. [17], представляет собой оператор вида для , где и обозначают преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, обозначает -векторное пространство функций Брюа-Шварца над -адическими полями и является положительным действительным числом.-адическим дробным псевдодифференциальным уравнением называется уравнение типа Если , то существует распределение , фундаментальное решение, такое, что является решением.

Покажем также, что (2) имеет решение, принадлежащее некоторому пространству Соболева. Кроме того, мы даем условия непрерывности и единственности .

2. Предварительные сведения

Мы используем обозначения, указанные в книге Тайблсона [18]. Зафиксируем простое число. Поле -адических чисел определяется как пополнение поля рациональных чисел относительно -адической нормы, которая определяется следующим образом:  ; если произвольное рациональное число представлено как , где и целые числа и не делятся на .

-адическая норма удовлетворяет сильному неравенству треугольника .

Любое -адическое число может быть однозначно представлено в виде серии сходится по -адической норме (каноническое представление ).

Определить побитовую операцию сложения и умножения in (с переносом слева направо или без переноса), then — локально компактное, недискретное, полное и полностью несвязное топологическое поле.

Обозначим через кольцо целых чисел в , .Обозначим нормированную условием меру Хаара на . Обозначим через соответственно шар и сфера радиуса с центром в центре. Очевидно, , .

Комплекснозначная функция, определенная на, называется локально постоянной, если для любой существует целое число, удовлетворяющее Обозначим через линейное пространство всех локально постоянных функций. определяется как линейное пространство всех локально постоянных функций с компактным носителем в .

Сходимость точки в имеет следующее определение: , тогда и только тогда, когда для любого компактного подмножества ,  ,   выполняются равномерно на . Сходимость по имеет следующий смысл: , тогда и только тогда, когда существуют индексы и не зависящие от , такие, что функции с носителями в шаре и с константами на смежном классе , выполняются равномерно по . Тогда и — полные топологические линейные пространства. Также обозначим через функциональное пространство Брюа-Шварца.

Обозначим через пространство распределения функционального пространства Брюа-Шварца . является полным топологическим линейным пространством относительно двойственной топологии. Сходимость точки в имеет следующее определение: тогда и только тогда, когда выполняется для любого .

Преобразование Фурье определяется по следующей формуле: и обратное преобразование Фурье где – аддитивный характер поля со значением в и . Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье отображают из в .

Преобразование Фурье распределения определяется стандартным соотношением , .

В 1992 г. Su [17] дал определения производных для -адических локальных полей, включая производные дробных порядков и действительных порядков.

Пусть и . Его роль играет оператор псевдодифференциального оператора, который определяется как для . Это легко увидеть. С участием определенная область может быть расширена до пространства . Таким образом, мы также имеем с и .

Определение 1. Если , то определяется как -адическая производная порядка на . А если , то определяется как -адический интеграл порядка на . Если , для любого , то называется тождественным оператором.
В [19, 20] Цю и Су построили ядро ​​свертки оператора .Рассмотреть возможность куда

Здесь — ориентировочная функция множества, удовлетворяющая , и — распределение, определяемое как

Лемма 2 (см. [19, 20]). , и удовлетворяет свойству полугруппы: .

3. Решения псевдодифференциальных уравнений в пространствах соболевского типа

Рассмотрим теперь следующее псевдодифференциальное уравнение: Мы говорим, что это фундаментальное решение (13), если это решение.

Лемма 3. Если – фундаментальное решение (13), то для любой константы – также фундаментальное решение.

Доказательство. Пусть есть фундаментальное решение для (13), тогда потому что и постоянная функция , находятся в области .

Теорема 4. Фундаментальное решение (13) есть

Доказательство. Воспользуемся определением (8), тогда Существование фундаментального решения эквивалентно существованию распределения, удовлетворяющего как дистрибутивы.По лемме 2 имеем Потом, . В силу (11) теорема 4 доказана.
В дальнейшем мы введем некоторые соответствующие пространства над -адическими полями (см. [20]).
Пространство типа Гёльдера , :(1)для , мы определяем как пространство непрерывных функций на ;(2)для , мы определяем как множество всех распределений с разложением Литтлвуда-Пэли относительно следующей нормы: Таким образом, становится банаховым пространством с указанной выше нормой.
Пространство типа Соболева, : где обозначает множество измеримых функций при выполнении условия .

Лемма 5 (см. [21, 22]). Для , считается, что

Лемма 6. Для любого и отображение является корректно определенным непрерывным отображением между банаховыми пространствами.

Доказательство. Пусть . У нас есть это Результат следует из того, что плотно в .

Теорема 7. Пусть — -адический дробный псевдодифференциальный оператор. Позвольте быть положительным вещественным числом, удовлетворяющим . Тогда уравнение имеет единственное равномерно непрерывное решение.

Доказательство. Пусть , как плотно в и мы имеем Таким образом, мы установили существование . По лемме 5 равномерно непрерывна при .
Наконец, мы показываем, что он уникален. Действительно, если , то И поэтому, . Тогда почти везде и тем более почти везде и по непрерывности при любом . Теорема 7 доказана.

4. Заключение

В работе исследовались псевдодифференциальные уравнения типа нададического поля, где – -адический дробный псевдодифференциальный оператор. Получено фундаментальное решение уравнения. А непрерывность и единственность решения, принадлежащего пространству соболевского типа, были получены при использовании метода явного вычисления фундаментальных решений.

Благодарности

Автор хотел бы поблагодарить научного редактора Thabet Abdeljawad и всех анонимных рецензентов за их любезную поддержку, которая помогла автору значительно улучшить статью. Эта работа была поддержана Национальным фондом естественных наук Китая под номерами NSFC.11071109 и 11001119 и Приоритетной академической программы развития высших учебных заведений провинции Цзянсу (PAPD).

Обзор Пространства Соболева

Введение в пространства Соболева содержит краткое введение в пространства Соболева на простом уровне с иллюстрированными примерами. Читатели узнают о свойствах этих типов векторных пространств и получат представление о сложном дифференциальном исчислении и уравнениях в частных разностях, связанных с этой темой. Содержание книги подходит для студентов и аспирантов, математиков и инженеров, которые заинтересованы в получении быстрого, но тщательно изложенного, математически обоснованного базового знания о пространствах Соболева.

 

 

О редакторе:

Д-р Бавер Окутмустур — доцент кафедры математики Ближневосточного технического университета. Он защитил докторскую диссертацию в Университете Пьера и Марии Кюри (Париж 6) в Лаборатории Жака-Луи Лиона (LJLL), 2010 . Название диссертации: Методы конечных объемов для нелинейных гиперболических законов сохранения на многообразиях и диссертация магистра: Воспроизводящее ядро ​​гильбертовых пространств

 

Его основными исследовательскими интересами являются математическая физика, гиперболические законы сохранения, методы конечных объемов, уравнения в частных производных и общая теория относительности соответственно.

 

 

Д-р Эрхан Пискин — турецкий преподаватель инженерного дела. Достижения включают патенты на носители для ядерной визуализации.Лауреат научной премии Турецкого научно-технического совета, 2000 г. Он был членом Турецкого научно-технического совета, 2000–2008 гг.; и член Турецкой академии наук (Анкара). С 1988 года он ведет свою карьеру в качестве профессора Университета Хаджеттепе в Анкаре. Он является членом редколлегии журнала Tissue Engineering & Regenerative Medicine.

 

 

Ключевые слова:

 

сходимость в метрическом пространстве, слабая сходимость, банахово пространство, гильбертово пространство, теоремы вложения Соболева, компактное вложение, логарифмическое неравенство Соболева, пространство Шварца, теорема Планшереля, переменный показатель, пространство Лебега, норма Люксембург, переменный показатель, пространство Соболева, липшиц-непрерывная функция.

 

Для получения дополнительной информации посетите: https://bit.ly/3F5dlPr



Отказ от ответственности: AAAS и EurekAlert! не несут ответственности за достоверность новостных сообщений, размещенных на EurekAlert! содействующими учреждениями или для использования любой информации через систему EurekAlert.