Решебник по математике 5 класс геометрия арифметика сферы: ГДЗ по математике для 5 класса Арифметика. Геометрия. Бунимович Сферы

Содержание

ГДЗ по математике 5 класс задачник Бунимович Решебник

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык

ГДЗ по математике 5 класс тетрадь-тренажёр Бунимович, Кузнецова Решебник

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык

Решебник (ГДЗ) по математике за 5 класс Бунимович

Решебники, ГДЗ

  • 1 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 2 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Белорусский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Украинский язык
    • Французский язык
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья

Решебник Арифметика. Геометрия. по Математике за 5 класс Е.А. Бунимович, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова на Гитем ми

Пятиклассники находятся на самом первом году обучения в средней школе (вторая ступень образования). Таким образом, ученики только начинают сталкиваться с трудностями, которыми изобилует данный переходной этап. Не успел отзвенеть первый звонок, как сразу же на плечи свалилось много самых разнообразных забот и проблем. Отныне требуется не только успешно решать заданные упражнения, но и систематически уделять время повторению пройденного материала.

Математика – это наука, в которой все закономерно и подчинено строжайшей системе понятий. Из простых изначальных предположений (аксиом) неизменно выводится сложное и комплексное знание. Последнее же в виде теорем используется для выполнения практических задач. В математике все чрезвычайно закономерно, подчинено системе. Именно так и подобает организовывать мир вокруг себя «царице наук». Не зная исходного материала, ученик никогда не сможет твердо постичь нового. К счастью существует методическая работа Бунимовича и соавторов. Авторы объясняют не только ход решения упражнений из учебника, но и подготавливают к предстоящим самостоятельным и контрольным работам.

Решебник по математике для 5 класса расписывает проверочные работы по каждой из пройденных тем. Благодаря дифференцированному подходу, ученик может подготовиться к задачам и упражнениям произвольного уровня сложности.

Характеристика решебника

Е. А. Бунимович, Г. В. Дорофеев и С. Б. Суворова правильно понимают психофизиологические особенности детей данного возраста и удачно взаимодействуют с ними. ГДЗ онлайн будут полезными для лучшего понимания пройденных тем. С их помощью совсем не сложно готовиться в различным видам деятельности в школе:

  • самостоятельным и контрольным испытаниям.
  • тестовым и проверочным заданиям.
  • внешним оценочным работам в конце года.

Содержание сборника Бунимовича с верными ответами хорошо соответ

ГДЗ по математике 5 класс тетрадь тренажер Бунимович


Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс. Тетрадь – тренажер Е. А. Бунимовича, Л. В. Кузнецовой, С. С. Минаевой, С. Б. Суворовой, Л. О. Рословой. Издательство: Просвещение, серия: Сферы. Состоит из одной части и 128 страниц.

Тетрадь состоит из одиннадцати глав, которые охватывают следующие темы: линии, натуральные числа, действия с натуральными числами, использование свойств действий при вычислениях, углы и многоугольники, делимость чисел, треугольники и четырехугольники, дроби, действия с дробями, многогранники, таблицы и диаграммы. Все задания к главам имеют различный уровень сложности, решая которые школьник научится анализировать, сравнивать, рассуждать, делать выводы, а также закрепит пройденный материал. Каждая глава состоит из следующих заданий: Работаем с текстом, Работаем с моделями, Осваиваем алгоритмы, Анализируем и рассуждаем, Выполняем тест. Такое распределение по рубрикам способствует освоению сложного материала, каждый ученик сможет понять, какие задания для него не поддаются решению и еще раз перечитать эту тему.

Коллектив ЯГДЗ позаботился о том, чтобы у учащихся не возникло сложностей при решении заданий данной тетради. Школьник всегда может посмотреть и оценить решение, понять, где сделал ошибку и исправить ее. Родителям наше пособие также укажет на ошибки, сделанные школьником при самостоятельном выполнении домашнего задания.


Задание: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 15 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 30 31 32 Выполняем тест 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 Выполняем тест 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 Выполняем тест 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Выполняем тест 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 Выполняем тест 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 Выполняем тест 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 Выполняем тест 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 Выполняем тест 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 Выполняем тест 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 Выполняем тест

Гдз по математике (арифметика, геометрия) 5 класс Бунимович

  • ГДЗ
  • 1 Класс
    • Окружающий мир
  • 2 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 3 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Окружающий мир
  • 4 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Окружающий мир
  • 5 Класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Биология
    • История
    • География

Математика в 10 классе | План уроков математики для десятого класса

Планируется

тем по математике в 10 классе, которые охватывают все уроки в разных сегментах. Помощь по математике 10-го класса предоставляется для 10-го учащихся во всех сегментах, чтобы охватить все планы уроков математики, которые подразделяются на арифметику, алгебру, геометрию, измерение и тригонометрию.

Все типы решенных примеров по разным темам объясняются вместе с пошаговыми решениями, чтобы студенты могли попытаться быстро решить эти проблемы своими собственными удобными методами.Практические листы по математике в 10-м классе представлены таким образом, чтобы учащиеся могли изучать математику, решая математические задачи.

Принимая во внимание умственный уровень ученика десятого класса, были приложены все усилия, чтобы представить новые концепции простым и легким языком, чтобы ученики могли легко понять проблемы.

Уровень сложности математических задач 10-го класса подчеркивает теоретические, а также числовые аспекты курса математики. Каждая тема содержит большое количество примеров для понимания применения концепций.

Для подготовки к тесту по математике или экзаменам в 10 классе необходимо узнать соотношение проблем и пропорции, прибыль и убыток и проценты (простой и составной), соотношение, пропорция и вариация, неравенство, всплески, построение графиков линии на координатной плоскости, решение буквальных уравнений, составные неравенства, графическое отображение неравенств с двумя переменными, умножение биномов, многочлены, методы факторизации трехчленов, решение систем уравнений, задачи алгебры слова, вариации, рациональные выражения, рациональные уравнения, графики и функции, теоремы о окружности, теоремы о касательных к окружности, теоремы о подобии, конструкции и приложения, теоремы о треугольнике и доказательства, свойства многоугольников, преобразования, тригонометрические соотношения, тригонометрические соотношения дополнительных углов, применение тригонометрических соотношений в практических задачах и т. д. ……

Если ученик придерживается только математики, он может улучшить свои знания, практикуя рабочие листы для 10-х классов, которые помогут им набрать баллы на экзамене.

Коммерческая математика

Сложные проценты

● Налог с продаж и налог на добавленную стоимость

Акции и дивиденды


Алгебра / линейная алгебра

● Линейные уравнения в одной переменной (неизвестно)

Квадратичное уравнение

Факторизация

Соотношение и пропорция

Матрица

Отражение

Отражение

Формулы расстояния и сечения

Уравнение прямой


Геометрия и измерения

Локусы

Свойства касательных

Площадь и периметр окружности

Тригонометрия

Тригонометрические отношения и тождества

  • Задачи о соотношении между рационами: узнайте, как решать задачи, основанные на соотношении между тригонометрическими отношениями.

Тригонометрические отношения дополнительных углов

Высота и расстояние

Статистика и вероятность

Графическое представление

Меры центральной тенденции

Вероятность

ПРАКТИКА — Математика 7 класс Заключительный экзамен

1 Имя: Неблокирующий класс: Дата: ПРАКТИКА — Заключительный экзамен 7-го класса по математике Выбор нескольких вариантов Выберите букву выбора, которая лучше всего завершает утверждение или отвечает на вопрос.1. Найдите среднее значение, медианное значение, моду и диапазон следующих значений: 17, 7, 11, 13, 2, 12, 7. a. Среднее значение = 8,5 Медиана = 11 Режим = 11 Диапазон = 15 б. Среднее значение = 9,9 Среднее значение = 13 Режим = 7 Диапазон = 19 c. Среднее значение = 9,9 Медиана = 11 Режим = 7 Диапазон = 15 дней. Среднее значение = 9,9 Среднее значение = 13 Режим = 11 Диапазон = Учитель опрашивает всех учеников в своей школе, чтобы определить любимый класс каждого ученика. Результаты его опроса показаны на гистограмме ниже. Насколько больше студентов предпочитают математику, чем историю? а. 5 студентов c.12 студентов б. 2 студента d. 6 студентов 1

2 3. Имеет ли следующий график разброса положительную корреляцию, отрицательную корреляцию или нет корреляции? а. Отрицательная корреляция c. Нет корреляции b. Положительная корреляция 4. Выразите 3 3 числом. а. 729 с. 93 г. 39 дн. 27 Оцените каждый из следующих пунктов: a c. 50 бд Бен ходит в парк каждые 2 дня и ходит в библиотеку каждые 5 дней. Если Бен сумеет сделать и то, и другое сегодня, сколько дней пройдет, прежде чем Бен снова сделает их оба в один и тот же день? а.Будет 20 дней. c. Будет 10 дней. б. Будет 7 дней. d. Будет 3 дня. 7. Midori чистит клетку для хомяка каждые 7 дней, чистит собаку каждые 9 дней и чистит аквариум для лягушек каждые 6 дней. Если Мидори сделает все три питомца сегодня, сколько дней пройдет, прежде чем Мидори снова позаботится обо всех трех этих питомцах в один и тот же день? а. Будет 9 дней. c. Это будет 126 дней. б. Будет 63 дня. d. Это будет 42 дня. Оцените каждое выражение для данного значения переменной. 8. p 14 для p = 38 a.38п 14 с. 532 г. 52 дн. 24 2

3 9. Напишите выражение для периметра показанного воздушного змея. Объедините похожие термины в выражение. а. 2a + 2b c. (а + 2) + (а + 2) б. а 2 + б 2 д. a + a + b + b 10. Что из следующего является решением 29 = k 9? а. 38 с. 20 б. 39 д Ана хочет вырастить в этом году определенное количество растений подсолнечника. У Аны 71 семя, что на 50 больше, чем нужно. Ана хочет вырастить в этом году 22 подсолнуха, 21 подсолнух, 121 подсолнух или 31 подсолнух? а.121 с. 31 б. 21 дн. 22 Решите каждое уравнение. Отметьте свой ответ = 10n a. 21 = п с. 190 = н б. 210 = н д. 20 = n 13. Запишите целые числа 4, 6, 6, 5, 9 и 2 в порядке от наименьшего к наибольшему, а затем нанесите каждое из них на числовой прямой. а. 6, 5, 2, 4, 6, 9 в. 4, 6, 6, 5, 9, 2 б. 6, 5, 2, 4, 6, 9 дн. 9, 6, 4, 2, 5, 6 3

4 14. Найдите квадрант, в котором находится точка (9, 7). а. Квадрант III c. Квадрант IV б. Квадрант I d. Квадрант II 15. Оцените p q для заданных значений.p = 2, q = 20 а. 18 с. 18 б. 22 г Температура на земле во время взлета самолета составляла 7 F. На высоте 38 000 футов в воздухе температура снаружи самолета составляла 29 F. Найдите разницу между этими двумя температурами. а. 36 F c. 22 F b. 36 F д. 22 F 17. Найдите частное. 36 (4) а. 9 в. 40 б. 32 дн. 9 Отобразите каждое число на числовой прямой a. c. б. d. 4

5 а. c. б. d. 20. Что является характеристикой рационального числа? а. Он всегда будет повторяться. c.Его можно записать в дробной форме. б. Это всегда будет прекращено. d. Это должно быть целое число. Скажите, эквивалентны ли две данные дроби и 8 64 a. Дроби не эквивалентны. б. Дроби эквивалентны. 22. Запишите 20 8 в виде смешанного числа в простейшей форме. a c b d Запишите десятичную дробь как смешанное число в простейшей форме. а в б г Какое десятичное число меньше 3,19? а в б. 3.2 d. Веревку длиной 4,12 фута разрезают на части длиной 2,06 фута. Примерно сколько штук будет? Используйте оценку, чтобы определить свой ответ.а. 2 в. 1 б. 3 г Умножить. Оцените, чтобы проверить, является ли ответ разумным. A c b d В коробке 10 книг, и каждая книга весит в среднем 2,3 фунта. Сколько весит вся коробка? a фунты c фунты b. 23 фунта d. 3 фунта 5

6 28. Разделить. Оценка для проверки обоснованности ответа a. 90 с. 90 г. 900 d Решите следующее. 2.02w = a c. 18 б. 1,8 дн. У Кристи было 7 долларов, когда она пошла в магазин. Когда она вернулась, у нее было 2,36 доллара.Сколько она потратила? а. $ 9,36 c. 4,83 долл. США б. 6,76 долл. США d. $ Гравитация на Марсе примерно больше земной. Если объект весит килограммы на Марсе, сколько он весит на Земле? Округлите ответ до ближайшей тысячной. a кг c кг b кг d. 7,5 кг 32. Умножить. Напишите ответ в простейшей форме а. 54 в б. d Разделить. Напишите ответ в простейшей форме а. 6 в. 6 6 б. 169 d Письмо первого класса может весить до 13 унций без учета дополнительных расходов. Оцените, насколько больше веса можно добавить к письму весом 10 унций.3 унции c унции b унции d унции 35. Длина пешеходной тропы через лес составляет 8 миль. Предположим, путешественник уже путешествовал, и определите, какая часть тропы осталась для пешехода. а. 1 миля c. 2 1 мили 2 b мили d мили миль. Приблизительно 6

7 36. Двое учащихся сдают тест по математике. Через 5 минут один ученик делает 1, а другой намного опережает второго ученика, первый? а. до н.э. 1 6 дней сделано. Как 37. За последние три года баскетбольная команда Фредерико выиграла на 40 игр больше, чем проиграла.Если они выиграли 150 игр, каково было их соотношение побед к поражениям? Покажите соотношение тремя разными способами. 15 а., 15 по 4, 15: 4 в. 15, 15–11, 15: б., 4–15, 4:15 д. 15, 15–19, 15: Ларри потратил 21 минуту на решение 7 задач по математике. Мэри за 19 минут решила 8 задач по математике. Какой студент делал больше задач в минуту? а. Мэри б. Ларри 39. Определите, пропорциональны ли отношения 3 и 7 a. нет б. да 40. Определите, пропорциональны ли соотношения и a. да б. № 41. Пэм платит 9,50 долларов за 1 ярд ткани.Сколько будет стоить ткань за фут? При необходимости округлите ответ до цента. а. $ 6,33 за фут c. 3,17 доллара за фут b. 0,79 долл. США за фут d. 28,50 долларов за фут 42. Однажды Виктор ехал в машине со своим отцом и увидел знак, на котором было написано 550 км до Индианаполиса. Примерно сколько часов потребовалось, чтобы добраться до Индианаполиса, если машина двигалась со скоростью 60 миль / ч? (1 миля 1,61 км.) Округлите ответ до ближайшей десятой. а. 5,7 часов c. 0,6 часа b часов d часов 43. Два параллелограмма похожи. Основание первой 12 см, а высота 8 см.Найдите основание второго параллелограмма, если его высота 34 см. а. 2,8 см c. 51 см б. 38 см d 44. Чтобы определить высоту флагштока на школьном дворе, Синди собирается использовать аналогичные треугольники. Длина тени Синди — 5 футов. Измеряя одновременно длину тени от столба, она обнаруживает, что она составляет 12,5 футов. Используя эту информацию и тот факт, что рост Синди составляет 4 фута, укажите высоту шеста с точностью до сотых долей фута. а. 10 футов c футов b футов d футов 7

8 45.Запишите 16% в виде дроби в простейшей форме. a c b d Запишите 20% в виде десятичной дроби. 1 а. 5 в. 0,2 б. 5-й Куанг-фу планирует переделать комнату в своем доме. Первоначальная оценка, которую он получает на реконструкцию, составляет 2 доллара, однако Куанг-фу ожидает, что фактическая стоимость будет на 26% больше, чем предполагаемая, и он планирует сэкономить достаточно денег, чтобы покрыть расходы на этот перерасход. Оцените, сколько денег потребуется, чтобы покрыть только стоимость перерасхода. а. $ c. $ б. $ d. $ Баночка наполнена мармеладом разных цветов.Если в банке всего 850 желейных бобов, и примерно 14% желейных бобов желтые, сколько желтых желейных бобов находится в банке? а. 11 900 желтых мармеладов c. 731 желтые желейные бобы b. 119 желтых мармеладов d. 836 желтых мармеладов — это 100% от какого числа? а. 2,5 в б. 150 дн. 1.5 Используйте рисунок ниже, чтобы ответить на вопрос 50. Рисунок Обозначьте три отрезка линии на рисунке 7-3. а. L, M, O c. LM, NO, MO b. LO, NO, MN d. LO, MN, ML 8

9 Используйте рисунок ниже, чтобы ответить на вопрос 51.Рисунок Какова мера BQE на рисунке 7-5? а. 55º c. 180º б. 100º d. 125º 52. Укажите, какой угол внизу — острый, прямой, тупой или прямой. а. Прямой угол c. Тупой угол b. Прямой угол d. Острый угол 53. Укажите, какой угол ниже — острый, прямой, тупой или прямой. а. Тупой угол c. Острый угол b. Прямой угол d. Прямой угол 9

10 Используйте рисунок ниже, чтобы ответить на вопрос 54. Рисунок Назовите одну пару дополнительных углов на рисунке 7-10 выше.а. N PO и M PN c. M PN и RPQ b. QPN и NPM d. RPO и OPN Учитывая g // h, используйте следующий рисунок, чтобы ответить на вопрос 55. Рисунок Найдите меру 5 на рисунке a. 105º c. 85º б. 75º d. 110º 56. Обозначьте радиусы в круге L выше. а. EQ c. LE, LR, LD, LQ б. RE, DQ, QE d. DE, QR 10

11 57. Найдите диаметр в окружности E выше. а. HF, IG c. EF, EG, EH, EI b. FI d. HJ, FJ 58. Определите, является ли фигура многоугольником. а. Нет б. Да 59. Назовите многоугольник и скажите, является ли он правильным многоугольником.а. Треугольник; нет c. Четырехугольник; да б. Треугольник; да d. Четырехугольник; no 60. Назовите многоугольник и скажите, является ли он правильным многоугольником. а. Треугольник; нет c. Четырехугольник; да б. Треугольник; да d. Четырехугольник; № 11

12 61. Назовите многоугольник и укажите, является ли он правильным многоугольником. а. Нонагон; нет c. Нонагон; да б. Четырехугольник; кивать головой. Четырехугольник; да 62. Классифицируйте треугольник по его сторонам и углам. а. Острый треугольник c. Равнобедренный острый треугольник b.Равносторонний острый треугольник d. Равнобедренный треугольник 63. Назовите все названия четырехугольника. а. Параллелограмм c. Параллелограмм; квадрат б. Параллелограмм; прямоугольник d. Прямоугольник 64. Дайте все имена, применимые к четырехугольнику. а. Параллелограмм; ромб б. Параллелограмм; прямоугольник c. Параллелограмм; ромб; прямоугольник; квадрат д. Параллелограмм; квадрат 12

13 65. Скажите, верно это утверждение или нет. Поясните свой ответ.Все ромбы квадратные. а. Неверно b. Правда; у ромба четыре совпадающие стороны. c. Верно d. Ложь; у всех ромбов нет четырех углов 90. 66. Разделите многоугольник на треугольники, чтобы найти сумму углов. а. 720º c. 4 б. 540º d. 900º 67. Назовите совпадающие фигуры на картинке ниже. а. Нет совпадающих цифр. б. Все кнопки совпадают. c. Кнопка = и экран совпадают. d. Все кнопки, кроме кнопки =, совпадают. 68. Определите недостающую меру в наборе конгруэнтных многоугольников.а. 8 м с. 17 м б. 7 м д. 22 м 13

14 69. Определить тип трансформации. а. Перевод б. Вращение c. Размышление 70. Определите тип трансформации. а. Отражение б. Перевод c. Вращение 14

15 71. Изобразите преобразование: отразите ABC по оси y. а. c. б. d. 15

16 72. Решите, есть ли у фигуры симметрия линий. Если это так, нарисуйте все линии симметрии.а. c. Нет b. d. 73. Найдите длину окружности приведенного ниже круга с точностью до десятых. Используйте 3,14 для π. а. 22 дюйма c. 44 дюйма b дюйм d дюйм 16

17 74. Оливия планирует создать круглый сад. Если диаметр сада составляет 77 ярдов, какова его окружность? Используйте 22 для π. 7 ярд 7 с. 121 ярд б ярд д. 242 ярда 75. Найдите площадь треугольника. а. 70 квадратных единиц c. 27 квадратных единиц b. 35 квадратных единиц d. 8,5 квадратных единиц 76. Найдите площадь трапеции.а. 912 м 2 гр. 228 м 2 б. 323 м 2 д. 24 м 2 17

18 77. Найдите площадь круга с точностью до десятых. Используйте 3,14 для π. a см 2 c см 2 b см 2 d см Найдите объем призмы с точностью до десятых, если площадь основания равна квадратным см. а. 2392,2 см 3 c. 361 см 3 b см 3 d см Определите площадь поверхности призмы, образованной следующей сеткой. a m 2 c m 2 b m 2 d m 2 18

Геометрическая серия | Purplemath

Purplemath

Можно взять сумму конечного числа членов геометрической последовательности.И, по причинам, которые вы будете изучать в математике, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в особых обстоятельствах, когда общее отношение r находится между –1 и 1; то есть необходимо иметь | r | <1.

Для геометрической последовательности с первым членом a 1 = a и общим отношением r сумма первых n членов определяется по формуле:

MathHelp.com

Примечание. В вашей книге может быть немного другая форма приведенной выше формулы частичной суммы. Например, « a » может быть умножено через числитель, множители дроби можно поменять местами, или суммирование может начинаться с i = 0 и иметь степень n + 1 в числителе.Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального деления в столбик.

В частном случае | r | <1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:


Первые несколько членов: –6, 12, –24:

a 1 = 3 (–2) 1 = (3) (- 2) = –6

a 2 = 3 (–2) 2 = (3) (4) = 12

a 3 = 3 (–2) 3 = (3) (- 8) = –24

Итак, это геометрический ряд с знаменателем r = –2.(Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, данной каждому члену: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент –2.)

Первый член последовательности равен a = –6. Подставляя в формулу суммирования, получаем:

Итак, сумма суммирования:


  • Оценить S 10 для 250, 100, 40, 16 ,….

Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член — a = 250. Разделив пары терминов, я получу:

100 ÷ 250 = 2/5

40 ÷ 100 = 2/5

… и так далее, поэтому добавляемые члены образуют геометрическую последовательность с общим отношением

r = 2/5.

В отличие от формулы для n -ой частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -ой частичной суммы геометрического ряда. Итак, у меня есть все необходимое для продолжения. Когда я вставляю значения первого члена и общего отношения, формула суммирования дает мне:

Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным» ответом.Вместо этого мой ответ:



Примечание. Если вы попытаетесь выполнить указанные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297 … вместо дробного (и точного) ответа.

Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему приводит только к десятичной аппроксимации ответа.Но (на самом деле!) Десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Найдите время, чтобы найти дробную форму.


  • Найдите a n , если S 4 = 26/27 и r = 1/3.

Они дали мне сумму первых четырех членов, S 4 , и значение общего отношения r .Поскольку существует общее отношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Вставив в формулу геометрического ряда-суммы, я получу:

Умножая обе стороны на

27/40, чтобы найти первый член a = a 1 , я получаю:

Затем, подставляя формулу для n -го члена геометрической последовательности, я получаю:


  • Покажите с помощью геометрического ряда, что 0.3333 … равно 1/3.

В этом есть одна хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные части; то есть «0,3333 …» становится:

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

Разделение десятичной формы таким образом явно подчеркивает повторяющийся образец непрерывной (то есть бесконечной) десятичной дроби: для каждого члена у меня есть десятичная точка, за которой следует постоянно увеличивающееся количество нулей, а затем заканчивая цифрой «3».Эта расширенная десятичная форма может быть записана в дробной форме, а затем преобразована в форму геометрической последовательности:

Это доказывает, что 0,333 … является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечный геометрический ряд с

a = 3/10 и r = 1/10. Поскольку | r | <1, я могу использовать формулу для суммирования бесконечных геометрических рядов:

Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что геометрический ряд «разложен» 0.333 … имеет значение одной трети. — это — «показатель», о котором просило упражнение (поэтому очень важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.


  • Преобразуйте 1,363636 … в дробную форму с помощью геометрического ряда.

Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти образец:

1.363636 .. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …

Две повторяющиеся цифры, поэтому дроби немного отличаются. Но это все же геометрический ряд:

Это показывает, что исходная десятичная дробь может быть выражена как ведущая «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

a = 9/25 и r = 1/100. Поскольку значение общего отношения достаточно мало, я могу применить формулу для бесконечных геометрических рядов.Тогда сумма оценивается как:

Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильной дроби и в форме смешанных чисел:


Кстати, с помощью этой техники можно доказать, что 0,999 … = 1.


URL: https://www.purplemath.com/modules/series5.htm

.