Готовые домашние задания по математике 5 класс зубарева и мордкович: Номер №437 — ГДЗ по Математике 5 класс: Зубарева, Мордкович

Содержание

ГДЗ № 95 математика 5 класс Зубарева, Мордкович

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 5 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Физика
    • Немецкий язык
    • Украинский язык
    • Биология
    • История

ГДЗ № 911 математика 5 класс Зубарева, Мордкович

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 5 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Физика
    • Немецкий язык
    • Украинский язык
    • Биология

ГДЗ по математике для 5 класса Зубарева

5 класс, середина школьного пути. Уже так много выучено, и столько ещё предстоит учить и повторять. Пятиклассники начинают этап активной подготовки к экзаменам и итоговому тестированию. Сейчас важно повторить весь пройденный материал, доучить то, что не выучено в младшей школе, и эффективно впитывать всю новую информацию. И дабы всё успеть ученики часто пользуются решебниками по математике. Те школьники, чей выбор упал на ГДЗ по математике за 5 класс Зубарева, Мордковича, не прогадали.

Авторы внесли в данное издание решение всех заданий из книги. Причём содержание решебника полностью отображает школьный учебник. Сборник разделён на шесть глав, каждая из которых ещё подразделяется на параграфы.

Пятиклассники досконально разберутся с такими темами, как десятичная система счисления; числовые и буквенные выражения; язык геометрических рисунков. Смогут найти решения к упражнениям из параграфов: прямая, отрезок, луч; сравнение отрезков. Познакомятся с задачами на тему координатный луч и ломаная. И это только неполный перечень информации из первой части решебника. Ученикам предстоит весь год активно работать, решать каждое задание, чтобы потом успешно пройти контрольное тестирование и благополучно сдать экзамены.

ГДЗ к сборнику задач и упражнений по математике за 5 класс Гамбарин В.Г. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Ерина Т.М. можно посмотреть здесь.

Решебник (ГДЗ) по математике 5 класс Зубарева, Мордкович

Решебники, ГДЗ

  • 1 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 2 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Белорусский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Украинский язык
    • Французский язык
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология
    • Испанский язык
  • 3 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Белорусский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Украинский язык
    • Французский язык
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология

ГДЗ Математика 5 класс Зубарева, Мордкович на Решалка

Все чаще выполнение домашних заданий сопровождается слезами и истериками? Ваш школьник не во всех темах разобрался, а Вы порой и сами не знаете, как ему все объяснить? Это проблема многих семей со школьниками. Предлагаем Вам немного упростить процесс и поберечь свои нервы, воспользовавшись решебником по математике для пятых классов. Это вовсе не значит, что нужно каждый вечер бездумно переписывать ответы и не вникать в задачки, хотя даже такой сценарий лучше, чем если ребенок просто закроет учебник и не сделает ничего. Даже переписав готовый ответ, он что-то запомнит. А если Вы вместе возьмете решенное задание, разберетесь в алгоритме, то следующее аналогичное он уже сделает сам.

Готовые задачки по математике за пятый класс

На нашем сайте Вы найдете ответы ко всем учебникам, которые используются в актуальной школьной программе. В этом разделе можно воспользоваться ГДЗ по математике за 5 класс к пособию Зубарева. Все издания предложены в удобном формате, легко найти необходимый решебник по категориям – класс, предмет. Теперь не нужно ходить по книжным магазинам города в поисках ГДЗ именно к Вашему учебнику, покупать отдельные решебники к каждому предмету, тратя на это немало денег, и собирая дома макулатуру, которая в следующем учебном году уже не пригодится. Просто пользуйтесь нашим сервисом и доступ к необходимым изданиям получайте онлайн совершенно бесплатно. Современные технологии работают на наше удобство во всех аспектах.

Домашние задания без слез и ошибок

Если Вы ранее пользовались печатными ГДЗ к учебнику Зубарева, Мордкович или какому-либо другому, то могли замечать там ошибки. И эти неточности касаются не только опечаток в тексте, очень часто там встречаются откровенно неправильные решения. В нашем ГДЗ к учебникам за пятый класс Вы не найдете таких оплошностей. Все ответы проверяются вручную, поэтому высшая оценка за домашку и хорошее настроение на весь день Вашему школьнику гарантированы.

ГДЗ за 5 класс по Математике И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович

gdz-bot.ru Найти

Навигация по гдз

1 класс Русский язык Математика Английский язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Человек и мир 2 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Технология Человек и мир 3 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка 4 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык Окружающий мир Литература Информатика Музыка Белорусский язык 5 класс Русский язык Математика Английский язык Немецкий язык История География Биология Обществознание Физика Литература Информатика Музыка Технология ОБЖ Природоведение Естествознание Человек и мир Белорусский язык Украинский язык 6 класс

(Домашнее задание по математике и методы оценивания, которые способствуют вовлечению и успеваемости учащихся) Тимоти Д. Канольд

Часть серии «Каждый ученик может выучить математику»

Повысьте успеваемость и математические навыки учащихся K-12, улучшив свой подход к выполнению домашних заданий и оценок по математике. Этот удобный для пользователя ресурс разделен на две части, каждая из которых описывает ключевые действия команды по математике в PLC at Work ™. Во-первых, вы узнаете, как разрабатывать общие самостоятельные практические задания или математику h

Часть серии «Каждый ученик может выучить математику»

Повысьте успеваемость и математические навыки учащихся K-12, улучшив свой подход к выполнению домашних заданий и оценок по математике.Этот удобный для пользователя ресурс разделен на две части, каждая из которых описывает ключевые действия команды по математике в PLC at Work ™. Во-первых, вы узнаете, как разрабатывать общие независимые практические задания или домашние задания по математике для формирующего обучения студентов в рамках профессионального учебного сообщества (PLC). Затем узнайте, как совместно работать над созданием качественных и справедливых методов выставления оценок, которые помогут вам оценить эффективность независимой практики. В книге представлены инструменты и мероприятия группы учителей, которые вдохновляют учащихся на достижения и совершенствуют процедуры выставления оценок как часть формирующего процесса обучения учащихся.

Изучите совместные домашние задания и методы выставления оценок для развития математических навыков ваших учеников:

Узнайте, как вы и ваши коллеги можете разрабатывать и использовать домашние задания по математике и методы выставления оценок для значительного улучшения обучения учащихся.
Узнайте ценность общих соглашений об оценке среди преподавателей.
Поймите и найдите решения для типичных ошибок при выставлении оценок, чтобы обеспечить равенство всех учащихся.
Внедрить эффективные методы выставления оценок, которые обеспечивают учащимся содержательную и полезную формирующую обратную связь.
Поддерживать участие студентов и обеспечивать их упорство в обучении решению математических задач.

Содержание:

Предисловие

Введение

Часть 1: Групповое действие 5 — Разработка и использование высококачественных общих независимых практических заданий
для формирующего обучения студентов

Глава 1: Цель высококачественных общих независимых практик Практические задания

Глава 2: Образцы независимых практических заданий

Глава 3: Формирующие процедуры для улучшения обучения учащихся

Глава 4: Общие соглашения о выставлении оценок и выставлении оценок для домашних заданий

Часть 2: Групповые действия 6 — Разработка и использование высокой- Общие компоненты оценивания качества и стандартные процедуры оценивания

Глава 5: Цель и характер оценивания по математике

Глава 6: Как создать оценку компонентов оценивания качества

Глава 7: Процедуры формирующего оценивания

Глава 8: Традиционная табель успеваемости Порядок выставления оценок и оценок на основе стандартов

Эпилог

Приложение ix

Ссылки и ресурсы

Указатель

Книг из серии «Каждый ученик может выучить математику»:


Оценка математики и вмешательство в PLC at Work ™
Инструкции и задачи по математике в PLC at Work ™
Домашнее задание по математике и оценка в PLC at Work ™
Обучение математике и совместная работа в PLC at Work ™

Deoma — Продукты — Алгебра

Электронный учебник «Интерактивная математика» для 5 класса предназначен для использования возможности компьютера в обучении математике в 5 классе. Ты можешь выбрать конфигурация электронного учебника, соответствующая печатной учебник, который прилагает учитель. Адаптация электронного учебника предусмотрены печатные книги авторов: Виленкина, Дорофеева и Шарыгина, Зубарева и Мордкович. Электронное приложение включает интерактивные разработки для обучения основам математики, в частности, такие темы как: дроби, целые числа, правила арифметики, математические модели, шкала; математика игры используются.

Последняя версия продукта от 11 ноября 2012 г .:

Скачать «Интерактивная математика», 5 класс v1.4.2.21 для Windows

Снимки экрана программы перечислены ниже.

Вы можете увеличивать цифры ↓

Версия 1.4.2.21 от 11 ноября 2012 г. (последняя)

Показать предыдущие версии

Версия 1.4.2.20 от 9 октября 2011 г.

Версия 1.4.2.19 от 28 июня 2011 г.

Версия 1. 4.2.18 от 22 июня 2011 г.

Версия 1.4.2.17 от 22 июня 2011

Версия 1.4.2.16 от 21 июня 2011

Версия 1.4.2.15 от 6 мая 2011

Версия 1.4.2.14 от 18 апреля 2011

Версия 1.4.2.11 от 19 января 2011 г.

Версия 1.4.2.10 от 4 января 2011 г.

Версия 1.4.2.9 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.2.8 от 5 сентября 2010

Версия 1.4.2.7 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.2.6 от 25 августа 2010 г.

Версия 1.4.2.5 от 16 августа 2010 г.

Версия 1.4.2.4 от 13 июня 2010 г.

Версия 1.4.2.2 от 10 мая 2010 г.

Версия 1.4.2.0 от 23 марта 2010 г.

Версия 1.4.1.2 от 19 марта 2010

Версия 1.4.1.1 от 19 марта 2010 г.

Версия 1.4.1.0 от 17 марта 2010 г.

Версия 1.4.0.0 от 20 февраля 2010 г.

Версия 1.3.9.0 от 4 февраля 2010 г.

Версия 1.3.8 от 16 января 2010 г.

Версия 1.3.7 от 15 января 2010 г.

Версия 1.3.6 от 17 декабря 2009

Версия 1.3.5 от 9 октября 2009 г.

Версия 1.3.4 от 4 октября 2009 г.

Версия 1.3.3 от 2 октября 2009 г.

Версия 1.3.2 от 29 сентября 2009 г.

Версия 1.3.1 от 13 сентября 2009 г.

Версия 1.3.0 от 25 августа 2009 г.

Версия 1.0.3 от 22 мая 2009 г.

Версия 1.0.2 от 12 апреля 2009 г.

Версия 1.0.1 от 16 марта 2009 г.

Скрыть предыдущие версии

Deoma — Продукты — Алгебра

Электронный учебник «Интерактивная математика» для 6 класса предназначен для использования возможности компьютера в обучении математике в 6 классе. Ты можешь выбрать конфигурация электронного учебника, соответствующая печатной учебник, который прилагает учитель. Адаптация электронного учебника предусмотрены печатные книги авторов: Виленкина, Зубарева и Мордковича, Шарыгин. Электронное приложение включает интерактивные разработки для обучение основам математики, в частности, таким темам как: целые числа и отрицательные целые числа, делимость, пропорции, десятичные дроби, основы выражений упрощение, координатная линия, координатная плоскость, понятие математической модель; используются математические игры.

Последняя версия продукта от 12 августа 2015 г .:

Скачать «Интерактивная математика», 6 класс v1.4.3.21 для Windows

Снимки экрана программы перечислены ниже.

Вы можете увеличивать цифры ↓

Версия 1.4.3.21 от 12 августа 2015 (последняя)

Показать предыдущие версии

Версия 1.4.3.20 от 11 августа 2015

Версия 1. 4.3.19 от 11 августа 2015

Версия 1.4.3.18 от 17 ноября 2012

Версия 1.4.3.17 от 9 октября 2011

Версия 1.4.3.16 от 28 июня 2011

Версия 1.4.3.15 от 6 мая 2011

Версия 1.4.3.14 от 18 апреля 2011

Версия 1.4.3.12 от 23 января 2011 г.

Версия 1.4.3.11 от 4 января 2011 г.

Версия 1.4.3.10 от 4 ноября 2010 г.

Версия 1.4.3.9 от 4 ноября 2010

Версия 1.4.3.8 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.3.7 от 5 сентября 2010 г.

Версия 1.4.3.6 от 24 августа 2010 г.

Версия 1.4.3.5 от 16 августа 2010

Версия 1.4.3.4 от 13 июня 2010

Версия 1.4.3.3 от 10 мая 2010

Версия 1.4.3.2 от 10 мая 2010

Версия 1. 4.3.0 от 23 марта 2010 г.

Версия 1.4.2.0 от 17 марта 2010 г.

Версия 1.4.1.0 от 1 марта 2010 г.

Версия 1.4.0.0 от 20 февраля 2010 г.

Версия 1.3.15.0 от 10 февраля 2010 г.

Версия 1.3.14 от 4 февраля 2010 г.

Версия 1.3.13 от 10 января 2010

Версия 1.3.12 от 5 января 2010 г.

Версия 1.3.11 от 25 декабря 2009 г.

Версия 1.3.10 от 24 декабря 2009 г.

Версия 1.3.9 из 15 декабря 2009 г.

Версия 1.3.8 из 14 декабря 2009 г.

Версия 1.3.6 из 11 октября 2009 г.

Версия 1.3.5 из 9 октября 2009 г.

Версия 1.3.4 от 2 октября 2009 г.

Версия 1.3.3 от 27 сентября 2009 г.

Версия 1.3.2 от 20 сентября 2009 г.

Версия 1.3.1 от 13 сентября 2009 г.

Версия 1.3.0 от 25 августа 2009 г.

Версия 1.0.2 от 12 апреля 2009 г.

Версия 1.0.1 от 16 марта 2009 г.

Скрыть предыдущие версии

Домашнее задание по алгебре, необходимое вам

At My Homework Done мы предоставляем студентам-математикам индивидуальную помощь в выполнении всевозможных заданий. Если вы ищете помощь в домашнем задании по алгебре в Интернете, значит, вы нашли эту услугу для себя.Математика — сложная область обучения, и учителям не следует ожидать, что учащиеся поймут ее сразу. Это нормально — искать сторонних специалистов по алгебре, и мы рады протянуть руку помощи с домашним заданием по алгебре. Так что, пожалуйста, продолжайте читать.

Вы сделаете мою домашнюю работу по алгебре?

Математика предполагает аналитическое мышление, которое не у всех одинаково. Наши эксперты обладают знаниями не только в алгебре, но и в широком спектре количественных исследований, поэтому вы можете быть уверены, что получаемая вами помощь подкрепляется эклектичным и целостным пониманием данной области. Наша домашняя помощь по алгебре решает следующие проблемы, которые могут у вас возникнуть:

  • Я не знаю, с чего начать. Иногда лучше всего начинать с математической задачи с конца. Например, если ваша проблема предлагает решение в конце книги, вы, по сути, можете реконструировать работу. Однако даже там это может быть непросто. Мы здесь, чтобы указать вам дорогу.
  • Я хотел бы понять, как решать проблемы: вы хотите научиться решать домашние задания по алгебре, и мы это понимаем.По этой причине мы уверены, что вы это делаете. Наши писатели и знатоки математики поддерживают с вами открытую линию связи, чтобы воплотить свои работы в ваше понимание. Если вы не заинтересованы в обучении, ничего страшного: наша цель — выполнить домашнее задание, но вам решать, какая часть общения между нами должна быть задействована в процессе.
  • Я не хочу, чтобы кто-то знал: наши услуги основаны на понимании того, что все, что происходит между нами и нашими клиентами, должно оставаться конфиденциальным. Никто за пределами этого соглашения не узнает, что мы сделали вашу домашнюю работу.

Смогу ли я выбрать себе помощника?

Автор заданий по математике, с которым вы будете работать, будет вашим выбором. Перед оплатой заказа вам будет представлен список наших специалистов, из которых вы выберете наиболее подходящего кандидата для выполнения домашнего задания по алгебре.

Лучшее домашнее задание по алгебре Помогите опустить

Здесь, на MyHomeworkDone.com, мы гордимся тем, что выполняем только самые качественные задания и проекты.Мы считаем, что, приобретая наши услуги, вы доверяете нам, что полученная вами работа будет самой лучшей и поможет вам достичь нужных оценок. Благодаря команде подготовленных опытных писателей и нашей круглосуточной службе поддержки клиентов мы гарантируем, что, когда вы обратитесь к нам за помощью в домашнем задании по алгебре, мы приложим все усилия, чтобы добиться для вас наилучших результатов. Наша цель — ваше удовлетворение, и мы рады предложить бесплатные исправления в ваш проект в течение целых 10 дней после выполнения вашего задания. Это позволяет вам создать для себя действительно настраиваемый личный опыт обучения. Если по какой-либо причине вы обнаружите, что не полностью довольны даже после внесения изменений, мы с гордостью предлагаем вам вернуть ваши деньги для вашего абсолютного спокойствия. Когда вы обращаетесь к нам за помощью с домашним заданием по алгебре, наша цель — не только облегчить вам задачу, но и успокоить вас тем, что вы отправите свою работу вовремя и получите наилучшую возможную оценку.

Я студент, это дорого, правда?

Вы можете найти несколько скидок на нашем веб-сайте, но знайте, что наши услуги выгодны.Вы получаете гораздо больше, чем платите. Все наши сотрудники — носители английского языка, эксперты в области математики и готовы предложить лучшую онлайн-помощь по выполнению домашних заданий по алгебре.

Дискретная математика: Домашнее задание 7, решение. Срок:

1 EE 2060 Дискретная математика весна 2011 Дискретная математика: Домашнее задание 7 Решение Срок сдачи: Пусть a n = 2 n n для n = 0, 1, 2 ,. .. (a) (2%) Найдите 0, a 1, a 2, a 3 и a 4. (b) (2%) Покажите, что a 2 = 5a 1 6a 0, a 3 = 5a 2 6a 1, и a 4 = 5a 3 6a 2. (c) (3%) Покажите, что an = 5a n 1 6a n 2 для всех целых чисел n с n 2. (a) Мы просто подставляем n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 и n = 4. Таким образом, мы имеем a 0 = = 6, a 1 = = 17, a 2 = = 49, a 3 = = 143 и a 4 = = 421. (b) Используя наши данные из части (а), мы видим, что 49 =, 143 = и 421 = (c) Это алгебра. Самая беспорядочная часть — это факторизация большой степени 2 и большой степени 3. Если мы заменим n 1 в определении, мы получим n 1 = 2 n n 1; аналогично a n 2 = 2 n n 2.Начнем с правой части желаемого тождества: 5a n 1 6a n 2 = 5 (2 nn 1) 6 (2 nn 2) = 2 n 2 (10 6) + 3 n 2 (75 30) = 2. nn = 2 n + 3 n 5 = an 2. (a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества битовых строк длины n, содержащих три последовательных нуля. (б) (1%) Каковы начальные условия?

2 (c) (2%) Сколько битовых строк длиной семь содержат три последовательных нуля? (a) Пусть a n будет количеством битовых строк длины n, содержащих три последовательных 0 s. Чтобы построить битовую строку длины n, содержащую три последовательных 0 s, мы могли бы начать с 1 и следовать за строкой длины n 1, содержащей три последовательных 0 s, или мы могли бы начать с 01 и следовать за строкой длины n 2, содержащий три последовательных 0, или мы могли бы начать с 001 и следовать за строкой длины n 3, содержащей три последовательных 0 s, или мы могли бы начать с 000 и следовать за любой строкой длины n 3. Эти четыре случая взаимоисключающие и исчерпывающие возможности того, как строка может начинаться.Из этого анализа мы можем сразу записать рекуррентное соотношение, действительное для всех n 3: an = an 1 + an 2 + ann 3. (b) Не существует битовых строк длины 0, 1 или 2, содержащих три последовательных 0 s. , поэтому начальные условия следующие: a 0 = a 1 = a 2 = 0 (c) Мы будем вычислять от 3 до 7, используя рекуррентное соотношение: a 3 = a 2 + a 1 + a = = 1 a 4 = a 3 + a 2 + a = = 3 a 5 = a 4 + a 3 + a = = 8 a 6 = a 5 + a 4 + a = = 20 a 7 = a 6 + a 5 + a = = 47 Таким образом, есть 47-битные строки длиной 7, содержащие три последовательных 0 с. 3. (a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества способов подняться по n ступеням, если человек, поднимающийся по лестнице, может подниматься по одной, двум или трем ступеням за раз. (б) (1%) Каковы начальные условия? (c) (2%) Сколько способов может этот человек подняться по восьмиместному пролету?

3 (a) Пусть n будет количеством способов подняться по n лестницам. Чтобы подняться по n ступеням, человек должен либо начать с шага в одну ступень, а затем подняться по n 1 ступенькам, либо начать с шага в две ступени, а затем подняться по n 2 ступеням, либо начать с шага в три ступени и затем подняться по 3 ступенькам.Из этого анализа мы можем сразу записать рекуррентное соотношение, действительное для всех n 3: an = an 1 + an 2 + an 3. (b) Начальные условия: a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 2. , поскольку есть один способ подняться без лестницы, очевидно, только один способ подняться по одной лестнице и два способа подняться по двум ступеням. (c) Каждый член в нашей последовательности {an} является суммой трех предыдущих членов, поэтому последовательность начинается с a 0 = 1, a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4, a 4 = 7, a 5 = 13, a 6 = 24, a 7 = 44, a 8 = 81. Таким образом, человек может подняться по 8 лестничному маршу 81 способом в соответствии с ограничениями в этой задаче.4. Строка, содержащая только нули, единицы и двойки, называется тернарной строкой. (a) (6%) Найдите рекуррентное соотношение для количества троичных строк, содержащих два последовательных нуля. (б) (1%) Каковы начальные условия? (c) (2%) Сколько троичных строк длиной шесть содержат два последовательных нуля? (a) Пусть a n будет количеством троичных строк, содержащих два последовательных 0 s. Чтобы построить такую ​​строку, мы могли бы начать с 1 или 2 и следовать за строкой, содержащей два последовательных 0, или мы могли бы начать с 01 или 02 и следовать за строкой, содержащей два последовательных 0, мы могли бы начать с 00 и следовать любой троичной цепочкой длины n 2. Следовательно, рекуррентное соотношение, действительное для всех n 2, есть an = 2a n 1 + 2a nn 2. (b) a 0 = a 1 = 0 (c) Мы вычислим от 2 до 6, используя рекуррентное соотношение: a 2 = 2a 1 + 2a = 1

4 a 3 = 2a 2 + 2a = 5 a 4 = 2a 3 + 2a = 21 a 5 = 2a 4 + 2a = 79 a 6 = 2a 5 + 2a = 281 Таким образом, имеется 281 битовая строка длиной 6, содержащая два последовательных 0 с. 5. Решите эти рекуррентные соотношения вместе с заданными начальными условиями (a) (3%) a n = 7a n 1 10a n 2 для n 2, a 0 = 2, a 1 = 1.(b) (3%) an = 2a n 1 an 2 для n 2, a 0 = 4, a 1 = 1. (c) (3%) an = 6a n 1 9a n 2 для n 2, a 0 = 3, a 1 = 3. (a) r 2 7r + 10 = 0 r = 2, 5 an = α 1 2 n + α 2 5 n 2 = α 1 + α 2 1 = 2α 1 + 5α 2 α 1 = 3, α 2 = 1 an = 3 2 n 5 n (б) r 2 2r + 1 = 0 r = 1, 1 an = α 1 1 n + α 2 n1 n 4 = α 1 1 = α 1 + α 2 α 1 = 4, α 2 = 3 an = 4 3n (c) r 2 + 6r + 9 = 0 r = 3, 3 an = α 1 (3) n + α 2 n (3) n 3 = α 1 3 = 3α 1 3α 2 α 1 = 3, α 2 = 2 an = (3 2n) (3) n

5 6. (4%) Найдите решение an = 5a n 2 4a n 4 с a 0 = 3, a 1 = 2, a 2 = 6 и a 3 = 8. Характеристическое уравнение r 4 5r = 0. Этот множитель равен (r 2 1) (r 2 4) = (r + 1) (r 1) (r 2) (r + 2) = 0, поэтому корни равны 1, 1, 2, 2. Следовательно, общее решение является = α 1 + α 2 (1) n + α 3 2 n + α 4 (2) n. Подстановка начальных условий дает 3 = α 1 + α 2 + α 3 + α 4, 2 = α 1 α 2 + 2α 3 2α 4, 6 = α 1 + α 2 + 4α 3 + 4α 4 и 8 = α 1 α 2 + 8α 3 8α 4. Решение этой системы уравнений: α 1 = α 2 = α 3 = 1 и α 4 = 0.Следовательно, ответ будет n = 1 + (1) n + 2 n. 7. (5%) Решите рекуррентное соотношение an = 6a n 1 12a n 2 + 8a n 3 с a 0 = 5, a 1 = 4 и a 2 = 88. Характеристическое уравнение r 3 6r r 8 = 0 По критерию рационального корня возможные рациональные корни равны ± 1, ± 2, ± 4. Получаем, что r = 2 — корень. Разделив r 2 на r 3 6r 2 + 12r 8, находим, что r 3 6r 2 + 12r 8 = (r 2) 3. Следовательно, единственный корень равен 2 с кратностью 3, поэтому общее решение (по теореме 4 ) an = α 1 2 n + α 2 n2 n + α 3 n 2 2 n. Подставляя начальные условия: 5 = a 0 = α 1 4 = a 1 = 2α 1 + 2α 2 + 2α 3 88 = a 2 = 4α 1 + 8α α 3 Решая эту систему уравнений, имеем α 1 = 5, α 2 = 1/2 и α 3 = 13/2.Следовательно, ответ будет an = 5 2 n + (n / 2) 2 n + (13n 2/2) 2 n = 5 2 n + n 2 nn 2 2 n (2%) Каков общий вид решений линейное однородное рекуррентное соотношение, если его характеристическое уравнение имеет корни 1, 1, 1, 2, 2, 5, 5, 7. Мы можем записать общее решение, используя теорему 4 из раздела 7.2. В этом случае имеется четыре различных корня, поэтому t = 4. Кратности равны 3, 2, 2 и 1. Таким образом, общее решение: an = (α 1,0 + α 1,1 n + α 1,2 n 2) (1) n + (α 2,0 + α 2,1 n) 2 n + (α 3,0 + α 3,1 n) 5 n + α 4,0 7 n.9. Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное соотношение a n = 2a n n (a) (2%). Покажем, что a n = n2 n является решением этого рекуррентного соотношения.

6 (b) (2%) Используйте теорему 5 из раздела 7.2, чтобы найти все решения этого рекуррентного соотношения. (c) (2%) Найдите решение с a 0 = 2. (a) Вычислим правую часть рекуррентного соотношения: 2 (n 1) 2 nn = (n 1) 2 n + 2 n = n2 n, которая является левой частью.(b) Решение ассоциированного однородного уравнения a n = 2a n 1 легко найти как a n = α2 n. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения есть n = α2 n + n2 n. (c) Подставляя a 0 = 2, получаем α = 2. Следовательно, решение есть an = 2 2 n + n2 n = (n + 2) 2 n 10. Каков общий вид частного решения, которое гарантированно существует? по теореме 6 линейного неоднородного рекуррентного соотношения an = 6a n 1 12a n 2 + 8a n 3 + F (n), если (a) (2%) F (n) = 2 n (b) (2%) F ( n) = (2) n (c) (2%) F (n) = n 3 (2) n (a) Поскольку 2 является корнем с кратностью 3 характеристического многочлена ассоциированного однородного рекуррентного соотношения, теорема 6 Раздел7.2 сообщает нам, что конкретное решение будет иметь вид n 3 p 0 2 n. (b) Так как 2 не является корнем характеристического полинома ассоциированного однородного рекуррентного отношения, теорема 6 раздела 7. 2 говорит нам, что конкретное решение будет иметь вид p 0 (2) n. (c) Поскольку 2 не является корнем характеристического многочлена соответствующего однородного рекуррентного отношения, теорема 6 из раздела 7.2 говорит нам, что конкретное решение будет иметь вид (p 3 n 3 + p 2 n 2 + p 1 п + р 0) (2) п.11. Найдите замкнутый вид производящей функции для последовательности {a n}, где

7 (a) (2%) a n = 2 n для n = 1, 2, 3, 4, … и a 0 = 0. (b) (2%) a n = 1 / (n + 1)! для n = 0, 1, 2, … () 10 (c) (2%) an = для n = 0, 1, 2, … n + 1 (a) По таблице 1 раздела 7.4, производящая функция для последовательности, в которой an = 2 n для всех n равно 1 / (1 2x). Здесь мы можем подумать либо о вычитании отсутствующего постоянного члена, либо о факторинге 2x.Следовательно, ответ можно записать как 1 (1 2x) 1 или 2x / (1 2x), что, конечно, алгебраически эквивалентно. (b) Степенный ряд для функции e x равен xn / n !. Это почти то, что мы имеем здесь; разница в том, что знаменатель равен (n + 1)! вместо n !. Итак (c) мы имеем x n (n + 1)! Знак равно 1 х х п + 1 (п + 1)! = 1 x заменой переменной. Эта последняя сумма равна (e x 1), поэтому наш ответ (e x 1) / x. С (10, N + 1) Икс N знак равно C (10, N) Икс N 1 знак равно 1 Икс N знак равно 1 N = 1 Икс N N! C (10, n) x n = 1 x ((1 + x) 10 1) 12. Для каждой из этих производящих функций предоставьте замкнутую формулу для последовательности, которую она определяет.(a) (2%) (3x 1) 3 (b) (2%) x 2 (1 x) 3 (c) (2%) (1 + x 3) / (1 + x) 3 (d) ( 2%) e 3×2 1 (a) Сначала нам нужно вычленить 1 и записать это как (1 3x) 3. n = 1 Тогда по теореме бинома получаем an = C (3, n) (3) n для n = 0, 1, 2, 3 и

8 других коэффициентов равны 0. В качестве альтернативы, мы могли бы просто перемножить этот конечный многочлен и отметить ненулевые коэффициенты: a 0 = 1, a 1 = 9, a 2 = 27, a 3 = 27.(b) Мы знаем, что x 2 (1 x) 3 = x 2 (1 3x + 3x 2 x 3) = x 2 3x 3 + 3x 4 x 5, поэтому имеем a 2 = 1, a 3 = 3, a 4 = 3, a 5 = 1 (c) Мы разделим это на две части: 1 (1 + x) + x 3 3 (1 + x) = (1) n C (n + 2, 2) xn + x 3 3 = = (1) n C (n + 2, 2) xn + (1) n C (n + 2, 2) xn + (1) n C (n + 2, 2) xn (1) n C ( n + 2, 2) x n + 3 (1) n 3 C (n 1, 2) xn Обратите внимание, что n и n 3 имеют противоположные четности. Следовательно, an = (1) n C (n + 2, 2) + (1) n 3 C (n 1, 2) = (1) n (C (n + 2, 2) C (n 1, 2)) = (1) n 3n для n 3 и an = (1) n C (n + 2, 2) = (1) n (n + 2) (n + 1) / 2 для n <3.(г) е х знак равно 1 + х + х 2/2! + х 3/3! + ... Отсюда следует, что n = 3 e 3x2 = 1 + 3x 2 + (3x2) 2 2! + (3x2) 3 3! + ... Таким образом, мы можем считать коэффициенты производящей функции для e 3x2 1. Во-первых, очевидно, что a 0 = 0. Во-вторых, a n = 0, когда n нечетно. Наконец, когда n четно, мы имеем 2m = 3 м / м !. 13. Найдите коэффициент при x 12 в степенном ряду каждой из этих функций. (a) (2%) 1 / (1 2x) 2 (b) (2%) 1 / (1 4x) 3 (a) Коэффициент при xn в этом степенном ряду равен 2 n C (n + 1, 1) . Таким образом, ответ будет 2 12 C (12 + 1, 1) = 53, 248.

9 (b) Коэффициент при x n в этом степенном ряду равен 4 n C (n + 2, 2). Таким образом, ответ будет 4 12 C (12 + 2, 2) = 1, 526, 726, (5%). Используйте производящие функции, чтобы найти количество способов выбрать дюжину рогаликов из трех разновидностей — яичного, соленого и простого. если выбрано не менее двух рогаликов каждого вида, но не более трех соленых рогаликов. Коэффициенты в производящей функции для выбора яйца и простых рогаликов равны x 2 + x 3 + x Коэффициент для выбора соленых рогаликов равен x 2 + x 3.Следовательно, производящая функция для этой задачи (x 2 + x 3 + x 4 + ..) 2 (x 2 + x 3). Мы хотим найти коэффициент при x 12, так как нам нужно 12 рогаликов. Это эквивалентно нахождению коэффициента при x 6 в (1 + x + x) 2 (1 + x). Эта функция равна (1 + x) (1 x) 2, поэтому нам нужен коэффициент при x 6 в 1 / (1 x) 2, который равен 7, плюс коэффициент x 5 в 1 / (1 x) 2, что равно 6. Таким образом, ответ: (a) (4%) Какова производящая функция для {ak}, где ak — количество решений x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = k, когда x 1, x 2, x 3 и x 4 — целые числа с x 1 3, 1 x 2 5, 0 x 3 4 и x 4 1? (b) (2%) Используйте свой ответ на часть (a), чтобы найти 7 (a) Ограничение на x 1 дает нам множитель x 3 + x 4 + x Ограничение на x 2 дает нам множитель x + x 2 + х 3 + х 4 + х 5.Ограничение на x 3 дает нам множитель 1 + x + x 2 + x 3 + x 4. А ограничение на x 4 дает нам множитель x + x 2 + x Таким образом, ответ является произведением этих: (x 3 + x 4 + x) (x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4) (x + x 2 + x) Мы можем использовать алгебру, чтобы переписать это в замкнутой форме как x 5 (1 + x + x 2 + x 3 + x 4) 2 / (1 x) 2 (b) Мы хотим, чтобы коэффициент при x 7 в этой серии был таким же, как коэффициент при x 2 в ряду для (1 + x + x 2 + x 3 + x 4) 2 = 1 + 2x + 3×2 + члены более высокого порядка (1 x) 2 (1 x) 2

10 Поскольку коэффициент при x n в 1 / (1 x) 2 равен n + 1, наш ответ = (5%). Используйте производящие функции, чтобы решить рекуррентное соотношение a k = 3a k k 1 с начальным условием a 0 = 1.Пусть G (x) = k = 0 a kx k. Тогда xg (x) = k = 0 a kx k + 1 = k = 1 a k 1x k. Таким образом, G (x) 3xG (x) = akxkk = 0 k = 1 3a k 1 xk = a 0 + k = 1 k = 0 (ak 3a k 1) xk = 1 + k = 1 4 k 1 xk = 1 + x 4 k 1 xk 1 = 1 + x 4 kxk 1 = 1 + x 1 4x = 1 3x 1 4x Таким образом, G (x) (1 3x) = (1 3x) / (1 4x), поэтому G (x) = 1 / (1 4x). Следовательно, a k = 4 k. к = 1

.