Гдз по математике 5 класса потапов шевкин решетников никольский: ГДЗ задание 71 математика 5 класс Никольский, Потапов

Содержание

ГДЗ по математике 5 класс Никольский, Потапов, Решетников Просвещение

Именно в пятом классе многие школьники начинают понимать, что уровень их математических знаний оставляет желать лучшего. И предпринимают усилия по исправлению такого положения дел. В этом им помогут гдз по математике за 5 класс (авторы Никольский, Потапов и Решетников. Приложив достаточно усилий по их изучению, пятиклассники в скором времени получают высокий результат.

Целевая аудитория сборников готовых решений по математике 5 класс Никольского

Не только сами учащиеся – активные пользователи учебника и сборников ответов. Среди тех, кто регулярно использует эти сборники с решебниками:

  • родители пятиклассника, стремящиеся быстро и качественно проверить выполнение домашнего задания своими детьми, научить их эффективной методике самостоятельной работы с информацией, математическими данными;
  • школьные учителя-предметники – для оперативной проверки практических работ, заданных на дом и выполняемых в классе: текущих, проверочных, самостоятельных и контрольных.
    Сегодняшние учителя загружены разнообразной бумажной и методической работой, поэтому с радостью пользуются любой помощью в своем труде. Решебник – отличное решение сэкономить время, не потеряв в качестве;
  • руководители математических кружков и курсов и репетиторы, не являющиеся школьными учителями по дисциплине. Для них ответы онлайн – база для составления программы грамотного преподавания предмета, исходя из задач и требований, определяемых образовательными Стандартами. Там же эти специалисты отслеживают специфику грамотной записи условия, решения, вопроса и ответа, поскольку оформление крайне важно при оценивании работ учеников школ и участников математических олимпиад и конкурсов.

В чем заключаются плюсы использования готовых решений?

Преимущества гдз по математике 5 класс Никольского С. М. очевидны:

  • экономическая доступность;
  • неограниченное время работы ресурса – 24 часа каждый день;
  • четко и грамотно организованный поиск;
  • удобство интерфейса, комфорт в применении.

Математика 5 Класс Учебник Гдз Потапов Решетников – Telegraph


➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

Математика 5 Класс Учебник Гдз Потапов Решетников

Гдз Математика 1 Класс Петерсон Ответы

Гдз Английский Язык 7 Ваулина Тетрадь

Математика Решебник Ответы 1 Класс Рабочая Тетрадь

Гдз По Математике Кузнецов

Гдз Алгебра 7 Класс Макарычев Миндюк Нешков

ГДЗ Разумовская Класс
ГДЗ По Математике Виленкин Чесноков Шварцбурд
ГДЗ По Геометрии 7 Класс Номер 21
ГДЗ География Контурные Карты 11
ГДЗ По Английскому 9 Класс Гроза Дворецкая
Решебник По Рабочей Тетради 2 Класса
ГДЗ По Русскому 1кл Рабочая
Математика 3 Класс Учебник Гейдман Ответы ГДЗ
ГДЗ По Истории Тренажер
ГДЗ По Географии 9 Домогацких Рабочая
ГДЗ Петерсон Лг 3 Класс
ГДЗ По Русскому Тетрадь Вентана Граф
ГДЗ Комарова 6 Класс
ГДЗ По Географии 9 Класс Алексеевский Учебник
ГДЗ По Алгебре 7 Мерзляк Учебник
ГДЗ По Англ Яз 10 Эванс
ГДЗ По Русскому Языку Девятый Класс Пичугов
ГДЗ Мерзляк 7 Класс Фгос
ГДЗ По Географии 9 Класс Новый Учебник
ГДЗ 3 Бунеев 2
ГДЗ По Р?Ском? Язык? 9 Класс Разумовская
ГДЗ По Алгебре 7 Класс Ип
ГДЗ Ом 3 Класс Плешаков Проверочные Работы
ГДЗ Габриелян 10 Рабочая Тетрадь
ГДЗ Математика 2 Класс Чекин Ответы
ГДЗ Литературное Чтение 2 Класс Фгос
ГДЗ Сферы 9 Класс
Готовые Домашние Задания Русский Язык Третий Класс
Русский Язык 6 Учебник Решебник Ладыженская
ГДЗ По Биологии Девятый Класс Пономарева
ГДЗ По Алгебре 10 11 Мордкович
ГДЗ Якир 5 Класс Учебник
Решебник Бененсон 4 Класс 1 Часть
ГДЗ Решебник От Путина
ГДЗ Английский Язык Страница 52
Решебник По Английскому 10 Класс Ваулин
ГДЗ Окружающий Мир 3 Поглазова
Л Г Петерсон Математика 6 Класс ГДЗ
ГДЗ Физика 7 Класс Рабочая
Решебник Бим Рыжова
Бунимович Кузнецова Минаева 6 Класс ГДЗ
ГДЗ Канакина 3 Рабочая Тетрадь
Решебник По Математике 3000 Задач Ященко
ГДЗ По Математике 2 Е
ГДЗ По Матем 4 Класс Канакина
ГДЗ По Математике 6 Класс Дорофеев 26
ГДЗ По Английскому 2 Класс Вербицкая Учебник
Русский Язык 1 Класс Тетрадь Решебник
ГДЗ 7 Класс Миндюк
Английский Язык 6 Класс Учебник Решебник Юхнель

Подробный разбор задач из учебника по математике за 5 класс Никольский, Потапов , Решетников . Бесплатный сборник ГДЗ для школы . 

Готовые домашние задания по математике Никольского – стоит ли пятиклассникам ими пользоваться? В 5 классе учебная программа  Использование онлайн-ответов на упражнения учебника Никольского С .М . на сайте ГДЗ Путина обеспечивает к тому же и экономию времени 

ГДЗ по математике за 5 класс Никольский, это сборник ответов, разделённый на четыре главы . Все упражнения соответствуют принятым стандартам и расположены так же, как в  ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Потапов М .К . можно посмотреть здесь . 

Учебное пособие «Математика 5 класс Учебник Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин Просвещение» напечатано и выпущено в тираж книгоизданием «Просвещение» в году .  Сборник «ГДЗ по Математике 5 класс Никольского, Потапова , Решетникова, Шевкина» под . . 

Математика 5 класс . Учебник . Никольский, Потапов , Решетников . Просвещение .  Очень хорошо в этом поможет решебник к пособию «Математика 5 класс Учебник Никольский, Потапов , Решетников Просвещение», где очень подробно описаны все решения по текущим .

Решебник (ГДЗ ) по Математике за 5 (пятый ) класс авторы: Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин издательство Просвещение .  Авторы: С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников , А .В . Шевкин . Издательство: Просвещение . Тип: Учебник, МГУ — школе . 

ГДЗ по математике 5 класс Никольский . авторы: Никольский С .М ., М .К . Потапов , Н .Н . Решетников . издательство: Просвещение 2019 год . 

Никольский, Потапов , Решетников . Просвещение . год . ГДЗ (решебник) по математике 5 класс Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин . Школьники невероятно загружены . Приходится по 7-8 часов быть в школе, затем посещать кружки и факультативы . 

ГДЗ : готовые ответы по математике за 5 класс, решебник Никольский, ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU .  Учебник ФГОС . Авторы : С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин . Издательство: Просвещение 2019-2020 . 

Современные учебники по математике за 5 класс отличаются изложением материала в разной интерпретации . Учебник Никольского С .М . имеет  В этом поможет дополнительное пособие в формате ГДЗ по математике 5 класс авторов: Никольский С .М . Потапов М .К . Решетников Н .Н . . 

Готовые домашние задания к учебнику Математиказа 5 класс Никольский, Потапов , Решетников .  Для вашего удобства весь решебник мы разбили на страницы точно так же, как это сделано в учебнике математики Никольского за пятый класс . 

Математика 5 класс . Учебник . Никольский, Потапов , Решетникова . Просвещение .  Все примеры соответствуют тем, что есть в учебном пособии . Тщательно выверенные ответы в ГДЗ по математике 5 класс помогут точно понять что и как именно нужно делать . 

ГДЗ к учебнику по математике за 5 класс Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин онлайн .  Решебник поможет быстро справиться с домашней работы, удостоверится, что все ответы на задачи и примеры являются верными . 

5 класс . Учебник . Никольский С .М ., Потапов М .К ., Решетников Н .Н ., Шевкин А .В . Ответы к стр . 6 Ответы к стр . 9 Ответы к стр . 10 Ответы к .  ГДЗ . 

Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Математике за 5 класс С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин .  авторы: С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин . Издательство: Просвещение . 

Данный учебник утвержден и рекомендован Министерством Образования РФ и является хорошим и исчерпывающим учебным пособием по предмету .  На помощь придет онлайн-ГДЗ по Математике 5 класс автора Никольский С .М .,М .К . Потапов ,Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин ! 

Смотрите любимые видео, слушайте любимые песни, загружайте собственные ролики и делитесь ими с друзьями, близкими и целым миром .
ГДЗ математика 5 класс Никольский Просвещение . Такой предмет как математика не всегда поддается для понимания .  Одним из полезных и понятных пятиклассникам учебников по математике для 5 класса считается сборник, составленный Никольским С . М . Книга опирается . . 

Готовые домашние задания ГДЗ по математике к учебнику за 5 класс авторы Никольский С . М ., М .К . Потапов , Н .Н . Решетников издательство Просвещение представлены на сайте в бесплатном онлайн варианте .
Готовые Домашние Задания , Решебник по Математике 5 класс Никольский .
Подробный разбор задач из учебника по математике за 5 класс Никольский, Потапов , Решетников . Бесплатный сборник ГДЗ для школы . 

Готовые домашние задания по математике Никольского – стоит ли пятиклассникам ими пользоваться? В 5 классе учебная программа  Использование онлайн-ответов на упражнения учебника Никольского С .М . на сайте ГДЗ Путина обеспечивает к тому же и экономию времени 

ГДЗ по математике за 5 класс Никольский, это сборник ответов, разделённый на четыре главы . Все упражнения соответствуют принятым стандартам и расположены так же, как в  ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Потапов М .К . можно посмотреть здесь . 

Учебное пособие «Математика 5 класс Учебник Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин Просвещение» напечатано и выпущено в тираж книгоизданием «Просвещение» в году .   Сборник «ГДЗ по Математике 5 класс Никольского, Потапова , Решетникова, Шевкина» под . . 

Математика 5 класс . Учебник . Никольский, Потапов , Решетников . Просвещение .  Очень хорошо в этом поможет решебник к пособию «Математика 5 класс Учебник Никольский, Потапов , Решетников Просвещение», где очень подробно описаны все решения по текущим . . 

Решебник (ГДЗ ) по Математике за 5 (пятый ) класс авторы: Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин издательство Просвещение .  Авторы: С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников , А .В . Шевкин . Издательство: Просвещение . Тип: Учебник, МГУ — школе . 

ГДЗ по математике 5 класс Никольский . авторы: Никольский С .М ., М .К . Потапов , Н .Н . Решетников . издательство: Просвещение 2019 год . 

Никольский, Потапов , Решетников . Просвещение . год . ГДЗ (решебник) по математике 5 класс Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин . Школьники невероятно загружены . Приходится по 7-8 часов быть в школе, затем посещать кружки и факультативы .  

ГДЗ : готовые ответы по математике за 5 класс, решебник Никольский, ФГОС, онлайн решения на GDZ .RU .  Учебник ФГОС . Авторы : С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин . Издательство: Просвещение 2019-2020 . 

Современные учебники по математике за 5 класс отличаются изложением материала в разной интерпретации . Учебник Никольского С .М . имеет  В этом поможет дополнительное пособие в формате ГДЗ по математике 5 класс авторов: Никольский С .М . Потапов М .К . Решетников Н .Н . . 

Готовые домашние задания к учебнику Математиказа 5 класс Никольский, Потапов , Решетников .  Для вашего удобства весь решебник мы разбили на страницы точно так же, как это сделано в учебнике математики Никольского за пятый класс . 

Математика 5 класс . Учебник . Никольский, Потапов , Решетникова . Просвещение .  Все примеры соответствуют тем, что есть в учебном пособии . Тщательно выверенные ответы в ГДЗ по математике 5 класс помогут точно понять что и как именно нужно делать .  

ГДЗ к учебнику по математике за 5 класс Никольский, Потапов , Решетников, Шевкин онлайн .  Решебник поможет быстро справиться с домашней работы, удостоверится, что все ответы на задачи и примеры являются верными . 

5 класс . Учебник . Никольский С .М ., Потапов М .К ., Решетников Н .Н ., Шевкин А .В . Ответы к стр . 6 Ответы к стр . 9 Ответы к стр . 10 Ответы к .  ГДЗ . 

Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Математике за 5 класс С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин .  авторы: С .М . Никольский, М .К . Потапов , Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин . Издательство: Просвещение . 

Данный учебник утвержден и рекомендован Министерством Образования РФ и является хорошим и исчерпывающим учебным пособием по предмету .  На помощь придет онлайн-ГДЗ по Математике 5 класс автора Никольский С .М .,М .К . Потапов ,Н .Н . Решетников, А .В . Шевкин ! 

Смотрите любимые видео, слушайте любимые песни, загружайте собственные ролики и делитесь ими с друзьями, близкими и целым миром .
ГДЗ математика 5 класс Никольский Просвещение . Такой предмет как математика не всегда поддается для понимания .  Одним из полезных и понятных пятиклассникам учебников по математике для 5 класса считается сборник, составленный Никольским С . М . Книга опирается . . 

Готовые домашние задания ГДЗ по математике к учебнику за 5 класс авторы Никольский С .М ., М .К . Потапов , Н .Н . Решетников издательство Просвещение представлены на сайте в бесплатном онлайн варианте .
Готовые Домашние Задания , Решебник по Математике 5 класс Никольский .


ГДЗ Математика 5 класс Потапов, Шевкин

Математика 5 класс

Рабочая тетрадь

Потапов, Шевкин

Просвещение

Внимательность на уроках не гарантирует хорошего понимания изучаемого материала. Тут играют роль множество факторов, не последним из которых является отношение учителя к своему предмету. Ведь если сам преподаватель не заинтересован в своем предмете, то и заинтересовать своих учеников он тоже не сможет. Хорошим подспорьем в учебе в эти моменты может служить

решебник к учебнику «Математика. Рабочая тетрадь 5 класс» Потапов, Шевкин, где представлены полноценные сведения по всей программе. Сборник значительно облегчит процесс обучения, помогая преодолевать возникающие на пути трудности, готовиться к предстоящим проверочным работам.

Особенности построения решебника

В издание входят две части рабочей тетради. Все номера заданий в ГДЗ по математике 5 класс Потапов распределены по определенным разделам, что поможет лучше закреплять тематический материал. Потратив совсем немного времени, родители смогут проверить д/з своего ребенка, воспользовавшись любым гаджетом, так как сборник доступен онлайн.

Для чего им надо пользоваться

Ситуации в жизни случаются разные. Ребенок может по каким-либо причинам пропустить несколько уроков, что грозит весьма серьезными отставаниями от школьной программы. Нагнать в этом случае одноклассников будет весьма трудно, так как повторение материала в современной школьной программе по сути не предусмотрено. Чтобы этого не произошло можно использовать решебник к учебнику «Математика. Рабочая тетрадь 5 класс» Потапов. Так же этот сборник прекрасно подойдет для проверки д/з, дополнительного повторения пройденных ранее тем и для подготовки к проверочным работам. Это издание поможет подробно разобрать непонятное упражнение, вникнуть во все подробности материала. «Просвещение», 2017 г.

Похожие ГДЗ Математика 5 класс

Название

Решение

ГДЗ по Математике 6 класс Никольский

Кто в 6 классе пользуется учебником по математике Никольский, должен знать и о решебнике к нему. Когда совсем не получается решить пример, непонятны задачи, а правила из параграфа совсем не могут вам помочь. Откройте сборник ГДЗ по математике за 6 класс Никольского, Потапова, в котором все примеры и задачи очень детально расписаны, что очень сильно сэкономит время каждого шестиклассника.

Известно, что помимо школьных занятий, многие ученики посещают дополнительные уроки, различные кружки, секции. И им попросту не хватает времени разбираться с новыми темами. Также хорош этот сборник ответов и для повторения ранее пройденного материала.

Чтобы пропорции, отношения и проценты не остались забытыми, в сборнике найдутся некоторые примеры на повторение. Ведь через пару лет шестиклассникам предстоит решать задания на экзамене, а после и на итоговом тестировании. Поэтому весь материал нужно досконально прорабатывать и постоянно повторять. Решебник даёт такую возможность ученикам. Особенно большое внимание в решебнике уделяется упражнениям повышенной сложности. Автор обеспечил каждое из них отдельными комментариями и сносками. Чтобы не одна формула не прошла мимо вас, прорабатывайте домашнее задание вместе со сборником готовых ответов.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Потапов М.К. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к дидактическим материалам за 6 класс Потапов М.К. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к тематическим тестам по математике за 6 класс Чулков П.В. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к задачам на смекалку по математике за 5-6 классы Шарыгин И.Ф. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 6 класс Ерина Т.М. можно посмотреть здесь.

Потапов Шевкин дидактические материалы 10

Изучение алгебры в 10 классе требует много времени и усилий. Это связано с тем, что выпускники опережают сдачу экзамена. И подготовка к этому мероприятию связана с массой сложностей, а в некоторых ситуациях еще и с расходованием семейного бюджета на репетиторов. Хотя есть более доступный, но не менее эффективный способ сделать это — использовать решатель

по алгебре для 10 класса (авторы: Никольский, Потапов).

Использование готовых домашних заданий дает учащимся возможность:

  • для изучения самых сложных тем и понимания сути всех разделов дисциплины;
  • для получения стабильной базы знаний, которую можно легко применить в будущем для решения различных задач и уравнений как средней, так и высокой сложности;
  • получать по контрольным, поверочным работам и испытаниям более высокие оценки за квартал и год;
  • разобрать тему, которая оказалась неправильно понятой;
  • приобретайте большую уверенность на уроках и смело демонстрируйте полученные навыки.

Но всего этого можно добиться только при правильной работе с таким источником информации.

Как пользоваться справочником

никольского
  • все номера выполняем исключительно самостоятельно. Если не получается с первого раза, следует применить другие методы для достижения результата;
  • Только после получения собственного результата вы можете проверить правильность ответов, представленных в распознавателе. Причем обратите внимание, что желательно сравнивать не только номер финиша, но и весь ход решения, то есть используемый алгоритм;
  • И только когда не удается достичь поставленной цели после нескольких безуспешных попыток, можно просмотреть предложенный специалистом анализ.В этом случае настоятельно рекомендуется закрепить материал того же типа. Это необходимо для более глубокого понимания темы, развития навыка и формирования прочной базы.

Сборник содержит самостоятельные и контрольные работы с итоговым тестом к учебнику «Алгебра и начало математического анализа, 10» С. М. Никольский и другие. Дидактические материалы дополняют учебник более сложными задачами, необходимыми для работы на занятиях с углубленным изучением математики.В книгу также включены материалы для подготовки к самостоятельной работе с примерами выполнения заданий, аналогичных заданиям из самостоятельной работы. Сборник можно использовать при работе над любым учебником, а также для самообразования.

Дидактические материалы по курсу алгебры и началам математического анализа содержат 45 самостоятельных и 7 контрольных работ в четырех вариантах, а также тест на самоконтроль в двух вариантах. Есть ответы на все тестовые случаи и на тест.
Содержание дидактических материалов полностью соответствует учебному пособию авторов С.М. Никольского и других из серии «Школа МГУ» для 10 класса и дополняет учебник более сложными заданиями, необходимыми для работы на занятиях, направленных на подготовку учащихся к обучению. Университет. Дидактические материалы можно использовать на уроках и дома при работе над любыми учебниками, а также для самообразования.

В разделе 1 книги приведены примеры заданий, которые аналогичны заданиям из каждой самостоятельной работы.Причем образцы даны не на все задания и не повторяют задания самостоятельной работы, но работа с ними значительно повысит эффективность самостоятельной работы и усвоения темы в целом.
Материалы для подготовки к самостоятельной работе содержат подробные объяснения решения задач, так как имеют цель разъяснить выбранные способы действий. Решения студентов могут быть кратко изложены; как правило, комментарии в них опускаются при выполнении эквивалентных преобразований уравнений или неравенств.

Предисловие 3
Раздел I. Материалы для подготовки к самостоятельной работе 4
1. Действительные числа 4
2. Использование формул сокращенного умножения 5
3. Квадратное уравнение. Формулы Виета 6
4. Алгебраические дроби 7
5. Рациональные уравнения 8
6 *. Замена неизвестного при решении рациональных уравнений 9
7 *. Доказательство численных неравенств 10
8 *. Математический метод индукции 11
9. Перестановка, размещение, комбинация 12
10.Биномиальная формула Ньютона 13
одиннадцать *. Деление многочленов. Корень полинома 14
12. Рациональные неравенства 15
13 *. Замена неизвестного при решении рациональных неравенств 16
четырнадцать *. Замена неизвестного при решении иррациональных уравнений и неравенств 17
15 *. Задачи с параметром 19
16. Корень степени n 21
17 *. Функции = pu [x 22
18. Градус c рациональный показатель 23
девятнадцать *. Предел последовательности 24
20. Логарифмы 26
21.Индикативные и логарифмические уравнения 27
22. Иллюстративные и логарифмические неравенства 29
23 *. «Однородные» экспоненциальные уравнения и неравенства 31
24. Градусы и радианы измерения угла 33
25. Регистрация углов, заданных точками единичной окружности 33
26. Синус и косинус угла 35
27. Формулы для sin a и cos a 36
28 *. Арксинус и арккосинус 37
29. Касательный и котангенс угла 38
30. Формулы для tga и ctga 40
31 *.Арктангенс и арктангенс 41
32. Косинус суммы и косинус разности двух углов. Синус суммы и синус разности двух углов 42
33. Формулы приведения для синуса и косинуса 44
34. Сумма и разность синусов и косинусов 46
35. Формулы синусов и косинусов двойных и половинных углов 47
36. Произведения синусов и косинусов 48
37. Формулы касательных 49
38. Тригонометрические функции 51
39. Тригонометрические уравнения 52
40.Замена неизвестного в решении тригонометрических уравнений 53
41. Применение тригонометрических формул при решении уравнений 54
42. Однородные уравнения 56
43 *. Тригонометрические неравенства 57
44 *. Введение вспомогательного угла. Замена t = sin x + cos x 59
45 *. Замена неизвестных при решении систем уравнений 61
Раздел II. Самостоятельная работа 64
Раздел III. Экзамен 128
Итоговый тест на самоконтроль 149
Ответы на контрольную работу 154
Ответы на итоговый тест 157

Алгебра — важная дисциплина, входящая в состав единого государственного экзамена.Однако многие студенты испытывают трудности с изучением точных наук. И учителя не всегда могут легко объяснить ученику материал. Поэтому возникают трудности в освоении предмета, и самостоятельно заполнить пробелы крайне сложно. Для справки было разработано ладьи на основе учебника по алгебре для 10 класса авторов Никольский, Потапов, Решетников . Пособие выполнено как справочно-методическое издание.

В ГДЗ собраны все ответы на цифры, подробное решение задач с пояснениями.Изучив абзац, ученик может самостоятельно выполнять упражнения. Их можно проверить с помощью алгебры для 10 класса Никольского . Пособие поможет ученику понять принцип и логику решения задач, что в дальнейшем будет способствовать без труда выполнять аналогичные упражнения. Решатель дает ответы на числа с повышенной сложностью.

ГДЗ направлена ​​не на списание домашних заданий, а на детальное и полное изучение математической дисциплины, а десятиклассник подготовит к промежуточному и итоговому контролю по предмету.

Изучение алгебры в 10 классе требует много времени и усилий. Это связано с тем, что выпускники опережают экзамен. И подготовка к этому мероприятию связана с массой сложностей, а в некоторых ситуациях еще и с расходованием семейного бюджета на репетиторов. Хотя есть более доступный, но не менее эффективный способ сделать это — использовать решатель по алгебре для 10 класса (авторы: Никольский, Потапов).

Использование готовых домашних заданий дает учащимся возможность:

  • для изучения самых сложных тем и понимания сути всех разделов дисциплины;
  • для получения стабильной базы знаний, которую можно легко применить в будущем для решения различных задач и уравнений как средней, так и высокой сложности;
  • для получения более высоких оценок на квартал и год за контрольные, поверочные работы и испытания;
  • разобрать тему, которая оказалась неправильно понятой;
  • приобретайте большую уверенность на уроках и смело демонстрируйте полученные навыки.

Но всего этого можно добиться только при правильной работе с таким источником информации.

Как пользоваться справочником

никольского
  • все номера выполняем исключительно самостоятельно. Если не получается с первого раза, следует применить другие методы для достижения результата;
  • Только после получения собственного результата вы можете проверить правильность ответов, представленных в распознавателе. Причем обратите внимание, что желательно сравнивать не только номер финиша, но и весь ход решения, то есть используемый алгоритм;
  • И только когда не удается достичь поставленной цели после нескольких безуспешных попыток, можно просмотреть предложенный специалистом анализ.В этом случае настоятельно рекомендуется закрепить материал того же типа. Это необходимо для более глубокого понимания темы, развития навыка и формирования прочной базы.

Дробные уравнения являются примерами решений. Дробные рациональные уравнения. Алгоритм решения. Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике

.

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одно с переменной в знаменателе.2 = 6 \)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное помнить о дробно-рациональных уравнениях — в них нужно писать. А найдя корни, обязательно проверьте их на допустимость. В противном случае могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

    Запишите и «решите» DHS.

    Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и исключите полученные дроби.Знаменатели исчезнут.

    Запишите уравнение, не открывая скобок.

    Решите полученное уравнение.

    Проверьте найденные корни с ODZ.

    Запишите в ответ корни, прошедшие проверку на шаге 7.

Алгоритм не запоминайте, решите 3-5 уравнений — и он запомнится сам по себе. 2 + 9x-5 = 0 \)


Найдите корни уравнения

\ (x_1 = -5; \) \ (x_2 = \ frac (1) (2).\\)


Один из корней не подходит ODZ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \ (\ frac (1) (2) \).

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональные выражения Вызываются выражений, состоящих из чисел, переменных, их степеней и знаков математических операций.

Соответственно, рациональные уравнения — это уравнения вида:, где — рациональные выражения.

Ранее мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим те рациональные уравнения, которые также можно свести к квадратичным.

Пример 1

Решите уравнение :.

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы — квадратное уравнение. Перед его решением разделим все его коэффициенты на 3. Получаем:

Получаем два корня :; …

Так как 2 никогда не равно 0, то должны быть выполнены два условия: … Поскольку ни один из вышеуказанных корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые были получены в результате решения второго неравенства, они являются оба решения этого уравнения.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Переместите все члены влево, чтобы получить 0 справа.

2. Преобразуйте и упростите левую часть, приведя все дроби к общему знаменателю.

3. Полученная дробь равна 0 по следующему алгоритму:.

4. Запишите корни, полученные в первом уравнении и удовлетворяющие второму неравенству в ответе.

Возьмем другой пример.

Пример 2

Решите уравнение:.

Решение

В самом начале мы перемещаем все члены в левую часть так, чтобы 0 остался справа. Получаем:

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Это уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы — квадратное уравнение.

Коэффициенты этого уравнения :. Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня :; …

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: … Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один — 3.

Ответ: .

В этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также узнали, как решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

В следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим проблемы движения.

Библиография

  1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. — М .: Просвещение, 2004.
  2. .
  3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и другие. Алгебра, 8. 5-е изд. — М .: Просвещение, 2010.
  4. .
  5. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Образование, 2006.
  1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Продолжаем разговор о решении уравнений … В этой статье мы остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Для начала разберемся, какие уравнения называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробно-рациональных уравнений, приведем примеры.Далее мы получим алгоритмы решения рациональных уравнений и, конечно же, рассмотрим решения типовых примеров со всеми необходимыми пояснениями.

Навигация по страницам.

На основании озвученных определений приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x = 1, 2 x — 12 x 2 y z 3 = 0, все являются рациональными уравнениями.

Из приведенных примеров видно, что рациональные уравнения, как, однако, уравнения других типов, могут быть либо с одной переменной, либо с двумя, тремя и т. Д.переменные. В следующих разделах мы поговорим о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большое количество заслуживают особого внимания.

Помимо деления рациональных уравнений на количество неизвестных переменных, они также делятся на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Рациональное уравнение называется целым , если его левая и правая части являются целыми рациональными выражениями.

Определение.

Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно-рациональным (или дробно-рациональным).

Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную; напротив, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Итак, 3 x + 2 = 0 и (x + y) (3 x 2 −1) + x = −y + 0,5 являются целыми рациональными уравнениями, обе их части являются целыми выражениями.A и x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x — 1): 5 — примеры дробно-рациональных уравнений.

Завершая этот раздел, обратим внимание на то, что известные к этому моменту линейные и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Решение целых уравнений

Один из основных подходов к решению целых уравнений — свести их к эквивалентным алгебраическим уравнениям … Это всегда можно сделать, выполнив следующие эквивалентные преобразования уравнения:

  • сначала выражение из правой части оригинала все уравнение переносится в левую с противоположным знаком, чтобы получить ноль в правой части;
  • , после этого в левой части уравнения — получившаяся стандартная форма.

В результате получается алгебраическое уравнение, которое эквивалентно исходному целому уравнению. Таким образом, в самых простых случаях решение целых уравнений сводится к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае — к решению алгебраического уравнения степени n. Для наглядности разберем пример решения.

Пример.

Найдите корни всего уравнения 3 (x + 1) (x — 3) = x (2 x — 1) −3.

Решение.

Сведем решение всего этого уравнения к решению эквивалентного ему алгебраического уравнения.Для этого сначала переносим выражение из правой части в левую, в результате приходим к уравнению 3 (x + 1) (x — 3) −x (2 x — 1) + 3 = 0 … А, во-вторых, преобразовываем сформированное в левой части выражение в стандартный многочлен, выполняя необходимое: 3 (x + 1) (x — 3) −x (2 x — 1) + 3 = ( 3 x + 3) (x — 3) −2 x 2 + x + 3 = 3 x 2 −9 x + 3 x — 9−2 x 2 + x + 3 = x 2 −5 x — 6 .. Таким образом, решение всего исходного уравнения сводится к решению квадратного уравнения x 2 −5 x — 6 = 0.

Вычисляем его дискриминант D = (- 5) 2 −4 1 (−6) = 25 + 24 = 49, он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле для корни квадратного уравнения:

Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения … Сначала мы проверим корень 6, подставив его вместо переменной x в исходном целочисленном уравнении: 3 (6 + 1) (6−3 ) = 6 (2 6−1) −3, что тоже самое, 63 = 63.Это действительное числовое равенство, поэтому x = 6 действительно является корнем уравнения. Теперь проверяем корень −1, имеем 3 (−1 + 1) (−1−3) = (- 1) (2 (−1) −1) −3, откуда 0 = 0. Для x = −1, исходное уравнение тоже превратилось в истинное числовое равенство, следовательно, x = −1 также является корнем уравнения.

Ответ:

6 , −1 .

Здесь также следует отметить, что термин «степень всего уравнения» связан с представлением всего уравнения в форме алгебраического уравнения.Дадим соответствующее определение:

Определение.

Степень всего уравнения называется степенью эквивалентного алгебраического уравнения.

Согласно этому определению, все уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.

На этом можно было бы закончить решением целых рациональных уравнений, если бы не одного, а…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй сопряжено со значительными трудностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще нет общих корневых формул.Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.

В таких случаях подход к решению целых рациональных уравнений основан на методе факторизации … В этом случае соблюдается следующий алгоритм:

  • сначала, они гарантируют, что в правой части уравнения будет ноль , для этого выражение переносится из правой части всего уравнения в левую;
  • , то полученное выражение слева представлено как произведение нескольких факторов, что позволяет перейти к набору нескольких более простых уравнений.

Данный алгоритм решения всего уравнения через факторизацию требует подробного пояснения на примере.

Пример.

Решите все уравнение (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) = 2 x (x 2 −10 x + 13).

Решение.

Сначала, как обычно, переносим выражение из правой части уравнения в левую, не забывая менять знак, получаем (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) — 2 x ( х 2 −10 х + 13) = 0.Здесь совершенно очевидно, что левую часть полученного уравнения нецелесообразно преобразовывать в многочлен стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение четвертой степени вида x 4 −12 x 3 + 32 x 2 −16 x — 13 = 0, решение которой сложно.

С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения вы можете x 2 −10 · x + 13, таким образом представляя его как произведение. Имеем (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x — 1) = 0… Полученное уравнение эквивалентно исходному целому уравнению, а его, в свою очередь, можно заменить набором из двух квадратных уравнений x 2 −10 x + 13 = 0 и x 2 −2 x — 1 = 0 Найти их корни по известным формулам корней через дискриминант несложно, корни равны. Это искомые корни исходного уравнения.

Ответ:

Для решения целых рациональных уравнений также полезен новый переменный метод впрыска … В некоторых случаях это позволяет перейти к уравнениям, степень которых ниже, чем степень исходного уравнения в целом.

Пример.

Найдите действительные корни рационального уравнения (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x — 4).

Решение.

Сведение всего этого рационального уравнения к алгебраическому уравнению, мягко говоря, не очень хорошая идея, поскольку в этом случае мы придем к необходимости решения уравнения четвертой степени, не имеющего рациональных корней.Поэтому придется искать другое решение.

Здесь легко заметить, что вы можете ввести новую переменную y и заменить ее выражением x 2 + 3 · x. Такая замена приводит нас ко всему уравнению (y + 1) 2 + 10 = −2 (y — 4), которое после переноса выражения −2 (y — 4) в левую часть и последующего преобразования полученного выражения там, сводится к квадрату к уравнению y 2 + 4 y + 3 = 0. Корни этого уравнения y = −1 и y = −3 найти несложно, например, их можно выбрать исходя из теорема, обратная теореме Виета.

Теперь перейдем ко второй части метода введения новой переменной, то есть к обратной замене. Выполнив обратную замену, получим два уравнения x 2 + 3 x = −1 и x 2 + 3 x = −3, которые можно переписать как x 2 + 3 x + 1 = 0 и x 2 + 3 x + 3 = 0. Используя формулу корней квадратного уравнения, находим корни первого уравнения. А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицательный (D = 3 2 −4 · 3 = 9−12 = −3).

Ответ:

В общем, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, мы всегда должны быть готовы искать нестандартный метод или искусственный трюк для их решения.

Решение дробно-рациональных уравнений

Во-первых, будет полезно выяснить, как решать дробно-рациональные уравнения вида, где p (x) и q (x) — целые рациональные выражения. А затем мы покажем, как свести решение оставшихся дробно-рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

Один из подходов к решению уравнения основан на следующем утверждении: дробная часть числа u / v, где v — ненулевое число (иначе мы встретим число, которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, то есть тогда и только тогда, когда u = 0. В силу этого утверждения решение уравнения сводится к выполнению двух условий p (x) = 0 и q (x) ≠ 0.

Этот вывод соответствует следующему алгоритму для решения дробно-рационального уравнения … Для решения дробного рационального уравнения вида необходимо

  • решить все рациональное уравнение p (x) = 0;
  • и проверьте, выполняется ли условие q (x) ≠ 0 для каждого найденного корня, а
    • если выполнено, то этот корень является корнем исходного уравнения;
    • , если нет, то этот корень является посторонним, то есть не является корнем исходного уравнения.

Рассмотрим пример использования озвученного алгоритма при решении дробно-рационального уравнения.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Решение.

Это дробное рациональное уравнение вида, где p (x) = 3 x — 2, q (x) = 5 x 2 −2 = 0.

Согласно алгоритму решения дробно-рациональных уравнений такого типа сначала нужно решить уравнение 3 x — 2 = 0. Это линейное уравнение, корень которого x = 2/3.

Осталось проверить этот корень, т. Е. Проверить, удовлетворяет ли он условию 5 · x 2 −2 0.Подставляем в выражение 5 · x 2 −2 вместо x число 2/3, получаем. Условие выполнено, значит x = 2/3 — это корень исходного уравнения.

Ответ:

2/3 .

К решению дробно-рационального уравнения можно подойти с несколько иной позиции. Это уравнение эквивалентно всему уравнению p (x) = 0 по переменной x исходного уравнения. То есть можно придерживаться этого алгоритма решения дробно-рационального уравнения :

  • решить уравнение p (x) = 0;
  • найти ODZ переменной x;
  • берут корни, принадлежащие диапазону допустимых значений — они являются искомыми корнями исходного дробно-рационального уравнения.

Например, давайте решим дробно-рациональное уравнение с помощью этого алгоритма.

Пример.

Решите уравнение.

Решение.

Сначала решаем квадратное уравнение x 2 −2 x — 11 = 0. Его корни можно вычислить по формуле корней для четного второго коэффициента, имеем D 1 = (- 1) 2 −1 (−11) = 12, а.

Во-вторых, мы находим ODV переменной x для исходного уравнения. Он состоит из всех чисел, для которых x 2 + 3 x ≠ 0, что является тем же x (x + 3) ≠ 0, откуда x ≠ 0, x ≠ −3.

Осталось проверить, входят ли найденные на первом этапе корни в ODZ. Очевидно да. Следовательно, исходное дробно-рациональное уравнение имеет два корня.

Ответ:

Обратите внимание, что этот подход более выгоден, чем первый, если легко найти ODV, и особенно выгоден, если в этом случае корни уравнения p (x) = 0 иррациональны, например, или рациональны, но с довольно большим числителем и / или знаменателем, например, 127/1101 и −31/59.Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q (x) ≠ 0 потребует значительных вычислительных затрат, а в ODZ проще исключить посторонние корни.

В остальных случаях при решении уравнения, особенно когда корни уравнения p (x) = 0 целочисленные, выгоднее использовать первый из представленных алгоритмов. То есть желательно сразу найти корни всего уравнения p (x) = 0, а затем проверить, выполняется ли для них условие q (x) ≠ 0, а не найти ODV, а затем решить уравнение p (x) = 0 на этом ОДВ… Это связано с тем, что в таких случаях обычно проще сделать проверку, чем найти ОДЗ.

Рассмотрим решение двух примеров, чтобы проиллюстрировать указанные нюансы.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Решение.

Сначала находим корни всего уравнения (2 x — 1) (x — 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) = 0, составленного с помощью числителя дроби. Левая часть этого уравнения является произведением, а правая часть равна нулю, поэтому согласно методу решения уравнений через факторизацию это уравнение эквивалентно системе из четырех уравнений 2 x — 1 = 0, x — 6 = 0, х 2 −5 х + 14 = 0, х + 1 = 0.Три из этих уравнений линейны, а одно квадратное, мы знаем, как их решать. Из первого уравнения находим x = 1/2, из второго — x = 6, из третьего — x = 7, x = −2, из четвертого — x = −1.

По найденным корням довольно легко проверить их на предмет того, обращается ли знаменатель дроби в левой части исходного уравнения в нуль вместе с ними, и, наоборот, определить ГРВ не так просто, так как это потребует решения алгебраического уравнения пятой степени.Поэтому откажемся от поиска ODZ в пользу проверки корней. Для этого подставляем их по очереди вместо переменной x в полученное после подстановки выражение x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112 и сравниваем их с нулем: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 = 1 / 32−15 / 16 + 57 / 8−13 / 4 + 13 + 112 = 122 + 1/32 ≠ 0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 + 57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 = −720 ≠ 0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 + 57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26 (−1) + 112 = 0.

Таким образом, 1/2, 6 и −2 — искомые корни исходного дробно-рационального уравнения, а 7 и −1 — посторонние корни.

Ответ:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Найдите корни дробно-рационального уравнения.

Решение.

Сначала находим корни уравнения (5 x 2 −7 x — 1) (x — 2) = 0 … Это уравнение эквивалентно комбинации двух уравнений: квадратного 5 x 2 −7 x — 1 = 0 и линейный x — 2 = 0.Используя формулу корней квадратного уравнения, находим два корня, а из второго уравнения имеем x = 2.

Довольно неприятно проверять, обращается ли знаменатель в нуль для найденных значений x. А определить диапазон допустимых значений переменной x в исходном уравнении довольно просто. Поэтому будем действовать через ОДЗ.

В нашем случае ODZ переменной x исходного дробно-рационального уравнения состоит из всех чисел, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 + 5 x — 14 = 0.Корни этого квадратного уравнения — x = −7 и x = 2, из чего делаем вывод о ODZ: оно составлено из всех таких x, что.

Осталось проверить, принадлежат ли найденные корни и x = 2 диапазону допустимых значений. Корни — принадлежат, следовательно, они являются корнями исходного уравнения, а x = 2 — не принадлежит, следовательно, это посторонний корень.

Ответ:

Также будет полезно остановиться отдельно на случаях, когда в числителе дробно-рационального уравнения вида есть число, то есть когда p (x) представляется некоторым числом.Где

  • , если это число отличается от нуля, то уравнение не имеет корней, поскольку дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
  • , если это число равно нулю, то корнем уравнения является любое число из ODZ.

Пример.

Решение.

Поскольку числитель дроби в левой части уравнения является ненулевым числом, ни при каком x значение этой дроби не может быть равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней.

Ответ:

без корней.

Пример.

Решите уравнение.

Решение.

Числитель дроби в левой части этого дробно-рационального уравнения содержит ноль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x, для которого она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ODV этой переменной.

Осталось определить этот диапазон допустимых значений. В него входят все такие значения x, для которых x 4 + 5 · x 3 ≠ 0.Решениями уравнения x 4 + 5 x 3 = 0 являются 0 и −5, так как это уравнение эквивалентно уравнению x 3 (x + 5) = 0, а оно в свою очередь эквивалентно комбинации двух уравнения x 3 = 0 и x + 5 = 0, откуда и видны эти корни. Следовательно, искомый диапазон допустимых значений будет любым x, кроме x = 0 и x = −5.

Таким образом, дробное рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которые являются любыми числами, кроме нуля и минус пять.

Ответ:

Наконец, пора поговорить о решении произвольных дробно-рациональных уравнений. Их можно записать как r (x) = s (x), где r (x) и s (x) — рациональные выражения, и хотя бы одно из них — дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уже знакомых нам уравнений.

Известно, что перенос члена из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к эквивалентному уравнению, следовательно, уравнение r (x) = s (x) эквивалентно уравнению r (x ) — s (x) = 0.

Мы также знаем, что у вас может быть любое, идентично равному этому выражению. Таким образом, мы всегда можем преобразовать рациональное выражение в левой части уравнения r (x) — s (x) = 0 в одинаково равную рациональную дробь вида.

Итак, переходим от исходного дробно-рационального уравнения r (x) = s (x) к уравнению, а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения p (x) = 0.

Но здесь обязательно учитывать тот факт, что при замене r (x) — s (x) = 0 на, а далее на p (x) = 0 диапазон допустимых значений переменная x может расширяться.

Следовательно, исходное уравнение r (x) = s (x) и уравнение p (x) = 0, к которому мы пришли, могут оказаться неравноправными, и решив уравнение p (x) = 0 можно получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения r (x) = s (x). Можно идентифицировать и не включать в ответ посторонние корни, выполнив проверку или проверив, что они принадлежат ODZ исходного уравнения.

Суммируем эту информацию в алгоритме решения дробно-рационального уравнения r (x) = s (x) … Для решения дробно-рационального уравнения r (x) = s (x) необходимо

  • Получить ноль справа, сдвинув выражение с правой стороны с противоположным знаком.
  • Выполните действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав его в рациональную дробь вида.
  • Решите уравнение p (x) = 0.
  • Для выявления и исключения посторонних корней, что выполняется путем их подстановки в исходное уравнение или путем проверки их принадлежности к ODZ исходного уравнения.

Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробно-рациональных уравнений:
.

Давайте рассмотрим решения на нескольких примерах с подробным объяснением хода решения для пояснения данного блока информации.

Пример.

Решите дробное рациональное уравнение.

Решение.

Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала переносим слагаемые из правой части уравнения в левую, в результате переходим к уравнению.

На втором этапе нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части результирующего уравнения в форму дроби. Для этого приводим рациональные дроби к общему знаменателю и упрощаем получившееся выражение :. Итак, мы подошли к уравнению.

На следующем шаге нам нужно решить уравнение −2 x — 1 = 0. Найдите x = −1 / 2.

Осталось проверить, является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения.Для этого вы можете проверить или найти ODV переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.

Начнем с проверки. Подставляя −1/2 в исходное уравнение для x, мы получаем то же самое, −1 = −1. Подстановка дает правильное числовое равенство, следовательно, x = −1 / 2 — это корень исходного уравнения.

Теперь покажем, как выполняется последняя точка алгоритма через OTD. Диапазон допустимых значений исходного уравнения — это совокупность всех чисел, кроме −1 и 0 (при x = −1 и x = 0 знаменатели дробей обращаются в нуль).Найденный на предыдущем шаге корень x = −1 / 2 принадлежит ГДЗ, следовательно, x = −1 / 2 — это корень исходного уравнения.

Ответ:

-1/2 .

Рассмотрим другой пример.

Пример.

Найдите корни уравнения.

Решение.

Нам нужно решить дробно-рациональное уравнение, пройдемся по всем этапам алгоритма.

Сначала переносим член с правой стороны на левую, получаем.

Во-вторых, преобразовываем выражение в левой части :. В результате приходим к уравнению x = 0.

Его корень очевиден — он нулевой.

На четвертом шаге остается выяснить, находится ли найденный корень вне исходного дробно-рационального уравнения. Когда его подставляют в исходное уравнение, получается выражение. Очевидно, это не имеет смысла, так как содержит деление на ноль. Отсюда заключаем, что 0 — посторонний корень.Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

7, что приводит к уравнению. Отсюда можно сделать вывод, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно правой части, то есть,. Теперь вычитаем из обеих частей тройки :. По аналогии откуда и дальше.

Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробно-рационального уравнения.

Ответ:

Библиография.

  • Алгебра: учеб.за 8 кл. общее образование. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2008. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • А.Г. Мордкович Алгебра. 8 класс. В 14.00 Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. — 11-е изд., Стер. — М .: Мнемозина, 2009. — 215 с .: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Алгебра: 9 класс: учебник.для общего образования. учреждения / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковский. — 16-е изд. — М .: Просвещение, 2009. — 271 с. : больной. — ISBN 978-5-09-021134-5.

Дробные уравнения. ODZ.

Внимание!
Есть дополнительные
материалов в Спец Разделе 555.
Для тех, кто «не очень …»
И для тех, кто «очень даже …»)

Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже умеем работать с линейными и квадратными уравнениями.Остается последний взгляд — дробных уравнения. … Или их еще называют гораздо солиднее — дробно-рациональных уравнений … То же самое.

Дробные уравнения.

Как следует из названия, в этих уравнениях всегда присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых неизвестно в знаменателе … Хотя бы один. Например:

Напомню, что если в знаменателях всего числа , то это линейные уравнения.

Как решить дробных уравнений ? Прежде всего, избавьтесь от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. И тогда мы знаем, что делать … В некоторых случаях это может превратиться в тождество, например 5 = 5 или неверное выражение, например 7 = 2. Но такое случается редко. Я упомяну об этом ниже.

Но как избавиться от дробей !? Очень простой. Применяя все те же одинаковые преобразования.

Нам нужно умножить все уравнение на одно и то же выражение.Так что все знаменатели уменьшены! Все сразу станет легче. Позвольте мне объяснить на примере. Допустим, нам нужно решить уравнение:

Как вы учили в начальной школе? Переносим все в одну сторону, сводим к общему знаменателю и т.д. Забыть как страшный сон! Это нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работать с неравенством. И в уравнениях мы сразу же умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность уменьшить все знаменатели (т.е., по сути, общим знаменателем). А что это за выражение?

Слева, чтобы отменить знаменатель, умножьте на x + 2 … А справа нужно умножить на 2. Следовательно, уравнение нужно умножить на 2 (x + 2) … Умножаем:

Это обычное умножение дробей, но напишу подробно:

Обратите внимание, я пока не раскрываю скобки (x + 2) ! Итак, полностью пишу:

Слева полностью уменьшено (x + 2) , а справа 2.Что обязательно! После приведения получаем линейное уравнение:

И это уравнение решит каждый! х = 2 .

Решим еще один пример, посложнее:

Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2x = 2x / 1, то можно написать:

И снова избавляемся от того, что нам не очень нравится — дробей.

Мы видим, что для сокращения знаменателя с x нужно умножить дробь на (x — 2) … Некоторые нам не помеха. Что ж, размножаемся. целиком левая сторона и вся правая сторона :

Опять же скобки (х — 2) не раскрываю. Работаю со скобкой целиком, как с одним числом! Это нужно делать всегда, иначе ничего не уменьшится.

С чувством глубокого удовлетворения разрезаем (x — 2) и получаем уравнение без дробей, в линейке!

А теперь раскроем скобки:

Дарим похожие, переносим все в левую часть и получаем:

Но перед этим научимся решать другие задачи.Интерес. Кстати, эти грабли!

Если вам нравится этот сайт …

Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

вы можете познакомиться с функциями и производными.

Решение дробно-рациональных уравнений

Если вы ученик восьмого класса, и вдруг случилось так, что вы пропустили урок или проигнорировали то, о чем говорил учитель, эта статья для вас!

Во-первых, давайте разберемся, что это такое — дробно-рациональные уравнения? В любом учебнике есть такое определение: Дробно-рациональное уравнение — это уравнение вида \\ (fxg (x) = 0 \\).2 + x-25 = 0 \) \ (((2-x) \ over (2)) + ((3x \ over 5)) = 4 \) \ (((2x- 1) \ больше 2) + (5х \ больше6) — (1-х \ больше 3) = 3х-2 \)

Последние два уравнения определенно не являются дробно-рациональными, несмотря на то, что они состоят из дробей. Но самое главное, в знаменателе нет переменной (буквы). Но в дробно-рациональном уравнении всегда есть переменная в знаменателе.

Итак, после того как вы правильно определили, какой у вас уран, мы приступим к его разгадке.Первое, что нужно сделать, обозначено тремя большими буквами: O.D.Z. Что означают эти буквы? ПРО взрыв D заброшенный Z показания. Что это значит в науке математике, сейчас объяснять не буду, наша цель научиться решать уравнения, а не повторять тему «Алгебраические дроби». Но для наших целей это означает следующее: берем знаменатель или знаменатели наших дробей, выписываем их отдельно и замечаем, что они не равны нулю.2 ≠ 0 \)

\ (х + 2 ≠ 0 \)

Вроде пока все просто. Что дальше? Следующий шаг будет зависеть от того, насколько вы продвинуты в математике. Если можете, решите эти уравнения со знаком, а если не можете, оставьте пока как есть. И идем дальше.

Далее, все дроби, входящие в уравнения, должны быть представлены как одна дробь. Для этого нужно найти общий знаменатель дроби. А в конце запишите в числитель произошедшее и приравняйте это выражение к нулю.2-4 = (x-2) (x + 2) \), а в числителе можно вынести за скобки общий множитель «-2».

\ ((- 2 (x + 2) \ over (x + 2) (x-2)) — (x + 5 \ over x-2) = 0 \)

Еще раз смотрим ОДЗ, есть ли? Там есть! Затем вы можете отменить первую дробь на x + 2 … Если нет ODZ, вы не можете его уменьшить! Получаем:

\ ((- 2 \ over x-2) — (x + 5 \ over x-2) = 0 \)

Дроби имеют общий знаменатель, что означает, что их можно вычесть:

\ ((- 2-x-5 \ over x-2) = 0 \)

Обратите внимание, так как мы вычитаем дроби, поменяйте знак «+» во второй дроби на минус! В числителе даем аналогичные термины:

\ ((- x-7 \ over x-2) = 0 \)

Напомним, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.2-4 = (x-2) (x + 2) \) и перепишем так: \ (((x-2) (x + 2) \ over2 (x + 1)) = 0 \ \)

Далее мы используем определение дроби, равной нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ, мы укажем, что числитель равен нулю. \\ ((x-2) (x + 2) = 0 \) … И давайте это решим уравнение. Он состоит из двух множителей x-2 и x + 2 … Помните, что произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Означает: x + 2 = 0 или x-2 = 0

Из первого уравнения получаем х = -2, из второго х = 2 … Переносим число и меняем знак.

На последнем этапе проверяем ODZ: x + 1 ≠ 0

Замените 2 и -2 вместо x.

Получаем 2 + 1 ≠ 0 … Выполнено? Да! Итак, x = 2 — это наш корень. Проверяем следующее: -2 + 1 ≠ 0 … Выполненный. да. Следовательно, x = -2, что тоже является нашим корнем. Итак, ответ — 2 и -2.

Решим последнее уравнение без пояснений. Алгоритм тот же:

Accueil — (страница 9) — gacdvjg

Описание книг:

Руководство по телефону cisco 7821

0 (SIP) Когда громкая связь включена, кнопка горит. Клавиатура Позволяет набирать телефонные номера, вводить буквы и выбирать пункты меню (вводя номер пункта). Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Руководство пользователя IP-телефонов Cisco 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Если ваш порт Ethernet оснащен функцией Power over Ethernet (PoE), ваш IP-телефон Cisco может получать питание через порт LAN. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Расширение выступает из верхней части повернутого выступа. Шаг 5 Верните трубку в подставку для трубки. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Не используйте жидкости или порошки для очистки телефона Caution, поскольку они могут загрязнить компоненты телефона и вызвать сбои.Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Если громкая связь отключена, программные клавиши неактивны или не отображаются. Процедура Шаг 1 Нажмите кнопку громкой связи. Шаг 2 Введите номер. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 2 Наберите номер. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Ответ на вызов с использованием группового выбора и номера группы Процедура Шаг 1 Выполните одно из следующих действий: Руководство пользователя IP-телефона Cisco 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) IP-телефоны Cisco 7821, 7841 и 7861 Руководство пользователя для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Руководство пользователя IP-телефонов Cisco 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Вы можете настроить условный вызов пересылка на Портале самообслуживания. Примечание. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 2 Чтобы вернуться к исходному вызову, нажмите «Обмен».

  • cisco phone manual 7821, cisco user manual 7821, cisco ip phone 7821 manual pdf, cisco ip phone 7821, cisco 7821 voip phone manual, cisco настольный телефон cp 7821 руководство, cisco phone manual 7821, cisco phone manual 7821, cisco руководство пользователя телефона 7821, руководство пользователя телефона cisco 7821, руководство пользователя телефона cisco 7821.

Использование слова «партнер» не подразумевает партнерских отношений между Cisco и какой-либо другой компанией. Для получения подробной информации о специальных возможностях этих телефонов см. Вспомогательный порт (необязательно). Сетевая розетка переменного тока (опция). Подключение аналоговой гарнитуры IEEE (опционально). Питание 802.3af включено. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Руководство пользователя IP-телефонов Cisco 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Кнопка перевода Передает вызов. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для телефонной трубки Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP). Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Телефонные соединения телефона Cisco IP 7841 Для работы телефона он должен быть подключен к корпоративной сети IP-телефонии. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Вспомогательный порт (необязательно).Подключение аналоговой гарнитуры (опционально). Питание IEEE 802.3af включено. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Руководство пользователя IP-телефонов Cisco 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Кнопка передачи Передает вызов. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Телефонные соединения телефона Cisco IP 7861 Для работы телефона он должен быть подключен к корпоративной сети IP-телефонии.Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для дополнительного порта Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP). Сетевая розетка переменного тока (опция). Подключение аналоговой гарнитуры IEEE (опционально). Питание 802.3af включено. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Кнопка передачи Передает вызов. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.

Шаг 2 Выберите «Выйти». Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Вы также можете набрать номер прямо из списка журнала вызовов. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 3 Нажмите Выход, чтобы вернуться на экран приложений. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 4 Нажмите Удалить, чтобы удалить запись. Шаг 5 Нажмите «Выход», чтобы вернуться к экрану приложений. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Вы можете настроить звуковые сигналы ожидания сообщения с помощью портала самообслуживания. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) IP-телефоны Cisco 7821, 7841 и 7861 Руководство пользователя Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) В качестве хоста конференции вы можете удалять отдельных участников с конференции. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 2 Нажмите «Обмен» для переключения между участником и конференцией.Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 4 Наберите номер телефона Meet Me. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) IP-телефоны Cisco 7821, 7841 и 7861 Руководство пользователя для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Пользователи телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 Руководство по Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Если вы не видите значок MLPP, уровень приоритета для вызова является нормальным.Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 4 Введите номер назначения. Вы услышите сигнал приоритетного обратного вызова, и на экране отобразится значок уровня приоритета. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.

Перед завершением передачи вы можете проконсультироваться с каждым в частном порядке. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 2 Нажмите Отмена, чтобы отключить обратный вызов. Шаг 3 Нажмите Выход, чтобы активировать обратный вызов. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Руководство пользователя IP-телефонов Cisco 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Если вы выполняете активный вызов, этот вызов помещен в режим ожидания. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Когда вы закончите использовать портал, вы должны выйти. В некоторых случаях вы можете получить доступ к порталу самообслуживания Cisco Unified Communications без входа в систему. Для получения дополнительных сведений обратитесь к системному администратору. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Вы можете назначить коды быстрого набора для записей личного каталога для быстрого набора. Вы можете настроить свой личный каталог со своего телефона или на портале самообслуживания Cisco Unified Communications.Используйте свой телефон для назначения кодов быстрого набора записям в каталоге. Для получения дополнительной информации см.. Шаг 2 Выберите запись. Шаг 3 Нажмите Правка. Шаг 4 Нажмите Удалить. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Шаг 3 Выберите личную адресную книгу. Чтобы получить больше кодов быстрого набора, нажмите «Примечание. Далее». Шаг 4 Выберите требуемый код быстрого набора и нажмите Набор. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Cisco WebDialer Cisco WebDialer позволяет выполнять вызовы на IP-телефоне Cisco для контактов из каталога, выбирая элементы в веб-браузере.За дополнительной информацией обращайтесь к системному администратору. Используйте Cisco WebDialer с другим корпоративным онлайн-каталогом.

0 (SIP) Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Отображается только значок ожидающего сообщения. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Мобильность Функциональная клавиша не вызывает никаких действий. Конфиденциальность Функциональная клавиша не выполняет никаких действий. Обратный вызов Программная клавиша обратного вызова не отображается.Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Руководство пользователя IP-телефонов Cisco 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Параметры линии могут включать переадресацию вызовов, визуальную и звуковую индикаторы ожидающего сообщения, индикаторы голосового сообщения, шаблоны звонков и другие параметры линии. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Могу ли я использовать вторую линию на моем телефоне Cisco IP 7821 в качестве функциональной кнопки? да.Если вам не нужны две телефонные линии, ваш системный администратор может настроить функцию на вашей второй линии. Возможная причина Организатор конференции еще не присоединился к конференции. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Это применимо только к телефону Cisco IP 7821. Причина Прошивка вашего телефона обнаружила внутреннюю ошибку. Решение Если сообщение не исчезнет, ​​обратитесь к системному администратору. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Если ваш порт Ethernet оснащен функцией Power over Ethernet (PoE), ваш IP-телефон Cisco может получать питание через порт LAN. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Официальное заявление о гарантии, включая гарантии и лицензионные соглашения, применимые к программному обеспечению Cisco, доступно на сайте Cisco.com по следующему URL-адресу: Cisco IP Phone 7821, 7841 и 7861 Руководство пользователя Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP).

0 (SIP) Значок Индикатор Линия используется.Линия неактивна. Линия звонит. (Только для перехвата вызова.) Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Мобильность расширений Cisco Мобильность расширений Cisco позволяет временно настроить IP-телефон Cisco как собственный. После входа в Cisco Extension Mobility на телефоне отображается сообщение «Сброс», а затем «Регистрация». Сброс позволяет телефону принять ваш профиль пользователя, включая ваши телефонные линии, функции, установленные службы и веб-настройки.При использовании Cisco Mobile Connect вы должны добавить свой мобильный и другие телефоны, которые вы хотите использовать для совершения и приема вызовов, используя те же номера каталога, что и ваш настольный телефон. Эти телефоны называются удаленными пунктами назначения. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Процедура Шаг 1 Нажмите Hunt Group, чтобы войти в систему. На короткое время отобразится визуальное подтверждение. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) После входа в EM на телефоне отображается сообщение «Сброс, пожалуйста, подождите, а затем — Регистрация».Сброс позволяет телефону принять ваш профиль пользователя, включая ваши телефонные линии, функции, установленные службы и веб-настройки. Шаг 7 Выберите службу EM (название может отличаться). Шаг 8 Когда будет предложено выйти, нажмите Да. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) Приветствие агента Приветствие агента позволяет создавать и обновлять предварительно записанное приветствие, которое воспроизводится в начале вызова, например, при вызове клиента, перед вами. начать разговор с вызывающим абонентом.Если общий статус вызова изменяется во время разговора, защищенный телефон издает соответствующий сигнал. Руководство пользователя телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco Unified Communications Manager 10.0 (SIP) IP-телефоны Cisco 7821, 7841 и 7861 Руководство пользователя Cisco Unified Communications Manager 10.

Идеально подходит для случайных сообщений Он сочетает в себе привлекательный новый эргономичный дизайн с надежностью «всегда на связи» и безопасным шифрованием связи.Он поддерживается как локально, так и размещается в Cisco, а также на сторонних платформах управления вызовами. 7841 — идеальная конечная точка для умеренно активных потребностей в голосовой связи рабочих, административного персонала и менеджеров. 7841 имеет возможность подключения к Gigabit Ethernet. Высококачественный полнодуплексный широкополосный звук и превосходное подавление эха для исключительной четкости при общении. Cisco EnergyWise снижает затраты на электроэнергию и сокращает выбросы углекислого газа в нерабочее время. Обеспечивает сквозную передачу Gigabit Ethernet.Конечным результатом является телефон для конференц-зала, который предлагает превосходное качество передачи голоса, упрощенную проводку и снижение административных затрат. Эта новая полнофункциональная конференц-станция с функцией громкой связи предназначена для использования на настольных компьютерах, в конференц-залах и в представительских люксах. Cisco Unified IP Conference Station 8831 предлагает множество новых функций, в том числе превосходную широкополосную акустику, расширенное покрытие комнаты до 30 на 40 футов с дополнительным комплектом внешнего микрофона и новый большой жидкокристаллический дисплей с подсветкой.7975G имеет возможность подключения к Gigabit Ethernet. 7821 и 7841 сопоставимы. Он оснащен графическим монохромным дисплеем с разрешением 128×32 пикселей с кнопкой двусторонней навигации и полнодуплексным громкоговорителем для гибкости при общении в режиме громкой связи. Есть фиксированные клавиши для общих функций телефонии: удержание, повторный набор, перевод и отключение звука. Он также имеет складную однопозиционную подставку для дисплея для упрощения установки на стене. Доступны полнотекстовые загружаемые руководства пользователя. Запросы в службу поддержки также можно отправлять онлайн в справке.pace.edu (требуется имя пользователя и пароль MyPace Portal). Просматривайте последние данные о COVID-19 во всех трех кампусах Pace. Ознакомьтесь с последними данными о COVID-19 по всем трем кампусам Пейса.

Присоединяйтесь к нам 14 сентября на мероприятии Pace Celebrates, где мы наградим выдающихся лидеров, которые стремятся жить в центре Нью-Йорка, наградой Changemaker Award. Присоединяйтесь к нам 14 сентября на мероприятии Pace Celebrates, где мы наградим выдающихся лидеров, приверженных деловой жизни центра Нью-Йорка, наградой Changemaker Award.Думаю о переводе. Это лишь некоторые из причин, по которым вам следует сделать следующую остановку в Pace University. Думаю о переводе. Это лишь некоторые из причин, по которым вам следует сделать следующую остановку в Pace University. Получите решение о приеме уже 1 декабря, применив раннее решение или заблаговременно приняв меры. Узнайте о различиях между двумя вариантами приложений и выберите, какой из них вам подходит. Получите решение о приеме уже 1 декабря, применив раннее решение или заблаговременно приняв меры.Узнайте о различиях между двумя вариантами приложений и выберите, какой из них вам подходит. Выбирайте из традиционных MBA, Executive MBA, ускоренных программ и многого другого в самых передовых областях. Выбирайте из традиционных MBA, Executive MBA, ускоренных программ и многого другого в самых передовых областях. Программа магистра финансов для профессионалов (MFP) Pace предоставляет работающим финансовым профессионалам программу для повышения их квалификации. Программа магистра финансов для профессионалов (MFP) Pace предоставляет работающим финансовым профессионалам программу для повышения их квалификации.Запросите дополнительную информацию сегодня! Запросите дополнительную информацию сегодня! Студенты Pace рассказывают, как стажировки в таких местах, как NBC, Morgan Stanley, Nickelodeon, Kate Spade, Secret Service и The Late Show со Стивеном Колбертом, настраивают их на карьерный успех. Студенты Pace рассказывают, как стажировки в таких местах, как NBC, Morgan Stanley, Nickelodeon, Kate Spade, Secret Service и The Late Show со Стивеном Колбертом, настраивают их на карьерный успех. Недавно обновленный кампус Плезантвилля площадью 200 акров дает студентам лучшее из обоих миров.Совершите виртуальный тур прямо сейчас!

Функция внутренней мобильности позволяет связать номер телефона и профиль пользователя. Телефон Cisco IP 7821, 7841 и. 7861. 1. Набрать. 2. Ответ. 3. Удерживайте. 4. Перенос. 5. Конференция. 6. Отключить звук. 7. Голосовая почта. 8. Перенаправить. 9. Переслать все. 10 История звонков. 25 октября 2013 г. Руководство администратора телефонов Cisco IP 7821, 7841 и 7861 для Cisco. Перезагрузите, чтобы обновить сеанс. Перезагрузите, чтобы обновить сеанс. Хотя разные модели устройств могут иметь одни и те же требования и процедуру установки, модели устройств также могут иметь существенно разные требования и процедуру установки, поэтому незнание вашей собственной модели может привести к невозможности успешно настроить ваше устройство.Подтвердите с помощью OK при запросе на сброс настроек телефона к заводским настройкам. Чтобы проверить статус UAD, щелкните значок редактирования, соответствующий вашему телефону Cisco. Щелкните Добавить расширение. Пример: John Smith. На этот адрес электронной почты будут приходить все системные уведомления. значение расширения можно изменить. Пример: 1003.Пример: 1003.Пароль создается автоматически для каждого вновь созданного расширения. Если все сделано, как описано выше, вы должны успешно зарегистрировать свое устройство в PBXware. Чтобы проверить статус UAD, щелкните значок редактирования, соответствующий вашему телефону Cisco.Щелкните Добавить расширение. Пример: John Smith. На этот адрес электронной почты будут приходить все системные уведомления. Пример: 0002FDFF1536. MAC-адрес можно найти на задней панели телефона. Для получения дополнительной информации см. Документацию к маршрутизатору или обратитесь к сетевому администратору. DHCP-сервер проинструктирует устройство, откуда следует получить соответствующий файл конфигурации. Если все сделано, как описано выше, вы должны успешно зарегистрировать свое устройство в PBXware. Телефон может перезагрузиться. Если все сделано, как описано выше, вы должны успешно зарегистрировать свое устройство в PBXware.ПРИМЕЧАНИЕ. Для работы HTTP необходимо правильно настроить PBXware. Обратитесь к администратору PBXware.

Bicom Systems может предоставить вам услугу по настройке. Телефон может перезагрузиться. Если все сделано, как описано выше, вы должны успешно зарегистрировать свой телефон в PBXware. Посмотрите этот видео-плейлист. Загрузите руководство по меню голосовой почты. Эти клавиши линии загораются (поле индикатора занятости), указывая на то, что кто-то занят или доступен. EHS должен быть включен) Следуйте инструкциям в Центре обслуживания клиентов (требуются вход в систему и разрешения) или обратитесь в службу поддержки, если вам нужна дополнительная помощь.Мы настоятельно рекомендуем вам попробовать наши статьи поддержки и руководства, прежде чем звонить. Мы настоятельно рекомендуем вам попробовать наши статьи поддержки и руководства, прежде чем звонить. Проконсультируйтесь в своем отделе, если вы не знаете, кто ваш координатор. Координатор должен отправить полную информацию об изменениях, используя соответствующую форму запроса по телефону. Если по какой-либо причине телефон необходимо переместить или отключить от сети, позвоните в телефонную службу по телефону 474-8400. Телефон: 204-474-8600. Телефоны могут не определять правильный код Поскольку Kerio Operator использует SIP для связи, в этом случае администрация телефона заблокирована (мы нашли решение).Дальнейшие действия аналогичны Cisco SPA 525. Экономичный 7821 предлагает простой в использовании интерфейс со специальными фиксированными клавишами, которые позволяют пользователям легко перемещаться по экосистеме телефона. Cisco 7821 также имеет широкополосный звук, который улучшает четкость разговора. Cisco 7821 — это настольный IP-телефон, идеально подходящий для случайного использования в условиях легкой связи. Cisco 7821 также имеет широкополосный аудиосигнал, который повышает четкость звонков. Финансирование от 8×8 — это недорогой вариант приобретения необходимого оборудования по низкой ежемесячной ставке.Планы оплаты Финансирование от 8×8 — это недорогой вариант приобретения необходимого оборудования по низкой ежемесячной ставке. Планы оплаты. Студенты, желающие пользоваться голосовой почтой, должны заполнить голосовую почту, чтобы получить доступ к новостям, событиям, социальной информации и доступным ресурсам факультета.

Недавно обновленный кампус Плезантвилля площадью 200 акров дает студентам лучшее из обоих миров. Совершите виртуальный тур прямо сейчас. Вы можете загрузить Adobe Reader или просто загрузить IP-телефон Cisco Systems cisco 7821. Руководство пользователя IP-телефона 7841.Войти Сейчас. Сервер связи строк. Версия 3.1 Чтобы использовать этот веб-сайт, вы должны согласиться с нашей Политикой конфиденциальности, включая политику использования файлов cookie. Чтобы войти в свой телефон с помощью Extension Mobility: Найдите телефон Cisco 7841 на временной рабочей станции. Нажмите кнопку ПРИЛОЖЕНИЯ, чтобы получить доступ к настройкам. Используйте кнопку навигации, чтобы выбрать Extension Mobility. Введите NetID, набрав на клавиатуре текст. Введите PIN-код: 123456 (при условии, что вы ранее не меняли этот PIN-код). Этот PIN-код можно сбросить на вашем портале самообслуживания.Примечание. Этот PIN-код не следует путать с PIN-кодом голосовой почты, поскольку они не связаны. Нажмите программную клавишу Отправить (программные клавиши видны в нижней части экрана телефона и меняются в зависимости от состояния телефона). Телефон зарегистрируется в параметрах вашего офисного телефона. Этот телефон будет поддерживать параметры вашего телефона в течение 12 часов. Через 12 часов вы автоматически выйдете из системы. Чтобы выйти из системы Extension Mobility: нажмите кнопку ПРИЛОЖЕНИЯ, чтобы получить доступ к настройкам. Нажмите программную клавишу Да (программные клавиши видны в нижней части экрана телефона и меняются в зависимости от состояния телефона), чтобы выйти.Для получения дополнительной информации см. Видеоролики с инструкциями по Cisco или Руководство пользователя Cisco 7841. Группа: Северо-западный Создан: 2017-10-11 11:02 CDT Обновлено: 2019-02-04 11:59 CDT Сайты: Северо-западный Отзыв: 0 ​​0 Комментарий Нужна помощь. Теплый перевод также подтверждает наличие принимающей стороны. На телефонах с программной клавишей xfer нажмите программную клавишу набора номера после ввода номера телефона или добавочного номера. Начните узнавать, как ваш бизнес может вывести все на новый уровень. Если вы используете блок питания, отключите блок питания. Индикатор на кнопке выбора мигает при нажатии кнопки.

Я биотехнолог по квалификации и сетевой энтузиаст по интересам. У меня появился интерес к нетворкингу, когда я была в компании страстного профессионала в области сетевых технологий, моего мужа. Cisco зарегистрирует телефон Cisco с VoIP-АТС Yeastar S-Series Эта статья основана на Cisco SPA509G и VoIP-АТС Yeastar S-Series v30.8.0.14. Руководство по установке Руководство по установке для VoIP-АТС Yeastar серии S. Руководство по началу работы Краткое руководство для администратора, который не знаком с Yeastar S-Series. Руководство по безопасности. Предложения и меры безопасности для вашей УАТС.Совместимые конечные точки SIP Руководства по настройке протестированных IP-телефонов, программных телефонов, домофонов, аудиоAkuvox Algo 8180G2 Audio Alert Algo 8201 SIP Intercom Телефон ALCATEL Cisco Зарегистрировать телефон Cisco с VoIP-АТС Yeastar серии S Эта статья основана на Cisco SPA509G и Yeastar серии S. VoIP PBX v30.8.0.14. Обеспечение телефонов Cisco с помощью УАТС Yeastar серии S с поддержкой VoIP В этом руководстве содержатся инструкции по настройке телефонов Cisco с УАТС Yeastar серии S с поддержкой VoIP. Auto Provisioning Приложение Auto Provisioning помогает настроить IP-телефоны, а приложение Yeastar TA VoIPConference Panel Conference Panel позволяет устанавливать многосторонний вызов, отслеживать и управлять конференц-вызовом на веб-страницах.Сервер LDAP Серверное приложение LDAP обеспечивает централизованное управление телефонной книгой. Интеграция QueueMetrics Приложение QueueMetrics Integration предоставляет интерфейс для подключения VoIP-АТС Yeastar серии S и QueueMetrics. Hotel Hotel App обеспечивает управление отелем с помощью VoIP-АТС Yeastar серии S. VPN-сервер С помощью VPN-подключения вы можете настроить несколько VPN-клиентов для безопасного доступа к VoIP-АТС Yeastar серии S. Руководство по интеграции Zoho Приложение Zoho Integration App предназначено для облегчения быстрой интеграции между Справочниками Общие справочные материалы и глоссарием VoIP-АТС Yeastar серии S.Здесь мы нажимаем EXT1 для настройки, здесь выбираем После перезагрузки телефона проверяем, есть ли расширение.

Электронный удаленный ответчик, входящий в этот комплект, позволит вам никогда не беспокоиться о пропущенном звонке или поломке механического подъемника. Отбросьте файл, сделайте копию и проконсультируйтесь с коллегой — и все это, жонглируя звонками, на расстоянии до 350 футов от вашего стола. До 10 часов в режиме разговора означает, что вы можете свободно перемещаться по офису в течение всего дня и никогда не пропустить звонок. Эта гарнитура также будет работать с ПК.Микрофон с шумоподавлением V200 вместе с беспроводной технологией DECT 6.0 обеспечивает кристально чистое общение даже в самом загруженном офисе. А поскольку он работает в диапазоне радиочастот 1,9 ГГц, нет никаких помех от Wi-Fi или других беспроводных сетей. Он невероятно легкий и удобный, доступен в трех стилях ношения (оголовье, заушник и шейный ремешок), чтобы удовлетворить любую ситуацию и предпочтения. Выберите Конфигурация устройства, затем Конфигурация носителя. 3. Если элемент управления переключателем беспроводной гарнитуры показывает «Отключено», обратитесь к администратору телефона, поскольку для этого может потребоваться настройка через сервер TFTP или через приложение администрирования Cisco Unified Communications Manager.Global Teck предлагает 30-дневную гарантию на все комплекты беспроводных гарнитур VXi V200. Набор 100. Рестон, Вирджиния, 20191.

Lösung gebrochener rationaler Gleichungsbeispiele mit Lösungen. Gebrochene обоснование Gleichungen. Algorithmus zum Lösen

Wir haben bereits gelernt, quadratische Gleichungen zu lösen. Nun wollen wir die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen erweitern.

Был ли его рационалист Ausdruck? Dieses Konzept ist uns bereits begegnet. Rationale Ausdrücke Ausdrücke werden aufgerufen, die aus Zahlen, Variablen, ihren Graden und Vorzeichen Mathematischer Operationen bestehen.

Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form :, wobei — rationale Ausdrücke.

Bisher haben wir nur solche rationalen Gleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren. Betrachten wir nun jene rationalen Gleichungen, die sich auch auf quadratische reduzieren lassen.

Beispiel 1

Löse die Gleichung :.

Lösung:

Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 ist und der Nenner nicht 0 ist.

Wir erhalten folgendes Система:

Die erste Gleichung des Systems ist quadratische Gleichung … Bevor wir es lösen, teilen wir all seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:

Wir erhalten zwei Wurzeln :; …

Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:… Da keine der Wurzeln der oben erhaltenen Gleichung mit übereinstimmt akzeptable Werte Variable, die durch Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wird, sind beide Lösungen diese Gleichung.

Антвортен: .

Также формулирует wir einen Algorithmus zum Lösen rationaler Gleichungen:

1. Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, um auf der rechten Seite 0 zu erhalten.

2. Transformiere und vereinfache die linke Seite, givee all Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

3. Результат работы Bruch ist nach folgendem Algorithmus gleich 0:.

4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten werden, und erfüllen Sie die zweite Ungleichung in der Antwort.

Nehmen wir ein anderes Beispiel.

Beispiel 2

Löse die Gleichung :.

Lösung

Ganz am Anfang übertragen wir all Begriffe auf linke Seite damit bleibt rechts 0. Wir erhalten:

Nunedingen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

Diese Gleichung entspricht dem Система:

Die erste Gleichung im System ist eine quadratische Gleichung.

Koeffizienten dieser Gleichung :. Wir berechnen die Diskriminante:

Wir erhalten zwei Wurzeln :; …

Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ист.

Es müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: … Wir erhalten, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine passt — 3.

Антвортен: .

В Dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, был ein rationaler Ausdruck ist, und wir haben auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden.

In der nächsten Lektion werden wir обоснование Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und auch Bewegungsprobleme betrachten.

Referenzliste

  1. Башмаков М. И. Алгебра, Класс 8. — М .: Bildung, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др., Алгебра, 8. 5. Aufl. — М .: Bildung, 2010.
  3. .
  4. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра, Класс 8. Учебник для Bildungsinstitutionen… — М .: Bildung, 2006.
  5. .
  1. Festival der pädagogischen Ideen «Offene Lektion» ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Hausaufgaben

§ 1 Ganze und gebrochene рациональное обоснование Gleichung

In dieser Lektion werden wir Konzepte wie rationale Gleichung, рациональный консультант Ausdruck, ganzer Ausdruck, gebrochener Ausdruck analysieren. Betrachten Sie die Lösung rationaler Gleichungen.

Eine рациональное обоснование Gleichung ist eine Gleichung, bei der die linke und rechte Seite rationale Ausdrücke sind.

Rationale Ausdrücke sind:

Bruchteil.

Ein ganzzahliger Ausdruck besteht aus Zahlen, Variablen, ganzzahligen Potenzen unter Verwendung der Aktionen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch eine andere Zahl als Null.

Zum Beispiel:

Bei gebrochenen Ausdrücken gibt es eine Division durch eine Variable или einen Ausdruck mit einer Variablen. Zum Beispiel:

Ein Bruchausdruck macht nicht für alle Werte der darin enthaltenen Variablen Sinn.Zum Beispiel der Ausdruck

bei x = -9 macht es keinen Sinn, da bei x = -9 der Nenner verschwindet.

Dies bedeutet, dass eine rationale Gleichung ganz und gebrochen sein kann.

Eine ganze разумное обоснование Gleichung ist eine разумное обоснование Gleichung, bei der die linke und rechte Seite ganze Ausdrücke sind.

Zum Beispiel:

Eine gebrochene рациональное обоснование Gleichung ist eine обоснование Gleichung, bei der entweder die linke Seite oder die rechte Seite gebrochene Ausdrücke sind.

Zum Beispiel:

§ 2 Обоснование Lösung des Ganzen Gleichung

Betrachten Sie die Lösung einer ganzen rationalen Gleichung.

Zum Beispiel:

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner der Nenner der darin enthaltenen Brüche.

Дафюр:

1. finde einen gemeinsamen Nenner für die Nenner 2, 3, 6. Er ist gleich 6;

2. Finde für jeden Bruch einen zusätzlichen Faktor.Dividiere dazu den gemeinsamen Nenner 6 durch jeden Nenner

zusätzlicher Multiplikator für Bruch

zusätzlicher Multiplikator für Bruch

3. Multiplizieren Sie die Zähler der Brüche mit den ihnen entsprechenden zusätzlichen Faktoren. Damit erhalten wir die Gleichung

was der gegebenen Gleichung entspricht

Öffnen Sie die Klammern auf der linken Seite, verschieben Sie die rechte Seite nach links und ändern Sie das Vorzeichen des Begriffs während der Übertragung in die entgegengesetzte Richtung.

Zeigen wir ähnliche Terme des Polynoms und Erhalten

Wir sehen, dass die Gleichung linear ist.

Nachdem wir es gelöst haben, finden wir x = 0,5.

§ 3 Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung

Betrachten Sie die Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung.

Zum Beispiel:

1. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner der Nenner der darin enthaltenen rationalen Brüche multiplizieren.

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner für die Nenner x + 7 und x — 1.

Es ist gleich ihrem Produkt (x + 7) (x — 1).

2. Finden Sie für jeden rationalen Bruch einen zusätzlichen Faktor.

Dazu wird der gemeinsame Nenner (x + 7) (x — 1) durch jeden Nenner dividiert. Zusätzlicher Multiplikator für Bruch

ist gleich x — 1,

zusätzlicher Multiplikator für Bruch

ist gleich x + 7.

3. Lassen Sie uns die Zähler der Brüche mit den ihnen entsprechenden zusätzlichen Faktoren multiplizieren.

Wir erhalten die Gleichung (2x — 1) (x — 1) = (3x + 4) (x + 7), dieser Gleichung äquivalent ist

4. Links und rechts multiplizieren wir das Binomial mit dem Binomial und erhalten die folgende Gleichung

5. Verschieben Sie die rechte Seite nach links und ändern Sie das Vorzeichen jedes Begriffs, wenn Sie auf das Gegenteil übertragen:

6.Geben wir ähnliche Terme des Polynoms an:

7. Sie können beide Teile durch -1 teilen.Wir erhalten eine quadratische Gleichung:

8 Nachdem du es gelöst hast, finde die Wurzeln

Da in der Gleichung

die linke und rechte Seite sind Bruchausdrücke, und in Bruchausdrücken für einige Werte der Variablen kann der Nenner verschwinden, dann muss überprüft werden, ob der gemeinsame Nenner nicht verschfundenden, x

Bei x = -27 verschwindet der gemeinsame Nenner (x + 7) (x — 1) nicht, bei x = -1 ist auch der gemeinsame Nenner nicht Null.

Daher sind sowohl die Wurzeln -27 als auch -1 die Wurzeln der Gleichung.

Beim Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung ist es besser, sofort den Bereich der zulässigen Werte anzugeben. Eliminieren Sie die Werte, bei denen der gemeinsame Nenner verschwindet.

Betrachten Sie ein weiteres Beispiel für das Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung.

Lösen wir zum Beispiel die Gleichung

Der Nenner des Bruches auf der rechten Seite der Gleichung wird faktorisiert

Wir erhalten die Gleichung

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner für die Nenner (x — 5), x, x (x — 5).

Es wird der Ausdruck x (x — 5) sein.

jetzt finden wir den Bereich der zulässigen Werte der Gleichung

Dazu setzen wir den gemeinsamen Nenner gleich Нуль x (x — 5) = 0.

Wir erhalten eine Gleichung, die löst, die wir finden, dass bei x = 0 or bei x = 5 der gemeinsame Nenner verschwindet.

Daher können x = 0 или x = 5 nicht die Wurzeln unserer Gleichung sein.

Jetzt können weitere Faktoren gefunden werden.

Ein zusätzlicher Faktor für den rationalen Bruch

zusätzlicher Faktor für den Bruch

вирд (x — 5),

und der zusätzliche Faktor des Bruches

Wir multiplizieren die Zähler mit den entsprechenden zusätzlichen Faktoren.

Wir erhalten die Gleichung x (x — 3) + 1 (x — 5) = 1 (x + 5).

Öffnen wir die Klammern links und rechts, x2 — 3x + x — 5 = x + 5.

Wir übertragen die Begriffe von rechts nach links und ändern das Vorzeichen der übertragenen Begriffe:

Х2 — 3х + х — 5 — х — 5 = 0

Und nachdem wir ähnliche Terme gebracht haben, erhalten wir die quadratische Gleichung x2 — 3x — 10 = 0. Nachdem wir sie gelöst haben, finden wir die Wurzeln x1 = -2; х2 = 5.

Wir haben aber schon herausgefunden, dass für x = 5 der gemeinsame Nenner x (x — 5) verschwindet. Daher ist die Wurzel unserer Gleichung

вирд x = -2 сейна.

§ 4 Kurze Zusammenfassung Lektion

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern:

Beim Lösen gebrochener rationaler Gleichungen müssen Sie wie folgt vorgehen:

1. Finden Sie den gemeinsamen Nenner der in der Gleichung enthaltenen Brüche. Wenn die Nenner von Brüchen faktorisiert werden können, dann faktorisiere sie und finde dann einen gemeinsamen Nenner.

2. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner: Finden Sie zusätzliche Faktoren, multiplizieren Sie die Zähler mit zusätzlichen Faktoren.

3. Lösen Sie die resultierende ganze Gleichung.

4. Aus seinen Wurzeln diejenigen ausschließen, die den gemeinsamen Nenner Null machen.

Liste der verwendeten Literatur:

  1. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. / Herausgegeben von S.А. Теляковский. Алгебра: Lehrbuch. для 8cl. Allgemeinbildung. Institutionen. — М .: Bildung, 2013.
  2. .
  3. Мордкович А.Г. Алгебра. Kl. 8: In zwei Teilen. Часть 1: Lehrbuch. für die Allgemeinbildung. Institutionen. — М .: Мнемозина.
  4. Рурукин А. Н. Унтеррихцентвиклунг в алгебре: Класс 8 — М .: ВАКО, 2010.
  5. Класс алгебры 8: Unterrichtspläne für das Lehrbuch Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова / Автор-комп. Афанасьева Т.А. Тапилин. -Волгоград: Лерер, 2005.

Wir setzen das Gespräch über. fort Gleichungen lösen … In diesem Artikel werden wir näher darauf eingehen обоснование Gleichungen und die Prinzipien der Lösung rationaler Gleichungen in einer Variablen. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, welche Art von Gleichungen alsrational bezeichnet werden, geben wir die Definition ganzer rationaler und gebrochener rationaler Gleichungen und geben wir Beispiele. Darüber hinaus erhalten wir Algorithmen zum Lösen rationaler Gleichungen und betrachten natürlich die Lösungen typischer Beispiele mit allen notwendigen Erklärungen.

Сейтенавигация.

Basierend auf den geäußerten Definitionen werden wir einige Beispiele für rationale Gleichungen geben. Zum Beispiel sind x = 1, 2 x — 12 x 2 y z 3 = 0 alles рациональное объяснение Gleichungen.

Aus den gezeigten Beispielen ist ersichtlich, dass rationale Gleichungen, wie auch Gleichungen anderer Art, entweder mit einer Variablen oder mit zwei, drei usw. Переменная. In den nächsten Abschnitten werden wir über das Lösen rationaler Gleichungen in einer Variablen sprechen. Gleichungen in zwei Variablen lösen und ihnen eine große Anzahl verdienen besondere Aufmerksamkeit.

Neben der Division rationaler Gleichungen durch die Anzahl der unbekannten Variablen werden sie auch in ganze und gebrochene Gleichungen unterteilt. Geben wir die entsprechenden Definitionen an.

Определение.

Die рациональное объяснение Gleichung heißt ganz wenn sowohl der linke als auch der rechte Teil davon ganze обоснование Ausdrücke sind.

Определение.

Венн mindestens einer der Teile einer rationalen Gleichung ein gebrochener Ausdruck ist, dann heißt eine solche Gleichung gebrochen рациональный (oder gebrochen рациональный).

Es ist klar, dass ganze Gleichungen keine Division durch eine Variable enthalten, im Gegenteil, gebrochene rarationale Gleichungen enthalten notwendigerweise eine Division durch eine Variable (oder eine Variable im Nenner). Также 3 x + 2 = 0 und (x + y) (3 x 2 −1) + x = −y + 0,5 Sind ganze обоснование Gleichungen, beide Teile sind ganze Ausdrücke.A und x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x — 1): 5 sind Beispiele für gebrochene rationale Gleichungen.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Abschnitts darauf achten, dass die bisher bekannten linearen Gleichungen und quadratischen Gleichungen ganze обоснование Gleichungen sind.

Ganze Gleichungen lösen

Einer der Hauptansätze zum Lösen ganzer Gleichungen besteht darin, sie auf Äquivalente zu reduzieren algebraische Gleichungen … Dies kann immer immerdurch 9 Ausfenden rechten Seite der ursprünglichen Gesamtgleichung auf die linke Seite übertragen mit entgegengesetztem Vorzeichen um Null auf der rechten Seite zu bekommen;

  • danach auf der linken Seite der Gleichung das resultierende Standard Ansicht.
  • Das Ergebnis ist algebraische Gleichung, was der ursprünglichen Gesamtgleichung entspricht. Im einfachsten Fall reduziert sich также die Lösung ganzer Gleichungen auf die Lösung linearer oder quadratischer Gleichungen, und in Allgemeiner Fall- zur Lösung einer algebraischen Gleichung vom Grad n. Zur Verdeutlichung analysieren wir die Beispiellösung.

    Beispiel.

    Finde die Wurzeln der ganzen Gleichung 3 (x + 1) (x — 3) = x (2 x — 1) −3.

    Lösung.

    Reduzieren wir die Lösung dieser ganzen Gleichung auf die Lösung einer ihr äquivalenten algebraischen Gleichung. Dazu übertragen wir zunächst den Ausdruck von rechts nach links, als Ergebnis erhalten wir die Gleichung 3 (x + 1) (x — 3) −x (2 x — 1) + 3 = 0 … Und zweitens wandeln wir den auf der linken Seite gebildeten Ausdruck in ein Polynom der Standardform um, indem wir das Notwendige ausführen: 3 (x + 1) (x — 3) −x (2 x — 1) + 3 = (3 x + 3) (x — 3) −2 x 2 + x + 3 = 3 x 2 −9 x + 3 x — 9−2 x 2 + x + 3 = x 2 −5 x — 6… Somit reduziert sich das Lösen der ursprünglichen Gesamtgleichung auf das Lösen der quadratischen Gleichung x 2 −5 · x — 6 = 0.

    Wir berechnen seine Diskriminante D = (- 5) 2 −4 1 (−6) = 25 + 24 = 49, ist sie positiv, was bedeutet, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat, die wir durch die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden:

    Für volles Vertrauen werden wir durchführen Überprüfen der gefundenen Wurzeln der Gleichung … Zuerst überprüfen wir die Wurzel 6 und ersetzen sie durch die Переменная x in der ursprünglichen ganzzahligen Gleichung: 3 (6 + 1) (6−3) = 6 (2 6−1) −3, was gleich ist, 63 = 63. Dies ist eine gültige numerische Gleichheit, также ist x = 6 tatsächlich die Wurzel der Gleichung. Nun überprüfen wir die Wurzel −1, wir haben 3 (−1 + 1) (−1−3) = (- 1) (2 (−1) −1) −3, daher 0 = 0. Für x = −1 wurde auch die ursprüngliche Gleichung zu einer echten numerischen Gleichheit, daher ist x = −1 auch die Wurzel der Gleichung.

    Антвортен:

    6 , −1 .

    Anzumerken ist hier auch, dass der Begriff «Grad der Gesamtgleichung» mit der Darstellung der Gesamtgleichung в форме einer algebraischen Gleichung verbunden ist. Geben wir eine passende Определение:

    Определение.

    Der Grad der ganzen Gleichung ist der Grad der äquivalenten algebraischen Gleichung.

    Nach dieser Определение ist die gesamte Gleichung aus dem vorherigen Beispiel zweiten Grades.

    Damit könnte man mit der Lösung ganzer rationaler Gleichungen abschließen, wenn nicht eine einzige, aber…. Wie Sie wissen, ist die Lösung von algebraischen Gleichungen mit einem höheren Grad als der zweiten mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden, und für Gleichungen mit einem höheren Grad als der vierten existiert überhau. allgemeine Formeln Wurzeln. Um daher ganze Gleichungen der dritten, vierten und mehr zu lösen hohe Grade oft muss man auf andere Lösungswege zurückgreifen.

    In solchen Fällen ist ein Ansatz zur Lösung ganzer rationaler Gleichungen basierend auf Faktorisierungsmethode … In diesem Fall wird der folgende Algorithmus eingehalten:

    • erstens sorgen dassrünsie dafürung Ausdruck von der rechten Seite der ganzen Gleichung nach links übertragen;
    • dann wird der resultierende Ausdruck auf der linken Seite als Produkt mehrerer Faktoren dargestellt, wodurch Sie zu mehreren einfacheren Gleichungen gelangen können.

    Der angegebene Algorithmus zur Lösung der Gesamtgleichung durch Faktorisierung bedarf einer ausführlichen Erläuterung anhand eines Beispiels.

    Beispiel.

    Löse die ganze Gleichung (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) = 2 x (x 2 -10 x + 13).

    Lösung.

    Zuerst übertragen wir wie üblich den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite der Gleichung und vergessen dabei nicht das Vorzeichen zu ändern, wir erhalten (x 2 — 1) (x 2 — 10 x + 13) — 2 x (x 2 — 10 x + 13) — 2 x (x 2 — 10 x + 13) -10 х + 13) = 0.Es ist hier ganz offensichtlich, dass es nicht ratsam ist, die linke Seite der resultierenden Gleichung in ein Polynom der Standardform umzuwandeln, da dies eine algebraische Gleichung vierten Grades der Form ergibt x 4 −12 − x 3 + 32 = 0, deren Lösung schwierig ist.

    Andererseits ist es offensichtlich, dass auf der linken Seite der resultierenden Gleichung x 2 −10 · x + 13 stehen kann, также как Produkt dargestellt wird. Wir haben (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x — 1) = 0… Die Resultierende Gleichung ist äquivalent zur ursprünglichen Gesamtgleichung und kann ihrerseits durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 −10 x + 13 = 0 und x 2 −2 x — 1 = 0 ersetzt werden. Ihre Wurzeln nach den bekannten Wurzelformeln durch die Diskriminante zu finden ist nicht schwer, die Wurzeln sind gleich. Sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

    Антвортен:

    Умное обоснование Gleichungen zu lösen, ist es auch nützlich neue variable Injektionsmethode … In einigen Fällen können Sie zu Gleichungen wechseln, deren Grad niedriger ist als der Grad der ursprünglichen Gesamtgleichung.

    Beispiel.

    Finden Sie die reellen Wurzeln der rationalen Gleichung (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = −2 (x 2 + 3 x — 4).

    Lösung.

    Diese ganze рациональное объяснение Gleichung auf eine algebraische Gleichung zu reduzieren, ist gelinde gesagt keine sehr gute Idee, da wir in diesem Fall zu der Notwendigkeit kommen werden, eine Gleichung vierten Gradeszöne rationale Wurten.Daher müssen Sie nach einer anderen Lösung suchen.

    Es ist hier leicht zu bemerken, dass Sie eine neue Variable y einführen und den Ausdruck x 2 + 3 · x durch sie ersetzen können. Diese Ersetzung führt uns zur ganzen Gleichung (y + 1) 2 + 10 = −2 Gleichung y 2 + 4 y + 3 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung y = −1 und y = −3 sind leicht zu finden, zum Beispiel können sie nach dem Satz umgekehrt zum Satz von Vieta ausgewählt werden.

    Nun wenden wir uns dem zweiten Teil der Methode zur Einführung einer neuen Variablen zu, также der umgekehrten Ersetzung.Durch die umgekehrte Änderung erhalten wir zwei Gleichungen x 2 + 3 x = −1 und x 2 + 3 x = −3, die umgeschrieben werden können als x 2 + 3 x + 1 = 0 und x 2 + 3 x + 3 = 0 .Mit der Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir die Wurzeln der ersten Gleichung. Und die zweite quadratische Gleichung hat keine reellen Wurzeln, da ihre Diskriminante negativist (D = 3 2 −4 · 3 = 9−12 = −3).

    Антвортен:

    Im Allgemeinen sollten wir, wenn wir uns mit ganzen Gleichungen hohen Grades beschäftigen, immer bereit sein, zu suchen Nicht-Standard-Methode или ein künstlicher Trick, um sie zu lösen.

    Lösen von fraktionell rationalen Gleichungen

    Zuerst wird es nützlich sein, herauszufinden, wie man fraktionelle rationale Gleichungen der Form löst, wobei p (x) und q (x) ganze rationale Ausdrücke sind. Und dann zeigen wir, wie man die Lösung der verbleibenden fraktionell rationalen Gleichungen auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form reduziert.

    Einer der Ansätze zur Lösung der Gleichung basiert auf der folgenden Aussage: Der numerische Bruch u / v, wobei v eine Zahl ungleich Null ist (sonst stoßen wir auf eine nicht Definierte Zahl), ist genau Nullnich zahl. ist, dann ist es genau dann, wenn u = 0 ist.Aufgrund dieser Aussage reduziert sich die Lösung der Gleichung auf die Erfüllung zweier Bedingungen p (x) = 0 und q (x) ≠ 0.

    Diese Schlussfolgerung entspricht folgendem ein Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung … Um eine gebrochene rationale Gleichung der Form zu lösen, benötigen Sie

    • löseale x
    • und prüfe, ob die Bedingung q (x) 0 für jede gefundene Wurzel erfüllt ist, und
      • Falls Erfüllt, dann ist diese Wurzel die Wurzel der ursprünglichen Gleichung;
      • wenn nicht, dann ist diese Wurzel fremd, das heißt, sie ist nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

    Sehen wir uns ein Beispiel für die Verwendung des klanglichen Algorithmus beim Lösen einer rationalen Bruchgleichung an.

    Beispiel.

    Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

    Lösung.

    Dies ist eine gebrochen обоснование Gleichung der Form mit p (x) = 3 x — 2, q (x) = 5 x 2 −2 = 0.

    Nach dem Algorithmus zur Lösung fraktionell rationaler Gleichungen dieser Art müssen wir zunächst die Gleichung 3 x — 2 = 0 lösen.Dies ist eine lineare Gleichung, deren Wurzel x = 2/3 ist.

    Es bleibt noch zu prüfen, ob diese Wurzel die Bedingung 5 · x 2 −2 ≠ 0 erfüllt. Ersetzen Sie im Ausdruck 5 · x 2 −2 anstelle von x die Zahl 2/3, wir erhalten. Die Bedingung ist erfüllt, daher ist x = 2/3 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

    Антвортен:

    2/3 .

    Die Lösung einer gebrochenen rationalen Gleichung kann von einer etwas anderen Position aus angegangen werden. Diese Gleichung entspricht der gesamten Gleichung p (x) = 0 auf der Variablen x der ursprünglichen Gleichung.Das heißt, du kannst dich daran halten Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung :

    • löse die Gleichung p (x) = 0;
    • finde die ODZ der Variablen x;
    • ziehen Sie die Wurzeln, die zum Bereich der zulässigen Werte gehören — sie sind die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen rationalen Bruchgleichung.

    Lassen Sie uns zum Beispiel eine gebrochene рациональное обоснование Gleichung mit diesem Algorithmus lösen.

    Beispiel.

    Löse die Gleichung.

    Lösung.

    Lösen Sie zunächst die quadratische Gleichung x 2 −2 x — 11 = 0. Seine Wurzeln können mit der Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten berechnet werden, wir haben D 1 = (-1) 2 −1 (−11) = 12, унд.

    Zweitens finden wir den ODV der Variablen x für die ursprüngliche Gleichung. Sie besteht aus allen Zahlen, für die x 2 + 3 x ≠ 0 ist, был gleich x (x + 3) ≠ 0 ist, daher x ≠ 0, x −3.

    Es bleibt zu prüfen, ob die im ersten Schritt gefundenen Wurzeln in der ODZ enthalten sind.Natürlich ja. Daher hat die ursprüngliche fraktionelle рациональное объяснение Gleichung zwei Wurzeln.

    Антвортен:

    Beachten Sie, dass dieser Ansatz vorteilhafter ist als der erste, wenn das GDV leicht zu finden ist, und insbesondere dann von Vorteil ist, wenn in diesem Fall die Wurzeln der Gleichung p (x) = 0 irispielder mitsenseind einem ziemlich großen Zähler und / oder Nenner, zum Beispiel 127/1101 und -31/59. Dies liegt daran, dass in solchen Fällen die Überprüfung der Bedingung q (x) 0 einen erheblichen Rechenaufwand erfordert und es einfacher ist, Fremdwurzeln aus der ODZ auszuschließen.

    In anderen Fällen, wenn die Gleichung gelöst wird, insbesondere wenn die Wurzeln der Gleichung p (x) = 0 ganzzahlig sind, ist es vorteilhafter, den ersten der vorgestellten Algorithmen zu verwenden. Das heißt, es ist ratsam, sofort die Wurzeln der gesamten Gleichung p (x) = 0 zu finden, dann zu prüfen, ob die Bedingung q (x) ≠ 0 für sie erfüllt ist, anstatt den ODV zu finden, und dann die Gleich п . zu lösen (x) = 0 auf diesem ODV … Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen meist einfacher ist, eine Prüfung vorzunehmen, als eine ODU zu finden.

    Betrachten wir die Lösung von zwei Beispielen, um die angegebenen Nuancen zu veranschaulichen.

    Beispiel.

    Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

    Lösung.

    Zuerst finden wir die Wurzeln der ganzen Gleichung (2 x — 1) (x — 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) = 0, zusammengesetzt aus dem Zähler des Bruchs. Die linke Seite dieser Gleichung ist das Produkt und die rechte Seite ist null, daher entspricht diese Gleichung gemäß der Methode zum Lösen von Gleichungen durch Faktorisierung einem Satz von vier Gleichungen 2 x — 1 = 0, x − 6 = 0, х + 14 = 0, х + 1 = 0.Drei dieser Gleichungen sind linear und eine quadratisch, wir können sie lösen. Aus der ersten Gleichung finden wir x = 1/2, aus der zweiten — x = 6, aus der dritten — x = 7, x = −2, aus der vierten — x = −1.

    Mit den gefundenen Nullstellen lässt sich ganz leicht überprüfen, ob der Nenner des Bruches auf der linken Seite der Ausgangsgleichung mit ihnen verschwindet, im Gegenteil, die ODV ist nicht so einfach die zu bestimmen.Daher verzichten wir auf die Suche nach der ODZ, um die Wurzeln zu überprüfen. Setzen Sie sie dazu wiederum anstelle der Variablen x in den Ausdruck ein x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112 nach Замена erhalten und mit Null verglichen: (1/2) 5 −15 (1 / 2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 = 1 / 32−15 / 16 + 57 / 8−13 / 4 + 13 + 112 = 122 + 1/32 ≠ 0 ;
    6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
    7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;
    (−2) 5 −15 (−2) 4 + 57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 = –720 ≠ 0;
    (−1) 5 −15 (−1) 4 + 57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26 (−1) + 112 = 0.

    Somit sind 1/2, 6 und -2 die gewünschten Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung, und 7 und -1 sind Fremdwurzeln.

    Антвортен:

    1/2 , 6 , −2 .

    Beispiel.

    Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung.

    Lösung.

    Zuerst finden wir die Wurzeln der Gleichung (5 x 2 −7 x — 1) (x — 2) = 0 … Diese Gleichung entspricht einer Kombination zweier Gleichungen: der quadratischen 5 x 2 −7 x — 1 = 0 und der linearen x — 2 = 0.Mit der Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden wir zwei Wurzeln, und aus der zweiten Gleichung erhalten wir x = 2.

    Zu prüfen, ob der Nenner bei den gefundenen Werten von x nicht verschwindet, ist eher unangenehm. Und es ist ganz einfach, den Bereich der zulässigen Werte der Variablen x in der ursprünglichen Gleichung zu bestimmen. Daher werden wir über die ODZ agieren.

    In unserem Fall besteht die ODZ der Variablen x der ursprünglichen fraktionalen рациональный Gleichung aus allen Zahlen, außer denen, für die Bedingung x 2 + 5 x — 14 = 0 erfüllt ist.Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind x = −7 und x = 2, woraus wir auf die ODZ schließen: sie setzt sich aus allen x so zusammen, dass.

    Es bleibt zu prüfen, ob die gefundenen Wurzeln und x = 2 zum zulässigen Wertebereich gehören. Die Wurzeln — gehören daher, sie sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x = 2 — gehört nicht dazu, daher ist dies eine Fremdwurzel.

    Антвортен:

    Es wird auch nützlich sein, gesondert auf die Fälle einzugehen, in denen es in einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form im Zähler eine Zahl gibt, dh wenn p (x) durch eine Zahl dargestellt wird.Dabei

    • wenn diese Zahl von Null verschieden ist, hat die Gleichung keine Wurzeln, da der Bruch genau dann Null ist, wenn sein Zähler Null ist;
    • wenn diese Zahl null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine Belibige Zahl aus der ODZ.

    Beispiel.

    Lösung.

    Da der Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null ist, kann der Wert dieses Bruchs an keinem x gleich Null sein. Daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

    Антвортен:

    Кайне Вурцельн.

    Beispiel.

    Löse die Gleichung.

    Lösung.

    Der Zähler des Bruchs links von dieser rationalen Bruchgleichung enthält Null, daher ist der Wert dieses Bruchs für jedes x, für das er Sinn macht, Null. Mit anderen Worten, die Lösung dieser Gleichung ist ein trustbiger Wert von x aus dem ODV dieser Variablen.

    Es bleibt noch, diesen Bereich der zulässigen Werte zu bestimmen. Es enthält all solche Werte von x, für die x 4 + 5 · x 3 ≠ 0 ist.Die Lösungen der Gleichung x 4 + 5 x 3 = 0 sind 0 und −5, da diese Gleichung äquivalent zur Gleichung x 3 (x + 5) = 0 ist, und sie wiederum äquivalent zur Kombination zweier Gleichungen x 3 = 0 und x + 5 = 0, daher sind diese Wurzeln sichtbar. Daher ist der gesuchte Bereich zulässiger Werte ein trustbiges x, außer x = 0 и x = -5.

    Somit hat eine gebrochene rationale Gleichung unendlich viele Lösungen, die alle Zahlen außer null und minus fünf sind.

    Антвортен:

    Schließlich ist es an der Zeit, über das Lösen strictbiger rationaler Bruchgleichungen zu sprechen.Sie können als r (x) = s (x) geschrieben werden, wobei r (x) und s (x) обоснование Ausdrücke sind und mindestens einer von ihnen ein Bruch ist. Lassen Sie uns vorausschauend sagen, dass ihre Lösung auf das Lösen von Gleichungen einer uns bereits vertrauten Form reduziert wird.

    Es ist bekannt, dass die Übertragung eines Termes von einer Seite der Gleichung auf eine andere mit entgegengesetztem Vorzeichen zu einer äquivalenten Gleichung führt, daher ist die Gleichung r (x) = sivleichu (x) är. (х) = 0.

    Wir wissen auch, dass Sie jeden haben können, der diesem Ausdruck identityisch ist. Somit können wir den rationalen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung r (x) — s (x) = 0 immer in einen identityisch gleichen rationalen Bruch der Form umwandeln.

    Wir gehen также von der ursprünglichen fraktionalen rationalen Gleichung r (x) = s (x) zur Gleichung über, und ihre Lösung reduziert sich, wie wir oben festgestellt haben, auf die Lösung der Gleichung p (x) = 0.

    Hier ist jedoch unbedingt zu berücksichtigen, dass beim Ersetzen von r (x) — s (x) = 0 durch und weiter durch p (x) = 0 der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x erweitert werden kann.

    Daher können sich die ursprüngliche Gleichung r (x) = s (x) und die Gleichung p (x) = 0, auf die wir gekommen sind, als ungleich erweisen, und durch Lösen der Gleichung p (x) = 0 können wir Holen Sie sich Wurzeln, die Fremdwurzeln der ursprünglichen Gleichung r (x) = s (x) sind. Es ist möglich, Fremdwurzeln zu identifizieren und nicht in die Antwort einzubeziehen, indem entweder eine Überprüfung durchgeführt wird или überprüft wird, ob sie zur ODZ der ursprünglichen Gleichung gehören.

    Wir fassen diese Informationen zusammen in ein Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung r (x) = s (x) … Um die gebrochene rationale Gleichung r (x) = s (x) zu lösen, brauchst du

  • Holen Sie sich rechts Null, indem Sie den Ausdruck von der rechten Seite mit dem entgegengesetzten Vorzeichen übertragen.
  • Führe Aktionen mit Brüchen und Polynomen auf der linken Seite der Gleichung aus, um sie dadurch in einen rationalen Bruch der Form umzuwandeln.
  • Lösen Sie die Gleichung p (x) = 0.
  • Fremdwurzeln zu identifizieren und auszuschließen, indem man sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt oder überprüft, ob sie zur ODZ der ursprünglichen Gleichung gehören.
  • Zur besseren Übersichtlichkeit zeigen wir die gesamte Kette der Lösung fraktioneller rationaler Gleichungen:
    .

    Schauen wir uns die Lösungen zu einigen Beispielen mit einer detaillierten Erläuterung des Lösungsverlaufs an, um den gegebenen Informationsblock zu verdeutlichen.

    Beispiel.

    Löse die gebrochene rationale Gleichung.

    Lösung.

    Wir werden gemäß dem soeben erhaltenen Lösungsalgorithmus vorgehen. Und zuerst übertragen wir die Terme von der rechten Seite der Gleichung auf die linke, als Ergebnis gehen wir zur Gleichung über.

    Im zweiten Schritt müssen wir den rationalen Bruchausdruck auf der linken Seite der resultierenden Gleichung in die Form eines Bruchs umwandeln. Dazu reduzieren wir die rationalen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfachen den resultierenden Ausdruck :.Damit kommen wir zur Gleichung.

    Im nächsten Schritt müssen wir die Gleichung −2 x — 1 = 0 lösen. Найти x = −1 / 2.

    Es bleibt zu prüfen, ob die gefundene Zahl −1/2 eine Fremdwurzel der ursprünglichen Gleichung ist. Dazu können Sie den ODV der Variablen x der Originalgleichung überprüfen oder ermitteln. Lassen Sie uns beide Ansätze демонстрации.

    Beginnen wir mit der Überprüfung. Setze −1/2 в die ursprüngliche Gleichung für x ein, um dasselbe zu erhalten, −1 = −1.Die Замена ergibt die korrekte numerische Gleichheit, daher ist x = −1 / 2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

    Nun zeigen wir, wie der letzte Punkt des Algorithmus durch die ODZ ausgeführt wird. Der zulässige Wertebereich der ursprünglichen Gleichung ist die Menge Aller Zahlen außer -1 und 0 (für x = -1 und x = 0 verschwinden die Nenner der Brüche). Die im vorherigen Schritt gefundene Wurzel x = −1 / 2 gehört zur GDZ, daher ist x = −1 / 2 die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

    Антвортен:

    -1/2 .

    Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

    Beispiel.

    Finden Sie die Wurzeln der Gleichung.

    Lösung.

    Wir müssen eine fraktionell обоснование Gleichung lösen, gehen wir alle Schritte des Algorithmus durch.

    Zuerst übertragen wir den Term von rechts nach links, wir erhalten.

    Zweitens transformieren wir den Ausdruck auf der linken Seite :. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x = 0.

    Seine Wurzel ist offensichtlich — es ist Null.

    Im vierten Schritt muss noch festgestellt werden, ob die gefundene Wurzel außerhalb der ursprünglichen fraktionell rationalen Gleichung liegt. Венн Сиес в die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten Sie den Ausdruck. Offensichtlich macht es keinen Sinn, da es eine Division durch Null enthält. Daraus schließen wir, dass 0 eine Fremdwurzel ist. Daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.

    7, был zur Gleichung führt.Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich dem der rechten Seite sein muss, d.h. Nun subtrahieren wir von beiden Teilen des Tripletts :. Аналог, von wo und weiter.

    Die Prüfung zeigt, dass beide gefundenen Nullstellen die Nullstellen der ursprünglichen rationalen Bruchgleichung sind.

    Антвортен:

    Referenzliste.

    • Алгебра: лернен. для 8cl. Allgemeinbildung. Institutionen / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; Hrsg. С. А. Теляковский. — 16. Aufl. — М .: Bildung, 2008. — 271 с. : krank. — ISBN 978-5-09-019243-9.
    • А.Г. Мордкович Алгебра. 8. Класс. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studierende von Bildungseinrichtungen / А.Г. Мордкович. — 11. Aufl., Gelöscht. — М .: Мнемозина, 2009. — 215 с .: Илл. ISBN 978-5-346-01155-2.
    • Алгебра: Класс 9: Лербух. für die Allgemeinbildung. Institutionen / [Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Hrsg. С. А. Теляковский. — 16. Aufl. — М .: Bildung, 2009. — 271 с. : krank. — ISBN 978-5-09-021134-5.

    Bisher haben wir nur ganze Gleichungen bezüglich der Unbekannten gelöst, также Gleichungen, bei denen die Nenner (водопады vorhanden) die Unbekannte nicht enthalten.

    Es ist oft notwendig, Gleichungen zu lösen, die das Unbekannte im Nenner enthalten: Solche Gleichungen werden als gebrochen bezeichnet.

    Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten mit dem Polynom, das die Unbekannte enthält. Wird die neue Gleichung dieser Gleichung entsprechen? Um die Frage zu beantworten, lösen wir diese Gleichung.

    Wenn wir beide Teile davon multiplizieren, erhalten wir:

    Nachdem wir diese Gleichung ersten Grades gelöst haben, finden wir:

    Gleichung (2) hat also eine einzelich einzelne Wurzel Set

    , erhalten wir:

    Daher ist es auch eine Wurzel von Gleichung (1).

    Gleichung (1) шляпа keine anderen Wurzeln. В unserem Beispiel erkennt человек умирает beispielsweise daran, dass in Gleichung (1)

    Wie unbekannter Teiler muss gleich teilbar 1 durch den Quotienten 2 sein, d.h.

    Die Gleichungen (1) und (2) haben also eine einzige Wurzel und sind daher äquivalent.

    2. Lösen wir nun die folgende Gleichung:

    Einfachster gemeinsamer Nenner :; multipliziere по всем Terme der Gleichung damit:

    Nach der Reduktion erhalten wir:

    Erweitern wir die Klammern:

    Bei ähnlichen Begriffen haben wir:

    Nachlebendem wirdenstin diese 1) erhalten wir:

    Auf der linken Seite haben wir Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

    Daher ist die Wurzel von Gleichung (1) nicht. Daraus folgt, dass die Gleichungen (1) und nicht äquivalent sind.

    In diesem Fall sagen sie, dass Gleichung (1) eine Fremdwurzel erhalten hat.

    Vergleichen wir die Lösung der Gleichung (1) mit der Lösung der von uns zuvor betrachteten Gleichungen (siehe § 51). Bei der Lösung dieser Gleichung mussten wir zwei solche Operationen durchführen, die noch nie zuvor aufgetreten waren: erstens multiplizierten wir beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der eine Unbekannte (ундхеинсмертэнтэнтэнзэнтэнтэнзэнтэнтэн) …

    Wenn wir Gleichung (1) mit Gleichung (2) vergleichen, sehen wir, dass nicht alle Werte von x, die für Gleichung (2) zulässig sind, für Gleichung (1) zulässig sind.

    Es sind die Zahlen 1 und 3, die keine gültigen Werte der Unbekannten für Gleichung (1) sind, und als Ergebnis der Transformation wurden sie für Gleichung (2) gültig. Es stellte sich heraus, dass eine dieser Zahlen eine Lösung von Gleichung (2) война, aber natürlich kann sie keine Lösung von Gleichung (1) sein.Gleichung (1) hat keine Lösungen.

    Dieses Beispiel zeigt, dass, wenn Sie beide Seiten der Gleichung mit einem Faktor multiplizieren, der das Unbekannte enthält, und wenn Sie stornieren algebraische Brüche es kann sich eine Gleichung der Gleichung dergeben.

    Daher ziehen wir folgende Schlussfolgerung. Beim Lösen einer Gleichung, die eine Unbekannte im Nenner enthält, müssen die resultierenden Wurzeln durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung verifiziert werden.Fremdwurzeln müssen entsorgt werden.

    Wir haben bereits gelernt, quadratische Gleichungen zu lösen. Nun wollen wir die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen erweitern.

    Был ли его рационалист Ausdruck? Dieses Konzept ist uns bereits begegnet. Rationale Ausdrücke Ausdrücke werden aufgerufen, die aus Zahlen, Variablen, ihren Graden und Vorzeichen Mathematischer Operationen bestehen.

    Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form :, wobei — rationale Ausdrücke.

    Bisher haben wir nur solche rationalen Gleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren. Betrachten wir nun jene rationalen Gleichungen, die sich auch auf quadratische reduzieren lassen.

    Beispiel 1

    Löse die Gleichung :.

    Lösung:

    Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 ist und der Nenner nicht 0 ist.

    Wir erhalten folgendes Система:

    Die erste Gleichung im System ist eine quadratische Gleichung.Bevor wir es lösen, teilen wir all seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:

    .

    Wir erhalten zwei Wurzeln :; …

    Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: … Da keine der obigen Wurzeln der Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die durch das Lösenind der zweitungen dieger.

    Антвортен: .

    Также формулирует wir einen Algorithmus zum Lösen rationaler Gleichungen:

    1.Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, um auf der rechten Seite 0 zu erhalten.

    2. Transformiere und vereinfache die linke Seite, givee all Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

    3. Результат работы Bruch ist nach folgendem Algorithmus gleich 0:.

    4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten werden, und erfüllen Sie die zweite Ungleichung in der Antwort.

    Nehmen wir ein anderes Beispiel.

    Beispiel 2

    Löse die Gleichung:.

    Lösung

    Ganz am Anfang übertragen wir all Terme auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite 0 bleibt.

    Nunedingen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

    Diese Gleichung entspricht dem Система:

    Die erste Gleichung im System ist eine quadratische Gleichung.

    Koeffizienten dieser Gleichung :.Wir berechnen die Diskriminante:

    Wir erhalten zwei Wurzeln :; …

    Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ист.

    Es müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: … Wir erhalten, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine passt — 3.

    Антвортен: .

    В Dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, был ein rationaler Ausdruck ist, und wir haben auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden.

    In der nächsten Lektion werden wir обоснование Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und auch Bewegungsprobleme betrachten.

    Referenzliste

    1. Башмаков М. И. Алгебра, Класс 8. — М .: Bildung, 2004.
    2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др., Алгебра, 8. 5. Aufl. — М .: Bildung, 2010.
    3. .
    4. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра, Класс 8. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.