Гдз по математике за 4 класс истомина учебник 1 часть: ГДЗ по математике 4 класс Истомина часть 1, 2

Содержание

Часть 1 — 2 гдз по математике 4 класс ИстоминаБ

Решебники, ГДЗ

  • 1 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 2 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Белорусский язык
    • Английский язык
    • Информатика
    • Украинский язык
    • Французский язык
    • Немецкий язык
    • Литература
    • Человек и мир
    • Природоведение
    • Основы здоровья
    • Музыка
    • Окружающий мир
    • Технология
    • Испанский язык
  • 3 Класс
    • Математика
    • Русский язык
    • Белорусский язык
    • Английский язык

ГДЗ по Математике для 4 класса Истомина Н.Б от Путина 2014

ГДЗ от Путина
    • 1 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Информатика
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Человек и мир
      • Технология
    • 2 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Французский язык
      • Информатика
      • Музыка
      • Литература

ГДЗ по математике для 4 класса Истомина Н.Б от Путина

ГДЗ от Путина
    • 1 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Информатика
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Человек и мир
    • 2 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Информатика
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Человек и мир
      • Технология
    • 3 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Информатика
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Испанский язык
    • 4 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Информатика
      • Музыка
      • Литература
      • Окружающий мир
      • Испанский язык
    • 5 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Физика
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Французский язык
      • Биология
      • История
      • Информатика
      • ОБЖ
      • География
      • Природоведение
      • Музыка
      • Литература
      • Обществознание
      • Человек и мир
      • Технология
      • Естествознание
      • Испанский язык
    • 6 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Физика
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Биология
      • История
      • Информатика
      • ОБЖ
      • География
      • Музыка
      • Литература
      • Обществознание
      • Экология
      • Технология
      • Испанский язык
    • 7 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Алгебра
      • Геометрия
      • Физика
      • Химия
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Французский язык
      • Биология
      • История
      • Информатика
      • ОБЖ
      • География
      • Музыка
      • Литература
      • Обществознание
      • Черчение
      • Экология
      • Технология
      • Испанский язык
    • 8 класс
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Алгебра
      • Геометрия
      • Физика
      • Химия
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Французский язык
      • Биология
      • История
      • Информатика
      • ОБЖ
      • География
      • Литература
      • Обществознание
      • Черчение
      • Экология
      • Испанский язык
    • 9 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Алгебра
      • Геометрия
      • Физика
      • Химия
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Французский язык
      • Биология
      • История
      • Информатика
      • ОБЖ
      • География
      • Литература
      • Обществознание
      • Черчение
      • Испанский язык
    • 10 класс
      • Математика
      • Английский язык
      • Русский язык
      • Алгебра
      • Геометрия
      • Физика
      • Химия
      • Немецкий язык
      • Белорусский язык
      • Биология
      • История
      • Информатика

Эфиопский Учебник математики для 11 классов [PDF] Загрузить

Эфиопский Учебник математики для 11 класса [PDF] Загрузить: Математика или математика в 11 классе относится к предмету Общего курса.

Тем не менее, Министерство образования Эфиопии предоставляет учащимся Учебник математики для 11 классов. Учащиеся могут скачать программу по математике 11 класса в формате PDF для академических целей.

Учебник математики для 11 класса

В 11 классах курсы математики будут отличаться для учащихся естественных и общественных наук.Математику в этих классах следует использовать как важный инструмент для распознавания и описания определенных областей объективной реальности, а также для планирования и руководства процессом развития.

Следует обсуждать и решать различные темы из истории математики, факты и проблемы из социальной практики и других научных дисциплин.

1 Блок: взаимосвязь и функции

  • Дополнительные сведения о взаимосвязях и функциях
  • Ревизия отношений
  • Некоторые дополнительные типы функций
  • Классификация функций.
  • Функциональный набор
  • Обратные функции и их графики.

2 Раздел: Рациональные выражения и рациональные функции.

  • Упрощение рациональных выражений
  • Рациональные уравнения
  • Рациональные функции и их графики.

3 Единица: Координатная геометрия

  • Прямая
  • Секции конические

4 Единица: математические рассуждения

  • Логика
  • Аргументы и обоснованность

5 Блок: статистика и вероятность

6 Блок: матрицы и детерминанты

  • Матрицы
  • Детерминанты и их свойства
  • Обращение квадратной матрицы
  • Системы уравнений с двумя или тремя переменными
  • Правило Крамера

7 Единица: Набор комплексных чисел

  • Понятие комплексных чисел
  • Операции над комплексными числами
  • Комплексное сопряжение и модуль
  • Упрощение комплексных чисел
  • Диаграмма Аргана и полярное представление

8 Раздел: Векторы и трансформация плоскости (для студентов естественных наук)

  • Представление векторов.
  • Скалярное (внутреннее или точечное) произведение векторов
  • Применение вектора
  • Трансформация самолета

9 Раздел: Дополнительные сведения о тригонометрических функциях (для студентов-естественников)

  • Функции y -sec x, y z csc x и y z cot x
  • Функция, обратная тригонометрической функции
  • Графики некоторых тригонометрических функций
  • Приложения тригонометрических функций

10.Математические приложения в бизнесе (для студентов, изучающих общественные науки)

  • Основные математические понятия в бизнесе.
  • Сложные проценты и амортизация
  • Накопление, инвестирование и привлечение в долг
  • Налогообложение

Скачать учебник по математике для 11 класса по Эфиопии [PDF]

Изучая учебник по математике для 11 класса в конце второго цикла среднего образования, все учащиеся должны уметь:  развить чувство уверенности в своей способности рассуждать, чтобы решать математические задачи и многое другое.

Страна Эфиопия
Издатель МО, Эфиопия
Класс 11 класс
Тема Математика
Тип Учебник
Назначение Справочник учащихся и учителей
Дата загрузки 15 июня 2017
Последнее обновление 15 июня 2017
Версия для текста 1.0
Ссылка для скачивания

Эфиопский Учебник математики для 9 классов [PDF] Скачать

Эфиопский Учебник математики для 9 классов [PDF] Скачать: Учебник математики для учащихся предоставляется Министерством образования Эфиопии бесплатно для всех школьников. Министерство образования Федеративной Демократической Республики Эфиопия разработало эту книгу в соответствии с новыми образовательными рамками, определенными Министерством.

В книге всего 7 блоков, у каждого блока есть свой подраздел. Учащиеся, родители и учителя могут использовать электронную книгу в учебных целях. Каждый ученик должен приобрести прочные, применимые и расширяемые математические знания и развить соответствующие математические навыки для продолжения учебы в подготовительной школе.

Эфиопский Учебник математики для 9 классов

В 9 классе учащиеся приобретают и развивают твердые математические знания, навыки и отношения, которые в значительной степени способствуют формированию граждан, осознающих социальные, экономические, политические и культурные реалии Эфиопии.

Раздел 1: Полиномиальная функция 1.1 Введение в полиномиальные функции

  • 1.2 Теоремы о многочленах
  • 1.3 Нули полиномиальной функции
  • 1.4 Графики полиномиальных функций

Блок 2: Экспоненциальные и логарифмические функции

  • 2,1 Показатели и логарифмы
  • 2.1.1 Экспоненты
  • 2.1.2 Логарифмы
  • 2.2 Экспоненциальные функции и их графики
  • 2.3 Логарифмические функции и их графики
  • 2.4 Уравнения, включающие экспоненты и логарифмы
  • 2.5 Применение экспоненциальных и логарифмических функций

Раздел 3: Решение неравенств 3.1 Системы линейных неравенств, включающие абсолютные значения

  • 3.1 Системы линейных неравенств по абсолютной величине
  • 3.2 Системы линейных неравенств двух переменных
  • 3.3 Квадратичные неравенства

Блок 4: Координатная геометрия

  • 4.1 Расстояние между двумя точками
  • 4.2 Деление линейного сегмента
  • 4.3 Уравнение прямой
  • 4.4 Параллельные и перпендикулярные линии

Блок 5: Тригонометрические функции

  • 5.1 Основные тригонометрические функции
    5.1.1 Функции синуса, косинуса и тангенса
    5.1.2 Тригонометрические значения углов
    5.1.3 Графики функций синуса, косинуса и тангенса.
  • 5.2 Функции, обратные основным тригонометрическим функциям
  • 5.3 Простые тригонометрические тождества
  • 5.4 Реальные проблемы применения

Блок 6: Геометрия плоскости

  • 6.1 Теоремы о треугольниках
  • 6.2 Специальные четырехугольники
  • 6.3 Подробнее о кругах
  • 6.4 Правильные многоугольники

Блок 7: Измерение

  • 7.1 Ревизия площадей и объемов призм и цилиндров
  • 7.2 Пирамиды, конусы и сферы
  • 7.3 ствола пирамид и конусов
  • 7.4 Площадь поверхности и объемы твердых тел.

Скачать эфиопский учебник математики для 9 классов PDF

После завершения изучения учебника математики, следующие цели изучения математики на этом цикле. Студенты смогут оценить силу, элегантность и структуру математики и использовать математику в своей среде и социальных потребностях.

История математики (от доисторических времен до наших дней)


Доисторическая математика

Истоки математической мысли лежат в понятиях числа, величины и формы.Современные исследования познания животных показали, что эти концепции не уникальны для людей. Такие концепции были бы частью повседневной жизни в обществах охотников-собирателей. Идея концепции «числа», постепенно эволюционирующей с течением времени, подтверждается существованием языков, которые сохраняют различие между «одним», «двумя» и «многими», но не между числами, превышающими два.

Самый старый известный математический объект — это кость Лебомбо, обнаруженная в горах Лебомбо в Свазиленде и датированная примерно 35000 годом до нашей эры.Он состоит из 29 отдельных выемок, вырезанных на малоберцовой кости павиана. Также доисторические артефакты, обнаруженные в Африке и Франции, возрастом от 35 000 до 20 000 лет, предполагают ранние попытки определить время.

Кость Ишанго, найденная у истоков реки Нил (северо-восток Конго), может быть возрастом около 20 000 лет и состоит из серии счетных отметок, вырезанных в трех столбцах по всей длине кости. Распространенные интерпретации заключаются в том, что кость Ишанго показывает либо самую раннюю известную демонстрацию последовательностей простых чисел, либо шестимесячный лунный календарь.В книге «Как возникла математика: первые 50 000 лет » Питер Рудман утверждает, что развитие концепции простых чисел могло произойти только после концепции деления, которое он датирует после 10 000 г. до н.э., с простыми числами, вероятно, нет. были поняты примерно до 500 г. до н.э. Он также пишет, что «не было предпринято никаких попыток объяснить, почему при подсчете чего-либо должно отображаться кратное двум, простые числа от 10 до 20 и некоторые числа, которые почти кратны 10.”

Додинастические египтяне 5-го тысячелетия до нашей эры графически изображали геометрические узоры. Утверждается, что мегалитические памятники в Англии и Шотландии, датируемые 3-м тысячелетием до нашей эры, включают в себя геометрические идеи, такие как круги, эллипсы и пифагорейские тройки.

Месопотамская математика

Вавилонская математическая табличка Плимптон 322, датированная 1800 годом до нашей эры.

Вавилонская математика относится к любой математике народа Месопотамии (современный Ирак) со времен ранних шумеров через эллинистический период, почти до зари христианства.Его называют вавилонской математикой из-за центральной роли Вавилона как учебного заведения. Позднее, в период правления Арабской империи, Месопотамия, особенно Багдад, снова стала важным центром изучения исламской математики.

В отличие от скудности источников по египетской математике, наши знания о вавилонской математике основаны на более чем 400 глиняных табличках, раскопанных с 1850-х гг., Написанных клинописью, таблички были написаны, пока глина была влажной, и твердо запечена в духовке. или жарким солнцем.Некоторые из них выглядят как домашние задания с оценками.

Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним шумерам, которые построили самую раннюю цивилизацию в Месопотамии. Они разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н.э. Примерно с 2500 г. до н.э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и решали геометрические упражнения и задачи деления. К этому периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр.

Большинство найденных глиняных табличек датируются периодом 1800–1600 гг. До н.э. и охватывают темы, включающие дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление регулярных взаимных пар.Таблички также включают таблицы умножения и методы решения линейных и квадратичных уравнений. Вавилонская табличка YBC 7289 дает приблизительное значение √2 с точностью до пяти десятичных знаков.

Вавилонская математика была написана в шестидесятеричной системе счисления (с основанием 60). Отсюда и происходит современное использование 60 секунд в минуту, 60 минут в часе и 360 (60 x 6) градусов по кругу, а также использование секунд и минут дуги для обозначения долей градуса. Вавилонским достижениям в математике способствовало то, что число 60 имеет много делителей.Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, у вавилонян была настоящая система определения мест, где цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения, как и в десятичной системе. Однако им не хватало эквивалента десятичной точки, и поэтому значение места символа часто приходилось выводить из контекста.

Египетская математика

Изображение задачи 14 из Московского математического папируса. Задача включает диаграмму с указанием размеров усеченной пирамиды.

Египетская математика — это математика, написанная на египетском языке. С эллинистического периода греческий язык заменил египетский как письменный язык египетских ученых. Изучение математики в Египте позже продолжилось во времена Арабской империи как часть исламской математики, когда арабский язык стал письменным языком египетских ученых.

Самый обширный египетский математический текст — папирус Ринда (иногда также называемый папирусом Ахмеса по имени его автора), датированный ок. 1650 г. до н.э., но, скорее всего, это копия более старого документа из Среднего царства примерно 2000-1800 гг. До н.э.Это инструкция для студентов, изучающих арифметику и геометрию. Помимо формул и методов умножения, деления и работы с единичными дробями, он также содержит доказательства других математических знаний, включая составные и простые числа; арифметические, геометрические и гармонические средства; и упрощенное понимание как Решета Эратосфена, так и совершенной теории чисел (а именно числа 6). Он также показывает, как решать линейные уравнения первого порядка, а также арифметические и геометрические ряды.

Еще один важный египетский математический текст — Московский папирус, также относящийся к периоду Среднего царства, датируемый ок. 1890 г. до н.э. Он состоит из того, что сегодня называется словесными задачами или сюжетными задачами , которые, по-видимому, предназначались для развлечения. Одна проблема считается особенно важной, потому что она дает метод определения объема усеченной пирамиды: «Если вам скажут: усеченная пирамида 6 для вертикальной высоты, 4 на основании и 2 на вершине.Вы должны возвести в квадрат эти 4, результат 16. Вы должны удвоить 4, результат 8. Вы должны возвести 2 в квадрат, результат 4. Вы должны сложить 16, 8 и 4, результат 28. Вы должны взять один треть из 6, результат 2. Вы должны взять 28 дважды, результат 56. Видите, это 56. Вы сочтете это правильным ».

Наконец, Берлинский папирус (ок. 1300 г. до н.э.) показывает, что древние египтяне могли решать алгебраические уравнения второго порядка.

Греческая математика

Греческая математика относится к математике, написанной на греческом языке со времен Фалеса Милетского (~ 600 г. до н.э.) до закрытия Афинской академии в 529 г. н.э.Греческие математики жили в городах, разбросанных по всему Восточному Средиземноморью, от Италии до Северной Африки, но были объединены культурой и языком. Греческую математику периода после Александра Великого иногда называют эллинистической математикой.

Греческая математика была намного сложнее, чем математика, которая была развита в более ранних культурах. Все сохранившиеся записи догреческой математики показывают использование индуктивных рассуждений, то есть повторяющихся наблюдений, используемых для установления практических правил.Греческие математики, напротив, использовали дедуктивное мышление. Греки использовали логику, чтобы делать выводы из определений и аксиом, и использовали математическую строгость, чтобы их доказать.

Считается, что греческая математика началась с Фалеса Милетского (ок. 624 — ок. 546 до н. Э.) И Пифагора из Самоса (ок. 582 — ок. 507 до н. Э.). Хотя степень влияния спорна, они, вероятно, были вдохновлены египетской и вавилонской математикой. Согласно легенде, Пифагор отправился в Египет, чтобы изучать математику, геометрию и астрономию у египетских жрецов.

Thales использовал геометрию для решения таких задач, как расчет высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое применение дедуктивного мышления в геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса. В результате он был провозглашен первым настоящим математиком и первым известным человеком, которому приписывают математическое открытие. Пифагор основал пифагорейскую школу, доктрина которой заключалась в том, что математика правит вселенной, а девизом было «Все есть число».Термин «математика» изобрели пифагорейцы, с которых начинается изучение математики как таковой. Пифагорейцам приписывают первое доказательство теоремы Пифагора, хотя формулировка теоремы имеет долгую историю и доказательство существования иррациональных чисел.

Один из самых старых сохранившихся фрагментов Евклида Элементы , найденный в Оксиринхе и датированный примерно 100 годом нашей эры. Диаграмма прилагается к Книге II, Предложение 5.

Платон (428/427 до н.э. — 348/347 до н.э.) играет важную роль в истории математики, поскольку он вдохновляет и направляет других.Его Платоновская академия в Афинах стала математическим центром мира в IV веке до нашей эры, и именно из этой школы пришли ведущие математики того времени, такие как Евдокс Книдский. Платон также обсудил основы математики, прояснил некоторые определения (например, определение линии как «длины без ширины») и реорганизовал предположения. Платону приписывают аналитический метод, а формула для получения пифагорейских троек носит его имя.

Евдокс (408 – ок.355 г. до н.э.) разработал метод исчерпания, предшественник современной интеграции и теорию соотношений, которая позволила избежать проблемы несоизмеримых величин. Первый позволил рассчитывать площади и объемы криволинейных фигур, а второй позволил последующим геометрам добиться значительных успехов в геометрия. Хотя он не сделал конкретных технических математических открытий, Аристотель (384–322 до н.э.) внес значительный вклад в развитие математики, заложив основы логики.

В III веке до нашей эры главным центром математического образования и исследований был Александрийский музей. Именно там Евклид (ок. 300 г. до н. Э.) Преподавал и написал « Элемента », который широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. [1] Элементы вводят математическую строгость через аксиоматический метод и являются самым ранним примером формата, который все еще используется в математике сегодня, — формата определения, аксиомы, теоремы и доказательства.Хотя большая часть содержания элементов уже была известна, Евклид организовал их в единую логическую структуру. Элементы были известны всем образованным людям на Западе до середины 20 века, и их содержание до сих пор преподается на уроках геометрии. В дополнение к знакомым теоремам евклидовой геометрии, Elements задумывались как вводный учебник по всем математическим предметам того времени, таким как теория чисел, алгебра и твердотельная геометрия, включая доказательства того, что квадратный корень из двух иррационален и что простых чисел бесконечно много.Евклид также много писал по другим предметам, таким как конические сечения, оптика, сферическая геометрия и механика, но только половина его работ сохранилась.

Архимед (ок. 287–212 до н. Э.) Из Сиракуз использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда и дал удивительно точные приближения числа Пи. Он также изучил спираль, носящую его имя, формулы для объемов поверхностей вращения и изобретательную систему для выражения очень больших чисел.

Китайская математика

Цифры счетных стержней

Ранняя китайская математика настолько отличается от математики других частей мира, что разумно предположить независимое развитие. Самый старый из сохранившихся математических текстов из Китая — Chou Pei Suan Ching , датируемый по-разному между 1200 и 100 годами до нашей эры. хотя дата около 300 г. до н. э. кажется разумной.

Особо следует отметить использование в китайской математике десятичной позиционной системы счисления, так называемых «стержневых чисел», в которых различные шифры использовались для чисел от 1 до 10, а дополнительные шифры для степеней десяти. Таким образом, число 123 могло бы быть должны быть записаны с использованием символа «1», затем символа «100», затем символа «2», затем символа «10», а затем символа «3».В то время это была самая продвинутая система счисления в мире, очевидно, использовавшаяся за несколько веков до нашей эры и задолго до развития индийской системы счисления. Стержневые цифры позволяли отображать числа сколь угодно большого размера и позволяли проводить вычисления на suan pan или (китайские счеты). Дата изобретения suan pan не определена, но самое раннее письменное упоминание датируется 190 годом нашей эры в «Дополнительных примечаниях к искусству фигур » Сюй Юэ.

Самая старая существующая работа по геометрии в Китае происходит от философского канона Моизма ок. 330 г. до н. Э., Составлено последователями Мози (470–390 до н. Э.). Mo Jing описал различные аспекты многих областей, связанных с физической наукой, а также предоставил небольшое количество геометрических теорем.

В 212 году до нашей эры император Цинь Ши Хуан (Ши Хуан-ти) приказал сжечь все книги в Империи Цинь, кроме официально санкционированных. Этот указ не повсеместно соблюдался, но, как следствие этого приказа, мало что известно о древней китайской математике до этой даты.После сожжения книг в 212 г. до н.э. династия Хань (202 г. до н.э. — 220 г. н.э.) выпустила математические работы, которые предположительно расширили труды, которые сейчас утеряны. Самым важным из них является Девять глав математического искусства , полное название которого появилось в 179 году нашей эры, но частично существовало под другими названиями до этого. Он состоит из 246 задач, связанных с сельским хозяйством, бизнесом, использованием геометрии для расчета пролетов высот и соотношений размеров башен китайских пагод, инженерных работ, геодезии, а также включает материал о прямоугольных треугольниках и значениях π.Он также использовал принцип Кавальери относительно объема более чем за тысячу лет до того, как Кавальери предложил его на Западе. Он создал математическое доказательство теоремы Пифагора и математическую формулу для исключения Гаусса. Лю Хуэй прокомментировал работу к 3 веку нашей эры и дал значение π с точностью до 5 десятичных знаков. Хотя это больше вопрос вычислительной выносливости, чем теоретической проницательности, в V веке нашей эры Цзу Чунчжик вычислил значение π с точностью до семи десятичных знаков, что оставалось наиболее точным значением π в течение почти следующих 1000 лет.

Пик китайской математики приходится на 13 век, когда развивается китайская алгебра. Самым важным текстом того периода является «Драгоценное зеркало четырех элементов » Чу Ши-цзе (fl. 1280-1303), в котором рассматривается решение одновременных алгебраических уравнений высшего порядка с использованием метода, аналогичного методу Хорнера. Precious Mirror также содержит схему треугольника Паскаля с коэффициентами биномиального разложения в восьмой степени, хотя оба они появляются в китайских произведениях уже в 1100 году.Китайцы также использовали сложную комбинаторную диаграмму, известную как магический квадрат и магические круги, описанную в древние времена и усовершенствованную Ян Хуэем (1238–1298 гг. Нашей эры).

Даже после того, как европейская математика начала процветать в эпоху Возрождения, европейская и китайская математика были отдельными традициями, а значительная китайская математическая продукция пришла в упадок с 13 века и далее. Иезуитские миссионеры, такие как Маттео Риччи, переносили математические идеи между двумя культурами с 16 по 18 века, хотя в этот момент в Китай приходило гораздо больше математических идей, чем уходило.

Индийская математика

Цифры, использованные в рукописи Бахшали, датируются периодом между II веком до нашей эры и II веком нашей эры.

Самая ранняя цивилизация на Индийском субконтиненте — это цивилизация долины Инда, которая процветала между 2600 и 1900 годами до нашей эры в бассейне реки Инд. Их города были построены с геометрической регулярностью, но никаких известных математических документов этой цивилизации не сохранилось.

Самые старые из сохранившихся математических записей из Индии — это Shatapatha Brahmana (ок.9 век до н.э., но оценки даты сильно различаются). Сульба-сутры (ок. 800 г. до н.э. – 200 г. н.э.), приложения к религиозным текстам, которые дают простые правила для построения алтарей различной формы, таких как квадраты, прямоугольники, параллелограммы и другие. Сутры Сульбы дают методы построения круга примерно с той же площадью, что и данный квадрат, которые подразумевают несколько различных приближений значения π, Кроме того, они вычисляют квадратный корень из 2 с точностью до нескольких десятичных знаков, перечисляют тройки Пифагора и дать формулировку теоремы Пифагора.Месопотамское влияние на данном этапе считается вероятным.

Панини (ок. V в. До н. Э.) Сформулировал правила санскритской грамматики. Его нотация была похожа на современную математическую нотацию и использовала метаправила, преобразования и рекурсию. Пингала (примерно III-I вв. До н.э.) в своем трактате просодии использует устройство, соответствующее двоичной системе счисления. Его обсуждение комбинаторики метров соответствует элементарной версии биномиальной теоремы. [ Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи (называемых mātrāmeru ).

Сурья Сиддханта (ок. 400) ввел тригонометрические функции синуса, косинуса и обратного синуса и установил правила для определения истинных движений светил, которые соответствуют их действительному положению в небе. Это произведение было переведено на арабский и латинский языки в средние века.

В V веке нашей эры Арьябхата написал Арьябхатия , небольшой том, написанный стихами, предназначенный для дополнения правил вычислений, используемых в астрономии и математических измерениях, хотя и без чувства логики или дедуктивной методологии.Хотя около половины введенных значений неверны, именно в Aryabhatiya впервые появляется десятичная система счисления. Спустя несколько веков мусульманский математик Абу Райхан Бируни описал модель Aryabhatiya как «смесь обычных камешков и дорогих кристаллов».

В 7 веке Брахмагупта определил теорему Брахмагупты, личность Брахмагупты и формулу Брахмагупты, и впервые, в Брахма-спхута-сиддханта , он доходчиво объяснил использование нуля как заполнителя и десятичной цифры, и объяснил индуистско-арабская система счисления.Именно из перевода этого индийского текста по математике (ок. 770 г.) исламские математики познакомились с этой системой счисления, которую они адаптировали как арабские. Исламские ученые принесли знания об этой системе счисления в Европу к XII веку, и теперь она вытеснила все старые системы счисления во всем мире. В 10 веке комментарий Халаюды к работе Пингалы содержал исследование последовательности Фибоначчи и треугольника Паскаля, а также описывал формирование матрицы.

В XII веке Бхаскара II жил на юге Индии и много писал по всем известным на тот момент разделам математики. Его работа содержит математические объекты, эквивалентные или приблизительно эквивалентные бесконечно малым, производным, теореме о среднем значении и производной синусоидальной функции. Насколько он предвосхитил изобретение математического анализа, является спорным вопросом среди историков математики

.

В XIV веке Мадхава Сангамаграма, основатель так называемой школы математики Кералы, нашел ряд Мадхава – Лейбница и, используя 21 член, вычислил значение π как 3.14159265359. Мадхава также нашел ряд Мадхава-Грегори для определения арктангенса, степенной ряд Мадхава-Ньютона для определения синуса и косинуса и приближение Тейлора для функций синуса и косинуса. В 16 веке Джестадева объединил многие разработки школы Кералы и теоремы Юкти-бханы . Однако школа Кералы не сформулировала систематическую теорию дифференциации и интеграции, и нет никаких прямых доказательств того, что их результаты передаются за пределы Кералы.Прогресс математики и других областей науки в Индии застопорился с установлением в Индии мусульманского правления.

Исламская математика

Исламская империя, основанная в Персии, Среднем Востоке, Центральной Азии, Северной Африке, Иберии и некоторых частях Индии в 8 веке, внесла значительный вклад в математику. Хотя большинство исламских текстов по математике были написаны на арабском языке, большинство из них были написаны не арабами, поскольку, как и статус греческого языка в эллинистическом мире, арабский язык использовался в качестве письменного языка неарабских ученых во всем исламском мире в время.Персы внесли вклад в мир математики вместе с арабами.

В IX веке персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми написал несколько важных книг по индуистско-арабским цифрам и методам решения уравнений. Его книга « о вычислениях с помощью индусских цифр », написанная около 825 года, наряду с работами Аль-Кинди, сыграла важную роль в распространении индийской математики и индийских цифр на Запад. Слово алгоритм происходит от латинизации его имени, Алгоритми, и слова алгебра из названия одной из его работ, Аль-Китаб аль-мухтагар фи хисаб аль-Табр ва’л-мукабала ( Сборник расчетов по завершению и балансировке ).Он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями и первым начал преподавать алгебру в элементарной форме и ради нее самой. Он также обсудил фундаментальный метод «редукции» и «уравновешивания», относящийся к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмену одинаковых членов в противоположных частях уравнения. Это операция, которую аль-Хваризми первоначально описал как аль-джабр .Его алгебра также больше не была связана «с рядом проблем, которые необходимо решить, а с изложением, которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явным образом составляют истинный объект исследования». Он также изучал уравнение само по себе и «в общем, поскольку оно не просто возникает в процессе решения проблемы, но специально предназначено для определения бесконечного класса проблем».

Дальнейшие разработки в области алгебры были сделаны Аль-Караджи в его трактате аль-Фахри , где он расширяет методологию для включения целых степеней и целых корней неизвестных величин.Нечто близкое к доказательству с помощью математической индукции появляется в книге, написанной Аль-Караджи около 1000 г. н.э., который использовал ее для доказательства биномиальной теоремы, треугольника Паскаля и суммы целых кубов. Историк математики Ф. Вопке, [86] похвалил Аль-Караджи за то, что он «первым ввел теорию алгебраического исчисления». Также в 10 веке Абул Вафа перевел произведения Диофанта на арабский язык. Ибн аль-Хайтам был первым математиком, который вывел формулу для суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы для суммы любых целых степеней.Он выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоида, и смог обобщить свой результат для интегралов от многочленов до четвертой степени. Таким образом, он приблизился к поиску общей формулы для интегралов от многочленов, но его не интересовали никакие многочлены выше четвертой степени.

В конце 11 века Омар Хайям написал книгу « Обсуждения трудностей в Евклиде », о том, что он считал недостатками в Евклидовом элементе Элементы , особенно о параллельном постулате.Он также был первым, кто нашел общее геометрическое решение кубических уравнений. Он также оказал большое влияние на календарную реформу.

В 13 веке Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сферической тригонометрии. Он также написал влиятельную работу о параллельном постулате Евклида. В 15 веке Гият аль-Каши вычислил значение π до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм для вычисления корней n -й степени, который был частным случаем методов, данных много веков спустя Руффини и Хорнером.

Другие достижения мусульманских математиков в этот период включают добавление десятичной точки к арабским цифрам, открытие всех современных тригонометрических функций, кроме синуса, введение аль-Кинди криптоанализа и частотного анализа, развитие аналитического геометрия Ибн аль-Хайсама, начало алгебраической геометрии Омаром Хайямом и развитие аналгебраической нотации аль-Каласади.

Во времена Османской империи и империи Сефевидов с 15 века развитие исламской математики застопорилось.

Средневековая европейская математика

Интерес средневековых европейцев к математике был вызван проблемами, совершенно отличными от интересов современных математиков. Одним из движущих элементов была вера в то, что математика дает ключ к пониманию сотворенного порядка в природе, что часто оправдывается Платоном Тимей и библейским отрывком (в Книге мудрости ) о том, что Бог распорядился всем в меру. , и номер, и вес .

Боэций обеспечил место математике в учебной программе в 6 веке, когда он ввел термин quadrivium для описания изучения арифметики, геометрии, астрономии и музыки.Он написал De instante arithmetica , вольный перевод с греческого языка Никомаха Введение в арифметику ; De Institutione musica , также получено из греческих источников; и ряд отрывков из Евклида Elements . Его работы были теоретическими, а не практическими, и были основой математических исследований до восстановления греческих и арабских математических работ.

В XII веке европейские ученые отправились в Испанию и Сицилию в поисках научных арабских текстов, включая Сводную книгу по расчетам путем завершения и балансировки аль-Хваризма, переведенную на латынь Робертом Честерским, и полный текст Евклида. Элементы , переведенные в различных версиях Аделардом из Бата, Германом из Каринтии и Жераром из Кремоны.

Эти новые источники вызвали обновление математики. Фибоначчи, писавший в книге Liber Abaci в 1202 году и обновленной в 1254 году, произвел первую значительную математику в Европе со времен Эратосфена, разрыв в которой составлял более тысячи лет. Работа представила Европе индуистско-арабские цифры и обсудила многие другие математические проблемы.

В 14 веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем. Одним из важных вкладов было развитие математики местного движения.

Томас Брэдвардайн предположил, что скорость (V) увеличивается в арифметической пропорции по мере увеличения отношения силы (F) к сопротивлению (R) в геометрической пропорции. Брэдвардин выразил это серией конкретных примеров, но, хотя логарифм еще не был придуман, мы можем выразить его заключение анахронично, написав: V = log (F / R). Анализ Брэдвардайна является примером переноса математической техники, используемой аль-Кинди и Арнальдом из Виллановы для количественной оценки природы сложных лекарств, на другую физическую проблему.

Один из оксфордских калькуляторов 14-го века, Уильям Хейтсбери, без дифференциального исчисления и концепции пределов, предложил измерять мгновенную скорость «по пути, который будет описывать [телом] , если … оно перемещается равномерно с той же скоростью, с которой он перемещается в данный момент »

Хейтсбери и другие математически определили расстояние, которое проходит тело, совершающее равномерно ускоренное движение (сегодня решаемое путем интегрирования), заявив, что «движущееся тело, равномерно приобретая или теряя это приращение [скорости], будет проходить в некоторый заданный момент [расстояние], полностью равное к тому, что он пересек бы, если бы он двигался непрерывно в одно и то же время со средней [скоростью] ».

Николь Орем из Парижского университета и итальянец Джованни ди Казали независимо друг от друга представили графические демонстрации этой взаимосвязи, утверждая, что площадь под линией, отображающей постоянное ускорение, представляет собой общее пройденное расстояние. В более позднем математическом комментарии к книге Евклида Elements Орем провел более подробный общий анализ, в котором он продемонстрировал, что тело приобретает с каждым последующим приращением времени приращение любого качества, которое увеличивается по мере увеличения нечетных чисел.Поскольку Евклид продемонстрировал, что сумма нечетных чисел — это квадратные числа, общее качество, приобретаемое телом, возрастает как квадрат времени.

Математика эпохи Возрождения

В эпоху Возрождения развитие математики и бухгалтерского учета были переплетены. Хотя прямой связи между алгеброй и бухгалтерией нет, преподавание предметов и публикуемые книги часто предназначались для детей торговцев, которых отправляли в счетные школы (во Фландрии и Германии) или школы счёта (известные как abbaco в Италии. ), где они получили навыки, полезные для торговли и коммерции.Вероятно, нет необходимости в алгебре для выполнения бухгалтерских операций, но для сложных бартерных операций или расчета сложных процентов базовые знания арифметики были обязательными, а знание алгебры было очень полезным.

Книга Луки Пачоли «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità» (на итальянском: «Обзор арифметики, геометрии, соотношения и пропорции») была впервые напечатана и опубликована в Венеции в 1494 году. Она включала 27-страничный трактат по бухгалтерский учет, «Particularis de Computis et Scripturis» (итальянский: «Подробная информация о расчетах и ​​записях»).Он был написан в первую очередь и продавался в основном купцам, которые использовали книгу в качестве справочника, как источник удовольствия от математических головоломок, которые она содержала, и для помощи в обучении своих сыновей. В Summa Arithmetica Пачоли впервые в печатной книге ввел символы для плюса и минуса, символы, которые стали стандартными обозначениями в математике итальянского Возрождения. Summa Arithmetica была также первой известной книгой, напечатанной в Италии, которая содержала алгебру. Важно отметить, что сам Пачоли позаимствовал большую часть работ Пьеро Делла Франческа, которого он заимствовал.

В Италии в первой половине XVI века Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья открыли решения для кубических уравнений. Героламо Кардано опубликовал их в своей книге 1545 года Ars Magna вместе с решением уравнений четвертой степени, открытым его ученик Лодовико Феррари. В 1572 году Рафаэль Бомбелли опубликовал свою L’Algebra , в которой показал, как обращаться с мнимыми величинами, которые могут появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений.

Книга Саймона Стевина De Thiende («Искусство десятых»), впервые опубликованная на голландском языке в 1585 году, содержала первую систематическую трактовку десятичной системы счисления, которая повлияла на все последующие работы над системой вещественных чисел.

Тригонометрия, движимая требованиями навигации и растущей потребностью в точных картах больших площадей, стала одним из основных разделов математики. Бартоломей Питискус был первым, кто использовал это слово, опубликовав в 1595 году свою книгу Trigonometria .Таблица синусов и косинусов Региомонтана была опубликована в 1533 году.

Математика в период научной революции

17 век

В 17 веке по всей Европе произошел беспрецедентный взрыв математических и научных идей. Галилей наблюдал спутники Юпитера на орбите этой планеты с помощью телескопа, основанного на игрушке, привезенной из Голландии. Тихо Браге собрал огромное количество математических данных, описывающих положение планет на небе.Благодаря должности помощника Браге Иоганн Кеплер впервые столкнулся с темой движения планет и серьезно занялся ею. Вычисления Кеплера были упрощены одновременным изобретением натуральных логарифмов Джоном Напье и Йостом Бюрджи. Кеплеру удалось сформулировать математические законы движения планет. Аналитическая геометрия, разработанная Рене Декартом (1596–1650), позволила нанести эти орбиты на график в декартовых координатах. Саймон Стевин (1585) создал основу для современной десятичной системы счисления, способной описывать все числа, рациональные или иррациональные.

Опираясь на более ранние работы многих предшественников, Исаак Ньютон открыл законы физики, объясняющие законы Кеплера, и объединил концепции, ныне известные как исчисление бесконечно малых. Независимо, Готфрид Вильгельм Лейбниц разработал исчисление и большую часть его обозначений, которые используются до сих пор. Наука и математика стали международным делом, которое вскоре распространилось по всему миру.

В дополнение к применению математики к изучению небес, прикладная математика начала расширяться в новые области с перепиской Пьера де Ферма и Блеза Паскаля.Паскаль и Ферма заложили основу для исследований теории вероятностей и соответствующих правил комбинаторики в своих обсуждениях азартной игры. Паскаль, сделав ставку, попытался использовать недавно разработанную теорию вероятностей, чтобы обосновать свою жизнь, посвященную религии, на том основании, что даже если вероятность успеха мала, вознаграждение будет бесконечным. В некотором смысле это предвещало развитие теории полезности в 18-19 веках.

18 век

Самым влиятельным математиком 18 века был Леонард Эйлер.Его вклады варьируются от основания исследования теории графов с проблемой семи мостов Кенигсберга до стандартизации многих современных математических терминов и обозначений. Например, он назвал квадратный корень из минус 1 символом i и популяризировал использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру. Он внес большой вклад в изучение топологии, теории графов, исчисления, комбинаторики и комплексного анализа, о чем свидетельствует множество теорем и обозначений, названных в его честь.

Среди других важных европейских математиков 18 века были Джозеф Луи Лагранж, который проделал новаторские работы в области теории чисел, алгебры, дифференциального исчисления и вариационного исчисления, и Лапласа, который в эпоху Наполеона проделал важную работу по основам небесной механики. и по статистике.

Современная математика

19 век

На протяжении XIX века математика становилась все более абстрактной. В 19 веке жил Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).Оставляя в стороне свой большой вклад в науку, в чистой математике он проделал революционные работы над функциями комплексных переменных, геометрией и сходимостью рядов. Он дал первые удовлетворительные доказательства основной теоремы алгебры и квадратичного закона взаимности.

Поведение линий с общим перпендикуляром в каждом из трех типов геометрии

В этом столетии развились две формы неевклидовой геометрии, где постулат о параллельности евклидовой геометрии больше не действует.Русский математик Николай Иванович Лобачевский и его соперник, венгерский математик Янош Бойяи независимо друг от друга определили и изучали гиперболическую геометрию, в которой больше нет единственности параллелей. В этой геометрии сумма углов в треугольнике в сумме составляет менее 180 °. Эллиптическая геометрия была развита позже в 19 веке немецким математиком Бернхардом Риманом; здесь параллели нет, а углы в треугольнике составляют более 180 °. Риман также разработал риманову геометрию, которая объединяет и значительно обобщает три типа геометрии, и определил концепцию многообразия, которая обобщает идеи кривых и поверхностей.

В XIX веке началась большая часть абстрактной алгебры. Герман Грассманн в Германии дал первую версию векторных пространств, Уильям Роуэн Гамильтон в Ирландии разработал некоммутативную алгебру. Британский математик Джордж Буль изобрел алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй, в которой единственными числами были 0 и 1. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в информатике.

Огюстен-Луи Коши, Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс переформулировали исчисление в более строгой форме.

Также впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель, норвежец, и Эварист Галуа, француз, доказали, что не существует общего алгебраического метода для решения полиномиальных уравнений степени выше четырех (теорема Абеля – Руффини). Другие математики XIX века использовали это в своих доказательствах того, что одной линейки и циркуля недостаточно, чтобы разрезать произвольный угол пополам, построить сторону куба, вдвое превышающую объем данного куба, или построить квадрат, равный по площади заданному кругу. .Математики тщетно пытались решить все эти проблемы еще со времен древних греков. С другой стороны, ограничение трех измерений в геометрии было преодолено в 19 веке благодаря рассмотрению пространства параметров и гиперкомплексных чисел.

Исследования Абеля и Галуа решений различных полиномиальных уравнений заложили основу для дальнейшего развития теории групп и связанных с ней областей абстрактной алгебры. В 20 веке физики и другие ученые считали теорию групп идеальным способом изучения симметрии.

В конце XIX века Георг Кантор заложил первые основы теории множеств, которые позволили строго трактовать понятие бесконечности и стали общим языком почти всей математики. Теория множеств Кантора и рост математической логики в руках Пеано, Л. Э. Дж. Брауэра, Дэвида Гильберта, Бертрана Рассела и А. Уайтхед инициировал длительную дискуссию об основах математики.

В 19 веке был основан ряд национальных математических обществ: Лондонское математическое общество в 1865 году, Société Mathématique de France в 1872 году, Circolo Mathematico di Palermo в 1884 году, Эдинбургское математическое общество в 1883 году и Американское математическое общество в 1888 г.Первое международное общество с особыми интересами, Quaternion Society, было сформировано в 1899 году в контексте споров о векторах.

[править] 20 век

В 20 веке математика стала важной профессией. Ежегодно присуждаются тысячи новых кандидатов наук по математике, и есть вакансии как в сфере преподавания, так и в промышленности.

В 1900 году в речи на Международном конгрессе математиков Дэвид Гильберт изложил список из 23 нерешенных проблем математики.Эти проблемы, охватывающие многие области математики, занимали центральное место в математике ХХ века. Сегодня 10 решены, 7 решены частично, а 2 остаются открытыми. Остальные 4 сформулированы слишком слабо, чтобы можно было сказать, решены они или нет.

Примечательные исторические догадки наконец-то подтвердились. В 1976 году Вольфганг Хакен и Кеннет обратились к компьютеру, чтобы доказать теорему о четырех цветах. Эндрю Уайлс, опираясь на работы других, доказал Великую теорему Ферма в 1995 году.Пол Коэн и Курт Гёдель доказали, что гипотеза континуума не зависит от стандартных аксиом теории множеств (не может быть ни доказана, ни опровергнута). В 1998 году Томас Каллистер Хейлз доказал гипотезу Кеплера.

Математические коллаборации беспрецедентного размера и размаха. Примером может служить классификация конечных простых групп (также называемая «огромной теоремой»), доказательство которой в период с 1955 по 1983 год потребовало с лишним 500 журнальных статей примерно 100 авторов и заняло десятки тысяч страниц.Группа французских математиков, включая Жана Дьедонне и Андре Вейля, публиковавшихся под псевдонимом «Николя Бурбаки», попыталась представить всю известную математику как единое строгое целое. Несколько десятков томов оказали неоднозначное влияние на математическое образование.

Дифференциальная геометрия стала самостоятельной, когда Эйнштейн использовал ее в общей теории относительности. Совершенно новые области математики, такие как математическая логика, топология и теория игр Джона фон Неймана, изменили виды вопросов, на которые можно было ответить с помощью математических методов.Все виды структур были абстрагированы с использованием аксиом и получили имена, такие как метрические пространства, топологические пространства и т.д. Как и математики, понятие абстрактной структуры само по себе абстрагировалось и привело к теории категорий. Гротендик и Серр переработали алгебраическую геометрию, используя теорию пучков. Большой прогресс был достигнут в качественном исследовании динамических систем, которое Пуанкаре начал в 1890-х годах. Теория меры была разработана в конце 19 — начале 20 вв. Применения мер включают интеграл Лебега, аксиоматизацию теории вероятностей Колмогорова, андергодическую теорию.Теория узлов значительно расширилась. Квантовая механика привела к развитию функционального анализа. Другие новые области включают теорию распределения Лорана Шварца, теорию неподвижной точки, теорию сингулярностей и теорию катастроф Рене Тома, теорию моделей и фракталы Мандельброта. Теория Ли с ее группами Ли и алгебрами Ли стала одной из основных областей исследования.

Развитие и постоянное совершенствование компьютеров, сначала механических аналоговых машин, а затем цифровых электронных машин, позволило промышленности работать с все большими и большими объемами данных для облегчения массового производства, распространения и коммуникации, и были разработаны новые области математики, чтобы иметь дело с это: теория вычислимости Алана Тьюринга; теория сложности; Теория информации Клода Шеннона; обработка сигналов; анализ данных; оптимизация и другие области исследования операций.В предыдущие столетия большое внимание в математике уделялось исчислению и непрерывным функциям, но рост вычислительных и коммуникационных сетей привел к возрастающему значению дискретных концепций и расширению комбинаторики, включая теорию графов. Скорость и возможности компьютеров по обработке данных также позволили решать математические задачи, которые требовали слишком много времени, чтобы справиться с карандашными и бумажными вычислениями, что привело к таким областям, как численный анализ и символьные вычисления.Некоторые из наиболее важных методов и алгоритмов 20-го века: симплексный алгоритм, быстрое преобразование Фурье, коды с исправлением ошибок, фильтр Калмана из теории управления и алгоритм RSA криптографии с открытым ключом.

В то же время было сделано глубокое понимание ограничений математики. В 1929 и 1930 годах было доказано, что истинность или ложность всех утверждений, сформулированных о натуральных числах плюс одно из сложения и умножения, разрешима, т.е.может быть определено каким-то алгоритмом. В 1931 году Курт Гёдель обнаружил, что это не относится к натуральным числам, плюс как сложение, так и умножение; эта система, известная как арифметика Пеано, на самом деле была неполной. (Арифметика Пеано подходит для значительной части теории чисел, включая понятие простого числа.) Следствием двух теорем Гёделя о неполноте является то, что в любой математической системе, включающей арифметику Пеано (включая весь анализ и геометрию), истина обязательно опережает доказательство, я.е. есть истинные утверждения, которые невозможно доказать в рамках системы. Следовательно, математику нельзя свести к математической логике, и мечту Дэвида Гильберта о том, чтобы сделать всю математику полной и последовательной, необходимо было переформулировать.

Одной из самых ярких фигур в математике 20-го века был Шриниваса Айянгар Рамануджан (1887–1920), индийский самоучитель, который предположил или доказал более 3000 теорем, включая свойства очень сложных чисел, статистическую сумму и ее асимптотику, а также имитирующие тета-функции. .Он также провел серьезные исследования в области гамма-функций, модулярных форм, расходящихся рядов, гипергеометрических рядов и теории простых чисел.

Пол Эрдеш опубликовал больше работ, чем любой другой математик в истории, работая с сотнями сотрудников. У математиков есть игра, эквивалентная игре Кевина Бэкона, которая приводит к числу Эрдёша математика. Это описывает «совместное расстояние» между человеком и Полом Эрдёшем, измеренное совместным авторством математических статей.

Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в век науки привел к специализации: к концу века в математике были сотни специализированных областей, а классификация математических предметов занимала десятки страниц. Публикуется все больше и больше математических журналов, и к концу века развитие всемирной паутины привело к онлайн-публикациям.

21 век

В 2000 году Институт математики Клэя объявил о семи задачах, присуждаемых Премией тысячелетия, а в 2003 году гипотеза Пуанкаре была решена Григорием Перельманом (который отказался принимать какие-либо награды).

Большинство математических журналов теперь имеют как онлайн-версии, так и печатные версии, и многие журналы работают только онлайн. Набирает обороты стремление к публикации с открытым доступом, впервые популяризированное arXiv

.