Гармония математика 4 класс решебник: ГДЗ по математике 4 класс Истомина еуроки Часть 1, 2 ответы Часть 1. Задание: 31

Содержание

regomur гдз по математике 4 класс истомина 1 2 часть гармония учебник

Ссылка:

http://ejybut.sabemo.ru/2/64/gdz-po-matematike-4-klass-istomina-1-2-chast-garmoniya-uchebnik


гдз по математике 4 класс истомина 1 2 часть гармония учебник Гармония, Славское 28 окт 2013 .
Списать Все Готовые Домашние Задания Решебники к учебникам Математики за 4 класс. . Авторы учебника: Истомина Н.Б. . Часть. ГДЗ: Математика. Класс: 4 класс. Авторы учебника: Моро М.И. Часть (1-2). Готовые домашние задания по математике за 4 класс. Тесты и контрольные работы по курсу . Підручник «Я у світі» для 4 класу розроблено відповідно до вимог Державного стандарту початкової загальної освіти та навчальної програми. Зміс. Книга: Математика. 4 класс. В 2-х частях. Часть 1. Учебник. ФГОС. Автор: Наталия Истомина. . Иллюстрации к книге Наталия Истомина — Математика . 4 класс. .. Учебник по математике по методической программе Гармония. учебник по математике :: математика :: 4 класс :: Истомина . Смотрите также учебники , книги и учебные материалы Математика , 4 класс , Часть 3, Петерсон Л.Г., 2013. Зачётные работы по математике , 4 класс , Часть 1, Гусева Е.В., Курникова Е.В., Останина Е.А., 2016. 25 дек 2014 . Списывать все ответы на контрольной работе или при выполнении домашнего задания весьма нехорошо.
Но использовать решебник . ГДЗ по Математике для 4 класса способствует этому. Он не учит простому списыванию. Авторы учебника: Истомина Н.Б. 28 окт 2013 . Списать Все Готовые Домашние Задания Решебники к учебникам Математики за 4 класс. . Авторы учебника: Истомина Н.Б. . Часть. ГДЗ: Математика. Класс: 4 класс. Авторы учебника: Моро М.И. Часть (1-2). ГДЗ Математика 4 класс Математика 4 класс. Часть 1 , 2 . Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации). Готовые домашние задания (ГДЗ) по Математике 1-11 класс, решенные задания и онлайн ответы из решебников по . Математика 1 класс часть 1,2. авторы: . Математика 2 класс Истомина . Математика 4 класс рабочая тетрадь Бененсон Е.П. .. Математика 6 класс Арифметика. Геометрия. Учебник. Решебник задач и ГДЗ по Математике 2 класс Истомина Н.Б. Решебник и ГДЗ по Математике для 2 класса , авторы учебника: Истомина Н.
Б. на . Часть 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 . ГДЗ по математике 4 класс Истомина учебник 1, 2 часть Гармония. ГДЗ решебник к учебнику по математике 4 класс Истомина ФГОС Часть 1, 2 Гармония. Готовые Домашние Задания. Решебник по Математике. 4 класс. Н.Б.Истомина 2012г. Четвертый класс . ГДЗ и решебник для учебника по Математике 4 класс Истомина Н.Б. ответы онлайн. Рабочая тетрадь по Математике 4 класс Истомина Редько Часть 1 , 2. Учебники по математике для начальной школы, 1 — 4 классы, рабочие . ГДЗ — готовые домашние задания. . Истомина Н.Б., Тихонова Н.Б. (2012, 48с.) .. Система уроков по учебнику Башмакова М.И., Нефедовой М.Г. Часть II. Готовые Домашние Задания , Решебник по Математике 4 класс . Истомина Н.Б. 2012 г. . ГДЗ : 4 класс. Готовые Домашние Задания и решебники онлайн ко всем предметам и учебникам , 2-11 классы.

ГДЗ По Математике 4 Класс Истомина Рабочая – Telegraph


>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

ГДЗ По Математике 4 Класс Истомина Рабочая

ГДЗ решебник рабочая тетрадь «Математика . 4 класс » Н . Б . Истоминой, З . Б . Редько часть 1 и 2 . Издательство: «Ассоциация .  Рабочая тетрадь содержит большое количество заданий и упражнений, включающие в свои условия примеры из реальной жизни, благодаря которым . . 

ГДЗ рабочая тетрадь по математике 4 класс часть 1, 2 Истомина Ассоциация 21 век .  Для четвероклассников является трудностью понимание такого сложного предмета, как математика, и решение примеров и уравнений с различными арифметическими операциями . 

Рабочая тетрадь по математике 4 класса от Истоминой, Редько . тиражирована двумя частями книгоизданием «Ассоциация 21 век» .  ГДЗ рабочей тетрадки математики 4 класса от составителей Истоминой, Редько создан совместно с книгоизданием «Ассоциация 21 век» для . . 

Тут отличные гдз по математике рабочая тетрадь для 4 класса , Истомина Н .Б ., Редько З .Б . Гармония от Путина .  Авторы УМК по математике для 4 класса Н .Б . Истомина и З .Б . Редько сделали решебник для своей рабочей тетради, который призван облегчить жизнь школьникам .

Подробный решебник по математике к тетради 4 -го класса автора Истомина .  Рабочая тетрадь Истомина Н .Б ., Редько З .Б . Ассоциация 21 век . На этой странице вы найдете новый решебник от нашего партнера — сайта иеуроки по математике к рабочей тетради в двух . . 

Решебник (ГДЗ ) по Математике за 4 (четвертый ) класс рабочая тетрадь авторы: Истомина, Редько издательство Ассоциация 21 век, год, часть 1, 2 .  Среди них – использование ГДЗ по математике за 4 класс рабочая тетрадь Истомина . 

«ГДЗ по математике 4 класс Истомина » поможет Вашему ребёнку максимально быстро и с минимальными трудозатратами освоить материал, который он по каким-то причинам не смог усвоить во время урока . Что он из себя представляет? «ГДЗ по математике 4 класс . . 

ГДЗ : готовые ответы по математике рабочая тетрадь за 4 класс , решебник Истомина, Гармония ФГОС, часть 1, 2 онлайн решения на GDZ .RU .  Авторы : Истомина Н .Б ., Редько З .Б . Издательство: Ассоциация 21 век . Серия: Гармония . Тип книги: Рабочая тетрадь . 

Выверенность ГДЗ по математике 4 класс может существенно помочь ребятам при выполнении д/з . Почему им стоит воспользоваться .  Рабочая тетрадь 4 класс » Истомина, они просто обязаны . И тогда можно вполне надеяться на то, что ученик приобретет хорошую успеваемость . 

Рабочая тетрадь по математике за 4 класс автора Истоминой Н .Б . 2019 года издания . Пособие по своему объему достаточно большое и охватывает 80 страниц . В него вошли готовые решения на задачи легкого и сложного уровней . 

ГДЗ (готовые домашние задания ) и решебник по математике за 4 класс (рабочая тетрадь), авторы: Истомина Н .Б ., Редько З .Б .  авторы: Истомина Н .Б ., Редько З .Б . (Ассоциация 21 век) . Друзья, на этой странице нашего сайте для вас доступны готовые ответы для рабочей . . 

Оборудование: математика : учебник для 4 класса общеобразовательных учреждений/ Н .Б . Истомина .  Рабочая программа по математике для 4 класса разработана на основе Программы Министерства образования РФ: Начальное общее образование, авторской .

Подробный решебник ГДЗ к рабочей тетради математике 4 класс Истомина Н .Б . 2019, онлайн ответы на домашнюю работу .  Рабочая тетрадь по математике за 4 класс автора Истомина Н .Б ., 2019 года издания . 

Не проще ли воспользоваться ГДЗ по математике 4 класс Истомина, которые доступны онлайн без скачивания и регистрации?  Если учащийся заболеет и пропустит урок, то с решебником по математике за 4 класс Истомина он быстро нагонит своих одноклассников . 

Главная Рабочие тетради 4 класс Математика 4 класс Рабочая тетрадь Истомина Редько 1, 2 часть .  ЧАСТЬ 1 . Проверь себя! Чему ты научился в первом, втором и третьем классах? Умножение на однозначное число . Деление с остатком . 

ГДЗ решебник рабочая тетрадь «Математика . 4 класс » Н . Б . Истоминой, З . Б . Редько часть 1 и 2 . Издательство: «Ассоциация .  Рабочая тетрадь содержит большое количество заданий и упражнений, включающие в свои условия примеры из реальной жизни, благодаря которым . . 

ГДЗ рабочая тетрадь по математике 4 класс часть 1, 2 Истомина Ассоциация 21 век .   Для четвероклассников является трудностью понимание такого сложного предмета, как математика, и решение примеров и уравнений с различными арифметическими операциями . 

Рабочая тетрадь по математике 4 класса от Истоминой, Редько . тиражирована двумя частями книгоизданием «Ассоциация 21 век» .  ГДЗ рабочей тетрадки математики 4 класса от составителей Истоминой, Редько создан совместно с книгоизданием «Ассоциация 21 век» для . . 

Тут отличные гдз по математике рабочая тетрадь для 4 класса , Истомина Н .Б ., Редько З .Б . Гармония от Путина .  Авторы УМК по математике для 4 класса Н .Б . Истомина и З .Б . Редько сделали решебник для своей рабочей тетради, который призван облегчить жизнь школьникам . . 

Подробный решебник по математике к тетради 4 -го класса автора Истомина .  Рабочая тетрадь Истомина Н .Б ., Редько З .Б . Ассоциация 21 век . На этой странице вы найдете новый решебник от нашего партнера — сайта иеуроки по математике к рабочей тетради в двух . . 

Решебник (ГДЗ ) по Математике за 4 (четвертый ) класс рабочая тетрадь авторы: Истомина, Редько издательство Ассоциация 21 век, год, часть 1, 2 .   Среди них – использование ГДЗ по математике за 4 класс рабочая тетрадь Истомина . 

«ГДЗ по математике 4 класс Истомина » поможет Вашему ребёнку максимально быстро и с минимальными трудозатратами освоить материал, который он по каким-то причинам не смог усвоить во время урока . Что он из себя представляет? «ГДЗ по математике 4 класс . . 

ГДЗ : готовые ответы по математике рабочая тетрадь за 4 класс , решебник Истомина, Гармония ФГОС, часть 1, 2 онлайн решения на GDZ .RU .  Авторы : Истомина Н .Б ., Редько З .Б . Издательство: Ассоциация 21 век . Серия: Гармония . Тип книги: Рабочая тетрадь . 

Выверенность ГДЗ по математике 4 класс может существенно помочь ребятам при выполнении д/з . Почему им стоит воспользоваться .  Рабочая тетрадь 4 класс » Истомина, они просто обязаны . И тогда можно вполне надеяться на то, что ученик приобретет хорошую успеваемость . 

Рабочая тетрадь по математике за 4 класс автора Истоминой Н .Б . 2019 года издания . Пособие по своему объему достаточно большое и охватывает 80 страниц . В него вошли готовые решения на задачи легкого и сложного уровней . 

ГДЗ (готовые домашние задания ) и решебник по математике за 4 класс (рабочая тетрадь), авторы: Истомина Н .Б ., Редько З .Б .  авторы: Истомина Н .Б ., Редько З .Б . (Ассоциация 21 век) . Друзья, на этой странице нашего сайте для вас доступны готовые ответы для рабочей . . 

Оборудование: математика : учебник для 4 класса общеобразовательных учреждений/ Н .Б . Истомина .  Рабочая программа по математике для 4 класса разработана на основе Программы Министерства образования РФ: Начальное общее образование, авторской . . 

Подробный решебник ГДЗ к рабочей тетради математике 4 класс Истомина Н .Б . 2019, онлайн ответы на домашнюю работу .  Рабочая тетрадь по математике за 4 класс автора Истомина Н .Б ., 2019 года издания . 

Не проще ли воспользоваться ГДЗ по математике 4 класс Истомина, которые доступны онлайн без скачивания и регистрации?  Если учащийся заболеет и пропустит урок, то с решебником по математике за 4 класс Истомина он быстро нагонит своих одноклассников .  

Главная Рабочие тетради 4 класс Математика 4 класс Рабочая тетрадь Истомина Редько 1, 2 часть .  ЧАСТЬ 1 . Проверь себя! Чему ты научился в первом, втором и третьем классах? Умножение на однозначное число . Деление с остатком . 

ГДЗ По Английскому 6 Класс Минасов
ГДЗ Математика 7 Класс Мерзляк Алгебра Полянский
ГДЗ Рл Русский Язык 9 Класс Ладыженская
ГДЗ Английский 5 Класс Spotlight Учебник
ГДЗ По Биологии Пономарева
ГДЗ По Русскому 7 Класс Флоренская
Решебник Биологии Рабочая Тетрадь
Биболетово 11 Решебник
ГДЗ По Дидактическим 5 Класс Виленкин
ГДЗ По Математике Мерзляк Номер 45
ГДЗ По Русскому Языку Виленкин Ладыженская
ГДЗ Дорофеев Суворова Бунимович
ГДЗ Плешаков Новицкая 1 Класс Рабочая
ГДЗ Эванс Учебник 3 Класс
ГДЗ По Географии Класс
ГДЗ Право 11
ГДЗ Ридер Афанасьева
ГДЗ По Инглишу 8 Класс Ваулина Учебник
ГДЗ По Англ Языку 2 Класс
ГДЗ По Английскому Языку 7 Класс Подоляко
ГДЗ По Истории 8 Андреев
ГДЗ Гейдман 3 Класс 2
ГДЗ Английский Номер 6 Класс
ГДЗ Физика 9 Класс Лукашик Сборник Задач
ГДЗ По Алгебре Профильный Уровень
Решебник Математика 3 Класс Миракова
Решебник По Алгебре 7 Кузнецова
ГДЗ Литературе 4 Класс Рудницкая Юдачева Тетрадь
ГДЗ По Математике Т6 Класс Мерзляк
ГДЗ Физика 10 Грачев Погожев Салецкий
ГДЗ По Химии Задания
ГДЗ Матвеева 3 Класс Рабочая Тетрадь
Наглядная Геометрия 5 Класс Решебник Ответы
ГДЗ Онлайн 1 4 Класс
ГДЗ По Алгебре 8 Макаревич
ГДЗ Учебник 3 Класс Кузнецова Евдокимова
Решебник По Геометрии Якир
Матем 5кл Дорофеев Решебник Ответы
Атанасян Геометрия 7 9 ГДЗ Номер
ГДЗ По Физике Сборник Задач
ГДЗ Английский Язык Биболетова 2014
Решебник 1 Курс Математика
Ладыженская 5 Класс Решебник ГДЗ
Разумовский 7 Решебник
Решебник По Технологии 4 Класс Рабочая Тетрадь
ГДЗ По Геометрии 97 9 Класс Атанасян
ГДЗ По Географии 7 Класс Звезда
ГДЗ 2 Класс 2014
ГДЗ По Английскому 10 Рабочая Тетрадь
ГДЗ По Литературе 4 Кутявина

Гдз По Русскому 7 Шмелев Учебник

Гдз От Путина Учебник

Гдз Ваулина 7 Рабочая Тетрадь

ГДЗ По Математике Проверочные Работы 4 Класс

ГДЗ По Математике Класс Козлов


Страница 93 — ГДЗ Математика 4 класс.

Моро, Бантова. Учебник часть 1

Вернуться к содержанию учебника

Что узнали. Чему научились

Вопрос

23. В соревнованиях по ориентированию на местности участвовало 86 школьников. Победителями стали 5 человек, а две третьих всех остальных ребят за хорошие результаты были награждены грамотами. Сколько ребят получили грамоты?

Подсказка

Повтори, что такое доли.

Если есть схематический рисунок, таблица или чертёж, краткую запись задачи составлять не нужно.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

24. 1) Запиши равенство и проверь, верно ли оно:

частное чисел 72180 и 9 равно разности чисел 90000 и 81980.

2) Запиши неравенство и проверь, верно ли оно:

произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

25. Длины сторон треугольника равны 12 см 5 мм, 4 см, 10 см 5 мм. Вырази длины сторон в миллиметрах и найди периметр этого треугольника.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

26. Начерти тупой, прямой и острый углы с общей стороной.

Подсказка

Повтори, какие бывают углы.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

27. В дом отдыха приехали 70 женщин и 50 мужчин. Сколько столов они заняли в столовой, если за каждый стол сели по 4 человека?

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

28. Найди: 1) площадь прямоугольника DEKM;

2) площадь и периметр треугольников DEK и DKM.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

29. В трёх корзинах 96 кг слив. В первой корзине 28 кг, во второй — третья часть всех слив. Сколько килограммов слив в третьей корзине?

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

30. Периметр квадрата равен 36 см. Найди его площадь.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

31.

5000 : 100 + 499800 — 250 + 130 : 5 • 2
(50100 — 100) : 100900 — 348 : 4 • 6
900 — (600 — 130 • 4) : 10696 — 612 : 6 : 3

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

32. Запиши и прочитай наименьшее семизначное и наибольшее пятизначное числа.

Подсказка

Повтори состав многозначных чисел.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вопрос

33. Покупателю продали дыни по одинаковой цене за 1 кг: одну массой 5 кг, другую массой 3 кг. Вся эта покупка стоила а р. Запиши по данному условию выражения, которые показывают: 1) сколько стоил 1 кг дыни; 2) сколько стоила каждая дыня.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вернуться к содержанию учебника


© budu5.com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Математика гармонии как новое междисциплинарное направление и «золотая» парадигма современной науки

Том I является первой частью 3-томной книги «Математика гармонии как новое междисциплинарное направление и «золотая» парадигма современной науки ». «Математика гармонии» восходит в своем происхождении к «гармоническим идеям» Пифагора, Платона и Евклида, эта трехтомная книга призвана способствовать более глубокому пониманию древней концепции «Гармонии Вселенной», основной концепции древнегреческой науки. , и внедрение этой концепции в современную науку и образование.

Этот трехтомник является результатом исследований авторов в области чисел Фибоначчи и золотого сечения и их приложений. Он представляет собой широкое введение в увлекательный и красивый предмет «Математика гармонии», новое междисциплинарное направление современной науки. Это направление имеет много неожиданных приложений в современной математике (новый подход к истории математики, обобщенные числа Фибоначчи и обобщенные золотые пропорции, обобщенные формулы Бине), теоретической физике (новые гиперболические модели Природы) и информатике (алгоритмические измерения). теория, системы счисления с иррациональным основанием, компьютеры Фибоначчи, троичная зеркально-симметричная арифметика).

Книги предназначены для широкой аудитории, в том числе для учителей математики вузов, студентов колледжей и вузов, ученых в области математики, теоретической физики и информатики. Книга может быть использована в качестве учебника для продвинутых студентов аспирантами и даже амбициозными студентами в области математики и информатики.

Примеры глав
Предисловие
Глава 2: Числа Фибоначчи и Люка


Содержимое:
  • Золотое сечение: история и применение
  • Числа Фибоначчи и Лукаса
  • Треугольник Паскаля, Фибоначчи p -Числа и золото p -Пропорции
  • Платоновы тела: от космологии Платона к фуллеренам и квазикристаллам

Читательская аудитория: Студенты и преподаватели старших классов, колледжей и университетов, специалисты, ученые и инвесторы, интересующиеся историей математики, числами Фибоначчи, золотым сечением и их обобщениями.

Гармоничная математика музыки

Согласно легенде, древнегреческий Пифагор однажды гулял по улицам Самоса, когда звуки кузнечного молота внезапно навеяли на него прозрение. Пифагор ворвался в мастерскую и, математически проанализировав форму кузнечных молотов, заложил основы музыки, на которых строятся сегодняшние Рианна, Шакира и другие.

Подожди. .. Ты про парня из теоремы Пифагора?

Я.И несмотря на то, что вы узнали в школе, эта теорема Пифагора абсолютно не является величайшей идеей Пифагора — особенно потому, что он, вероятно, даже не был тем, кто придумал теорему Пифагора. По крайней мере, я так думаю: Величайшей идеей Пифагора была математизация музыки , гармонические структуры которой впоследствии станут площадкой для игр величайших музыкантов, таких как Людвиг ван Бетховен (мы доберемся!), или как блестящий математик Ви Харт:

Сначала я немного не хотел писать эту статью, потому что я очень, очень плохо разбираюсь в музыке.Я никогда не ходил на уроки музыки, я не играю ни на одном инструменте и пою ужасно фальшиво — серьезно, , а не , попросите меня спеть! Но мне нравится слушать музыку… тем более, что я узнал об основных математических структурах математики! Думаю, это удивительный пример того, как математика позволила мне высоко оценить искусство, которому я никогда не уделял должного внимания!

Совершенство Октав

Рассказывают, что когда Пифагор начал играть молотками, он заметил, что два из них особенно гармоничны по отношению друг к другу. Он измерил вес этих молотков и обнаружил нечто совершенно поразительное.

Что он узнал?

Более тяжелый из двух молотов был ровно в два раза тяжелее более легкого! Ровно дважды .

Ровно дважды? Почему?

Я знаю! Каковы были шансы? Пифагор сосредоточился на этих молоточках исключительно из музыкальных эстетических соображений. И все же из этого личного вкуса к музыкальной гармонии возникло идеальное соотношение 2.

Ладно, на самом деле, эта красивая история, наверное, апокрифическая… Но есть ли история Пифагора, которая не апокрифична?

Это очень удивительно… и интригует!

Я знаю! На самом деле, это было настолько аккуратно, что Пифагор продолжал утверждать, что миром правят целые числа… что, по-видимому, привело его «философскую школу» к тому, чтобы потопить Гиппаса из Метапонта, потому что Гиппас утверждал, что нашел некое число с несовершенным отношением в якобы идеальное царство геометрии!

Итак, есть ли объяснение этому соотношению 2?

Чтобы понять это соотношение, Пифагор обратил внимание на простейший музыкальный инструмент: струну. Может ли быть так, что коэффициент 2, примененный к струне, также допускает некоторую музыкальную гармонию? Есть ли гармония между вибрацией струны и, скажем, вибрацией половины струны?

Есть?

Есть. Сегодня эта сущностная гармония называется октавой . На самом деле октавы настолько важны в музыке, что мы дали одно и то же название двум нотам, разделенным октавой. Тебе известно? $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$… Два $C$ разделены ровно октавой.Если это ноты, воспроизводимые струной, то одна соответствует струне, длина которой ровно в два раза больше другой.

Ладно, это была маленькая ложь. На самом деле важна не длина струны, а частота, с которой она вибрирует. Чем больше эта частота, тем выше тон ноты. Оказывается, для большинства (музыкальных) струн хорошим приближением будет сказать, что струна половинной длины будет вибрировать в два раза быстрее.

Но почему две ноты, разделенные октавой, звучат гармонично?

Есть! Возьмем более длинную строку. Допустим, он играет $C$. Это будет $C$ с низким тоном. Теперь, если вы зажмете струну посередине, струна будет вибрировать совершенно симметрично.

Пока все хорошо.

Но если не зажимать его посередине, он будет вибрировать гораздо сложнее. Очень противно сложный способ. Но есть одна вещь, которую мы знаем о вибрации струны…

Что это?

Конечные точки строки зафиксированы. И это очень важно.

Почему?

Единственными симметричными колебаниями, которые оставляют конечные точки неподвижными, являются колебания, которые точно делят струну на части одинаковой длины. Они называются гармониками различных мод . И, что удивительно, мы можем математически доказать, что любое асимметричное колебание длинной струны является суммой колебаний гармоник.

Это разложение является одним из самых замечательных фактов математики! Это называется разложением Фурье, и оно оказалось важным компонентом многих теорий, от тех, которые объясняют, как наши уши могут слышать музыку и наслаждаться ею, до того, как материя распределяется по нашей Вселенной, и до фундаментальной физики элементарных частиц. частицы!

Теперь, как вы понимаете, если вы не ущипнете струну за конец, высшие гармоники не будут достаточно громкими, чтобы их можно было услышать.На самом деле мы будем слышать в основном гармоники мод 1 и 2.

Я понял! Mode 2 это точно высшая октава?

Точно! И именно поэтому два $C$ звучат так гармонично: $C$ низкого тона также «играет» на более высоком. Он как бы содержит его, и поэтому, когда мы переходим от одного к другому, наши уши улавливают некий гармоничный континуум.

На самом деле, в наших ушах крошечные волосы слышат разные ноты. Каждый волос чувствителен к определенному тону. При переходе от одного движения к другому некоторые волосы будут продолжать свое движение, и именно это объясняет гармонию, которую затем ощущает наш мозг.

Давайте создадим заметки

Очевидно, если бы музыка состояла только из октав, это было бы немного скучно. Было бы приятно, но немного монотонно. Чтобы идти дальше, нам нужно создать новые заметки. И мы сделаем этот исключительно исходя из требований гармонии .

Что вы подразумеваете под «созданием новых заметок»?

Давайте рассмотрим одну справочную строку, и предположим, что она играет основную ноту, называемую $0$. Мы видели, что, уменьшив вдвое длину струны, мы можем определить другие ноты в полной гармонии с фундаментальным $0$.И, как мы уже говорили, эти другие ноты, которые отличаются от $0$ на октавы, также называются $0$. Говоря более формально, взятие более высоких и более низких октав определяет все ноты $0$ в музыке.

Но музыка состоит не только из $0$. Нам нужно больше записей. Как мы можем создать их с помощью последовательного математического процесса?

Как насчет деления строки на трети?

Бинго! Как мы видели ранее, когда проигрывается $0$, мы слышим все его гармоники. Более того, гармоники, которые мы слышим больше всего, будут гармониками меньших мод.Теперь, как мы видели, режимы 1 и 2 — это $0$. Далее следует режим 3. Эта гармоника режима 3 не выше октавы, поэтому это не $0$. Это должен быть новый вид заметок. Назовем его банкнотой $1$.

Важно отметить, что примечание $1$ содержится внутри $0$. Когда проигрывается $0$, мы слышим $1$. И именно поэтому две ноты гармоничны. Музыканты говорят, что $1$ — это совершенных пятых от $0$.

Вы говорили, что ноты, разделенные октавами или чистыми квинтами, звучат гармонично… Но почему я должен вам верить?

Давайте послушаем это видео.Автор видео сначала играет серию октав, а затем серию чистых квинт.

Хорошо, это звучало действительно хорошо. Но почему совершенные квинты называются совершенными квинтами?

Я вернусь к этому позже (лично я бы назвал это идеальной третьей…). Теперь, когда у нас есть одна новая заметка $1$, мы также можем создать все заметки $1’s$! Как?

Они на октавы выше и ниже созданного нами $1$!

Точно!

Круто! Но тогда разве мы не можем создать идеальные пятые части $1$?

Вы только что сделали замечательное наблюдение. Фактически, именно так мы можем создавать все ноты музыки: мы просто составляем идеальную квинту последней созданной нами ноты, а также ее октавы! Таким образом, мы строим $2$ как совершенную пятую часть $1$, $3$ как полную пятую часть $2$ и так далее.

Как вы заметили, я перестал рисовать строки, которым соответствуют ноты. Это потому, что струны высоких нот намного меньше, чем струны низких. И причина этого в том, что все эти мультипликативные процессы обязательно достигают огромных масштабов.Такие масштабы не могут быть изображены все сразу на фигуре. Вот почему вместо этого мы используем так называемые логарифмические шкалы, которые позволяют сокращать шкалы, заменяя умножения сложениями. Вот почему все $C$ на фортепианной клавиатуре расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. То, что их разделяет, описывается в терминах аддитивных вариаций, а не мультипликативных.

Этот процесс создания не останавливается?

В принципе не должно останавливаться. Мы должны создавать бесконечно много заметок!

Ты сошел с ума? Как мы можем сочинять музыку, если нот бесконечно много?

Это хорошая мысль.

Теорема о невозможности музыки

У нас должно быть конечное количество заметок. Но это может произойти только в том случае, если некоторая нота $n$, которую мы создали, «такая же», как и нота $0$. Точнее, $n$ должно быть на несколько октав выше, чем $0$.

Действительно, если $n$ совпадает с $0$, то любое $n+k$ совпадает с $k$. Следовательно, все банкноты на самом деле находятся в диапазоне от $0$ до $n-1$, и, таким образом, всего $n$ банкнот. В качестве упражнения я позволю вам доказать обратное, а именно, если имеется конечное число нот, то должна быть какая-то нота $n$, совпадающая с нотой $0$.* / \sim$. Затем у нас есть функция $\mathsf{PerfectFifth} : \mathsf{Notes} \rightarrow \mathsf{Notes}$, определяемая как $\mathsf{PerfectFifth}(x) = x/3$. Тогда любое подмножество $\mathsf{MusicalNotes} \subset \mathsf{Notes}$ стабильно по $\mathsf{PerfectFifth}$ (т.е. такое, что $\mathsf{PerfectFifth} (\mathsf{MusicalNotes}) \subset \mathsf{MusicalNotes }$) бесконечно. {12}$.{53} \приблизительно 0,998$ для определения 53 нот. Можно даже сделать лучше, и причина этого кроется в иррациональности $\ln(3)/\ln(2)$. Точнее, с помощью логарифмирования можно показать, что множество $\mathsf{Notes}$ с умножением изоморфно группе Ли окружности $\mathbb R / \mathbb Z$, и тогда совершенный пятый оператор соответствует перевод на $\ln(3)/\ln(2)$ в группе кругов. Затем эргодическая теория доказывает, что иррациональность $\ln(3)/\ln(2)$ показывает, что перенос перемешивает.В частности, повторяя совершенный пятый оператор, мы можем сколь угодно близко подойти к исходной точке (это также можно доказать с помощью теоремы Пуанкаре о рекуррентности). Но почему-то кажется, что музыканты считают, что 53 ноты — это уже слишком много, а 0,987$ уже достаточно близко к 1$… Они даже хуже физиков!

Теперь, когда у нас есть 12 нот, мы все должны упорядочить их не только в соответствии с гармонией, как мы сделали, но и в соответствии с тем, как они вписываются в одну октаву. 5$, определяется как $\sqrt[12]{2}$.5$ и $\sqrt[12]{2}$ не слышны нетренированному уху! Наконец, тот факт, что разница между любыми двумя последовательными нотами одинакова, означает, что в нотах есть своего рода однородность. Мы можем сдвинуть все песни на отношение $\sqrt[12]{2}$, и все (мультипликативные) расстояния между нотами, которые слышат только нетренированные уши, будут одинаковыми.

Эта последовательность $0$, $7$, $2$, $9$, $4$, $11$, $6$, $1$, $8$, $3$, $10$, $5$… Это похоже на случайный список чисел!

Смотри внимательно.Это вовсе не случайный список. Есть аккуратная базовая структура. От одной заметки к следующей вы либо прибавляете 7, либо вычитаете 5.

Точнее, вы всегда добавляете 7, но вычитаете 12, когда полученное число превышает 12: Последовательность представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 7 в наборе чисел по модулю 12. Другими словами, это последовательность $7k \ ; мод \; 12$ Так как 7 и 12 взаимно просты, эта последовательность сюръективна ранга 12.

Итак, это дает нам два разных способа упорядочения музыкальных нот.Мы можем упорядочить их либо по близости высоты звука в октаве, либо упорядочить их по гармонии чистой квинты:

.

На самом деле музыкальные ноты нельзя заказать. В самом деле, нельзя сказать, что $C\#$ «выше» $C$, потому что младшая $C\#$ заведомо не выше высокой $C$. Можно сказать, что это «следующая» нота. Но когда мы переходим к «следующим» нотам, таким как $D$, $D\#$ и так далее, мы в конце концов возвращаемся к $C\#$. Так что это не совсем отношение порядка. Таким образом, математически мы говорим не о порядке, а о топологии.И поскольку, «двигаясь дальше», мы в конце концов возвращаемся к исходной точке, естественная топология музыкальных нот — это топология круга. Но обратите внимание, что на самом деле существует две топологии. Один относится к «следующему более высокому тону», а другой — к «чистой пятой».

Наконец-то я могу объяснить, почему идеальная квинта называется именно так. Как видно из рисунка, между нотой $n+1$ всегда 5 нот после ноты $n$. Вот почему мы говорим, что $n+1$ — это совершенная пятая часть от $n$.

Вторая теорема музыки

В самом начале, когда я услышал о музыкальных теориях, меня обеспокоила идея аккордов.Некоторые тройки нот звучат хорошо, а другие — ужасно. Я всегда думал, что это из-за нашего образования: хорошая музыка всегда сочетается с хорошо звучащими тройняшками, и я думал, что постоянное их прослушивание заставляет нас любить их. Но с тех пор я наткнулся на более фундаментальное объяснение, которое я нахожу увлекательным.

Подождите… Какой хороший аккорд?

Самым известным из всех аккордов является мажорное трезвучие. Примером мажорного трезвучия является мажорный аккорд $C$. Мажорный аккорд $C$ играет $C$, $E$ и $G$.Этот мажорный аккорд — самый знаменитый аккорд в музыке. И с причиной. Звучит очень гармонично, в отличие от других случайных выборов из трех нот.

Итак, почему он гармоничен?

Хе-хе… Помните, как вибрирующую струну можно разложить на моды?

Да, я помню.

Итак, предположим, что режим 1 — это $C$. Тогда режим 2…

до октавой выше!

Да! Режим 3…

идеальная пятая часть от $C$, то есть $G$, верно?

Очень хорошо.4 \примерно 0,198 \приблизительно 0,2 = 1/5$. Знаете ли вы, что это значит?

Да! Это означает, что E является модой 5 строки!

Точно!

Другими словами, когда мы играем $C$, мы также слышим его лады 2, 3, 4 и 5, что соответствует $C$, $G$, $C$ и $E$. Играя C, G и E, мы усиливаем ноты, которые уже слышали! Вот почему мажорный аккорд такой гармоничный!

Вау! Это гениально!

Я знаю! На самом деле запутанная взаимосвязь между $C$ и $E$ получила название.$E$ называется старшей третью $C$. Это означает, что между музыкальными нотами существуют более сложные отношения гармонии через это отношение мажорной терции.

Как насчет минорного аккорда?

Это сложно. Минорный аккорд состоит из замены большой терции другой нотой, называемой минорной терцией. Младшая треть ноты $0$ — это нота $3$. Но эта малая терция не соответствует ни одному ладу. Он менее гармоничен. Но дисгармония или диссонанс могут лежать в основе сочинений величайших музыкантов.По крайней мере, так утверждает Наталья Сен-Клер в пользу Бетховена в следующем потрясающем видео TedEd:

Подведем итоги

Существует клише, согласно которому математическое изучение художественных явлений ведет к некоторому ухудшению художественной красоты. Я твердо убежден, что это совершенно неверно. На самом деле, мой личный опыт неоднократно говорил об обратном. Скорее, когда я узнал о науке или математике, лежащей в основе искусства, я начал ценить художественные шедевры так, как они того заслуживают.Это полностью относится к моему восприятию музыки. Математика только добавляет к музыкальному опыту. А для меня это многое добавляет!

Правда?

Говорю тебе! Но если вы мне не верите, пожалуйста, послушайте ученого, который, вероятно, лучше всех передал эту идею, великого Ричарда Фейнмана: