Домашнее задание по математике 3 класс моро бантова: ГДЗ по математике 3 класс учебник Моро 1, 2 часть

Опубликовано 31.03.197107.08.2021 автором alexxlab

Содержание

ГДЗ По Математике 3 Класса 1 Часть – Telegraph

➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

ГДЗ По Математике 3 Класса 1 Часть

Чеботаревская Т .М ., Николаева В .В . Решебник (ГДЗ ) по Математике за 3 (третий ) класс авторы: Чеботаревская, Николаева издательство Образование и воспитание, 2019 год, часть 1 . .
Белорусские ГДЗ и Решебник за 3 класс по Математике часть 1 , часть 2 поможет Вам найти верный ответ на самый сложный Тип: Учебник . Издатель: Национальный институт образования 2019 год . Белорусские ГДЗ и Решебник за 3 класс по . .

Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Математике за 3 класс Муравьева Г .Л ., Урбан М .А . часть 1, 2 . Ответы сделаны к книге 2019 года от Национальный институт образования .

ГДЗ к части 1 . Страницы учебника .

ГДЗ по математике 3 класс , авторы: , Чеботаревская Т .М ., Николаева В .В ., Образование и воспитание 2020-2021 год . Часть 1 . Страницы учебника .

. .учебнику по математике за 3 класс Моро Часть 1 , Часть 2 . Самим вам может быть трудно разъяснить школьнику все правила так ГДЗ к контрольно-измерительным материалам по математике за 3 класс Глаголева Ю .И . можно посмотреть здесь .

ГДЗ — поможет Вам сверить ответы к домашнему заданию по Математике Чеботаревская Т .М ., Николаева В .В . 3 класс . Решения выполнены к издательству Образование и воспитание 2019 . Быстрый поиск заданий . Часть 1 . Страницы учебника .

Гдз к учебнику Моро 3 класс . ГДЗ и ответы к учебнику математики за 3 класс (Часть 1 – 2) Моро, Бантова, Волкова .

ГДЗ решебник и ответы 3 класс , Математика , Моро М .И ., Волкова С .И ., Степанова С .В ., Бантова М .А ., Бельтюкова Г .В ., Учебник, 1 часть , год, 2019 год, 2019 год, 2019 год, 2020 год, 2020 год . Готовые домашние задания с подробными ответами .

На портале готовых домашних заданий вы найдете решенные упражнения по учебникам любых авторов, включая гдз по математике 3 класс Моро . Сегодня ГДЗ -онлайн – эффективное средство для самообучения и получения пятерок . Часть 1

Решебник по математике за 3 класс к учебнику Моро пятого издания года . Ответы находятся в бесплатном доступе . 3 класс . Учебник для общеобразовательных организаций . В 2 частях . /

Смотрите любимые видео, слушайте любимые песни, загружайте собственные ролики и делитесь ими с друзьями, близкими и целым миром .
Используем грамотно готовые домашние задания для обучения . Представленные «ГДЗ по Математике 3 класс» — отличный выбор для тех, кто хочет повысить общий уровень своей эрудиции и найти ответы на сложные задания для себя .

В этой статье речь пойдет о математике по программе Начальная школа 21 века за 3 класс . Здесь же и сразу надо сказать, что собственно и так ясно из наименования программы, что математика эта рассчитана на начальную школу . .
Изучение программы по математике в 3 классе становится неотъемлемой частью общего курса изучения предмета в начальной школе . Основные вопросы, которые будут максимально подробно рассмотрены в ГДЗ по математике за 3 класс, это решение примеров, включающих . .

ГДЗ к части 1 . Страницы учебника .

Гдз к учебнику Моро 3 класс . ГДЗ и ответы к учебнику математики за 3 класс (Часть 1 – 2) Моро, Бантова, Волкова .

Решебник По Математике 3 Класса 2 Часть
ГДЗ Английский 9 Афанасьева Михеева Баранова
ГДЗ По Литературной Тетради 2 Класс
ГДЗ 2 Класс Бунеева Пронина
Forward 4 Класс ГДЗ Рабочая Тетрадь
ГДЗ Русский Язык 10 Гольцова 2006
ГДЗ По Географии 8 Класс Вентана Граф
ГДЗ Пурышева 8
ГДЗ Английский Язык Starlight 2
ГДЗ По Алгебре 9 2001
ГДЗ По Русскому 4 Класс Климанов
Бесплатно ГДЗ Петерсон 3 Класс
Английская Тетрадь 2 Класс Решебник
ГДЗ Математика 6 Клас Істер
ГДЗ По Математике 6 Класс Никольский Ответы
ГДЗ По Английскому Четвертый
ГДЗ Шевкин 6
Решебник Английский Язык 4 Класс Книга
ГДЗ По Ино 9 Класс Ваулина
Башкирский Язык 2 Класс ГДЗ
ГДЗ По Английскому Языку 10 11 Кузовлев
ГДЗ По Английскому Языку Jenny Dooley
ГДЗ Русский 7 Шмелев Флоренская
ГДЗ Мордкович 10 Класс База
Геометрия 7 Класс Макарычев Учебник ГДЗ
ГДЗ По Алгебре 8 Дидактический Материал Мерзляк
ГДЗ По Алгебре Контрольная 8
Математика 3 Петерсон Ответы ГДЗ
Математика 5 Класс Виленкин ГДЗ Видео
ГДЗ Математика 6 Зубарева Учебник
Решебник Соколова 3 Класс
ГДЗ Физика 10 Перышкин
Канакина 1 Класс ГДЗ Учебник Ответы
ГДЗ П Русскому 4 Класс Учебник
Решебник Рабочая Русский 4
ГДЗ Чтение Климанова Виноградская Бойкина
ГДЗ По Алгебре 8 Класс Номер 4
Решебник Коровина 5 Класс
ГДЗ По Английскому Рабочая Тетрадь Ваулин
ГДЗ По Литературе 3 Класс Учебник Ответы
ГДЗ Петерсон 4
ГДЗ По Физике 8 Класс Перышкин Упражнение
ГДЗ Дидактические Материалы 8 Класс Алгебра Мерзляк
ГДЗ По Геометрии 8 Класс Позняк
ГДЗ Учебника 4 Класса Башмакова
Решебник По Английскому 6 Класс Автор Афанасьева
ГДЗ По Математике 1 Часть 2020
ГДЗ Немецкий Язык 11 Класс Вундеркинды Радченко
ГДЗ История России 9 Симонова
Решебник По Алгебре Учебник Никольский

Готовое Домашнее Задание Чтение 3 Класс

ГДЗ По Английскому 6 Класс Тетрадь Комарова

ГДЗ Горизонты 5 Класс Учебник

Гдз По Львовой 7 Класс

Гдз По Математике 3 Класс Миракова

Решебник по математике 10 класс алгебра

Решебник по математике 10 класс алгебра — eebifoomah.

dianov.org

Решебник по математике 10 класс алгебра

ГДЗ (решебник) алгебра 10 класс Колягин Ю.М. — Алгебра. Решебник и ГДЗ к учебникам и тетрадям по Алгебре за 7 класс, для всех авторов. Проверяй. Подробный решебник (ГДЗ) по Математике для 6 класса , Авторы учебника: Н.Я. Виленкин, В.И. Подробные решения и гдз по математике 5 класс, авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков. Подробные ГДЗ от GDZ.life по математике для 2 класса, автор Петерсон Л.Г. Все задания проверены. Решебник по математике 6 класс Герасимов , Пирютко В 6 классе ты заканчиваешь изучать. Онлайн решебник (гдз) по математике за 4 класс Моро, Бантова, Бельтюкова, Волкова, Степанова. Готовое домашнее задание (ГДЗ или решебник) для учебника по математике. 6 класс : учебник. ГДЗ (решебник) по истории 8 класс Арсентьев Н.М. часть 1, 2 — История. Подготовка к ЕГЭ по математике, варианты, тесты, конспекты по математике, алгебре, геометрии.

На сайте Решеба представлены решебники (ГДЗ) для всех классов по алгебре, геометрии. Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по математике рабочая тетрадь для 3 класса, Моро. Тридцатая школа — каталог готовых домашних заданий по различным общеобразовательным. Заходите, не пожалеете! Тут отличные гдз по математике рабочая тетрадь для 2 класса, Моро. Решебник онлайн – это лучший помощник для школьника. Ежегодно, в очередной раз, переступая. Подробное решение номер 1140 по математике для учащихся 6 класса , авторов Н.Я. Виленкин, В.И. Подробное решение номер 1195 по математике для учащихся 6 класса , авторов Н.Я. Виленкин, В.И. Заходи и делай уроки с онлайн ГДЗ по Математике 6 класс Никольский. Большая база решебников. Решебник. Готовые Домашние Задания для 4 класса по Математике, Информатике. Козлова С.А. Задание 1. В математике действует правило — от перемены мест слагаемых сумма. В разделе ОГЭ по математике вы найдете демонстрационные варианты ОГЭ и их решения. На Yangteacher.ru вы найдете ГДЗ для любого класса, у нас только качественные учебники.

Бесплатные объявления о продаже учебной литературы и учебников, БУ и новых в Саратове. Что содержат решебники за 7 класс. У нас представлены решебники по школьным предметам

Links to Important Stuff

Конспект урока «Окружность,круг»

Конспект урока математики по теме: «Круг. Окружность»

Цели и задачи урока:

Познакомить с новыми понятиями (круг, окружность, радиус, диаметр).
Учить пользоваться циркулем для вычерчивания окружности.
Провести инструктаж по технике безопасности о правилах пользования циркулем и ножницами.
Закреплять умения решать задачи и примеры.
Развивать вычислительные навыки, внимание, логическое мышление, память.
Воспитывать трудолюбие, дисциплинированность; товарищество; аккуратность и осторожность, применяя циркуль и ножницы.

Форма проведения урока: мастерская.

Оборудование: Учебник “Математика” 3 класс часть1/ Сост. М. И. Моро, М. А. Бантова, модели фигур; циркуль; ножницы; клей; цветная бумага; образец аппликаций.

Ход урока

І. Организация класса.

У: Создадим друг другу хорошее настроение. Как вы это сделали?

Д:

— Улыбнулись друг другу.

— Пожелали получить “5”.

— А я пообещал помочь тому, кто будет затрудняться.

— Я желаю успехов в работе.

У: А какой девиз нашей работы?

Д (хором): Все помогают каждому, каждый помогает всем.

У: Я желаю вам хорошо поработать, творить красиво, аккуратно.

ІІ. Постановка темы и целей урока.

У: Продолжаем работать в нашей мастерской. На доске записана тема урока (закрыта). Мы должны ее узнать и поставить перед собой задачи.

1). Расшифруйте запись, расположив ответы в порядке убывания, и вы узнаете слово. Для этого нужно увеличить каждое из чисел в 9 раз.

5 – р

4 – у

0 — г

7 — к

Ответ:

2). Расшифруйте запись, расположив ответы в порядке возрастания, и вы узнаете слово.

Ответ:

В группах ученики думают над тем, какая же тема урока.

У: — Кто догадался, какая тема урока? (Дети называют.)

Д:

— Я думаю, что мы узнаем о круге.

— А я думаю, что мы узнаем об окружности и вспомним, что знаем о круге.

У: Молодцы, ребята! Вы правильно догадались. А еще сегодня будем учиться пользоваться циркулем для вычерчивания окружности. Узнаем еще новые понятия: радиус и диаметр.

ІІІ. Работа над пройденным материалом.

У: Все учебные задачи принимаются, но сначала потренируем внимание и память.

Выполните упражнение 5, стр. 95 самостоятельно:

1 вариант – 1 строка; 2 вариант – 2 строка; 3 вариант – 3 строка.

Взаимопроверка осуществляется так: дети 1 варианта 1 группы проверяют работу детей 1 варианта 2 группы и наоборот; дети 2 варианта 1 группы проверяют работу детей 2 варианта 2 группы и т.

д.

Поставьте на полях оценку.

ІV. Работа над новым материалом.

1). Работа по учебнику, стр. 94.

У: С кругом вы знакомы с детства. Где мы можем встретить круг?

Д:

— Я видел циферблат в часах в форме круга.

— А я катаюсь на велосипеде и ведь колеса тоже в форме круга.

— У телефона тоже есть круг, который мы вращаем, набирая номер.

У: Правильно, ребята. Консервная крышка тоже имеет форму круга. (Показываю.) Границы любого круга – этоокружность. Резинка, которую можно вынуть из консервной крышки (показываю) – это “окружность”. Прочитайте правило об окружности в учебнике (с. 94) и скажите, что вы о ней узнали.

2). Беседа о циркуле. Правила техники безопасности: “Правила пользования циркулем и ножницами”.

Циркуль – это чертежный инструмент. С ним нужно работать осторожно. Нельзя подносить иглой к лицу и нельзя передавать циркуль соседу “иглой вперед”. Ножницами также нужно пользоваться осторожно: к лицу не подносить, передавать соседу “тупым концом”, т.

е. колечками.

У: Расскажите правила пользования циркулем и ножницами.

(Дети рассказывают.)

У: Какая ножка циркуля стоит в центре окружности – игла или грифель?

Д:

— Я думаю, что в центре окружности должна быть игла.

— Конечно игла, потому что грифель должен рисовать.

У: Острый конец циркуля всегда должен оставаться в одной точке, а расстояние между ножками циркуля не должно меняться. Его нужно держать за хвостик, а не за ножку.

(Центр учитель отмечает и показывает на чертеже.)

У: Какой ножкой циркуль чертит?

Д: Циркуль чертит грифелем.

У: Прочитайте об этом в учебнике, стр. 94.

У: Ножки циркуля двигаются. Что надо сделать, чтобы начертить большую окружность – развести их или сдвинуть ближе?

Д:

— Я думаю, что нужно ножки циркуля развести.

— Нет, я думаю их нужно сдвинуть ближе.

— Ты ошибаешься: если ты сдвинешь ближе ножки циркуля, то получишь маленькую окружность, а нам нужно начертить большую окружность.

У: Ты правильно догадался, Алеша. Чтобы начертить большую окружность, ножки циркуля нужно развести. Попробуйте начертить самую большую окружность, какая поместится на вашем листе. (Ученики чертят самую большую окружность, отмечают, у кого лучше в группе получилось.) А теперь самую маленькую, какая у вас только получится (на том же листе в любом месте, можно внутри большой окружности).

3). Составление аппликации на цветной бумаге.

Материал: образец аппликации, циркуль, цветная бумага для основы, клей, ножницы.

1 группе нужно сделать аппликацию “Страусенок”.

2 группе – аппликацию “Цыпленок”.

Дети делают аппликацию на листе цветной бумаги. Детали дорисовывают фломастером. Можно нарисовать фон или траву, солнышко.

V. Физкультминутка.

У: А сейчас немного отдохнем.

Руки подняли и покачали

Это деревья в лесу.

Руки согнули, кисти встряхнули

Ветер сбивает росу.

В стороны руки, плавно помашем —

Это к нам птицы летят.

Где они сядут, тоже покажем –

Руки согнули назад.

4). Задание 1, стр. 95. Прочитайте внимательно.

Начерти и вырежи любой круг и убедись с помощью перегибания, что диаметр делит круг пополам. Раскрась половину круга. Сколько половин в круге?

Материал: циркуль, бумага, ножницы.

У: Начертите любую окружность. Вырежьте круг, отметив центр (проколите его грифелем). Согните круги так, чтобы центр оказался на линии сгиба. Сколько половин в круге?

Д:

— Круг разделили на две части.

— Получилось две половины.

У: Закрасьте половину круга. Какие получились части?

Д:

— Я думаю, одинаковые части.

— А я тоже так думаю.

— Мне кажется, что на равные части разделили круг.

У: Почему вы думаете, что они равные?

Д:

— Они подходят, если приложить одну часть к другой.

— Я поняла, почему равные части, они ведь совмещаются.

У: Молодцы. А какая линия сгиба?

Д:

— Она ровная, гладкая.

— Она прямая.

У: Верно, линия сгиба прямая. Есть ли у нее начало и конец?

Д: Есть.

У: А как она называется?

Д:

— Мне кажется, что это отрезок.

— Я тоже думаю, что это отрезок.

У: Правильно, ребята. Молодцы. Посмотрите, я еще построю несколько отрезков в этом круге. Чем отличается первый отрезок от всех остальных? (Учитель делает в круге еще несколько сгибов параллельно диаметру.)

У: А еще чем интересен этот отрезок? Чем он отличается от всех других?

Д: Он проходит через центр.

У: Этот отрезок, который проходит от края круга до другого края через центр, называется — диаметр. Из всех отрезков, соединяющих два противоположных края круга, диаметр – самый длинный.

Прочитайте о диаметре в учебнике, стр. 95.

5). Упражнение. Рисунок на доске.

У: Выберите на рисунке на доске те окружности, в которых проведен диаметр.

У: Сколько диаметров можно провести в окружности?

Д:

— Думаю, что диаметров может быть много.

— И я тоже так считаю.

У: Какие они все по длине?

Д:

— Они одинаковые.

— Еще можно сказать равные.

У: Согните ваш круг по диаметру. (Дети складывают.) Вы получили полукруг. А теперь сложите полукруг пополам. Где оказался центр круга? Покажите его. У этой фигуры, которую мы получили, есть свое название –сектор. Разверните ваш круг. Проведите пальцем от центра круга до его края по сгибу. Этот отрезок называется, словом радиус.

— Сколько радиусов на вашем круге?

Д:

— У меня получилось 4 радиуса.

— У меня тоже их 4.

У: Какие по длине все радиусы? Проверьте с помощью циркуля.

Д: — Радиусы одинаковые.

У: Прочитайте о радиусе в учебнике, стр. 94.

6). Задание 2, стр. 95. Прочитайте задание.

Измерь радиус каждой окружности и начерти окружности с такими же радиусами, но с центром в одной и той же точке.

Ребята работают самостоятельно.

7). Самостоятельная работа. Решение задач.

2 ученика решают у доски.

1 вариант решает задачу 3, стр. 95

2 вариант решает задачу 4, стр. 95

Самопроверка.

Учитель оценивает работу учащихся, а командиры групп помогают учителю.

VІ. Итог урока. Рефлексия.

У: На протяжение урока вы были активны и внимательны.

Справились ли мы с вами с поставленными задачами?

Д: Да, справились.

У: Что на уроке вам больше всего понравилось?

Д:

— Мне понравилось решать примеры и задачи.

— А мне понравилось чертить циркулем.

— А мне нравится работать самостоятельно.

— Мне понравилось делать аппликацию. Они получились у нас красивыми.

— Мне тоже понравилось чертить циркулем и еще делать аппликацию.

У: Что вы запомнили об окружности?

Д:

— Я запомнила, что ее можно начертить с помощью циркуля. Им нужно пользоваться осторожно, аккуратно.

— А еще окружность – это граница круга.

У: Чем круг отличается от окружности?

Д: Мы сказали, что окружность – это граница круга. А круг – это площадь, ограничиваемая окружностью.

У: А что вы запомнили о диаметре?

Д:

— Диаметр – это отрезок, который проходит от края круга до другого края через центр.

— Этот отрезок самый длинный. Он соединяет два противоположных края круга.

— В круге можно провести сколько угодно диаметров. Они будут одинаковые.

У: Молодцы, ребята. А что такое радиус?

Д:

— Это отрезок, соединяющий центр окружности с какой–нибудь ее точкой.

— Радиусы равны.

У: А теперь я предлагаю сделать еще одну аппликацию. На плакате нарисован цирковой слон. Он очень любит жонглировать мячами, но сегодня мячей у него нет. У вас на столе есть цветная бумага. Вы начертите окружность, какая вам понравится, вырежете круг и наклеете так:

красный круг, если вам понравилось работать на уроке;
синий круг – не понравилось работать на уроке;
зеленый круг – не очень понравилось.

(В результате из 10 человек, обучающихся в классе, было наклеено 10 красных кругов.)

У: Спасибо за урок. Мне очень понравилось, как вы работали.

Учитель объявляет оценки.

VІІ. Домашнее задание.

Прочитать материал учебника, стр. 94; 1 вариант – задача 4, стр. 95; 2 вариант – задача 3, стр. 96; на альбомном листе нарисовать орнамент с помощью циркуля.

Окружность. Круг

Цель: познакомить с понятиями « окружность», « круг»; закреплять знание таблицы умножения, умение решать задачи изученных видов; учить рассуждать и делать выводы.

Планируемые результаты:

1. учащиеся научатся чертить окружность;

2. различать понятия « круг» и « окружность»;

3. находить радиус и диаметр окружности;

4. пользоваться таблицей умножения и деления;

5. решать задачи изученных видов;

6. вести диалог.

Оборудование: тетради по математике, учебники по математике для 3класса; карточки с заданиями для самостоятельной работы; циркуль.

Ход урока.

I. Организационный момент

Посмотрите все ль в порядке,

Книжки, ручки и тетрадки.

Долгожданный дан звонок,

Начинается урок!

II. Актуализация знаний

1. Индивидуальная работа

(Несколько учеников получают карточки с задачами.)

*Сумма двух чисел 28, первое слагаемое 7. Насколько сумма больше этого слагаемого? Во сколько раз это слагаемое меньше суммы?

* Когда из бидона налили 5 кувшинов молока по 2 л в каждый, в нем осталось 9 л молока. Сколько литров молока было в бидоне?

2. Устный счет

— Назовите примеры с ответом 75.

72+3 72+2 100-25 78-3

25+20 25+50 98-42 86-30

— Вставьте пропущенные знаки арифметических действий так, чтобы получились верные равенства.

45…5=9 55…55=1

1…11=11 0…1=1

-Заполните таблицу.

Делимое	54		8		24	63	20	0
Делитель		9	4	5		9		1
частное	9	3		9	6		2

III. Самоопределение к деятельности

Сегодня Знайка – верный друг-

Расскажет про окружность нам и круг.

Есть у него помощник лихой,

Он чертит друг одной ногой,

А другой проткнул бумагу,

Зацепился и ни шагу.

Что за друг у Знайки,

Подумай, отгадай-ка. ( Циркуль.)

— Как вы думаете, о чем мы будем говорить сегодня на уроке?

— Сформулируйте тему и задачу урока.

IV. Работа по теме урока.

1. Знакомство с новым материалом

— Какие окружающие нас предметы имеют форму круга? ( Ответы детей.)

— Как можно изобразить круг на бумаге (Ответы детей.)

Удобнее всего воспользоваться циркулем. Вот он, Знайкин помощник.

( Учитель показывает разные виды циркулей: для работы на доске, ученический, чертёжный.)

Циркуль имеет 2 ножки. Одна нужна для устойчивости, он зацепляется ею за бумагу, а вторая работает- чертит.

— Возьмите циркуль, поставьте ножку с иголочкой на бумагу, а ножкой с грифелем очертите окружность.

(Учащиеся работают на альбомных листах. Учитель выполняет все действия вместе с детьми.)

— Закрасьте фигуру цветным карандашом. Напомните мне, как она называется. ( Круг.)

— Отметьте простым карандашом точку, которая осталась от иголочки.

Это центр круга.

— А сейчас найдите границу круга. Что это? (Линия, которую оставил грифель.)

Граница круга – это окружность.

— Начертите рядом окружность.

— Выделите точку, оставленную иголочкой.

Это центр окружности.

— Обозначьте центр окружности буквой О.

— Возьмите линейку и соедините центр окружности с любой точкой на окружности.

Вы начертили радиус окружности.

_-А сейчас проведите отрезок через центр окружности так, чтобы его концы лежали на окружности.

Это диаметр окружности.

2. Работа по учебнику.

— Прочитайте текст рядом с красной чертой на с.94 учебника.

— Что такое радиус? (дети читают в учебнике.)

— Чем различаются круг и окружность? ( Окружность – это граница круга.)

№1 (с.94)

— Прочитайте задание.

— Как вы будите чертить окружность? (Нужно поставить ножку циркуля с иголочкой на бумагу, ножкой с грифелем обвести окружность. Нужно следить, чтобы иголка не выходила из точки и ножка циркуля не двигалась.)

— Что такое круг? ( Окружность с внутренней частью.)

— Выполните задание.

№ 3 (с.95).

— Измерьте радиусы окружностей.

— Чему равен радиус первой окружности? (20 мм.)

— Чему равен радиус второй окружности? (15 мл.)

— Выполните задание.

— Что такое диаметр? ( Отрезок, который проходит через центр и соединяет две точки окружности.)

— Проведите диаметры в окружностях, которые вы начертили, синим карандашом.

V.Физкультминутка.

Чтобы нам не уставать,

Надо немного пробежать.

По прямым дорожкам длинным

Влево — вправо, влево — вправо.

Ох, забот у нас немало

Пройдем по синему овалу.

Получается на славу!

Зоркость, чтоб развить немножко,

Пойдем по красненькой дорожке,

А потом кругом, кругом,

Все бегом, бегом, бегом…

VI. Закрепление изученного материала

Работа по учебнику

№ 4 (с.95).

— Прочитайте задачу. Каким способом будет удобнее её решить?

— Что примем за единицу? ( Расход семян на 1 кг масла.)

— Начертите таблицу и решите задачу.

(Один ученик работает у доски. Проверка. Самопроверка.)

Расход семян на 1 кг масла	Количество масла	Всего кг
? одинаковый	6 кг	30кг
? одинаковый	?	25 кг

Решение: 25: (30:6)= 5 (кг).

Ответ: из 25 кг семян можно получить 5 кг масла.

№ 6 (с.95).

Первый столбик – первый ряд, второй столбик – второй ряд, третий столбик – третий ряд. Работа в парах по проверке, самооценка.

VII. Рефлексия

— Оцени свою работу на уроке.

VIII. Подведение итогов урока.

— Что нового узнали сегодня на уроке?

— Что такое круг, окружность?

— Как провести радиус, диаметр?

— Какое приспособление используют для этого?

— Молодцы, спасибо за внимание!

Домашнее задание

Учебник: № 5 (с.95), задание на полях.

Дополнительное задание: нарисовать на листе А4 с помощью циркуля узор из кругов.

Технологическая карта по математике на тему «Морское путешествие» (4 класс)

Технологическая карта урока математики

Класс: 4Б

Учитель: Похабова Любовь Васильевна

Тема: Письменное деление на двузначное число. Закрепление.

Форма проведения: Интегрированный урок-игра «Морское путешествие»

Тип урока: урок закрепления знаний.

Технологии: элементы развивающей технологии, разноуровневое обучение, элементы проблемного обучения, информационно-коммуникативные технологии; здоровьесберегающие технологии; игровые технологии; обучение в

сотрудничестве.

Учебник: М.И.Моро, Математика, учебник 4кл., ч. 2, Москва, «Просвещение» 2014

Цели:

1.Создать условия для эффективного повторения.

2.Способствовать развитию умственной деятельности и вычислительных навыков, в соответствии с индивидуальными особенностями обучающихся.

3.Формировать у обучающихся коммуникативность, умения сдерживаться и преодолевать трудности.

Задачи:

1) Воспитательные (формирование личностных УУД):

— способствовать воспитанию устойчивого интереса к изучению математики через использование современных средств обучения;

— строить продуктивное речевое взаимодействие со сверстниками и взрослыми;

— способствовать развитию экологического сознания, осознание ценности изучаемого материала и практической его важности

— формировать умение выражать свои мысли, слушать собеседника, умение аргументировать свое предположение

— воспитывать любовь к природе, чувство ответственности за свою планету.

2. Развивающие (формирование регулятивных УУД):

— формировать умение анализировать, делать выводы, планировать последовательность действий и при необходимости изменять их;

— осуществлять самоконтроль, взаимопроверку, самооценку.

3.Обучающие (формирование предметных УУД):

-совершенствовать вычислительные навыки;

— закреплять навыки решения задач различных типов, знания геометрических фигур и нахождения площади и периметра прямоугольника; решение уравнений;

— развивать внимание, наблюдательность, смекалку, математическую речь.

Формы работы учащихся: фронтальная работа, индивидуальная работа, работа в парах, работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация;

— конверты с геометрическим заданием;

— кроссворд на каждого ученика;

— ноутбук, проектор, экран;

— жетоны с изображением рыбки;

Этап урока, время этапа

Задачи этапа

Формы учебного взаимодей-ствия

Содержание учебного материала. Деятельность

учителя

Деятельность обучающихся

Универсальные учебные действия.

Технологии.

Мотивация к учебной деятельности.

2 мин

Мотивировать учащихся к учебной деятельности посредством создания эмоциональной обстановки.

Фронтальная, индивидуальная.

Учитель приветствует учащихся, настраивает их на работу, на познавательную деятельность.

— Добрый день!

-Прозвенел звонок, начинается урок математики. Я улыбнусь вам, и вы улыбнитесь друг другу и подумайте, как хорошо, что мы сегодня все вместе.

— Посмотрите все ли у вас готово к уроку.

Слайд

— Мы отправимся с вами в морское путешествие на нашем математическом корабле с белыми парусами, по океану Знаний, на поиски сокровищ к таинственному острову. Каждый из вас – капитан, ведущий свое судно через море, но море это не простое, математическое. На каждом корабле ведут бортовой журнал, в который записывают все, что произошло за время путешествия. Ваша тетрадь на время урока превращается в бортовой журнал, который будете вести вы сами.

Приветствие учителя. Эмоциональный настрой на урок. Дети настраиваются на работу, самоопределяются к деятельности. Выражают готовность к сотрудничеству.

Личностные: самоопределение к деятельности;

Регулятивные: целеполагание;

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

II.

Актуализация опорных знаний. Устный счет.

3 мин

Актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия материала: анализ, обобщение, синтез. Отработать навыки устного счета

Фронтальная

Учитель организует индивидуальную и фронтальную работу по систематизации знаний детей. Опора на имеющиеся знания у детей.

-Чтобы начать наше путешествие, надо поднять якорь. Для того чтобы его поднять, мы должны назвать тему и цель путешествия.

-Для этого выполним задание.

Слайд

Чтобы спорилась работа, начнем с «гимнастики ума» -устного счета. Ответ покажи карточкой.

Самопроверка по слайду.

-сколько ног

-кажд след

-на корабль

-масса одной сетки

— Оцените свою работу с помощью рыбок. Они у вас на партах.

Зеленая рыбка — нет ошибок.

Синяя рыбка – у меня есть ошибки, я встретил трудности.

-Молодцы!

— Перед вами наше море, в которое мы будем выпускать рыбки за выполненные задания.

— Выпускаем первую рыбку.

Тренировка соответствующих мыслительных операций, фиксация обучающимися затруднений в индивидуальном выполнении ими учебного действия. Выражают готовность к путешествию.

В диалоге отвечают на вопросы учителя. Сигнальные карточки, словесная характеристика.

Самопроверка.

Самооценка.

Педагогика сотрудничества.

Личностные:

смыслообразование; нравственно – этическое оценивание; осознание ценности изучаемого материала и практической его важности;

развитие познавательных интересов.

Регулятивные:

участвовать в оценке и обсуждении полученного результата, самооценивание.

Познавательные:

анализ, синтез, структурирование знаний; понимать заданный вопрос, в соответствии с ним строить ответ в устной форме.

Коммуникативные:

умение выражать свои мысли.

III

Целепологание. Формулировка темы урока.

Сформулировать и согласовать тему и цели урок построить план достижения цели.

Фронтальная

Корректирует ответы учащихся.

-Какое действие вы использовали, чтобы решить эти задачи?

— Молодцы!

— И наш остров будет называться остров «Деление».

-Нас ждут трудности и испытания, но мы их вместе преодолеем.

-Как вы думаете, что нам поможет преодолеть эти трудности в нашем нелегком путешествии?

— Правильно, мы на уроке закрепим наши знания таблицы умножения и деления.

-Тема нашего урока «Закрепить знания письменного деления на двузначное число»

-Как вы думаете, какова цель нашего путешествия?

-Якорь подняли, пора в путь.

Формулируют тему урока. Ставят цель к деятельности. Отвечают на вопросы учителя. Делают выводы на основе обобщения.

Информационно-коммуникативные технологии.

Регулятивные:

Развиваем умения самостоятельно формулировать цели урока после предварительного обсуждения.

Познавательные:

Слушать вопросы учителя, построение речевых высказываний, анализ, синтез, их обоснование.

Коммуникативные:

Учет мнений собеседника, умение слушать.

IV.

Работа по теме урока

32 мин

Создать условия для применения имеющихся знаний, умений; повторить алгоритм деления многозначных чисел на двузначное;отрабатывать вычислительные навыки; решать задачи.

Фронталь-ная, индивидуальная

Использует межпредметные связи. Поддерживает активность, заинтересованность детей в успешном выполнении заданий.

-Откройте свои судовые журналы, запишем число, классная работа.

-Наш корабль вышел в открытое море. А здесь подстерегают опасности.

Учитель и ученик общаются с позиции сотрудничества, при этом учитель активно включает каждого в учебный процесс, а также поощряет учебное сотрудничество между обучающимися, обучающимися и учителем. В их совместной деятельности у обучающихся формируются общечеловеческие ценности.

Информационные технологии.

Личностные:

Смыслообразование; нравственно-этическое оценивание.

Регулятивные:

Выбор действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации. Самооценивание.

Познавательные:

Анализ, синтез, моделирование, построение речевого высказывания.

Коммуникативные:

Развиваем умения отвечать на вопросы учителя; находить общее решение; оформлять свои мысли в устной и письменной речи; высказывать свою точку зрения и пытаться ее обосновать, приводя аргументы.

1. Решение выражений на деление с объяснением

Совершенствовать вычислительные навыки.

Фронталь-ная, индивидуальная.

Слайд . -Но что это? Это айсберги, наткнувшись на которые наш корабль может дать течь и затонуть. -Что такое айсберг? Чтобы избежать столкновения с ним необходимо выполнить задание.

-Решите следующие выражения: 192480:24 (1 ряд)

146880:36 (2 ряд)

143520:16 (3 ряд)

-Чтобы правильно решить примеры, давайте вспомним алгоритм деления на дузначное число.

-Запись решения проводим в своих судовых журналах, устно проговариваем для себя алгоритм.

– Проверьте.

1 ряд- 8020

2 ряд- 2080

3ряд- 8970 – Оцените свою работу с помощью рыбок. Зеленая рыбка — нет ошибок. Синяя рыбка – у меня есть ошибки, я встретил трудности. –Благодаря вашему умению мы избежали столкновения с айсбергом. Выпускаем нашу рыбку в море. – Отправляемся дальше.

Рассказ ученика.

Айсберг- это плавучая ледяная гора. Могут быть на плаву или «сидеть» на мели. Высота над поверхностью воды доходит до 70 метров.

Обучающиеся рассказывают алгоритм и выполняют вычисления.

Самопроверка.

Самооценка.

Личностные:

нравственно-этическое оценивание.

Регулятивные:

Выбор действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации. Самооценивание.

Познавательные:

анализировать и сравнивать объекты,

Коммуникативные:

Развиваем умения отвечать на вопросы учителя; оформлять свои мысли в устной и письменной речи;

2). Работа над задачей.

Закрепить умение решать задачи изученных видов.

-А кто это плещется, ныряет там впереди? Дельфины – животные, которые много раз помогали тонущим людям спастись.

-Дельфины предлагают нам решить задачу.

Слайд.

—Прочитайте задачу про себя.

-Читаем вслух.

-Выйдет к доске ….,

Для удобства решения составим краткую запись в виде чего, как вы думаете? (таблицы )

Ученик получает рыбку.

Рассказ ученика.

Крупный дельфин белуха, обитатель полярных морей. Длина тела может достигать 6 метров, а масса до 2 тонн. Особенность этих животных: громкий рев, который далеко разноситься над водой. В летний период эти животные объединяются в большие стада.

Ученик моделирует краткую запись, записывает решение задачи с объяснением. Класс выполняет проверку.

Индивидуальный и дифференцированный подход.

Регулятивные:

Формируем умение составлять план деятельности при решении задачи с помощью учителя.

Познавательные:

моделирование, построение речевого высказывания.

Коммуникативные:

Формируем и отрабатываем умение согласованно работать в коллективе.

Физкультминутка

1 мин.

Эмоциональная разгрузка и снятие физического напряжения.

Фронталь-ная

Проводит физминутку.

-Прежде чем отправимся дальше давайте немножко отдохнем.

Слайд.

— Молодцы, тихонечко сели.

Выполняют упражнения.

Коммуникативные:

Уметь взаимодействовать в команде.

Продолжение работы по теме урока

1).Нахождение периметра и площади прямоугольника.

Обеспечить осмысленное усвоение задания и закрепление умений находить периметр и площадь прямоугольника.

Работа в парах.

Выясняет, сколько пар выполнили верно, и сколько допустили ошибки.

Ветер по морю гуляет.

И кораблик подгоняет…

Слайд.

—Огромная морская рыба задает вам задание.

-На партах у вас лежат конверты с заданием. – Что в конверте? (геометрическая фигура, прямоугольник)

-Докажите, что это прямоугольник. (все 4 угла прямые, противоположные стороны равны)

-Хорошо. Послушайте задание:

-измерьте стороны прямоугольника, чему они равны?

(а= 7см, в=3см)

-Найдите периметр и площадь прямоугольника, запишите в тетрадь.

— Как вы нашли периметр прямоугольника? (длину сложили с шириной и умножили на 2)

-Кто нашел по другому?

-Кто прав?

-Как вы нашли площадь прямоугольника? (длину умножили на ширину). Проверяем.

Ученик получает рыбку.

1.Измеряют стороны и находят площадь и периметр прямоугольника.

2.Выполняют задания с взаимопроверкой, сообщают о результатах.

Рассказ ученика про акул.

Это очень древние рыбы. Акулы размножаются откладывая яйца. Среди акул есть хищники и мирные поедатели планктона. Китовая акула – самая крупная рыба в мире, несмотря на устрашающий внешний вид, абсолютно безвредна. Синяя акула считается акулой – людоедом. Серая акула живет в тропических морях. На людей не нападает, но если человек испугается и попытается спастись бегством, эта акула может стать весьма опасной.

Обучающиеся отвечают на вопросы учителя и проводят практическое исследование прямоугольника.

С помощью формул вычисляют площадь и периметр прямоугольника.

Р=(7*2)+(3*2)=20(см)

Р=(7+3)*2=20(см)

S=7*3=21(кв.см)

Ответ: Р=20см; S=21кв.см

Исследовательская деятельность.

Предметные:

Правильно формулировать ход решения,

применять

на практике полученные выводы

Познавательные:

анализировать и сравнивать объекты, находить и выбирать способ решения; использовать математическую терминологию при нахождении периметра и площади.

Коммуникативные :

умение слушать собеседника,

осуществлять взаимоконтроль.

2).Самостоятельная работа

5 мин

Самостоятельная работа

Организует самостоятельную работу.

-Мы преодолели испытание. Но наше путешествие еще не закончилось.

-И что же ждет нас впереди?

-За бортом бутылка, а в ней послание: слайд.

«4 класс! Выполните задание!»

-Но кто прислал это задание? Отгадайте загадку.

Живет спокойно, не спешит,

На всякий случай носит щит.

Под ним, не зная страха,

Гуляет … (черепаха)

Самостоятельно решают примеры по вариантам:

В.1 6750:45=

16800:56=

В.2 5040:21=

7480:17=

Выполняют самопроверку по образцу.

В.1 (150, 300)

В.2 (240,440)

Оценивают.

Личностные:

Формирование познавательного интереса.

Регулятивные:

целеполагание.

саморегуляция, коррекция, оценка

3).Решение кроссворда.

Прививать умение работать в коллективе; формирование у учащихся стремления к размышлению и поиску.

Работа в группах.

-Вдали показался остров. Мы близки к цели. Слайд.

-Что это? К острову подплыл пиратский корабль.

-Мы сможем победить пиратов и забрать у них сокровища, если правильно выполним кроссворд.

-У вас на партах у каждого лежит кроссворд. Работаем группами по 4 человека.

-Чья группа решит первая, поднимет руки. (ученики получают рыбки)

-Мы отгадали кроссворд. Корабль пиратский затонул. Сокровища у нас. Слайд.

-Какое ключевое слово получилось, прочитайте.

-Открываем сундук и узнаем, какой клад он хранит.

Лучший клад- это знания!

Дети выполняют задание в группах. Решение кроссворда.

Игровые технологии.

Личностные:

Придерживаться этических норм общения и сотрудничества при совместной работе над учебной задачей.

Регулятивные :

Планирование последовательности действий, контроль, коррекция.

Познавательные УУД:

Поиск и выделение необходимой информации, самостоятельное применение полученных знаний, анализ и синтез.

Коммуникативные:

Умение слушать, оценивать, корректировать ответы одноклассников, полно и точно выражать свои мысли.

VII

Итог урока.

Создание условий для упорядочивания и обобщения полученной информации.

Индиви-дуальная, фронталь-ная

-Вот и подошло к концу наше путешествие. Понравилось вам путешествовать?

-Какое испытание было самое интересное?

-А какое задание вам показалось трудным?

-Что мы делали и что повторили во время нашего путешествия?

-Какие животные нам встречались на пути?

-Как нужно относиться к животным?

Математическое море

-Посмотрите на наше математическое море, сколько рыб вы выпустили в него.

-Молодцы! Вы очень хорошо работали.

Анализируют свою деятельность и успехи.

-Решали задачи, примеры, вспомнили алгоритм, находили периметр и площадь прямоугольника.

-Нельзя убивать, ловить животных; засорять моря и океаны, где они обитают, т.к. они могут погибнуть.

Личностные:

Смыслообразование, личностный моральный выбор; нравственный аспект поведения.

Регулятивные:

Слушать, принимать и сохранять учебную задачу, дополнять, уточнять высказывания.

Коммуникативные:

Умение слушать собеседника, отвечать на вопросы учителя.

VIII

Рефлексия

4 мин

Осмысление процесса и результата деятельности

Индиви-дуальная, фронталь-ная

1. Предлагает оценить факт достижения цели урока: чем занимались на уроке, какие трудности встретили во время урока, что нового узнали.

2. Оценивает работу детей.

-Какую цель вы поставили на уроке? Достигли мы цель? Докажите.

-Какие можно задать вопросы по изученной теме? Что понравилось? Какие качества вам помогали, а какие мешали при работе в паре, в группе?

-Было ли для вас путешествие интересным и увлекательным?

-Понравился вам урок?

-Ой! Мне на руку упали две капельки, которые выплеснула морская вода.

Слайд.

—Но капельки разные. Чем они отличаются?

-У вас на столах тоже есть такие капельки. Внимательно посмотрите, какая из капелек передает ваше настроение после морского путешествия, возьмите ее в руки и покажите мне.

-Какая ласковая и радостная волна получилась из ваших маленьких капелек! Спасибо вам большое за работу на уроке.

1. Оценивают степень достижения цели.

2. Выборочно высказываются, делятся друг с другом мнением

Одна грустная, а другая веселая.

Регулятивные :

оценка-осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоить,

констатировать необходимость продолжения

действий

Познавательные УУД:

Выполнять различные виды заданий

Коммуникативные:

адекватно отображать свои чувства, мысли в

речевом высказывании.

Домашнее задание.

Организовать выполнение домашнего задания.

Стимулирует активность заданиями разного уровня и вида.

Вы преодолели пока недолгий, но трудный путь и получили в награду знания. Храните этот клад знаний и пополняйте на каждом уроке. И помните: знания – это самое ценное богатство.

-Запишите в свои бортовые журналы задание на дом. Задание выбираете сами по своим силам.

Стр. 66, № 272, №273, №274

-Урок окончен. Спасибо!

Записывают домашнее задание.

Красота и интуиция в преподавании математики

Аннотация

Интуиция была определена как случайное возникновение и развитие событий в счастливой и полезной способ. Beauty описывается в одном словаре как «сочетание качеств, таких как форма, цвет или форма, доставляет удовольствие чувствам или приятно возвышает разум или дух.В этой статье приводятся примеры того, как эти два аспекта опыта повлияли на то, что я хотел бы видеть в классах математики и в моей учебной программе работа по развитию, чтобы породить их, до и через работу математики школы Чикагского университета Проект.

Введение

Возможность написать эту статью возникла из-за того, что я получил одну из двух премий ISDDE 2017 года за пожизненные достижения в разработка и разработка учебной программы, другая — Кей Стейси.Этот документ основан на представленном пленарном докладе. на конференции ISDDE 2018 года в Голуэе, Ирландия.

Я бы не получил эту награду без работы многих других людей. Принято говорить, что мы работаем над плечах гигантов, но на самом деле мы работаем у ног таких людей, как Поля, Фрейденталь или Кляйн, и многочисленные великие математики и преподаватели на протяжении веков и во всем мире, которые создали область, которая является нашей детская площадка.Но мы работаем плечом к плечу с нашими коллегами, коллегами и студентами, от которых мы многому учимся, и их труды нам помогают.

Получение этой награды особенное, потому что она исходит от моих коллег. Я хочу поблагодарить членов наградный комитет, и особенно благодарю Боба и Барбару Рейс за их работу по составлению документов для моего номинации и тем, кто написал письма поддержки. Эти люди внесли непосредственный вклад в мое получение этой награды.Но есть десятки других людей — нет, сотни других людей — без которых я бы не стоял раньше. ты. Некоторые будут указаны здесь, но я не могу назвать их всех.

Меня бы здесь не было, если бы не интуитивная интуиция, многие удачные обстоятельства, которые пришли ко мне без всякой работы. в моей части. Поэтому я решил сделать интуитивную прозорливость одной из тем своих замечаний.

Удачная география

iii

Я родился в Чикаго и, окончив среднюю школу, поступил в ведущий университет моего штата, Университет Иллинойса, потому что туда учился мой брат.За много лет до этого я решил, что хочу преподавать математику.

Мой первый образовательный курс назывался «Введение в образование», и я был в секции для будущих учителей математики. Учителем в этом классе был Кеннет Хендерсон, профессор математического образования и одаренный учитель. Несколько лет спустя среди его докторантов были Джон Досси и Том Куни. Предмет этого класса включал подробное изучение материалов средней школы, разработанных Комитетом по школьной математике Университета Иллинойса (UICSM).UICSM, начатый в 1951 г. Максом Беберманом (Beberman, 1958), был первым из проектов «новой математики» в Соединенных Штатах (Kinsella, 1965).

Материалы UICSM (UICSM, 1959; Beberman and Vaughan, 1964) начинались с урока, который в свое время был известен, переписки рукописным письмом между студентом из Соединенных Штатов и студентом на Аляске, в котором первый студент хочет чтобы помочь студенту с Аляски и, чтобы определить потребности студента с Аляски, задает студенту с Аляски несколько вопросов.

Среди них: «Убери 2 из 21.» Студент с Аляски пишет «1». «Сколько раз 3 переходит в 8?» Аляска студент отвечает «дважды». «Напишите число больше 4.» Студент с Аляски пишет 4 .

Целью урока было показать, что то, что вы пишете, является представлением концепции числа, а не самого числа. И то, что вы пишете, является числом, и этот урок научил различать число и число. Никто из нас, студентов университета, никогда не задумывался об этом различии.

UICSM очень осторожно использовал язык, но переборщил с этой конкретной идеей. Письмо, такое как x , используемое в уравнении, называлось не переменной, а местоимением , потому что оно означало числительное так же, как местоимение заменяет существительное. Описание алгебраических свойств, таких как распределительному свойству умножения над сложением предшествовали кванторы: ∀ a , ∀ b , ∀ c , a ( b + c ) = ab + ac.Существование личности было описывается: ∃ b ∋∀ a , a + b = a . Тщательно основывая решение уравнений и манипуляции с алгебраическими выражениями на этих свойств, UICSM принес математические системы и доказательства в изучение алгебры, идеи, которые ранее не был частью исследования этого предмета.

Мне понравился подход. Но более того, мне нравился тот факт, что к математике, которой меня учили одним способом, можно было подойти совершенно по-другому.UICSM научил нас, что это не только нормально, но и более того, что это было ценно, — внимательно смотреть на то, чему учат, потому что тщательное изучение математики может привести к лучшему лечению.

В стране есть всего несколько других университетов, в которых я мог бы получить аналогичный урок. И почему я получил это образование? Потому что Иллинойс был моим государственным университетом, и мой брат учился там. Это случайность, случайное возникновение и развитие событий счастливым или благоприятным образом .

UICSM организовал алгебру последовательным образом. Это было красиво. Больше не нужно изучать изолированные правила. Все можно проследить до свойств поля действительных чисел.

Пять лет спустя, когда я стал штатным учителем, я преподавал, используя материалы, на которые сильно повлиял SMSG, крупнейший из новых математических проектов в США. Подобно материалам штата Иллинойс, SMSG проследила свойства, используемые в алгебре, до свойства поля действительных чисел. Не такой строгий подход, как UICSM, но опять же проявление возможности подойти к стандартному курсу математики существенно иным способом, чем существовавший ранее, способом, который был математически более последовательным, чем я когда-либо видел.Он отвечал критерию красоты, так как радовал мои чувства и возносил мой разум и дух. Красота математики позволяет иметь красивые уроки, разделы и курсы по математике.

Воспользовавшись интуицией

Несколько лет назад я наблюдал, как одна из моих магистрантов преподавала в классе 12 ^{-го класса} вместе со своей ученицей. опыт преподавания.Темой дня было построение графиков в полярных координатах, и одним из примеров было построение графиков в полярных координатах. кардиоидный (см. рисунок 1).

Кардиоида получила свое название, потому что она имеет форму сердца. Сидя в глубине комнаты, я понял, что свидание в этот день как раз случилось 14 февраля ^года, День святого Валентина в США (и во многих других странах по всему миру). мир). И поэтому я ждал, пока этот ученик-учитель укажет, что эта кривая примерно напоминает сердце на Валентинка.

О связи никогда не упоминалось. Это был традиционный класс предварительного вычисления, в котором связи между математикой и реальным миром почти полностью отсутствовали, и здесь был шанс показать хотя бы небольшую часть связи, и возможность была упущена. Это совпадение, что эта тема попала в День святого Валентина. Это была возможность для интуитивной прозорливости, случайная встреча, которая, я думаю, обрадовала бы студентов.

Конечно, сердце Валентина не совсем похоже на кардиоиду, поэтому люди экспериментировали с различными математические выражения для отображения графиков, которые больше похожи на валентинки или сердечки на игральных картах.На рисунке 2 показаны некоторые из разнообразных выражений, образующих кривые, напоминающие кривые валентинки. сердце. Мне особенно нравится средняя кривая в верхнем ряду, график уравнения 6 ^и градусов в x и и с довольно коротким алгебраическим описанием. При соответствующем масштабировании он почти соответствует валентинке. сердце. Это прекрасный с эстетической точки зрения пример того, как алгебра может математически моделировать реальные объекты.Хорошо продуманная учебная программа даст учащимся понять, что математика может моделировать даже сложные геометрические фигуры. И он покажет или приведет ученика к другим красивым кривым с красивыми математическими описания.

Источник: Weisstein, Eric W. Heart Curve. Из MathWorld — Интернет-ресурс по Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html

Как этот студент-учитель мог пропустить связь между кардиоидой и Днем святого Валентина? Одна из причин в том, что наиболее распространенное размещение кардиоиды — с горизонтальной линией симметрии.Другая причина в том, что кардиоида в учебной программе, потому что она дает хороший пример кривой, описанной в полярных координатах r и θ , а не x и y , а не из-за его связи с сердечками или валентинками. Рутина и традиции часто мешают интуиции и часто приучают нас к красоте того, чему мы учим.

Элегантность преобразований

Красота в математике принимает разные формы.Одна из форм — elegance . Будучи докторантом В Мичиганском университете я искал темы, по которым я мог бы написать диссертацию, и Джозеф (Джо) Пейн, мой советник, предложил мне изучить использование преобразований, таких как отражения, вращения, переводы и так далее, в геометрии. Я изучил идею, и она мне понравилась. Меня очаровала элегантность определения совпадающие цифры в этом подходе. В традиционном подходе требуется другое определение конгруэнтности для каждый разный тип фигуры.Используя преобразования, нужно только одно определение. Таблица 1 показывает это.

Джо сказал, что не он был заинтересован в этой идее, а Арт Коксфорд, более молодой профессор университета. Арт подумал, что это может быть обычная диссертация по учебной программе — напишите 3-недельный или 6-недельный блок, попробуйте его и сравните с традиционными классами, чтобы увидеть, есть ли какие-либо различия, но к этому времени мы с Кеном Хендерсоном уже успели уже написал рукопись для годичного предварительного расчета (Henderson, Usiskin & Zaring, 1971).Я утверждал, что трехнедельные и шестинедельные блоки никогда не влияют на то, что изучается в более общем плане, поэтому мы должны написать годичный курс с использованием преобразований. И поэтому мы решили, что в течение следующего учебного года мы будем писать вместе, и каждый из нас будет пилотировать полный год 10 ^{-го класса геометрии}, используя то, что мы написали.

Летом снова вспыхнула интуиция. Я работал помощником директора в летнем институте учителей Национального научного фонда США (NSF).В офисной библиотеке режиссера Фила Джонса я нашел книгу с использованием преобразований Transformatiemeetkunde , написанную голландской командой под руководством Рудольфа Трельстра (Troelstra, Haberman, deGroot & Bulens, 1965). В этой книге первое, что делается с фигурой, — это доказательство ее симметрии, из которой можно автоматически вывести многие другие свойства.

Например, одна из первых теорем, изученных в геометрии средней школы, заключалась в том, что базовые углы равнобедренного треугольник конгруэнтны, т.е., у них такая же мера. При традиционном подходе разделяем равнобедренные треугольник на два треугольника, проведя отрезок от угла при вершине до середины основания (Рисунок 3а). Два образованных таким образом треугольника совпадают по SSS (сторона-сторона-сторона) и углам основания, что соответствует углы этих треугольников должны, таким образом, совпадать. В подходе преобразования мы заключаем, что треугольник собственное изображение под отражением над этой биссектрисой, и поскольку один базовый угол является изображением другого, они должны быть конгруэнтным (рис. 3b).

Подход с преобразованием основан на нашей интуиции относительно отражательно-симметричных фигур и может быть применен к получить некоторые основные свойства параллелограммов, прямоугольников, квадратов, правильных многоугольников, конических сечений и многих других другие цифры (Coxford & Usiskin, 1971, 1972). Этим способом, преобразования представляют собой элегантный и интуитивно понятный способ приближения к евклидовой геометрии, подходящий не только для студенты, которые будут больше изучать математику, а также для студентов, которым трудно визуализировать и организовывать свойства фигур.В моей докторской диссертации, предпринятой на основе пересмотра пилотных материалов, сравнивались успеваемость и отношение 425 студентов, использующих эти материалы, 475 студентов, использующих традиционную геометрию материалы (Усискин, 1972). Коммерческое издание включило в себя еще доработка по результатам диссертационного исследования.

Разработка курса Геометрия — подход к трансформации произошла в конце 1960-х годов, незадолго до того, как рисунки Эшера стали известны в США.S.A. Когда в 1971 году появилось коммерческое издание, Гарольд Джейкобс поместил рисунок Эшера на обложку своей знаменитой книги Mathematics — A Human Endeavor (1971). Вскоре работы Эшера стали заметны повсюду, слово мозаика вошло в наш словарный запас, и мы увидели совпадающих лошадей, птиц, рыб и всевозможные другие фигуры. Красивое искусство и красивая математика.

Исследование паттернов

Ряд людей охарактеризовали математику как изучение закономерностей , то есть изучение сходства. в структуре.Возможно, наиболее известные работы по математике и шаблонам принадлежат Г. Харди (1940).

«Математик, как художник или поэт, создает узоры … Математические узоры, как и узор художника или поэта, должны быть красивыми, идеи, такие как цвета или слова, должны гармонично сочетаться друг с другом. . Красота — это первое испытание; в мире нет постоянного места для уродливой математики ».

Есть что-то особенно приятное в осознании того, что некоторые математические свойства, которые выглядят по-разному, являются экземплярами одного и того же паттерна.Но в этом плане математика вовсе не уникальна. Исследователи во всех областях ищут общие черты. Что делает математика, так это описывает модели алгебраически или геометрически, а затем изучает сами закономерности, часто не обращая внимания на их происхождение.

Описания узоров настолько запечатлелись в нашем сознании, что буквы, которые мы используем, — это все, что нужно для обозначения параметр. В качестве примера в таблице 2 показаны шесть математически идентичных уравнений.В каждом произведении два числа — это третье число. Они различаются только буквами, используемыми для обозначения цифр, но этого достаточно, чтобы дайте нам знать, какую ситуацию они описывают. Читатель может захотеть рассмотреть правый столбец этой таблицы. и угадайте, что представляет собой каждое уравнение в левом столбце.

Другой пример значения букв связан с построением парабол, что является темой во всех США. тексты по алгебре, обычно на втором году обучения алгебре.Студенты узнают, что вершина параболы с уравнение y = ( x + 3) ² + 5 можно увидеть в его уравнении. Сегодня они могут даже связать алгебру с геометрией, а именно с тем, что граф of y = ( x + 3) ² + 5 — это преобразованное изображение параболы с уравнением y = x ². Чего они не узнают из большинства американских учебников, так это того, общая теорема, применимая ко всем переводным изображениям (Usiskin, 1975).В отношении, описанном предложением в x и y , следующие два процесса дают один и тот же график: (1) замена x на x — h и y x y — k ; (2) применяя трансляцию T ( x , y ) = ( x + h , y + k ) к графику исходного отношения. Некоторые Следствия этой теоремы о переносе графов показаны в таблице 3.

Непосредственные следствия теоремы о переводе графов пронизывают многие темы математики в старших классах. Однако, они замаскированы, потому что конкретные буквы h и k , которые сигнализируют о величине перевод обычно появляется только с кругом и параболой. Такие символы, как x ₀ , y ₀ , м , и b , и большинство студентов не понимают, что все следствия являются частными случаями одного и того же теорема.Им не говорят, что графики функций синуса и косинуса конгруэнтны, и что графики всех экспоненциальные и логарифмические функции с одинаковым основанием конгруэнтны. В США на протяжении многих десятилетий полемика относительно того, что лучше иметь трехлетнюю последовательность алгебра-геометрия-алгебра или то, что называется интегрированная последовательность. Вот замечательный пример интеграции алгебры и геометрии, которая должна быть в обоих последовательности, но, насколько мне известно, можно найти только в материалах UCSMP.Но основа была сделана задолго до UCSMP. существовал.

Переводы координатных графов, которые являются предметом теоремы о переносе графов, выполняются добавление фиксированных значений к координатам прообраза. Красивая соответствующая мультипликативная структура дает растягивает и сжимает графики. Мы называем эту теорему теоремой об изменении масштаба графа (Usiskin, 1975; Рубинштейн, Шульц, Сенк, Хакворт, МакКоннелл и Виктора, 1992).В отношении, описанном предложением x и y , следующие два процесса дают один и тот же график (1) с заменой x на x / на и y by y / b ; (2) применение изменения масштаба T ( x , y ) = ( ax , на ) к графику исходного отношения.

Там, где мы складывали раньше, мы умножаем здесь. То, что мы вычитали раньше, мы делим.Опять же, есть множество полезных следствия, наиболее частые из которых приведены в таблице 4. Следствием этого является то, что все параболы похоже, что все прямоугольные гиперболы похожи, и что графики всех экспоненциальных и логарифмических функций похожи вне зависимости от базы. При создании учебной программы для студентов я счел важным включить эти чудесные объединяющие теоремы — красивая элегантная математика.

Приближение к алгебре через приложения

vii

Пока я разыгрывал учебные проявления прекрасной математики матриц и связанных групп с преобразованиями мой коллега из Чикагского университета Макс Белл писал о фундаментальных важность приложений в изучении математики (Bell, 1972).Максимум был мощным сторонником включения реального мира в класс математики. Он утверждал (как Торндайк, Cobb, Orleans, Symonds, Wald & Woodyard. (1923) десятилетия назад утверждал), что традиционные «проблемы со словами» (или «сюжетные задачи»), встречающиеся в текстах по алгебре — те, которые имеют дело с монетами, возрастом или целыми числами — не были актуальные приложения. Я убедился, что он прав.

В то время около трех четвертей выпускников средних школ в США.S.A. закончили один год алгебры, и только половина из них закончила второй год, но книги для этих двух курсов были написаны в том же стиле, как если бы они были для одного и того же населения. Я чувствовал, что им нужны разные стили; первый курс должен был понравиться всем. Итак, в 1973 году я подал заявку и получил грант NSF на разработку начального курса алгебры, в котором алгебра будет разрабатываться из приложений, а также будут учитываться вероятность и статистика. Я нашел типичную школу и наладил отношения, как и в других местах, а именно: вести урок алгебры каждый день в течение всего года, а кто-то другой преподает тот же урок позже в тот же день классу таких же учеников.

Как начать такой курс? Макс писал об использовании чисел и использовании четырех основных арифметических операций, поэтому я начал с этого и расширил обсуждение до использования переменных. Это, естественно, приведет к реальным ситуациям, приводящим к выражениям и линейным уравнениям типа a + x = b , ax = b , ax + b = c x + d , и в различных проявлениях свойства распределения, построении графиков линий и, расширяя умножение до целых степеней, обсуждение может привести к сложному проценту и экспоненциальным функциям.Квадратичные выражения и уравнения могут обрабатываться стандартными приложениями для подсчета, площади и ускорения.

Но я понятия не имел, как использовать приложения для получения полиномиальных выражений. А потом, в этом классе 9 ^{-го класса}, когда мы обсуждали сложные проценты, студент поднял руку с вопросом. Он сказал: «Я перебирал домашнее задание с моим отцом, и он спросил меня, имеет ли эта математика какое-либо отношение к сумме, которую мы платим за наши ипотечный кредит.Я подумал: «Его отец решил мою проблему». Отсюда урок по введению многочленов, которые я ни разу не видел никого копировать. Урок начинается со следующей задачи (Usiskin, 1979), показанной здесь в Рисунок 4.

После того, как решение дается на уроке, ответ анализируется (как показано на рисунке 4), и различные компоненты полиномиального выражения изменяются, чтобы показать вклад коэффициентов и показателей.На этом этапе обучения общая формула для расчета стоимости ипотеки не является разумной, поскольку для этого требуется некоторое знание суммы конечного геометрического ряда. Но зародыш идеи здесь.

Я не знаю, как бы я подошел к полиномам в этом курсе, если бы этот студент не передал мне вопрос от своего отца. Я знаю, что это был один из многих случаев, когда на содержание моих писем значительно повлияло то, что происходило в классе, когда я преподавал.Обучение увеличивает вероятность того, что произойдет что-то неожиданное.

Интуиция и статистика

viii

Сорок лет назад статистика в школьных учебниках по математике в США относилась только к вычислению среднего, медианы и модуляции, обычно выполнявшемуся в 7 и 8 классах перед старшей школой. Но в поисках реальных приложений математики, включающей алгебру, я все время натыкался на статистику.

Serendipity поместила Билла Крускала в район моего факультета.Билл был профессором статистики в Чикаго, в прошлом возглавлял этот факультет и был одним из первых членов объединенного комитета NCTM и Американской статистической ассоциации по статистике в школах. Я спросил Билла, посмотрит ли он статистику в материалах по алгебре, которые я создавал, и он согласился.

Билл был крутым читателем. Он нацарапал всю мою рукопись. Он утверждал, что статистика — это не подмножество математики. Это прикладная математика, такая как исследование операций или физика, потому что проблемы в статистике возникают не в математике, а для того, чтобы проводить статистику, человеку нужно знать не только математические, но и соответствующие математические знания.

Билл гордился тем, что работал статистиком в Чикаго. В Чикаго отдел статистики отделился от математического вскоре после Второй мировой войны, и факультет статистики твердо верил, что статистика — это самостоятельная дисциплина. Первые строки книги Природа статистики (Wallis & Roberts, 1954) подтверждают эту точку зрения.

«Статистика — это совокупность методов для принятия мудрых решений в условиях неопределенности… Эта современная концепция тема далека от той, которой обычно придерживаются миряне.Действительно, даже пионеры статистических исследований принял его только в течение последнего десятилетия или около того ». (Уоллис и Робертс, 1954)

Для разработчиков учебных программ это различие заслуживает внимания. В текстах по математике часто используются термины теоретическая вероятность и экспериментальная вероятность, чтобы различать, например, (теоретическую) вероятность подбрасывания честной монеты (½) и то, что вы получаете, когда подбрасываете монету (что-то около ½).Билл Крускал утверждал, что все вероятности являются теоретическими и что то, что математики называют экспериментальной вероятностью , более точно описывается как относительная частота .

В книгах часто возникают проблемы со следующей формулировкой: Если вы бросите честный кубик, какова вероятность выпадения 3 орлов подряд? Статистики сказали бы, что нельзя бросить честный кубик. Абсолютно невозможно определить, является ли кубик честным или нет. Вы можете только представить, что бросает честный кубик.Вы можете предположить, что игральная кость справедлива , а затем рассуждать на основании этого. Больше чем семантика. С этой точки зрения вероятностные задачи представляют собой прекрасные примеры вывода из предполагаемых утверждений.

Статистика эволюционировала за последние четыре десятилетия. Более актуальное определение звучит так: «Статистика — это наука о данных». (Йейтс, Мур и Старнс, 2003 г.).

Применение арифметики

Десятилетие 1970-х было временем спада в математическом образовании в Соединенных Штатах, что очень похоже на наше нынешнее десятилетие.За исключением моего проекта по алгебре, NSF больше не финансировал разработку учебных программ по математике. Реакция на «новую математику» шестидесятых годов во многом была вызвана бихевиоризмом, в результате чего многие школы сосредоточились на поведенческих или производственных задачах, которые в основном были манипулятивными навыками в арифметике и алгебре, не слишком отличавшимися от сегодняшнего Common Core (Центр ассоциации национальных губернаторов). for Best Practices, Совет директоров государственных школ, 2010 г.). Запрограммированные учебные материалы разбивали учебную программу на небольшие этапы, не слишком отличавшиеся от сегодняшнего адаптивного формирующего и суммативного тестирования.И все это в то же десятилетие, что и портативные калькуляторы. Чему можно было научить, если калькуляторы могли делать все арифметические операции?

В 1976 году нас с Максом Беллом попросила написать эссе по этому вопросу Мэрилин Суйдам, которая вместе с Диком Шамуэем из Университета штата Огайо писала для NSF отчет об электронных калькуляторах (Suydam, 1976). Наше эссе объемом 75 страниц было приложением к этому отчету. И мы только поцарапали поверхность. Итак, мы обратились в NSF за грантом для написания материалов о применении арифметики, поскольку мы чувствовали, что с калькуляторами основное внимание в учебной программе должно уделяться использованию арифметики, а не арифметическим алгоритмам.В результате появилась рукопись объемом более 500 страниц (Usiskin & Bell, 1983), которую мы разделили на три части: числа, операции и маневры (переписывание, оценка, преобразование, отображение).

Когда мы писали эту рукопись, стало очевидно, что назвал свойств операций арифметика в книгах — это чистая математика: умножение ассоциативно и коммутативно, имеет тождество 1, равно распределительный над сложением и т. д.Но фундаментальный использует операций, которым не дается такой вид статус. Мы назвали эти значениями использования , и основные из них показаны в таблице 5. (Из Usiskin & Bell, 1983)

Наше мнение заключалось в том, что, поскольку именно эти значения использования сделали операции важными вне математики, они были истоком абстракций, которые создали математику, и что значения использования должны быть свойствами, которым учат студентов с такой же важностью, как и чисто математические свойства. которые есть в учебной программе.

Другие (например, см. Карпентер, Мозер и Ромберг, 1982; или Стиглер, Фусон, Хэм и Ким, 1986) детализировали больше видов словесных задач, связанных с арифметическими операциями, чем мы, но наша точка зрения была с точки зрения основных значений из которого могут быть получены другие значения. В результате получается очень хорошее сочетание чистой и прикладной математики. Например, очевидно, что объединение и вынос отменяют друг друга, но то же самое происходит с изменением размера и соотношения. То есть, если две одинаковые фигурки имеют высоту 15 и 25 см, то деление на пропорции говорит нам, что большая фигурка составляет 5/3 высоты меньшей.Число 5/3 — коэффициент изменения размера; если мы умножим 15 на 5/3, мы получим 25. Точно так же и коэффициент ставки, и действие при умножении возникают из деления ставки. Если мы не раскрываем эти способы использования, мы обучаем точно так же, как этот ученик-учитель с кардиоидой; пользователи смотрят нам в глаза, но мы их игнорируем.

Теория Ван Хиле

Примерно в это время Исаак Виршуп, профессор математики в университете, рекламировал теорию сцены, разработанную Пьером ван Хиле и Диной ван Хиле-Гельдоф, учениками Ганса Фройденталя в Нидерландах.Виршуп сообщил, что эту теорию использовал советский математик Пышкало при построении учебной программы для молодых студентов. Исследователи из США были увлечены теорией, которая предполагала, что ученик должен пройти следующие этапы в понимании геометрии и в таком порядке: признание, анализ, порядок, дедукция и строгость.

Теория изящная. Ученик не может быть на уровне n по ван Хиле, не пройдя уровень n -1.То, что является внутренним на уровне n -1, становится внешним на уровне n . На каждом уровне есть свои лингвистические символы и своя сеть взаимоотношений. Два человека, рассуждающие на разных уровнях, не могут понять друг друга. Эта теория была использована для объяснения некоторых трудностей, с которыми учащиеся сталкивались на обычном в то время курсе геометрии в средней школе США

Я скептически относился к этой теории, особенно к первому свойству. Я чувствовал, что не прошел через эти стадии, как и многие другие представители моего поколения.В те дни студенты углублялись в изучение геометрии на уровне 3 или уровне 4. Мы с Шэрон Сенк, в то время докторантом, решили подать заявку на финансирование от Национального института образования на тест теории. Мы разработали примерный тест вопросов для каждого уровня, основанный на трудах Пьера и Дины ван Хиле, и провели его лично, когда он посетил Чикагский университет. Мы провели тест около 2400 студентов-геометров в 5 штатах США и обнаружили, как и предсказывал Виршуп, большинство студентов находятся на уровнях 1 и 2, и нельзя ожидать, что они преуспеют в ориентированном на доказательства курсе геометрии.Мы также обнаружили, что есть студенты, которым нельзя присвоить уровень. Уровни разумно предсказывали успеваемость по курсу геометрии, как и простой тест содержания, проведенный в начале года.

Разработанный нами тест (Usiskin, 1982) был переведен как минимум на 10 языков и использован в десятках кандидатских и докторских диссертаций. Диссертации. Практически каждый, кто использует тест, считает, что теория верна, и не считает, что наш тест был разработан для проверки теории.

UCSMP и Serendipity

Моя связь с UCSMP возникла в результате того, что я снова оказался в нужном месте в нужное время. Осенью 1982 года, когда мы завершали исследование van Hiele и рукопись Applying Arithmetic , Изаак Виршуп работал над возможностью получения университетом 6-летнего гранта в размере 6 миллионов долларов от фонда Amoco Foundation. благотворительное подразделение Amoco Corporation (ныне BP), если бы мы были заинтересованы, и университет разрешил бы проект с такой беспрецедентной продолжительностью и финансированием.Не было очевидным, согласится ли университет на такой проект, потому что для чего-то такого масштаба требуется много офисных и рабочих помещений, а пространство — очень ценный товар в университете.

Изаак и Пол Салли из Департамента математики, я, Ларри Хеджес и Сьюзан Стодольски из Департамента образования встречались еженедельно до весны 1983 года. Мы предложили проект K-12 по математике, который будет основываться на проделанной работе. мир, чтобы создать и протестировать полную учебную программу по математике для подавляющего большинства U.С. студенты. Нас поддержали председатели наших отделов Феликс Браудер и Чарльз Бидуэлл. Два заведующих кафедрой, Изаак, Пол и я — пять профессоров — принесли наше дело ректору университета. Проректор сказал, что университет может позволить себе место для проекта стоимостью 5 миллионов долларов. Мы знали, что нам нужно в общей сложности около 12 миллионов долларов, чтобы сделать то, что мы планировали (что эквивалентно примерно 30 миллионам долларов сегодня), но мы не сказали об этом ректору. Проректор одобрил проект при условии, что фонд Amoco не сократит другие пожертвования университету.Фонд сдержал слово.

С самого начала мы разделили проект на четыре компонента: компонент ресурсов, возглавляемый Изааком, который будет переводить материалы из других стран для поддержки работы элементарного компонента в классах K-6 и второстепенного компонента в классах 7-12, и компонент оценки, возглавляемый Ларри и Сьюзен, для количественного и качественного исследования работы, проделанной компонентами уровня класса.

Было сочтено, что для того, чтобы измениться, первая работа в K-6 должна быть связана с образованием учителей.Пол Салли и местный учитель Шейла Сконьер возглавили этот компонент. Было понятно, что я буду направлять компонент 7-12. В отличие от тех, кто занимается с классами K-6, я чувствовал, что учителям 7–12 классов необходимо просмотреть материалы, прежде чем они изменятся. Существование UCSMP предоставило уникальную возможность объединить различные работы, которые занимали мое время в течение предыдущих 16 лет. Это означало, что основные темы и многие подробные разработки более ранней работы — приложения, преобразования, использование калькуляционной технологии — могут быть перенесены.

В начале UCSMP Макс Белл был в отпуске из университета. Пройдет два года, прежде чем он вернется, а затем он приступит к проектированию и разработке учебной программы UCSMP для классов preK-6, учебной программы, все еще весьма успешной с коммерческой точки зрения под названием Everyday Mathematics (UCSMP, 2016). Сегодня эти усилия возглавляет Энди Айзекс. В Приложении A приводится полная информация об опубликованных, предпубликационных и тестовых версиях вторичных материалов UCSMP. При этом в приложении также указывается объем работы над коммерческими выпусками.

Два конкурирующих прекрасных аспекта математики

xii

В европейской традиции мы склонны считать книгу Евклида Elements (Heath, 1956) первым учебником математики. Это, безусловно, оказало наибольшее влияние на установление доказательства как определяющего фактора истинности математического утверждения. В этом отношении развитие всей геометрии и теории чисел в Elements является прекрасным. На протяжении двух тысячелетий это оказало большое влияние на преподавание геометрии в Европе, а затем и в Америке.

Алгебра развивается отдельно от геометрии. Несмотря на то, что Декарт и Ферма разработали аналитическую геометрию в 1600-х годах, менее чем через полвека после новаторской работы Вите с переменными, Эйлера 1770 Vollständige Anleitung zur Algebra ( Полное руководство по алгебре) , прототипа текстов по алгебре, которые последовали за ним, не содержит геометрии (Эйлер, 1972).

В конце 19-го, ^-го,-го века, более 100 лет назад, два U.В национальных отчетах (Национальная ассоциация образования, 1894; Янг, 1899) был установлен годичный курс алгебры, за которым следует годовой курс демонстративной геометрии, как 9 и 10 курсов для учащихся начального уровня по математике. «Демонстрационный» означал, что курс геометрии был очень ориентирован на доказательства, а теоремы демонстрировались доказательствами. Напротив, хотя правила или свойства будут приводиться в качестве обоснования шагов в решении уравнений или упрощении выражений, в курсе алгебры не упоминается доказательство.Постепенно за курсом геометрии последовал второй годичный курс алгебры, возможно, с некоторой тригонометрией, опять же с небольшими доказательствами или без них. Таким образом, последовательность алгебра-геометрия-алгебра закрепилась в большинстве школьных округов; более того, курсы алгебры содержали мало, если вообще не содержали геометрии, а курс геометрии не содержал почти никакой алгебры. Сегодня эта последовательность начинается в 8 ^{-м классе} примерно для одной трети учащихся в США

Работа с приложениями алгебры показала, что одна из причин, по которой студенты не могли применять алгебру, заключалась в том, что они не могли применять арифметику за пределами малых целых чисел.Работа ван Хиле показала, что большинство учеников поступили на курс геометрии в средней школе со слишком слабыми знаниями геометрии, чтобы хорошо успеть на курсе. Итак, еще до начала UCSMP я решил пойти в школу осенью 1983 года, чтобы написать и преподавать книгу, которая объединяла бы приложения арифметики с подготовкой студентов к алгебре и геометрии. Эта книга стала Математика переходов .

В то время как Переходная математика писалась, мы пригласили шесть лучших специалистов по разработке учебных программ в стране в качестве консультативной группы, чтобы помочь определить, какими будут следующие пять курсов.Основная проблема касалась последовательности алгебра-геометрия-алгебра. С начала 20 ^—-го века были сторонники интеграции алгебры и геометрии, то есть преподавания некоторой геометрии и некоторой алгебры каждый год, и книги, реализующие интегрированную учебную программу, были нам известны, хотя их редко можно было найти в школах. Итак, один из первых вопросов, стоящих перед нами в UCSMP, заключался в том, должны ли мы интегрировать алгебру и геометрию в годы после Transition Mathematics .

Известно, что многие из консультативной группы отдают предпочтение трехлетней последовательности, которая охватывала бы традиционную алгебру и геометрическое содержание, не имея всей геометрии за один год. Результатом группового мышления стал первый год, который был почти полностью посвящен алгебре с небольшой геометрией, второй год, который начался с большого количества алгебры и закончился большим количеством геометрии, и третий год, который продолжил работу по геометрии и закончился много алгебры.

В конечном итоге это было мое решение сохранить последовательность алгебра-геометрия-алгебра, потому что альтернатива, созданная этой группой, была близка к этой последовательности, и я не хотел бороться с требованиями штата, округа и школы, которые обычно требовали двух курсов алгебры и одного. курс геометрии.Я чувствовал, что мы могли бы использовать приложения геометрии во всех наших курсах алгебры и задействовать алгебру во всех наших курсах геометрии. Результатом стал первый курс, который можно было бы описать как «поезд алгебры», на котором пассажиры изучают арифметику, геометрию и статистику; второй курс, который можно было бы описать как «поезд геометрии», на котором пассажиры-алгебры; и второй курс «поезда алгебры», в котором участвуют геометрия и тригонометрия. Все это использует прекрасный аспект математики; что математика едина в том смысле, что результаты одного раздела математики могут быть использованы в другом.

Традиционные ориентированные на доказательство курсы геометрии в США начали с того, что отметили, что точка, линия и плоскость — это три термина, которые не определены, потому что мы не можем определить все термины, не имея круговых определений. Вместо определений утверждаются определенные постулаты, что неявно определяет, какой точкой, линией и плоскостью может быть; такие постулаты, как «есть ровно одна линия, проходящая через две точки» и «учитывая точку и линию, существует ровно одна линия, содержащая эту точку и параллельная данной линии.«Большинству учителей и учеников неопределенные термины кажутся слабостью. Но когда вы интегрируете алгебру в курс геометрии, она становится сильной стороной.

UCSMP Геометрия (Coxford, Hirschhorn & Usiskin, 1991; Usiskin et al., 1997; Benson et al., 2009) начинается с геометрического представления точек и линий, в котором из постулатов типа «Через два в разных точках есть ровно одна линия ». учащихся заставляют думать, что точка обозначает место на плоской поверхности, а линии — это продолжение того, что мы рисуем с помощью линейок.Но затем, в следующем уроке, мы отметим, что те же постулаты охватывают геометрию, в которой точка — это упорядоченная пара действительных чисел, а линия — это набор упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению вида. Таким образом, с самого начала курса геометрии мы оправдываем использование синтетических нечисловых методов, а также аналитической или координатной геометрии. Этот подход использует красоту дедукции, а также красоту единства математики и позволяет одновременно применять алгебру и геометрию во всех последующих курсах.

Красота связей

xiii

Основываясь на обсуждениях консультативной группы, мы решили, что последние два курса должны иметь по две темы: функции и статистика для курса 11 ^th и предварительные вычисления и дискретная математика для курса 12 ^th. Тригонометрия была добавлена к названию первого из этих курсов, чтобы сделать текст пригодным для использования в районах, где требовался курс тригонометрии.

Со статистикой в качестве «пассажира» в курсе алгебры и функциями и статистикой в качестве основных тем в курсе 11 ^{-й класс}, мы обнаружили много способов, которыми идеи из одной из этих тем были связаны с идеями в другой.Например, сигма-нотация, используемая в сериях, была введена необходимостью суммирования данных для вычисления простая статистика уже на первом курсе алгебры. На курсе UCSMP 11 ^th мы смогли: обсудить переводы изображений графиков функций и отношений наряду с добавлением или вычитанием константы из все элементы в наборе данных, чтобы установить среднее значение 0. Мы могли бы обсудить масштабные преобразования графиков вместе с масштабирование данных, когда мы хотели нормализовать эти данные до стандартного отклонения, равного 1.В таблице 6 показаны эти и другие способы, которыми мы используем темы из статистики, чтобы мотивировать или применять традиционные темы математики.

Последний курс UCSMP должен был объединить темы предварительного вычисления, необходимые для успеха в исчислении, с дискретной математикой, которая будет полезна в информатике. Таким образом, мы добавили год к стандартной учебной программе академической школы, но начали концентрированное изучение алгебры на год раньше обычного. Имея предварительное вычисление и дискретную математику в качестве двух основных тем нашего курса 12 ^–, мы смогли объединить идеи, которые обычно разделяются.Например, мы смогли применить идеи формальной логики, чтобы объяснить, почему решение некоторых уравнений приводит к так называемым посторонним решениям. Мы могли бы обсудить факторизацию целых чисел вместе с факторизацией многочленов, простые целые числа вместе с простыми многочленами, наименьшее общее кратное целых чисел вместе с наименьшим общим кратным многочленов и так далее. И мы могли бы объединить идеи из этого курса с идеями из всех наших предыдущих курсов.

В 1623 году, когда Галилей написал в своей книге Il Saggiatore («Пробирщик»), что Вселенная написана на языке математики, он был частью новаторского движения, принявшего то, что мы сегодня называем научным методом.Одна из целей школьной математики — познакомить учащихся с этим языком, но недостаточно ценится то, что язык математики может принимать разные формы, и необходимо научить учащихся, как переходить из одной формы в другую. Возможность разрабатывать многолетние учебные программы давала возможность обсуждать одну и ту же идею совершенно разными способами, обеспечивая прекрасные математические связи.

Рассмотрим понятие последовательных поворотов вокруг точки.Эволюция начинается в младших классах с физического поворачивая, что мы можем измерять в градусах или оборотах, и мы добавляем эти меры, чтобы получить результат. Вращения Около точки на плоскости находятся математическая модель физического действия. В геометрии, когда мы обсуждаем, что такое иногда это называется «сложение углов» или «свойство смежного угла», мы обычно проводим руками, чтобы соединиться с физическое действие, хотя евклидова геометрия статична — фигуры не двигаются.В координатной плоскости мы можем представляют поворот вокруг начала координат матрицей 2 x 2, а последовательные вращения — умножением матриц. Когда мы запишите вращения величин x и y в матричной форме, как на рисунке 5, и умножьте матрицы, получаем формулы для cos (x + y) и sin (x + y) в одну строку. Фактически, мы получаем каждый формула дважды. Прекрасная математика.

Потому что хорошей и доступной математики для учащихся гораздо больше, чем мы можем уместить в школьной математике. учебной программы, если бы мы использовали только матрицы в этой настройке, было бы неэкономично тратить время на разработку механизмы, необходимые для демонстрации элегантного вывода формулы для R _x, которая используется на рисунке 5.Однако у матриц гораздо больше приложений, чем у этого — для понимания других преобразований, для решения системы уравнений, к сетям и цепям Маркова.

Элегантная теория математического понимания

xiv
В ходе пленарного выступления ICME в 2008 году Джереми Килпатрик отметил, что «математическое образование не похоже на другие области науки» (Artigue & Kilpatrick, 2008). Он процитировал заявление в Эрлангенском обращении Феликса Кляйна в 1872 году о том, что
«Каждое математическое поколение опирается на достижения своих предшественников, тогда как в других областях [включая математическое образование] часто бывает, что старые здания сносят до того, как можно будет построить новое. продолжить.”
Джереми отметил, что «мы не всегда начинаем полностью с нуля, но мы много сносим, а также строим».
Однако я считаю, что между математикой и математическим образованием есть промежуток, в котором есть вечные истины. В этом пространстве мы стремимся к тому, чтобы учащиеся «понимали» математику, которую они изучают. Для материалов UCSMP это понимание рассматривается открыто и включает четыре аспекта (Usiskin, 2015):
измерение навыков и алгоритмов, которое варьируется от механического применения алгоритма до изучения алгоритмов и изобретения новых алгоритмов;
измерение доказательства собственности, которое варьируется от механического обоснования свойств до написания доказательств и открытия новых свойств;
измерение «использование-приложение», которое варьируется от простейших применений, известных каждому, до использования известных математических моделей, а затем и изобретения новых; и
измерение представления-метафоры, которое варьируется от повторения известных изображений математических идей до изобретения новых представлений.
Такой многогранный взгляд на понимание необходим, потому что для разных людей каждое из этих измерений преобладает над другими тремя по важности. Пресловутый «средний человек с улицы» склонен думать, что вы разбираетесь в математике, если знаете, как получить ответы на математические вопросы. Математики склонны рассматривать человека как понимающего математику, если он может сослаться на свойства, объясняющие рассматриваемую математику. Инженеры склонны полагать, что на самом деле вы не понимаете математику, пока не сможете применить математику в реальных ситуациях.И многие психологи думают, что реального понимания означает способность каким-то образом представить математику, возможно, с помощью метафоры. Все эти четыре аспекта присутствуют в преподавании и изучении математики и удивительно независимы друг от друга. Вот почему я называю их размерами. Практически для каждой концепции учебной программы UCSMP, наших уроков и тестов мы стремимся познакомить учащихся со всеми четырьмя измерениями. Кроме того, есть по крайней мере еще одно измерение в понимании математики — историко-социальное измерение — как математика развивалась и находилась под влиянием социальных сил; этот способ обычно игнорируется в классах.
Одним из следствий многомерного взгляда на понимание является то, что мы постоянно вовлекались в геометрические представления числовых и алгебраических идей и в алгебраические представления геометрических идей. Таким образом, такой подход к пониманию помог нам воспользоваться преимуществом общего единства математики. И хотя это кажется сложным взглядом на понимание, в некотором смысле это элегантная структура для очень неэлегантной реальности.
Через некоторое время мы начали понимать, что наши авторы, как правило, предпочитали одно или два измерения понимания математики другим.При написании прозы и задач некоторые, как правило, сосредотачивались на навыках, некоторые на математических свойствах, некоторые на приложениях, некоторые на представлениях, а некоторые на историко-социальном измерении. Мы учли эти сильные стороны при создании наших писательских команд, и я думаю, что это обогатило наши материалы.
Команды писателей и процесс письма
xv
Разработка хорошей учебной программы требует не только знания математики, но и умения писать понятный и интересный материал.С самого начала талантливые люди участвовали в написании текстов UCSMP (см. Ссылки на UCSMP в конце этой статьи). После того, как я написал первый черновик Переходной математики , четыре очень умных и опытных местных учителя отредактировали материалы. Для каждого из других курсов мы выбрали опытных авторов в качестве руководителей групп. Джон МакКоннелл был главой отдела математики в местной средней школе и получил докторскую степень по математическому образованию в Северо-Западном университете, изучая отношения между учителями и студентами по алгебре 9 ^{-го класса} (МакКоннелл, 1978).Он стал руководителем нашей группы алгебры. Шэрон Сенк, учительница средней школы в Ньютоне, штат Массачусетс, преподавала ученикам геометрию и продвинутую алгебру. Кроме того, в исследовании ван Хиле она изучала успеваемость студентов по доказательству (Senk, 1985). Она согласилась возглавить группу продвинутой алгебры. Чтобы заполнить группы по алгебре, мы разместили рекламу на национальном уровне, попросили кандидатов прислать образцы письменных работ, а затем пригласили финалистов, чтобы оценить их способность работать с командой, чтобы планировать и писать на месте.Таким образом мы получили некоторых талантливых авторов. Что касается геометрии, мне удалось убедить Арта Коксфорда снова заняться этим.
На последних двух курсах два человека разделили лидерство. Изначально курс мы называли Functions and Statistics , а теперь — FST , у нас были Рета Рубенштейн, в то время учительница в государственных школах Детройта, которая была замечательным автором в нашей группе продвинутой алгебры, и Джим Шульц, профессор. из Университета штата Огайо (позже переехавшего в Университет Огайо), который уже написал замечательный учебник по математике для учителей начальной школы (Schultz, 1977).Для Precalculus and Discrete Mathematics мы убедили двух математиков, Тони Пересини и Сюзанну Эпп, стать соруководителями. Тони взял на себя инициативу по частям предварительного вычисления, в то время как Сюзанна, написав учебник по дискретной математике для колледжа (Epp, 1990), взяла на себя инициативу по урокам дискретной математики.
За исключением FST, который в основном писался вне университета, группы писателей работали летом от 6 до 8 недель, 5 дней в неделю в одной комнате, достаточно большой, чтобы разместить их с одним или двумя студентами-редакторами и справочными материалами.Планировочные встречи были постоянными. Я старался присутствовать на каждой встрече по планированию и был последним редактором на каждом уроке. Видимо, я был крутым редактором. Несколько лет назад на «жарке» после ужина в мою честь некоторые авторы подготовили скетч о моем редактировании. В скетче один из авторов прыгает от радости, когда видит, что написанное ею слово пережило мою редакцию — слово «the».
После того, как тексты по алгебре были написаны, мы поняли, что редакторы наших докторантов (Дэн Хиршхорн, Дора Аксой, Джим Фландерс, Барри Киссейн, Джефф Бирки и Грег Макрилл) делали много авторской работы, и мы сочли целесообразным идентифицировать их как авторов.Им помогали другие студенты университета, которые вычитывали текст и давали ответы и решения проблем. Студенты в университете также были нашими производителями, которые брали рукописный текст и переводили его в книжную форму, чтобы материалы могли быть протестированы на все большем количестве студентов. За прошедшие годы мы наняли более 200 студентов Чикагского университета в качестве редакторов или помощников по производству.
Нашими полевыми тестовыми версиями были черно-белые издания в мягкой обложке или в спиральном переплете.В первых двух выпусках этой работой руководила Сьюзан Чанг. Режиссером третьего выпуска был Бен Бальскус. Когда наши книги стали коммерчески издаваться, наши издатели сделали полноцветное издание в твердом переплете и прилагаемое к нему издание для учителей. Но было исключение — под руководством Бена мы сами выполнили коммерческое производство двух последних книг третьего издания. Наличие редакторов в помещениях, примыкающих к окончательной постановке, было чрезвычайно эффективным и, на наш взгляд, беспрецедентным случаем.
Также пришлось провести большие исследования наших материалов. Сначала Ларри Хеджес и Сьюзан Стодольски руководили нашими итоговыми исследованиями. Через несколько лет нам стало ясно, что наше желание иметь независимых оценщиков в UCSMP оставило нас без некоторых видов данных, которые мы очень хотели. Например, нас очень интересовало влияние калькуляторов на обучение студентов, но оценщики сочли это незначительной проблемой. В результате мы с Шэрон Сенк поделились большей частью работы над более поздними оценками первого издания.Затем Денисс Томпсон, которая начала с нами, будучи отобранной в конкурсе авторов, а затем стала докторантом, решила использовать тестирование Precalculus и Discrete Mathematics для своей докторской диссертации, а затем стала директором нашего исследования (Thompson , Senk, et al., Несколько лет).
Первое издание было закончено в 1991 году, и в результате продаж наш издатель попросил нас немедленно начать работу над вторым изданием. Для второго издания мы пригласили многих из авторов первого издания и повторили конкурс, чтобы заполнить авторские команды.Два новых имени появляются в трех книгах каждая: Дэвид Витонски, редактор, и Нильс Абель, учитель средней школы, который с тех пор много лет возглавлял отдел в частной школе Дирфилд Академии в Массачусетсе. Нильс воплощает принцип, который неоднократно подтверждался на протяжении многих лет, а именно, что в наших школах есть учителя математики, чьи знания и способности в области школьной математики не уступают любым университетским профессорам в нашей области. Второе издание было сделано к 1997 году.
Для третьего издания мы поменяли издателей и работали с 2005 по 2010 год. Мы также добавили курс, предшествующий Transition Mathematics, чтобы отразить изменения в США в концепции средней школы для 6-8 классов. Это чрезвычайно важно для многих. Автором этого издания была Натали Якуцин, которая пришла к нам в качестве опытного преподавателя, помогавшего редактировать первое издание Advanced Algebra . Для второго издания она отвечала за редактирование рукописей каждой книги.Затем она вернулась к преподаванию на полную ставку, но вернулась к написанию третьего издания, а совсем недавно она возглавила работу по созданию цифровой платформы для семи книг третьего издания.
Наконец, важно признать, что проект такого размера требует административной группы. Кэрол Сигел, наш офис-менеджер в течение трех десятилетий, руководила пятью из семи международных конференций, которые UCSMP проводил в Чикагском университете с 1985 года, включая две самые последние под эгидой Центра изучения математики, поддерживаемого NSF.Она также помогла отобрать всех претендентов на редакционные и производственные должности в UCSMP, и благодаря ей и другому административному персоналу мы постоянно собирали необычайно хорошую команду поддержки для наших усилий по написанию, редактированию и производству.
Более подробную информацию о дизайне и разработке учебных материалов до и в рамках школьного математического проекта Чикагского университета можно найти в информационных бюллетенях UCSMP 1-40 на сайте http://ucsmp.uchicago.edu/newsletters, а также в Usiskin ( 2003); Usiskin (2007) и Reys & Reys (2014).
Резюме и благодарность
xvi
В этой статье я попытался описать некоторые подробные размышления и работу, которые потребовались для разработки учебной программы UCSMP. Практически во всех случаях мы не были первопроходцами. Люди до нас разрабатывали учебную программу, включающую приложения и моделирование, включая преобразования, включая статистику и дискретную математику, используя новейшие технологии и работая над пониманием в математике. В Чикаго у меня была необычная возможность, предоставленная немногим людям — организовать и возглавить команду по разработке и написанию полной учебной программы по математике для средних школ.Эта работа не была бы известна сегодня, если бы не тот факт, что многие другие люди во всем мире работали над достижением тех же целей — над созданием актуальной, доступной для обучения и усвоения учебной программы по математике для подавляющего большинства студентов.
На нашу работу в начальной школе повлияли наши переводы советских учебников (Моро, Бантова, 1992; Моро, Бантова, Бельтюкова, 1992; Пчолько, Бантова, Моро и Пышкало, 1992; Усискин, 1997). На то, что у нас могут возникнуть ожидания в средних школах, повлияли наши переводы японских учебников (Kodaira, 1992), а также материалы Брайана Туэйтса и Джеффри Хаусона из SMP в США.К., работой Ганса Фройденталя, а затем и Института Фройденталя, Сола Гарфанкеля из COMAP, Могенса Нисса и Вернера Блюма и сотрудников ICTMA, занимающихся математическим моделированием и приложениями, новаторскими работами Джима Фея и Кэти Хайд в компьютерной алгебре. систем, работ Жана-Мари Лаборда и Ника Джекива по динамической геометрии, а также работ Texas Instruments и Casio по созданию удобных и недорогих технологий для школ.
Даже со всем этим руководством мы не смогли бы выполнить эту работу без поддержки сотен школьных администраторов и учителей в наших формальных исследованиях и тысяч учителей, желающих преподавать материалы, значительно отличающиеся от тех, которые они видели или преподавали ранее.
Это замечательно, что у нас есть всемирное сообщество, посвятившее себя совершенствованию учебных программ, которые мы даем студентам. Но мы не должны расслабляться. После периода замечательной разработки учебных программ по математике в США в 1990-х годах, который растянулся до 2000-х годов, в настоящее время в США практически нет разработки учебных программ. Common Core убил разработку учебных программ по математике здесь. не только с его регрессивным контентом, возвращающим к основам, но и с созданием мегалитической структуры тестирования, которая затруднит реализацию будущих изменений.Нам нужно праздновать наши успехи, но мы должны опасаться тех, кто хочет диктовать свое мнение об образовании, как будто это единственный путь.
Ссылки
xvii
Джейкобс, Х. (1971). Математика — человеческие усилия . Бостон: W.H. Фримен.
Моро, М.И. и Бантова М.А. (1992). Русский язык 2 класс Математика . Перевод Р. Х. Сильвермана. Чикаго: UCSMP.
Усискин, З. (1997). Изучение алгебры в классах K-4. Обучение детей математике 3 (6), стр. 346-356.
Приложение А.Тексты UCSMP для средних школ (6–12 классы)
xviii
Первое издание (коммерческое издание Гленвью, Иллинойс: Скотт Форесман)
Математика переходов . Залман Усискин, Джеймс Фландерс, Кэти Хайнс, Лидия Полонски, Сьюзен Портер и Стивен Виктора. Полевые испытания версий 1983-85 гг .; Полевые испытания в твердом переплете 1986 г .; Скотт, Foresman изданий 1990, 1992
Алгебра . Джон В. МакКоннелл, Сьюзан Браун, Сьюзен Эддинс, Маргарет Хакворт, Лерой Сакс, Эрнест Вудворд, Джеймс Фландерс, Дэниел Хиршхорн, Кэти Хайнс, Лидия Полонски и Залман Усискин.Полевые испытания версий 1985-88 гг .; Скотт, Foresman изданий 1990, 1993
Геометрия . Артур Ф. Коксфорд младший, Дэниел Хиршхорн и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1986-89 гг .; Скотт Форесман издания 1991, 1993
Продвинутая алгебра . Шэрон Л. Сенк, Денисс Р. Томпсон, Стивен С. Виктора, Рета Рубенштейн, Джуди Халворсон, Джеймс Фландерс, Кэти Хайнс, Натали Якуцин, Джеральд Пиллсбери и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1985-88 гг .; Скотт, Foresman изданий 1990, 1993
Функции, статистика и тригонометрия .Рета Н. Рубенштейн, Джеймс Э. Шульц, Шэрон Л. Сенк, Маргарет Хакворт, Джон У. МакКоннелл, Стивен С. Виктора, Дора Аксой, Джеймс Фландерс, Барри Киссан и Залман Усискин. Полевые испытания версий 1986-89 гг .; Скотт, Foresman edition 1992
Предварительные вычисления и дискретная математика . Энтони Л. Перессини, Сюзанна С. Эпп, Кэтлин А. Холлоуэлл, Сьюзан Браун, Уэйд Эллис-младший, Джон В. Макконнелл, Джек Сортеберг, Денисс Р. Томпсон, Дора Аксой, Джеффри Д. Бирки, Грег Макрилл и Залман Усискин.Полевые испытания версий 1987-90 гг .; Скотт Форесман издание 1992 г.
Второе издание (коммерческое издание Glenview, IL: Scott Foresman and Scott Foresman — Addison Wesley, and Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall)
2
Математика переходов . Залман Усискин, Кэти Хайнс Фельдман, Сюзанна Дэвис, Шэрон Малло, Глэдис Сандерс и Дэвид Витонски. Тестовая версия 1992-93; Скотт Форесман, издание 1995 г .; Скотт Форесман — Эддисон Уэсли издание 1998 г .; Издание Prentice Hall 2002
Алгебра. Джон В. МакКоннелл, Сьюзан Браун, Шэрон Л. Сенк, Тед Уайдерски, Скотт Андерсон и Залман Усискин. Тестовая версия 1992-93; Скотт Форесман издание 1996 г., Скотт Форесман — издание Эддисон Уэсли 1998 г .; Калифорнийское издание, 2000 г .; Издание Prentice Hall 2002
Геометрия . Залман Усискин, Дэниел Б. Хиршхорн, Вирджиния Хайстоун, Хестер Левеллен, Николас Оппонг, Ричард ДиБьянка и Мерили Мэйр. Тестовая версия 1993-94; Скотт Форесман издание 1997 г .; Издание Prentice Hall 2002
Продвинутая алгебра .Шэрон Л. Сенк, Денисс Томпсон, Стивен С. Виктора, Залман Усискин, Нильс П. Абель, Сюзанна Левин и Марсия Вайнхолд. Тестовая версия 1993-94; Скотт Форесман издание 1996 г .; Издание Prentice Hall 2002
Функции, статистика и тригонометрия . Шэрон Л. Сенк, Джон В. Макконнелл, Стивен С. Виктора, Залман Усискин, Нильс П. Абель, Вирджиния Хайстоун и Дэвид Витонски. Скотт Форесман — Эддисон Уэсли 1997
Предварительные вычисления и дискретная математика .Энтони Л. Перессини, Джон В. Макконнелл, Залман Усискин, Нильс П. Абель и Дэвид Витонски. Скотт Форесман — Эддисон Уэсли 1998
Третье издание (коммерческое издание Чикаго: Wright Group / McGraw-Hill; Чикаго: UChicagoSolutions)
3
Математика перед переходом . Джон У. Макконнелл, Кэти Хайнс Фельдман, Дебора Хирес, Эмили Каллемейн, Энрике Ортис, Норин Виннингем, Карен Хант, Трой П. Регис, Михаэла Флоренс Сингер, Джон Вулф, Натали Джакусин и Залман Усискин.Версия для полевых испытаний 2006-07 гг .; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г.
Математика переходов . Стивен С. Виктора, Эрика Чунг, Вирджиния Хайстоун, Кэтрин Капуцци, Дебора Херес, Нева Меткалф, Сьюзен Сабрио, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2005-06; Wright Group / McGraw-Hill издание 2008 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016
Алгебра . Сьюзан Браун, Р. Джеймс Бренлин, Мэри Х. Уилтьер, Кэтрин М. Дегнер, Сьюзан К.Эддинс, Майкл Тодд Эдвардс, Нева Меткалф, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2005-06; Wright Group / McGraw-Hill издание 2008 г.
Геометрия . Джон Бенсон, Рэй Кляйн, Мэтью Дж. Миллер, Кэтрин Капуцци-Фейерштейн, Майкл Флетчер, Джордж Марино, Нэнси Пауэлл, Натали Якуцин и Залман Усискин. Версия для полевых испытаний 2006-07 гг .; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016
Продвинутая алгебра .Джеймс Фландерс, Маршал Лассак, Жан Сеч, Мишель Эггердинг, Пол Дж. Карафиол, Лин Макмаллин, Нил Вейсман и Залман Усискин. Версия для полевых испытаний 2006-07 гг .; Wright Group / McGraw-Hill издание 2009 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016
Функции, статистика и тригонометрия . Джон В. МакКоннелл, Сьюзен А. Браун, Пол Дж. Карафиол, Сара Брауэр, Мэри Айвз, Роза МакКаллаг, Натали Якуцин и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2007-08; Wright Group / McGraw-Hill издание 2010 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016
Предварительные вычисления и дискретная математика .Энтони Л. Перессини, Питер Д. ДеКрейн, Молли А. Рокстро, Стивен С. Виктора, Уорд Э. Кэнфилд, Мэри Хелен Уилтьер и Залман Усискин. Полевые испытания версии 2007-08; Wright Group / McGraw-Hill издание 2010 г .; UChicagoSolutions, выпуск 2016
Мат Моро 4 CL Домашнее задание. Программа УМК «Школа России» по математике для четвероклассников
Математика 4 класс
Моро, Бантова, Бельтюкова
Российская школа
Образование
Средний ребенок усваивает математику до определенного уровня, просеивая все, что ему кажется ненужным.И если бы не периодические испытания, возможно, это обстоятельство не имело большого значения. Однако современная программа обучения очень требовательна к школьникам, она касается знания основных предметов. И иметь какие-либо пробелы просто невыгодно, особенно если ученики и их родители рассчитывают получить в будущем хороший аттестат. Провести трудные для понимания моменты при изучении данной дисциплины помогут решебников к учебнику «Математика 4 класс» Моро, Бантова, Бельтюкова.
Что в коллекции
Пособие разделено на две части и включает довольно обширную программу. Помимо курса упражнений есть дополнительные задания, а также задания для самопроверки. Также в GDZ по математике 4 класс Моро содержит тестовую часть, которая распространяется на тесты, чтобы закрепить текущий материал и на контрольном выпуске за год.
Для чего предназначен
Эта тема по началу не доставляет особых хлопот, но ребятам приходится развивать все более серьезные темы.В этом году школьникам необходимо выучить арифметические действия с двузначными и трехзначными числами, а также повлиять на аза-геометрию. Решение уравнений тоже перестало быть легким действием. А поскольку впереди учеников ждет HDP, нагрузка возрастает еще больше за счет заданий, которые направлены на тренировку. Поскольку необходимо хорошее понимание материала, соответственно, необходимы полноценные знания теории, что довольно часто упускается из виду. Проверьте знания своего ребенка и помогите ему преодолеть трудности, возникающие из решебника к учебнику «Математика 4 класс» Моро. «Образование», 2015
Изображения учебников приведены на страницах этого сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 ч. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)
Чекин Академкнига
Математика 4 класс. Часть 1, 2. ГЭФ Истомическая ассоциация 21 века
Математика 4 класс. Часть 1, 2. ГЭФ Башмаков, Нефедова Астрель
Математика 4 класс. ФГОС Рудницкая, Юдачева Вентана График
Маравин Дроп
Математика 4 класс.Часть 1, 2. ГЭФ Моро Просвещение
Математика 4 класс. Часть 1, 2 Аргинин, Ивановская Федорова
Математика 4 класс. Часть 1, 2, 3. ГЭФ Peterson Juvent
Тренажер по математике 4 класс. Подготовка к выпускной аттестации в начальной школе Мишакина Ювен
Контрольно-диагностическая работа по математике 4 класс Нефедова Астрель
Контрольные работы по математике для 4 класса Волков Просветитель
Контрольные работы по математике 4. Часть 1, 2.ФГОС Рудницкая, моро экзамен
математика 4 класс. Подготовка к всероссийской поверке. ГЭФ Рыдзе, Красноянская Просвещение
Контрольная работа по математике 4 класс. ФГОС Волков Просветление
Самостоятельная работа по математике 4 класс. Часть 1, 2. ГЭФ Самсонова, экзамен моро
Ситникова Вако
Приборостроение (КИМ) в 4 классе математики ФГОС Рудницкая экзамен
Рабочие тетради
Захарова, Юдина Академкниг
Тетрадь для поверочно-контрольной работы 4 класс.Часть 1, 2. ФГОС Чухракова, Кудрова Академкнига
Чухракова, Янычева Академкнига
Тетрадь для самостоятельной работы по математике 4 класс Чухракова, Кудрова Академкнига
Рабочая тетрадь по математике 4. Итоговая контрольная работа. ГЭФ Истомическая ассоциация 21 века
Рабочая тетрадь по математике 4 класс. Часть 1, 2. ГЭФ Истомическая ассоциация 21 века
Рабочая тетрадь по математике 4 класс. Часть 1, 2 Башмаков, Нефедова Астрель
Учебная тетрадь по математике 4 класс.Часть 1, 2. ГЭФ Рудницкая, Юдачева Вентана График
Тетрадь для контрольной работы по математике 4. ГЭФ Рудницкая, Юдачева Вентана График
Рабочая тетрадь по математике 4. Часть 1, 2. ГЭФ Волкова Просветление
Рабочая тетрадь по математике 4. Часть 1, 2. ГЭФ Бененсон, Итина Федорова
Рабочая тетрадь по математике 4 класс. Часть 1, 2. ГЭФ Кремнев. К учебнику моро. Экзамен
Рабочая тетрадь по математике 4 класс. Часть 2, 3. GEF Peterson Juvent
Тесты
Тесты по математике 4 класс.ГЭФ Истомическая ассоциация 21 века
Тесты повышенной сложности по математике 4 класс. Часть 1, 2. ГЭФ Быков экзамен
Практическое использование решебника по математике для 4 класса
Каждый последующий учебный год характеризуется усложнением школьной программы, поэтому многим ученикам требуется дополнительная помощь. Грамотно составленный и удобный в освоении сборник GDZ По математике для 4 класса это отличный инструмент, использование которого способствует качественной подготовке к ответственным урокам.Представлено в руководстве Готовое домашнее задание Содержит типичные упражнения, которые учитель может использовать в классе. Выполнить домашнее задание с этим сборником можно быстро и качественно.
Воспользовавшись решебником по математике как шпаргалкой, можно быстро освоить решение даже очень сложных задач. В коллекции
подробно описаны последовательно выполняемые действия. Также используются дополнительные комментарии и подробные пояснения, способствующие самостоятельному изучению практически любого раздела книги.
С помощью этого совета для школьника вы можете эффективно проверить свою домашнюю работу. В процессе проведения тщательной проверки выполненной работы выявляются ошибки и повышается уверенность в точном понимании материала. Использование решебана оказывает значительное влияние на улучшение успеваемости и развитие интереса к школьной дисциплине.
Математика 4 класс — прочная основа для будущего успеха
В 4 классе материал по основным дисциплинам цикла изучается в начальной школе.Среди ведущих — математика, знание которой станет основой для продолжения изучения классической программы по дисциплине, а также по алгебре и геометрии. Все эти предметы включены в обязательный итоговый тест по математике, который сдается каждой аспирантурой после его завершения. Учитывая сложность программы математики для четвероклассников, к ней следует сразу, с начала года, подходить к изучению предметов и абзацев, решать задания максимально внимательно и грамотно.В помощь школьникам — специальная и контрольная литература по дисциплине и решебник к ней.
Наличие таких «помощников» не менее важно для эффективной организации их работы на GDZ При соблюдении основных принципов, позволяющих добиться успеха:
— систематичность, то есть предварительная разработка плана, схемы, программы, учитывающей базовый уровень Знаний, интерес пятиклассника, время, которое он готов и может потратить на решение основного и дополнительного задания блока;
— сложность, т.д., грамотно составить индивидуальную УМК, исходя из целей (повысить оценку, подготовиться к участию в олимпиадах и соревнованиях и т. д.), выбранных за основу основного учебного пособия и программы изучения математики. в школе и др .;
— Регулярный систематический контроль за ходом выполненных задач, корректировка планов, оценка результатов.
К номеру математики для 4 класса, вызывающему наибольшие затруднения у четвероклассников, можно позвонить:
— сложные примеры умножения и деления чисел;
Издательство: Просвещение 2016 г.
Математика — одна из важнейших наук. Это тесно связано с физикой и химией, без которых невозможен научный прогресс. В современном мире числа на каждом шагу, без манипуляций, с ними не живут. Недаром его называют «Королевой науки», ведь все достижения науки и техники стали возможны благодаря расчетам.
Можно с уверенностью сказать, что математика упрощает жизнь. Школьники начинают изучать его с первого класса, а продолжают углублять знания даже после выпуска.Часто проблемой для ученика являются домашние задания. В школе можно забыть или пропустить тему, и тогда становится непонятно, как делать упражнения из учебника.
Решебник — Что это?
Сборник готовых домашних заданий М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. БЕЛТЮКОВ Может облегчить жизнь школьнику и его родителям. В нем правильных ответов На все комнаты, в которых есть только учебник.
Четвертый класс — трудное время для ребенка.В течение года нужно получить много необходимых знаний, а для этого нужна дисциплина и совершенство. Не все этим хвастаются. Ребятам хочется гулять, а не сидеть на уроках и слушать учителей.
Польза или вред
Существует стереотип, что наличие правильных решений упражнений мешает обучению. Это школьники просто не задумываясь списывают головой. Но это заблуждение, данные из коллекции готовых задач помогут сравнить результат и все же продемонстрируют решение.Вы можете наглядно увидеть, как идут расчеты.
Представьте себе ситуацию: ученик не усвоил материал урока и не знает, как подходить к заданиям. С помощью онлайн ГДЗ М.И. Моро. Вы можете понять логику на основе показанного решения.
Родители могут убедиться, что разбираются в теме, и не боятся выступлений. Что дает такая литература:
разъяснение
экономия времени и сил
уверенность в правильном решении
возможность самообучения
Нельзя просто записать семплы из решебника .Это повредит прогрессу и будет заметно при тестировании и проверке. Надо попробовать решить самому, а если вызывает затруднения, прибегать к пользе. Вся представленная информация соответствует ГЭФ.
ГДЗ К. Рабочая тетрадь по математике для 4 класса Волкова С.И. Можно скачать.
ГДЗ к контрольной работе по математике для 4 класса Моро М.И. Вы можете скачать.
ГДЗ к тетради учебных достижений по математике за 4 класс Волкова С.И. Вы можете скачать
Итак, пора удержаться в сторону развлечений и заняться математикой.Ведь невозможно все время играть … Вернее можно, но ни к чему хорошему это не приведет. Иногда нужно немного и напрячь голову. Ведь в наших реалиях надо писать и считать! Чтобы вы не могли «уйти за борт» того самого корабля, который принимает на вашу палубу только образованных, а иногда впоследствии награждает их за эти знания, предлагаем вам обратиться за домашним заданием по математике. Здесь и сейчас можно найти домашние задания на эту тему авторов Моро и Волковка, 4 класс и 1 часть по программе Школа России.То есть это такой электронный решебник с готовыми и лояльными ответами.
Тут сразу хочу сказать, что не стоит злоупотреблять тем, что есть. То есть просто возьми и перепиши. В первую очередь подумайте, решите и только тогда, когда вы захотите проверить или проверить, тогда и увидите ответы. Именно такой алгоритм использования данных ответов будет наиболее верным и надежным. Ответы на учебник показаны на страницах.
Теперь вы можете просто щелкнуть по нужной странице, чтобы проверить ответы.Страница откроется в новом окне, там будет все, что вам нужно!
Ответы на страницах ГДЗ Математика Моро 4 класс учебник 1 часть. Ответы на задания. Решебник
Выберите страницу обучения:
стр. 4.
стр. 5.
стр. 6.
стр. 7.
стр. 8.
стр. 9.
стр. 10.
стр. 11.
стр. 12.
стр. 13.
стр. 14.
стр. 15.
Страница 16.
Страница 17.
Страница 18.
Страница 19.
Страница 20.
Страница 21.
Страница 22.
Страница 23.
Страница 24.
Страница 25.
Страница 26.
Страница 27.
Страница 28.
Страница 29.
Страница 30.
Страница 31.
Страница 32.
Страница 33.
Страница 34.
Страница 35.
Страница 36.
Страница 37.
Страница 38.
Страница 39.
Страница 40.
Страница 41.
Страница 42.
Страница 43.
Страница 44.
Страница 45.
Страница 46.
Страница 47.
Страница 48.
Страница 49.
Страница 50.
Страница 51.
Страница 52.
Страница 53.
Страница 54.
Страница 55.
Страница 56.
Страница 57.
Страница 58.
Страница 59.
Страница 60.
Страница 61.
Страница 62.
Страница 63.
Страница 64.
Страница 65.
Страница 66.
Страница 67.
Страница 68.
Страница 69.
Страница 70.
Страница 71.
Страница 72.
Страница 73.
Страница 74.
Страница 75.
Страница 76.
Страница 77.
Страница 78.
Страница 79.
Страница 80.
Страница 81.
Страница 82.
Страница 83.
Страница 84.
Страница 85.
Страница 86.
Страница 87.
Страница 88.
Страница 89.
Страница 90.
Страница 91.
Страница 92.
Страница 93.
Страница 94.
Страница 95.
Страница 96.
Страница 97.
Страница 98.
Стр. 99.
Самые сложные и интересные задания в учебнике ГДЗ по математике Моро 4 класс учебник 1 часть
Стр. 6, Задание 14
В 2 одинаковых спальных вагонах 120 мест. Сколько мест в 7 таких спальных вагонах? в 10 таких машинах?
Решение:
(120: 2) * 7 = 420 мест в 7 вагонах;
(120: 2) * 10 = 600 мест в 10 вагонах.
Стр. 7, Задание 22
Разрежьте карточки с числами так, чтобы произошло точное равенство.
73-25 = 58
Решение:
Надо переставить 3 и 8. Правая запись
78-25 = 53.
Стр. 12, Задание 56
Масса ящика с яблоками 12 кг и масса пустого ящика в 6 раз меньше. Сколько килограммов яблок в этой коробке? Сколько таких ящиков нужно на 100 кг яблок?
Решение:
12: 6 = 2 кг весит ящик
12-2 = 10 кг помещенный в один ящик
100: 10 = 10 ящиков нужно на 100 кг яблок.
Стр. 14, Задача 73
Поместите скобки так, чтобы значение выражения стало равным числу 2,50 180 474.
53-3 * 9 + 4 * 6
Решение:
53- (3 * 9 + 4 * 6) = 2
(53-3 * 9) + 4 * 6 = 50
(53-3 * 9 + 4 ) * 6 = 180
(53-3) * 9 + 4 * 6 = 474
Стр. 15, Задание 76
Для похода туристы приобрели 96 консервных банок. В день израсходовали 8 банок. Сколько банок можно обслужить за 10 дней кампании?
Решение:
96-8 * 10 = 16 банок.
Стр. 18, Задание 9
На поездку в магазин и обратно мальчик потратил 1 час 10 минут.Там он ехал на байке 25 минут, в магазине пробыл 15 минут. Сколько минут мальчик ехал обратно?
Решение:
70- (25 + 15) = 30 минут
Стр. 19, Задание 15
Учащийся потратил на решение задания 6 минут, а на решение каждого из 8 примеров по 3 минуты. Сколько времени студент потратил на выполнение этого домашнего задания?
Решение:
6+ (3 * 8) = 30 минут
Страница 23, Задание 93
На вопрос, сколько ему лет, дедушка ответил так: если проживешь половину того, что прожил я, и еще год, то будет ровно 100.Сколько лет дедушке?
Решение
(100-1): 1,5 = 66 лет. Но в 4 классе еще не знакомы с числами формы 1.5. Поэтому правильнее будет найти возраст относительно кратного наименьшего значения, в нашем случае это половина того, сколько прожил дедушка. Т.е. ..
1) 100-1 = 99 столько проживет дедушка, если проживет половину того, что прожил я
2) 99: 3 = 33 Половина от того, что дед жил
3) 33 * 2 \ u003d 66-летний дедушка
Страница 81, Задание 371
На какое однозначное число нужно умножить число 123 456 79, чтобы новое число стало новым числом, записанным на единицу? Надо умножить на 9.
Стр. 89, Задание 421
Два маляра собрались на работу 9500 р. Первый проработал 6 дней, второй — 4 дня. Сколько денег должен получить каждый, если плата за один день для каждого из них была одинаковой?
Решение:
1) 6 + 4 = 10 (д) столько опытных художников вместе работали вместе;
2) 9500: 10 = 950 (р) оплата одной рабочей нагрузки;
3) 950 * 6 = 5700 р получил первую покраску;
4) 950 * 4 = 3800 (P) получил второй маляр.
Стр. 90, Задание 430
Рабочие должны посадить 350 саженцев кустов. В первый день высадили одну седьмую всех саженцев. Это в два раза меньше, чем на второй день. Задайте вопрос и решите задачу.
Решение:
Вопрос. Сколько саженцев посадить в следующие дни (сутки), после вторых?
1) 370: 7 = 50 (в) посадили в первый день;
2) 50 * 2 = 100 (в) посадили на вторые сутки;
3) 350- (100 + 50) = 200 (в) посадили в последующие дни или сутки.
Page 93, Задание 23
В соревнованиях по спортивному ориентированию приняли участие 86 школьников. Победителями стали 5 человек, а две трети всех остальных ребят за хорошие результаты были награждены дипломами. Сколько парней получили письма?
Решение:
1) 86-5 = 81 (W) из этих школьников 2/3 получили аттестаты;
2) 81 * (2/3) = 54 (ш) получил письма.
Стр. 93, Задание 33
Покупатель продал дыни по той же цене за килограмм: одна весит 5 кг, вторая — 3 кг.Вся эта покупка стоила и рублей. Напишите на этом условии выражения, которые показывают: 1) сколько стоит 1 кг дыни 2) сколько стоит каждая дыня.
Решение:
1) A: (5 + 3) — столько стоит 1 кг дыни:
2) A: (5 + 3) * 5 стоит 5 кг дыни, а: (5 + 3) * 3 стоимость 3 кг дыни
Школьная программа 4 класса по математике имеет некоторые особенности в связи с тем, что это выпускной класс в начальной школе. Наряду с новым материалом есть раздел с повторением последних трех школьных лет.Задания и примеры сложные, также необходимо научиться выполнять действия с большими числами, а родителям не всегда можно правильно объяснить, как решать различные задачи. Однако используя ГДЗ По математике 4 класс М.И. Моро, они помогут школьнику разобраться в решении.
Неважно, что вызывает у ребенка трудности: математические действия или новые понятия — благодаря решебнику он сможет уточнить непонятные нюансы. Возможно, четверокласснику всерьез дается умножение, деление на двузначные и трехзначные числа или установление средней арифметики — GDZ Всегда поможет справиться с заданием по дому.Для лучшего понимания можно подробно изучить твердую задачу, а подобное дать ученику решить самому.
Все задания детально рассмотрены, поэтому родители легко могут объяснить, как решить задачу сложными вычислениями или примером с множеством действий. А с помощью разбора логических задач совершенно легко закрепить знания ребенка о единицах, десятках, сотнях. Указанный решебник по математике Моро 4 класс позволит родителям убедиться, что их ученик верно решает домашнее задание.
Программа УМК «Школа России» по математике для четвероклассников
Последний класс начального этапа школы — время активных и интенсивных занятий, подведения итогов школьной программы 1-4 класса. Учителя, школьники и родители отмечают, что для четвероклассников часто становится проблемой задание по математике. Это связано с усложнением в четвертом классе школьного материала по данной дисциплине. За его успешное освоение, грамотно организованную подготовку, качественные самоучители и решебники к ним.Вы можете выбрать желаемый набор как сами, так и воспользоваться помощью репетиторов, предметов, руководителей математических кружков.
Во многих школах программа «Школа России» используется как базовая UMC. Предметная линия по математике в нем признана достаточно сильной и логически понятной четвероклассникам. Для без проблем освоить весь курс ГДЗ Необходимо проводить:
— системно, по заранее определенному плану, с учетом интереса четвероклассника к математике, его уровня подготовки, способностей и цели;
— комплексно, ориентируясь не только на базовый учебник по предмету, но и используя набор подходящих семинаров, тестовых материалов;
— Регулярно, сокращая время на подготовку;
— овладение техникой самоконтроля и регулярной оценки достигнутых результатов, выявления и устранения проблем.
Среди эффективных КМД специалисты называют математический комплекс для 4 класса, предложенный Моро М. I. Основными темами, изучаемыми в рамках дисциплины в четвертом классе по этому комплексу, стали:
— умножение, деление на однозначные числа;
— показатели движения — расстояние, время и скорость, их взаимодействие, решение задач с этими математическими значениями;
— умножение и деление на числа, заканчивающиеся нулями;
— умножение и деление на двузначные и трехзначные числа.
Помимо основного учебника, четырехклассникам также рекомендуются следующие пособия и сборники этого автора:
— математические диктанты;
— самостоятельная работа;
— контрольные материалы;
— рабочие тетради;
— Итоговый контроль и другие.
Вы можете оборудовать учебник мастерскими других авторов, в том числе рекомендованными для учебника Моро или без таких рекомендаций. Предлагаемые в них задания универсальны и позволят качественно проработать даже самые сложные темы математики для четвертого класса.
Упражнения: 3 класс по математике
Панель приборов
Математика 3 класс
Подпрограммы
Перейти к содержанию Панель приборов
Авторизоваться
Панель приборов
Календарь
Входящие
История
Помощь
Закрывать Мой Dashboard
Класс 3 Математика
Страницы
Процедуры
NE
Домашняя страница
Процедуры
Закрытие
Банк ресурсов
Инструменты программы
Семья и сообщество 3-го класса
Учебный план 3-го класса Сообщество
Курс 2-го класса
Курс 4-го класса
Сотрудничество .

ГДЗ По Математике 3 Класса 1 Часть – Telegraph

Решебник по математике 10 класс алгебра

Решебник по математике 10 класс алгебра

Links to Important Stuff

Links

Конспект урока «Окружность,круг»

Технологическая карта по математике на тему «Морское путешествие» (4 класс)

Красота и интуиция в преподавании математики

Аннотация

Введение

Удачная география

Воспользовавшись интуицией

Элегантность преобразований

Исследование паттернов

Приближение к алгебре через приложения

Интуиция и статистика

Применение арифметики

Теория Ван Хиле

UCSMP и Serendipity

Два конкурирующих прекрасных аспекта математики

Красота связей

Элегантная теория математического понимания

Команды писателей и процесс письма

Резюме и благодарность

Ссылки

Приложение А.Тексты UCSMP для средних школ (6–12 классы)

Первое издание (коммерческое издание Гленвью, Иллинойс: Скотт Форесман)

Второе издание (коммерческое издание Glenview, IL: Scott Foresman and Scott Foresman — Addison Wesley, and Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall)

Третье издание (коммерческое издание Чикаго: Wright Group / McGraw-Hill; Чикаго: UChicagoSolutions)

Мат Моро 4 CL Домашнее задание. Программа УМК «Школа России» по математике для четвероклассников

Что в коллекции

Для чего предназначен

Рабочие тетради

Тесты

Практическое использование решебника по математике для 4 класса

Математика 4 класс — прочная основа для будущего успеха

Решебник — Что это?

Польза или вред

Ответы на страницах ГДЗ Математика Моро 4 класс учебник 1 часть. Ответы на задания. Решебник

Самые сложные и интересные задания в учебнике ГДЗ по математике Моро 4 класс учебник 1 часть

Программа УМК «Школа России» по математике для четвероклассников

Упражнения: 3 класс по математике

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики