Гдз по математике 1 класс климанова 2 часть: ГДЗ по математике Дорофеев 1 класс 2 часть рабочая тетрадь. Ответы на задания. Решебник

Содержание

ГДЗ «Мой алфавит» прописи 1 класс, 2 часть (Климанова Л.Ф)

 Ничего не стоит на месте, все меняется… Так и с нашими первоклашками, которые только-только пришли в школу, но уже добрались до 2 части учебного издания прописей «Мой алфавит», авторов Климановой и других. Эти прописи преследуют своей целью научить ребенка писать правильно и прежде всего красиво. Ведь именно сейчас у наших деток формируется почерк, который останется с ними на всю их жизнь! И писать красиво и каллиграфически верно это большой плюс, ведь в этом случае это не только развитие моторики и пластики рук, но еще и возможность понятно и с удовольствием читать все то, что они написали от руки!


Итак, в этой статье будут рассмотрены верные примеры ГДЗ по заполнению прописей «Мой алфавит» для 1 класс, 2 части. В приписях будут приведены самые различные задания, от простого раскрашивания, до разбора слова по гласным, согласным, расстановки ударения и деления по слогам! Все эти ответы будут приведены в форме ниже.

ГДЗ по страницам для издания мой алфавит «Прописи» 1 класс, 2 часть

Осталось еще раз повториться, для того чтобы вам взглянуть на нужную страничку прописи, выбирайте ее в форме ниже и смотрите. Здесь все просто и понятно! Страница откроется сама!

Выбери страницу рабочей тетради:страница 4страница 5страница 6страница 8страница 7страница 9страница 10страница 11страница 12страница 13страница 14страница 15страница 16страница 17страница 18страница 19страница 20страница 21страница 22страница 23страница 24страница 25страница 26страница 27страница 28страница 29страница 30страница 31страница 32страница 33страница 34страница 35страница 36страница 37страница 38страница 39страница 40страница 41страница 42страница 43страница 44страница 45страница 46страница 47страница 48страница 49страница 50страница 51страница 52страница 53страница 54страница 55страница 56страница 57страница 58страница 59страница 60страница 61страница 62страница 63

Пояснения к ГДЗ рабочей тетради Мой алфавит 1 класс, 2 часть

 Что же, теперь кратко о содержимом. Во второй части будем учиться писать заглавные и строчные буквы. К каждой букве будет дополнительно приведены задания ребусы, разбор слов, какие-то тематические задания. Все это позволит сделать обучение наиболее разнообразным как в плане заинтересованности, так и в плане объема преподнесения материала!

Страница 7.

Допиши предложение. Ответ: В зоопарке зебры, зубры и бизон.

Страница 8 Ребус: ЗУБР

Страница 9. Коси, коса, пока роса. Молоко принесла коза.

Страница 10. Спиши слова, составь с ними предложения. Ответ: Зина сорвала розу и посадила занозу.

Страница 11. Выбери слова и вставь их в предложение. Ответ: У Зины и Пети синие и зелёные пузыри.

Страница 14. Составь предложения по схеме. Ответ: Лебеди плавали в пруду. Виноград рос в саду.

Страница 15. Допиши предложение. В живом уголке жили ежи и ужи.

Страница 17.

Собака Рыжик сторожит дом. Ёжик бежит в лес. Жук громко жужжит.

Страница. 18. Озаглавь текст. К какому предложению дана схема? Заголовок: Тим и том. Схема дана ко 2 предложению (Они жили дружно.)

Страница. 19 Сложи элементы так, чтобы получились 4 буквы. Напиши их. Придумай слова с этими буквами. Ответ: Ж З Д Б Жанна Женя жук зубр зима Зина Дима дискотека домик Борис балкон бант

Страница 21. Догадайся, какие слоги поставил Гав, а какие — Тяв. Гав: ба, та, ма, па, ла. Тяф: бя, тя, мя, пя, ля.

Страница 22. Ребусы: семья, як, ярмарка. Слова из слова. Ответ: Яблоко — лоб, блок, як, око, кол. Ягодник — дно, год, ягодки, дни.

Страница 23. Найди на рисунках спрятавшихся животных. Составь предложения. Запиши их. У коряги — лисы. Около яблони — поросёнок. У рябины — утка. Страница 25. Соотнеси слова с рисунком. Допиши предложение. Придумай рассказ. Горит яркая звезда. Рассказ: В космосе летит космонавт. У него в руке горит яркая звезда. Вокруг светят и мигают звезды. Ясное небо позволяет взглянуть на далекую голубую Землю.

Страница 26. Составь слова и запиши с ними предложения. Ответ: Хомяк и хорёк вызывали смех.

Страница 27. Найди слова. Составь пословицу. Ответ: Хлеб — всему голова. Как называют иголки у сосны и ёлки. Иголки у сосны и ёлки — хвоя.

Страница 31. Осень. Осень, осень В гости просим. Погости недель восемь… Восемь, семь, шесть, пять, ноль.

Страница 32 Составь слова. Ответ: зайка гайка лайка лейка Кай майка мойка май

Страница 33. Репей (какой?) колкий. Каравай (какой?) румяный свежий. Ёжик колкий. Кот усатый.

Страница 34. В вазе стоит букет. Там синий василёк, красный мак, белая астра, розовая роза. Слова для звукового анализа «красный», «синий».

Страница 35. Выпиши буквы с одинаковыми элементами.

Ответ: с-х й-ы ь-ы й-я я-ы Выбери из текста предложение к схеме. Запиши его. Ответ: Муха поёт в хоре. Придумай историю про ёжика и кролика. Сидел как-то зайка на пенечке и плакал. Под этим пенечком жил ёжик. Услыхал он плач и вылез из своей норы, стал жалеть зайку. Зайчик рассказал, что у него нет домика, а скоро зима, будет холодно. Ёж предложил помочь построить домик. Натаскали они веточек и соломы. Домик вышел славный. А зайка и ёжик подружились и стали ходить друг к другу в гости.

Страница 38. Какие слова ты поместишь в сумку, а какие — в рюкзак? Сумка: лук лужок луна юла руки Рюкзак: люк пилюля клюква

Страница 39. Сложи элементы так, чтобы получилось пять букв. Придумай с ними слова. Я Ю Х Й ь Слова не обязательно придумывать только из этих букв, нужны любые слова, в которых встречаются эти буквы: як, семья, хлеб, йог, юла, хорьки, Юля, Юленька, Юлия.

Страница 40 Слово для звукового анализа первое — «шашки», второе «штанга».

Страница 43 Гусь больше утки. Муха меньше жука. Волос тоньше нитки.

Страница 44. Напечатай слова. Пиши слоги правильно. ЧА-С, СЫ, СИК

Страница 45.

Что выше леса? Солнышко выше леса.

Страница 46 Первый ребус — слово «щука», второй — «ящик». Слова для звукового анализа: верхняя схема — слово «клещи», нижняя — слово «щука».

Страница 47. Прямоугольник с буквами. Ответ: щука, лещ, кит, ёрш, сом.

Страница 49. Составь своё предложение. Щенки в уголке грызли щётку.

Страница 50 Первый ребус — ответ «курица» В шести клетках слово «курица». Второй ребус — ответ «овца», но в пяти клетках пишем слово «цапля». Отгадка на последнюю загадку — ромашка.

Страница 56. Цветы: фиалка, флоксы, лютик. Кустарник: сирень. Деревья: клён, ель, берёза, рябина. У дуба сидит Люба. У клёна стоит Лёня. Страница 63. Какие буквы алфавита не названы в стихотворении? Ответ: Ё Й Ъ Ы Ь

ГДЗ по математике 1 класс Дорофеев, Миракова Учебник

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 5 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык

ГДЗ по русскому языку 1 класс Климанова, Макеева Решебник

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Казахский язык
  • 5 класс

      ГДЗ «Математика» 1 класс. Рабочая тетрадь 2 часть. Дорофеев, Миракова, Бука. Готовые ответы на задания, решебник ?

      Рабочая тетрадь «Математика 1 класс»под ред. Дорофеев, Миракова, Бука, издательство просвещение, вторая часть решебника с ответами на задания. УМК Перспектива. Как обычно, некоторые задания удивляют не только детей, но и родителей, но то ли еще будет, когда будете готовить с ребенком домашнее задание во 2 классе по тому же Дорофееву, нет-нет да и подкинут задачку для ума.  

      Но не переживайте, во всем по порядку разберемся, потому что мы публикуем не только решебник, но и пояснения к наиболее сложным заданиям по этой рабочей тетради. И, как и все наши ГДЗ, эти ответы тоже проверены и одобрены учителем начальных классов.

      Наиболее сложные задания разобраны внизу страницы со сканами решебника. Легкие задачи подробно разбирать не будем, но если у вас возникнут вопросы, почему получилось такое решение и ответ, спрашивайте в комментариях, разберемся.

      Выбирайте номера страничек, чтобы посмотреть ответы в хорошем качестве.  

      Ответы на задания к части 2 рабочей тетради

      Выберите страницу рабочей тетради:список страниц ↓↓↓0405060708091011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495

      Ответы на наиболее сложные задания с объяснениями

      Буквально с первых страниц второй части решебника мы видим «любимые» логические задания, как то задание 3 на странице 4: Подумай, как продолжить ряд. Найди в красной рамке фигуру, которую нужно поставить в первую пустую клетку. Нарисуй эту фигуру. Нарисуй еще 3 фигуры в этом ряду.

      Ответ слева направо: синий квадрат, желтый треугольник, синий прямоугольник, желтый круг.

      Как вы могли заметить, в цепочке чередуются цвета — синий/желтый. Значит следующая фигура после желтого круга должна быть синей. Вторая последовательность — это последовательность фигур: квадрат, треугольник, прямоугольник, круг и снова с начала. Значит после круга пойдет квадрат.

      ГДЗ к 5 странице  4 задание. Составь и реши круговые примеры. Напомним, как решать: сначала решаем пример, в котором все слагаемые известны, получаем ответ, следуем по стрелочке и записываем этот ответ в пустой квадратик, решаем и по аналогии записываем ответы по стрелке.

      Страница 7 задание 5. Покажи стрелкой, в какой точке числового отрезка окажется каждая фишка, если передвинуть ее по указанному на квадратах маршруту. (Розовый квадрат — движение вправо на указанное число единиц, голубой квадрат — движение влево на соответствующее число единиц.)

      Желтая фишка из точки 4 движется сначала влево на 2 единиц, затем вправо на 6 и оказывается в точке 7.

      Красная фишка из точки 1 движется сначала вправо на 5 единиц, а затем влево на 4 и оказывается в точке 2.

      Страница 8 задание 3. Какая запись не подходит к рисунку? Зачеркни её. У нас в наличии 5 фигур одинакового цвета: 3 круга и 2 треугольника. Если посмотреть на размер, то 3 маленькие фигурки и 2 большие. 2+3 это 2 треугольника и 3 круга, 5-3 это все фигуры минус круги, 5-2 это все фигуры минус треугольники. Если быть объективными, то 2+1, 1+1, 6-2 не подходят, потому что таких сочетаний по форме и размеру нет на рисунке. Учитель посчитала такой ответ правильным.

      Но если глубже докопаться до больной фантазии Дорофеева и еже с ним, то нужно зачеркнуть только 1 запись. Тогда, если с натяжкой принять, что 2+1 это два маленьких круга и 1 маленький треугольник, а 1+1 это 1 большой треугольник и один маленький, то лишняя запись только 6-2.

      Страница 9 ГДЗ на задание 4. Иван-царевич пытается добраться до горы Кощея Бессмертного и освободить Василису Прекрасную. Чтобы найти верный путь, Ивану-царевичу нужно идти строго по стрелкам и набрать 10 очков. Помоги ему.

      Идем по стрелкам, складывая цифры в кружочках. Последовательность такая: 4+1+3+2 =10

      Страница 11 задание 3. Зажги звёздочку на каждой ёлке. Раскрась шары и расшифруй слово.

      Ответ: МАТЕМАТИКА.

      Логика такая: 

      6-2=4 это буква М. Далее вверх по елочке в пустую клетку записываем ответ нижнего примера, получается 4+4=8 это буква К и так далее по тому же принципу.

      13 страница. 4 задание. Составь и реши круговые примеры.

      Круговые примеры — это когда ответ одного примера становится первым числом примера, следующего по стрелке. 8-2=6, значит в примере по стрелке ставим 6 и решаем далее.

      ГДЗ к 6 заданию. Подумай, как продолжить ряд. Найди в красной рамке фигуру, которую нужно поставить в пустую клетку. Нарисуй эту фигуру.

      Ищем закономерность по цвету: 1 желтая фигура — 2 синих, снова желтая — 2 синих, значит после желтой будет синяя.

      Ищем закономерность по форме: круг, квадрат, треугольник. Значит после круга будет квадрат.

      Ответ: синий квадрат.

      Стр. 15. Задание 5. Составь примеры по заданным маршрутам фишки. Реши их и сравни ответы. Что можно заметить?

      Решение. Фишка стоит на точке 7, с нее и начнем вычисления. Если сопоставить цвета квадратов с точками и первый пример, то голубой — отнимаем, а розовый — прибавляем. Для удобства пусть ребенок все это проделает на числовом отрезке.

      Страница 17. 5 задание. Нарисуй красным карандашом дорожку, которая проходит между фигурами так, чтобы кубики были справа от нее, а шары — слева.

      Представляем, что мы едем на автомобиле из точки А в Б. Поворачиваем тетрадь к себе так, чтобы точка А была перед нами, а Б впереди. Проводим линию по направлению к шарику так, чтобы он остался слева от линии, а к кубику так, чтобы он остался справа от линии. Поворачивая рабочую тетрадь по ходу движения чертим всю дорожку.

      Стр. 19. Задание 4. Попробуй сосчитать, сколько всего кубиков в каждой фигуре. Запиши полученные числа. Проверь себя, выложив из кубиков такие же фигуры.

      Лучше, действительно, последовать заданию и выложить фигуры из кубиков, чтобы ребенок понял, что за видимыми кубиками  скрываются другие и их тоже нужно посчитать.

      Страница 22. Задание 3. Определи по образцу, как связаны числа в кругах с числом в красном квадрате. Заполни пропуски.

      Ответ: Сумма чисел в кругах напротив друг друга дает число в квадрате. Таки образом, чтобы узнать недостающее число, нужно из числа в квадрате отнять известное число.

      ГДЗ к стр. 23. Задание 6. Разгадай закономерность, по которой составлена таблица. Нарисуй недостающую фигуру.

      Ответ: Фигуры одинаковой формы и цвета, но повернуты по разному. Не хватает такой же фигуры, как верхняя левая.

      Стр. 24. Задание 2. Как изменится вопрос, если сравнивать эти пирамиды в обратном порядке (считая справа налево)?

      Ответ: Узнай и запиши, на сколько меньше колец в каждой следующей пирамиде, чем в предыдущей?

      Страница 25. Задание 6. Зачеркни 4 палочки так, чтобы осталось только 3 квадрата.

      Выложите такую фигуру из пяти квадратов из спичек и предложите ребенку убрать четыре из них. Пусть поэкспериментируети найдет ответ.

      Задание 7. Найди лишнюю фигуру и зачеркни ее.

      Ответ: лишняя фигура — голубая стрелка. Все фигуры, кроме нее, зеркально отображены от линии.

      Страница 26. Задание 1. Сравни соседние числа в каждом ряду. Разгадай закономерность. Запиши пропущенные числа в пустые клетки.

      Закономерность проста. В 1й цепочке — четные числа по возрастанию. Во 2й — нечетные по возрастанию. В 3й — последовательность числе от 6 до 2 по убыванию.

      ГДЗ к странице 31. Задание 7. Расставь числа от 5 до 9 в пустые кружки так, чтобы соблюдалось правило: красная стрелка направлена от большего числа к меньшему, а синяя наоборот.

      1. Самое большое число из предложенных — 9, конечная стрелка показывает на него. Самое маленькое число из предложенных — 5, значит на него не показывает ни одна стрелка. Остальные расставить легко.

      2. Красная стрелка направлена от большего числа, значит самое большое число будет в центре. Остальные расставить легко.

      Страница 33. Задание 7. Попробуй разгадать закономерность между чертежом и числом справа. Запиши нужное число в пустой кружок.

      Мы видим 3 отрезка: АД, АЕ и АС. Мерить линейкой его их длины нет смысла, поскольку авторы рабочей тетради решили таким образом усложнить задачу детям. А вот узнать, как соотносятся части отрезов, измерив их линейкой, нужно. Измеряем и узнаем, что АВ везде равно СД, а ВС равно ДЕ. Из данных задачи можно узнать, чему равно ДЕ: 10-6=4 Таким образом ВС тоже =4 Теперь рассмотри 1й отрезок. Он у нас равен 6. Отнимем длину ВС (это 4) и узнаем, чему равны оставшиеся 2 обрубка: 6-4=2. И поскольку они одинаковы, то один маленький отрезочек будет равен 1. Теперь мы знаем, чему равна длина АВ и чему равна длина ВС, из которых состоит последний отрезок. 1+4=5. Пишем в кружок цифру 5.

      Но в другой редакции учебника рисунок изменен и отрезки уже не равны, задание упростили. Нужно посчитать количество отрезков в каждом ряду. На 1 чертеже 6 отрезков: АВ, ВС, СД, АС, АД и ВД; на 2м — 10: АВ, ВС, СД, ДЕ, АС, АД, АЕ, ВД, ВЕ, СЕ; на 3-м чертеже можно найти отрезки АВ, ВС и АС, их 3, значит решение — число 3.

      Ответ: 3

      Стр.35. ГДЗ к заданию 6. Какая фигура пропущена в таблице? Запиши ее номер. 3 Нарисуй ее в пустой клетке таблицы.

      Ответ: Верхние фигуры в рядах одинаковы, значит не хватает прямоугольника. Нижние фигуры в каждом ряду и каждом столбце разные, значит не хватает треугольника. Треугольники встречаются в таблице только углом вверх, такой и выберем из рисунков. То есть пропущена фигура номер 3.

      Страница 37. Задание 7. Полина выше Раи, но ниже Олега. Олег ниже Вовы, а Рая выше Гали. Кто выше: Полина или Вова? Вова  Олег или Рая? Олег Кто ниже: Галя или Полина? Галя 

      Стр. 39 Задание 3. Вика, Саша, Лена и Коля едят торт. Угадай, кто где сидит, если известно, что Саша сидит справа от Лены, Вика сидит справа от Коли, а у Лены две косички.

      Ответ: У Лены 2 косички, сразу отмечаем ее на рисунке. Девочек всего 2, значит вторая и есть Вика. Саша сидит справа от Лены, то есть он по правую Ленину руку. Второй мальчик — Коля. Проверяем: Вика и вправду оказалась справа от Коли.

      Задание 5. Найди в ряду лишнюю фигуру и зачеркни ее.

      Ответ: лишняя — фиолетовая. Все фигуры кроме нее зеркально отображены от линии.

      Страница 41. ГДЗ к заданию 6. Кукла дороже барабана, но дешевле машинки. Машинка дешевле юлы, а барабан дороже свистка. Что дороже: кукла или юла? Юла свисток или Юла? Свисток 
      Что дешевле: кукла или свисток? Свисток  

      Задание 7. Найди закономерность в каждом ряду и заполни пустую клетку.

      1. Закономерность такова, что красный квадрат и круг под ним перемещаются на 1 место вправо.

      2. Закономерность такова, что желтый квадрат и пустота под ним перемещаются произвольно, но положение не должно повторяться.

      Стр. 43. Задание 5. Какая фигура будет следующей? Нарисуй.

      Ответ: Следующим шагом нарисуем вторую диагональную полосу в квадрате. Получится квадрат с 2 диагоналями.

      Страница 44. Задание 4. На каждом чертеже дорисуй два отрезка так, чтобы получилось 8 треугольников.

      Ответ: На первом рисунке дорисуем 2 диагональные полосы, а на втором соединим углы треугольников. Не забываем считать треугольники, образованные двумя другими треугольниками.

      Страница 45. 6 задание. Числа от 2 до 6 написаны в ряд. Попробуй поставить между ними знаки + или — так, чтобы в результате получился 0.

      Ответ: 2+3-4+5-6=0

      Стр. 46. ГДЗ к заданию 1. Выбери из списка и отметь галочкой вопросы, которые подходят к условию задачи:

      В левом кармане у гномика 3 золотые и 2 серебряные монеты, а в правом — 4 золотые монеты.

      Отмечаем: Сколько монет у гномика в левом кармане?
                      Сколько золотых монет у гномика в двух карманах?
                       Сколько всего монет у гномика в двух карманах?
                       На сколько больше у гномика золотых монет, чем серебряных?

      Страница 47. Задание 4. От гриба до черники воробей сделал 3 прыжка, а от черники до сосновой шишки — на 4 прыжка больше. Сколько прыжков воробей сделал от черники до шишки? 3+4=7 Сколько всего прыжков воробей сделал от гриба до шишки?
      Гриб, черника и шишка могут располагаться по-разному.

      Решение: 1. 3+7=10
                    2. 7-3=4

      Задание 5. В соревнованиях по бегу участвовали пять лесных зверей. Медведь отстал от зайца. Волк финишировал после рыси, но раньше лисы. Лиса опередила зайца. Какое место занял каждый бегун? Покажи это на схеме.

      Ответ: 1 — рысь, 2 — волк, 3 — лиса, 4 — заяц, 5 — медведь.

      Стр. 49. Задание 4. Проложи дорожку от флажка до елочки между домиками с примерами так, чтобы все примеры с ответами меньше 6 были слева от нее, а все примеры с ответами больше 6 — справа.

      Для начала решаем примеры на домиках и подписываем карандашиком ответы. Далее представляем себя у флажка на старте. Обходим домики так, что все домики до 6 оказываются по левую руку, а больше — по правую.

      Задание 5. Какая фигура из пронумерованных справа пропущена в таблице? Нарисуй ее в свободной клетке таблицы.

      Ищем закономерность в фигурах. В каждом столбце и каждой строке нет повторяющихся фигур, значит в пустой клетке будет прямоугольник. Точка в первом ряду стоит внутри фигур, во втором — вне фигур, в третьем — на контуре. Значит правильный ответ 2 — квадрат с точкой на контуре.

      Задание 6. Числа от 3 до 9 написаны в ряд. Попробуй поставить между ними знаки + или — так, чтобы в результате получился 0.

      Ответ: 3+4-5+6-7+8-9=0

      Страница 50. Задание 1. Реши примеры и узнай, с каким счетом закончился матч по футболу между командами «Утята» и «Гусята». Известно, что в ворота «Утят» были забиты мячи, ответы примеров на которых ментше 5, а в ворота «Гусят — все остальные мячи. Запиши счет.

      Сложность только в том, как записать голы в счете.  Утята забили  в ворота гусят 6 мячей, а гусята в ворота утят — 4 мяча, значит счет Утята6:4Гусята.

      Страница 59. Задание 6. Отважный муравей Гоша переправляется через ручей на соломинке длиной 7 см. Может ли он перевезти на этой соломинке еще двух своих друзей, если каждый муравей занимает место длиной 2 см? Подчеркни правильный ответ.

      ДА

      2+2+2=6, это меньше длины соломинки, значит все муравьи поместятся.

      Страница 61. ГДЗ к заданию 4. Найди и зачеркни лишнее слово.

      КВАДРАТ    ТРЕУГОЛЬНИК   ЧИСЛО   КРУГ

      Зачеркиваем слово ЧИСЛО, все остальные — геометрические фигуры.

      Страница 63. Задание 4. Попробуй дорисовать 2 отрезка так, чтобы получилось 3 квадрата.

      Ответ: рисуем 2 длинных горизонтальных отрезка, один соединит верхние концы палочек, другой — нижние.

      Страница 64. Задание 4. На чертеже в каждой рамке дорисуй 1 отрезок так, чтобы получилось 3 треугольника.

      Для каждого рисунка есть по 2 решения (смотрите на картинке).

      Страница 67. Задание 7. Найди и зачеркни лишнее число в ряду.

      0 5 10 15 16 20

      Числа расположены с шагом 5 в порядке увеличения. 16 не подходит под закономерность.

      ГДЗ к заданию 8. У котенка Мурзика шерсть темнее, чем у Барсика, но светлее, чем у Пушка. У кого из котят самая темная шерсть?

      Ответ: У Пушка.

      Страница 69. Задание 7. У продавца такие гири: 3 кг, 3 кг, 2 кг.  Как с их помощью отвесить 1 кг муки? 4 кг муки? На каждом рисунке нарисуй нужные гири.

      Чтобы точно определить вес на таких весах, нужно, чтобы товар был уравновешен с гирями на другой чаше весов. Но у нас нет гирь по 1 и 4 кг, значит к муке нужно добавить такие гири, чтобы в сумме с мукой они давали массу гирь на другой чаше.

      На первой картинке к муке ставим гирю в 2 кг, на вторую чашу 3 кг, насыпаем муку, пока не уравновесятся весы. 2-3=1

      На второй картинке к муке ставим гирю 2 кг, на вторую чашу — две по 3 кг. 6-2=4

      Страница 71. Задание 4. Расставь числа от 9 до 12 в пустые кружки так, чтобы соблюдалось правило: красная стрелка направлена от большего числа к меньшему, а синяя — наоборот.

      12 у нас наибольшее данное число, значит на первом рисунке на него не показывает ни одна стрелка, а на втором, наоборот, на него указывает большинство стрелок. Остальные стрелки расставить легко. 

      Задание 7. У скольких двузначных чисел от 10 до 20 все цифры разные? 10 Запиши эти числа в порядке уменьшения.

      Ответ: 20 19 18 17 16 15 14 13 12 10

      Страница 73. Задание 7. Найди и зачеркни лишнее число в ряду.

      Видим последовательность четных чисел от 2 до 18. 15 — не четное число, значит оно лишнее.

      Стр. 74. Задание 1. Кто из рыбаков наловил больше всего рыбок? Отметь его галочкой.

      Сосчитать значения примеров не составит труда, но окажется, что у 3х примеров ответ 15, и у 3х примеров ответ 16. Но обратите внимание, что одна из фиолетовых фигур — не рыбка, а ведро. Значит больше всего рыбок поймал рыбак под номером 16.

      Страница 78. Задание 4. В одну банку входит 5 л воды, а в другую — 2 литра воды. Как с их помощью отмерить 3 литра воды? Как отмерить 7 л? 12 л? 14 л? Запиши.

      1) 5-2=3 (л)

      2) 5+2=7 (л)

      3) 5+5+2=12 (л)

      4) 5+5+5+2=14 (л)

      Страница 81. Ответ на задание 4. Запиши в пустые клетки каждого квадрата числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел в каждом столбце и каждой строке была равна числу, записанному в кружке. (Числа не должны повторяться).

      Эта задача — вынос мозга первоклассника и его родителей, но все же, делать домашнее задание нужно и мы с ней справимся. Решений на самом деле может быть много. Задачи такого плана называют «магический квадрат».

      Определимся, что в закрашенном квадрате цифру ставить не нужно.

      1й магический квадрат. Сумма числе в каждом столбце и каждой строке должна равняться 12. Посередине числа нет, значит по бокам от нее — 2 числа, составляющие 12. Берем любые 2, к примеру 8 и 4. Сверху и внизу тоже 2 числа, но это будут уже другие числа (ведь они не должны повторяться), к примеру 5 и 7. Теперь легко расставить оставшиеся аналогичным образом. Если с первыми числами не угадали и цифры повторяются, подбираем другие варианты, и так методом подбора находим решение. В принципе, не глупый первоклассник после такого объяснения быстро справляется с заданием.

      Невероятно, но факт, что некоторые учителя начальных классов сами не могут решить эту задачку. К примеру, учителем было предложено такое решение для первого квадрата: цифры 9 3 0 по каждой стороне. Мотивация такова: 0 — это не число, 0 — это ничего. А что цифры не должны повторяться, так они в отдельно взятом ряду и столбце и не повторяются. Ну вот никак не верится в правомочность такого решения, убедите меня в том, что оно верно, если это так. Пишите в комментариях.

      Страница 85. Задание 5. Какой рисунок из пронумерованных справа пропущен в таблице? Нарисуй его в пустой клетке.

      Рассматриваем каждый элемент рисунка и его расположение. В каждой строке и каждом столбце есть «человечки» с 2 руками, с 1й рукой, без рук. В пустой клетке не хватает человечка с 1 рукой. В каждой строке и каждом столбце по 2 человечка с квадратиками и 1 без. Не хватает человечка с квадратиками.  К тому же он должен быть головой вверх. Значит ответ — 2й человечек.

      Страница 87. Задание 3. Догадайся, по какому правилу надо раскрашивать клетки в таблицах. Раскрась клетки, где это необходимо.

      Ищем логику. Кубики раскрашены так, как будто их поворачивают по часовой стрелке. Центр остается одинаковым.

      ГДЗ к заданию 5. Какая фигура из пронумерованных справа пропущена в таблице? Нарисуй ее в свободной клетке.

      Ответ: Контуры фигур в каждом ряду и столбце разные, значит не хватает треугольника. Внутренние фигурки в ряду одинаковы, значит внутри будет квадратик. Это 1я фигура.

      Страница 89. Задание 6. Числа от 1 до 6 написаны в ряд. Попробуй поставить между ними знаки + или — так, чтобы в результате получилось 9.

      Решается подбором. 1+2+3+4+5-6=9

      Страница 90. Задание 4. Попробуй расставить числа от 1 до 8 в кружках так, чтобы сумма чисел на каждой стороне квадрата была равна 15. Каждое число можно использовать только один раз.

      Аналогичное задание уже было, но это даже проще. Тут нужно складывать только числа на сторонах квадрата. Логично, что на какой-то стороне будут вместе самое большое и самое маленькое числа (8 и 1), чтобы вышло 15, дописываем на эту сторону 6. 7 будет по диагонали от 8ки. Остальные подобрать легко.

      Страница 91. Задание 7. Жители Веселой планеты подарили землянам две фотографии. На одной из них изображены Лямзик и Тямзик, а на другой — Тямзик и Мамзик. Догадайся, как зовут каждого из инопланетян. Соедини стрелкой его имя с изображением на фотографии.

      На двух фото мы видим одно лицо, а поскольку у нас на обеих фотографиях есть Тямзик, это, конечно, он. Остался на 1й фотографии Лямзик, на 2й Мамзик.

      ГДЗ к стр. 92. Задание 5. Какое число будет следующим в ряду? Запиши.

      Ответ: К каждому предыдущему числу добавляется 3. 14+3=17. Значит следующее число 17.

      Страница 93. Задача 7. Корова Зорька дала молока на 3 л меньше, чем Буренка, но на 7 л больше, чем Пеструшка. Какая корова дала больше всех молока?

      Ответ: Бурёнка дала больше всех молока.

      ГДЗ к странице 95.  Задача 5. У Васи и Пети есть палочки длиной 2 см, 4 см, 6 см, 8 см, 10 см, 12 см, 14 см и 16 см. Смогут ли они сложить из этих палочек квадрат со стороной 1 дм 8 см? ДА Покажи на схеме, как будут рассуждать Вася и Петя.

      У квадрата 4 стороны. Каждая сторона будет из 2 палочек. 1 дм 8 см это 18 см. Составляем по две палочки так, чтобы вышло 18. Это палочки 8 и 10 см. 12 и 6, 14 и 4, 16 и 2.

       

      ВЕРНУТЬСЯ К 1 ЧАСТИ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ >>

      Если что-то не понятно, спрашивайте в комментариях.

      ГДЗ по Математике 1 класс учебник Моро 1 часть страница 91 ответы

      👉 ГДЗ ответы к странице 91. Математика 1 класс учебник 1 часть. Авторы: М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.

      ⏪ Страница 90|Страница 92 ⏩

      Задание №4

      Вычитай по 2.

      Решение

      10 — 2 — 2 = 6

      10 — 2 = 8 — 2 = 6


      Задание №5

      По рисунку закончи записи и составь новые на прибавление числа 1 и числа 2.

      2 + 1

      3 + 2

      5 + 2

      Решение

      2 + 1 = 3

      3 + 2 = 5

      5 + 2 = 7

      7 + 1 = 8

      8 + 2 = 10


      Задание №6

      Объясни, как сделать, чтобы у всех кроликов были одинаковые порции.

      Решение

      Чтобы уровнять порции морковки у кроликов, нужно у первого кролика забрать одну морковку и отдать второму зайчику. Должно получиться по 4 морковки у каждого зайчика.


      Задание внизу страницы

      Закончи вопрос и реши задачи:

      Решение

      1) У Васи 4 марки. У Вики 2 марки. Сколько всего марок?

      4 + 2 = 6

      Ответ: всего 6 марок.

      2) У Милы было 4 шарика. 1 шарик лопнул. Сколько шариков осталось?

      4 — 1 = 3

      Ответ: у Милы осталось 3 шарика.


      Задание на полях

      Разбей на 2 группы:

      Решение

      Первая группа (цвета) — розовые фигуры и синие фигуры.

      Вторая группа (форма) — многоугольники и треугольники.

      ⏪ Страница 90|Страница 92 ⏩

      ГДЗ решебник по русскому языку 2 класс Климанова, Бабушкина Перспектива

      Тип книги: Учебник
      Авторы: Л.Ф. Климанова, Т.В. Бабушкина
      Издательство: Просвещение
      Серия: Перспектива. ФГОС

      Рекомендуемые решебники

      Решебник по русскому для второго класса от Климановой Л.Ф., Бабушкина Т.В. дорабатывался, учитывая нормы Федерального государственного образовательного стандарта. Ученики все еще продолжили собственное знакомство с языком, выступающий в качестве способа беседы. Ученики благодаря решебнику могут изучить языковую единицу. Учебник может помочь учить слова, как двухсторонние языковые единицы.

      Из чего состоит учебный-методический комплекс

      Решебник имеет такое понятие, как орфограмм; ученики теперь изучают части речи: глаголы, прилагательные, существительные и предлоги. К тому же из нового пособия вы можете получать ответы на любые вопросы, которые возникают на счет свойств некоторых слов, обладающие едиными грамматическими свойствами. Любой из номеров задания может помочь усвоить русский язык очень легко, чем в иных учебных программах. К тому же к упражнениям прилагается разъяснения, которые позволяют верно понимать поставленные задачи. Осуществляя любое задание либо упражнение, школьники могут узнать, что представляет собой структура слов и смысловое значение любого из его частей, обучаются способности выстраивать предложения разными способами, создать тексты различных типов, и знакомится со словарем. Материалы книги могут выработать познавательные и коммуникативные способности, по этой причине домашние работы следует непременно выполнять. Особенное внимание уделяют тому, чтобы развивать письменное общение, во время изучения которого школьники могут уже сами создать письменный текст.

      Достоинства применения сборников ГДЗ

      ГДЗ по русскому для 2 класса от Климановой дает возможность быстро обучить детишек осмыслить лексические значения слов и использовать их в разных моментах, для чего предоставляются рекомендации для выполнения заданий. Упражнения по этому предмету дают возможность развить некоторые алгоритмы учебного мероприятия и осмысленным образом использовать орфографические правила и навыки в письменной речи. Благодаря онлайн-решебнику детишкам окажется легче осуществлять домашнюю работу и получать полные знания о предмете, обучиться их использовать в беседе и во время составления текстов. Иные достоинства:

      • работа на любых удобных для Вас платформах;
      • точное, ясное изложение материалов, верные ответы к любому номеру;
      • можно изучить разделы самостоятельно.

      Математика для международного студента 7 (MYP 2) (2-е издание) — Haese Mathematics

      Сандра Хезе

      Сандра получила степень бакалавра наук в Университете Аделаиды по специальности «Чистая математика и статистика». Она преподавала в средней школе Андердейла и Вестминстерской школе, прежде чем основала Haese and Harris Publications (ныне Haese Mathematics) вместе с мужем Робертом (Боб) и коллегой Ким Харрис.

      Что привлекло вас в области математики?

      Я всегда считал математику самым простым предметом в школе.Не знаю почему. Я намеревался изучать химию в университете, но обнаружил, что мне это не нравится так сильно, как я думал, поэтому я вернулся к математике и с тех пор занимаюсь ею.

      Что побудило вас перейти от преподавания к написанию книг по математике?

      Боб писал заметки для своего класса. Другие учителя в школе использовали записи, затем учителя других школ начали их просить. В конце концов Боб сказал: «Ну, я могу начать писать учебники!»

      Изначально я редактировал.По мере увеличения рабочей нагрузки я начал редактировать, а также корректировать. Постепенно это превратилось в постоянную работу, между написанием материала, его редактированием и корректурой, а затем распространением книг. Сейчас Майкл занимается редактированием, а я корректирую и записываю аудио.

      Как изменилась область издания учебников за годы, прошедшие с того момента, как вы начали?

      Когда мы начинали, текст набирался, а отработанные решения писались от руки.Боб рисовал любую графику вручную.

      Мы перешли к вёрстке, но написание учебника математики с помощью имеющихся печатных средств представляло свои трудности. Например, символы приходилось вручную копировать, вырезать и вставлять на исходные страницы, что было очень утомительно и занимало много времени! Дроби также были проблематичными: мы набирали строку, содержащую все числители, а затем нижнюю строку для всех знаменателей.

      Теперь все делается с помощью компьютеров, что намного проще и быстрее!

      Что вас интересует помимо математики?

      У меня есть несколько альпак.Мне нравится мой сад — я мало что делаю в нем, но мне он нравится! Мне нравится слушать музыку; в основном классика, но мне нравятся и другие жанры.

      Я очень люблю путешествовать. Пейзажи, история места, его архитектура, его искусство — все это меня очаровывает. В результате я тоже люблю фотографировать; Мне нравится фотографировать то, что я видел, и места, которые я побывал.

      Математика

      Математика (от греческого μάθημα máthēma «знание, изучение, обучение») — это изучение количества, пространства, структуры и изменений. [2] [3] Математики ищут закономерности [4] [5] и формулируют новые гипотезы. Математики разрешают истинность или ложность предположений с помощью математических доказательств, которые являются аргументами, достаточными, чтобы убедить других математиков в их истинности. Исследования, необходимые для решения математических задач, могут занять годы или даже столетия непрерывных исследований. Однако математические доказательства менее формальны и кропотливы, чем доказательства в математической логике.После новаторских работ Джузеппе Пеано (1858-1932), Дэвида Гильберта (1862-1943) и других по аксиоматическим системам в конце 19 века стало обычным рассматривать математические исследования как установление истины путем строгого вывода из правильно выбранных аксиом. и определения. Когда эти математические структуры являются хорошими моделями реальных явлений, математические рассуждения часто дают понимание или предсказания.

      Благодаря использованию абстракции и логических рассуждений математика развивалась на основе счета, вычислений, измерений и систематического изучения форм и движений физических объектов.Практическая математика была занятием человека еще со времен существования письменных источников. Строгие аргументы впервые появились в греческой математике, прежде всего в книге Евклида Elements . Математика продолжала развиваться, например, в Китае в 300 г. до н.э., в Индии в 100 г. до н.э. [ цитата необходимо ] г. и в мусульманском мире в 800 г. до н.э., до эпохи Возрождения, когда математические инновации, взаимодействующие с новыми научными открытиями, привели к быстрый рост темпов математических открытий, который продолжается и по сей день. [6]

      Математик Бенджамин Пирс (1809-1880) назвал математику «наукой, делающей необходимые выводы». [7] Дэвид Гильберт сказал о математике: «Мы не говорим здесь о произволе в каком-либо смысле. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может только так и ни в коем случае не иначе «. [8] Альберт Эйнштейн (1879-1955) утверждал, что «насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они достоверны, они не относятся к реальности». [9]

      Математика используется во всем мире как важный инструмент во многих областях, включая естественные науки, инженерию, медицину и социальные науки. Прикладная математика, раздел математики, связанный с применением математических знаний в других областях, вдохновляет и использует новые математические открытия, а иногда приводит к развитию совершенно новых математических дисциплин, таких как статистика и теория игр. Математики также занимаются чистой математикой или математикой как таковой, не имея в виду никаких приложений.Нет четкой границы, разделяющей чистую и прикладную математику, и часто обнаруживаются практические применения того, что начиналось как чистая математика. [10]

      Этимология

      Слово «математика» происходит от греческого μάθημα ( máthēma ), что на древнегреческом означает , что человек изучает, , , что человек узнает, , следовательно, также изучает и науку , а в современном греческом всего урок .

      Слово máthēma происходит от μανθάνω ( мантано ) в древнегреческом и от μαθαίνω ( mathaino ) в современном греческом, что означает , чтобы выучить .

      Слово «математика» на греческом языке стало иметь более узкое и техническое значение «математическое исследование» даже в классические времена. [11] Его прилагательное — μαθηματικός ( mathēmatikós ), что означает , относящееся к обучению или прилежный , что в дальнейшем также стало обозначать математический . В частности, μαθηματικὴ τέχνη ( mathēmatikḗ tékhnē ), латинское: ars mathematica , означало математическое искусство .На латыни и на английском языке примерно до 1700 года термин «математика» чаще означал «астрологию» (или иногда «астрономию»), а не «математику»; значение постепенно изменилось на нынешнее примерно с 1500 по 1800 год. Это привело к нескольким ошибкам в переводе: особенно печально известно предупреждение святого Августина о том, что христианам следует остерегаться «математиков», означающих астрологов, что иногда неправильно переводится как осуждение математиков.

      Видимая форма множественного числа в английском языке, такая как французская форма множественного числа les mathématiques (и менее часто используемая производная единственного числа la mathématique ) восходит к латинскому среднему множественному числу mathematica (Цицерон), основанному на греческом множественном числе. τα μαθηματικά ( ta mathēmatiká ), используемый Аристотелем (384–322 гг. до н.э.) и означающий примерно «все математические»; хотя вполне вероятно, что английский язык заимствовал только прилагательное mathematic (al) и образовал существительное Mathematics заново, по образцу физики и метафизики, унаследованному от греческого языка. [12] В английском языке существительное Mathematics принимает глагольные формы единственного числа. Его часто сокращают до math или, в англоязычных странах Северной Америки, math .

      История

      Основная статья: История математики

      Эволюцию математики можно рассматривать как постоянно увеличивающийся ряд абстракций или, альтернативно, как расширение предмета. Первая абстракция, которую разделяют многие животные, [13] , вероятно, была абстракцией чисел: осознание того, что набор из двух яблок и набор из двух апельсинов (например) имеют что-то общее, а именно количество их членов .

      В дополнение к умению считать физических объекта, доисторические народы также научились считать абстрактные величины, такие как время — дни, времена года, годы. [14] Естественно последовала элементарная арифметика (сложение, вычитание, умножение и деление).

      Поскольку математическая грамотность предшествовала письму, потребовались дальнейшие шаги для записи чисел, таких как счетчики или завязанные узлами строки, называемые кипу, которые инки использовали для хранения числовых данных. [ необходима ссылка ] Системы счисления были многочисленными и разнообразными, с первыми известными письменными числами, созданными египтянами в текстах Среднего царства, таких как Математический папирус Райнда. [ требуется ссылка ]

      Цифры майя

      Первые применения математики были в торговле, измерении земли, рисовании и ткачестве, а также в учете времени. Более сложная математика появилась примерно в 3000 году до нашей эры, когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметику, алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства и астрономии. [15] Систематическое изучение математики как таковое началось у древних греков между 600 и 300 годами до нашей эры. [16]

      С тех пор математика значительно расширилась, и между математикой и наукой произошло плодотворное взаимодействие, приносящее пользу обоим. Математические открытия продолжают делаться и сегодня. По словам Михаила Б. Севрюка, в выпуске бюллетеня Американского математического общества за январь 2006 г., «Количество статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews с 1940 г. (первый год работы MR), увеличилось. чем 1.9 миллионов и более 75 тысяч наименований добавляются в базу данных каждый год. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства ». [17]

      Вдохновение, чистая и прикладная математика и эстетика

      Основная статья: Математическая красота

      Математика возникает из множества различных задач. Сначала они были найдены в торговле, измерениях земли, архитектуре и позже в астрономии; В настоящее время все науки предлагают проблемы, изучаемые математиками, и многие проблемы возникают внутри самой математики.Например, физик Ричард Фейнман изобрел формулировку квантовой механики с интегралом по траекториям, используя комбинацию математических рассуждений и физического понимания, а современная теория струн, все еще развивающаяся научная теория, которая пытается объединить четыре фундаментальные силы природы, продолжает вдохновлять новая математика. [18] Некоторая математика актуальна только в той области, которая ее вдохновила, и применяется для решения дальнейших задач в этой области. Но часто математика, вдохновленная одной областью, оказывается полезной во многих областях и присоединяется к общему арсеналу математических концепций.Часто проводится различие между чистой математикой и прикладной математикой. Однако темы чистой математики часто имеют приложения, например теория чисел в криптографии. Этот замечательный факт, что даже у самой «чистой» математики часто оказывается практическое применение, — это то, что Юджин Вигнер назвал «необоснованной эффективностью математики». [19] Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в век науки привел к специализации: сейчас в математике есть сотни специализированных областей, а последняя классификация предметов по математике насчитывает 46 страниц. [20] Некоторые области прикладной математики слились со смежными традициями за пределами математики и стали самостоятельными дисциплинами, включая статистику, исследования операций и информатику.

      Для тех, кто склонен к математике, большая часть математики часто имеет определенный эстетический аспект. Многие математики говорят о элегантности математики, ее внутренней эстетике и внутренней красоте. Ценится простота и общность.Есть красота в простом и элегантном доказательстве, таком как доказательство Евклида, что существует бесконечно много простых чисел, и в элегантном численном методе, ускоряющем вычисления, таком как быстрое преобразование Фурье. Г. Х. Харди в книге «Апология математика » выразил уверенность в том, что эти эстетические соображения сами по себе достаточны, чтобы оправдать изучение чистой математики. Он определил такие критерии, как значимость, неожиданность, неизбежность и экономичность, как факторы, способствующие математической эстетике. [21] Математики часто стремятся найти доказательства, которые были бы особенно элегантными, доказательствами из «Книги» Бога согласно Полю Эрдешу. [22] [23] Популярность развлекательной математики — еще один признак того удовольствия, которое многие находят при решении математических вопросов.

      Обозначения, язык и строгость

      Основная статья: Математические обозначения Леонард Эйлер, который создал и популяризировал большую часть математических обозначений, используемых сегодня.

      Большинство математических обозначений, используемых сегодня, были изобретены только в 16 веке. [24] До этого математику писали словами, и это был кропотливый процесс, ограничивавший математические открытия. [25] Эйлер (1707–1783) был ответственным за многие из используемых сегодня обозначений. Современные обозначения значительно упрощают математику для профессионалов, но новички часто находят ее сложной. Он очень сжат: несколько символов содержат большой объем информации. Как и музыкальная нотация, современная математическая нотация имеет строгий синтаксис (который в ограниченной степени варьируется от автора к автору и от дисциплины к дисциплине) и кодирует информацию, которую было бы трудно написать каким-либо другим способом.

      Начинающим трудно понять математический язык. Такие слова, как или и только имеют более точное значение, чем в повседневной речи. Более того, такие слова, как open и field , получили специальные математические значения. Технические термины, такие как гомеоморфизм и интегрируемый , имеют точное значение в математике. Кроме того, сокращенные фразы, такие как «iff» вместо «if and only if», относятся к математическому жаргону.Есть причина для специальных обозначений и технической лексики: математика требует большей точности, чем повседневная речь. Математики называют эту точность языка и логики «строгостью».

      Математическое доказательство — это, по сути, вопрос строгости. Математики хотят, чтобы их теоремы вытекали из аксиом посредством систематических рассуждений. Это сделано для того, чтобы избежать ошибочных «теорем», основанных на ошибочной интуиции, которые неоднократно встречались в истории предмета. [26] Уровень строгости математики со временем менялся: греки ожидали подробных аргументов, но во времена Исаака Ньютона используемые методы были менее строгими.Проблемы, присущие определениям, используемым Ньютоном, приведут к возрождению тщательного анализа и формальных доказательств в 19 веке. Непонимание строгости является причиной некоторых распространенных неправильных представлений о математике. Сегодня математики продолжают спорить между собой о компьютерных доказательствах. Поскольку большие вычисления трудно проверить, такие доказательства могут быть недостаточно строгими. [27]

      Аксиомы в традиционном мышлении были «самоочевидными истинами», но такая концепция проблематична.На формальном уровне аксиома — это просто строка символов, которая имеет внутреннее значение только в контексте всех выводимых формул аксиоматической системы. Целью программы Гильберта было поставить всю математику на прочную аксиоматическую основу, но согласно теореме Гёделя о неполноте каждая (достаточно мощная) аксиоматическая система имеет неразрешимые формулы; и поэтому окончательная аксиоматизация математики невозможна. Тем не менее математика часто представляется (с точки зрения ее формального содержания) не чем иным, как теорией множеств в некоторой аксиоматизации в том смысле, что каждое математическое утверждение или доказательство может быть преобразовано в формулы в рамках теории множеств. [28]

      Области математики

      Счеты, простой инструмент расчета, используемый с древних времен.

      В общих чертах математику можно подразделить на изучение количества, структуры, пространства и изменений (т.е. арифметику, алгебру, геометрию и анализ). В дополнение к этим основным проблемам, существуют также подразделения, посвященные изучению связей из сердца математики с другими областями: с логикой, с теорией множеств (основания), с эмпирической математикой различных наук (прикладная математика), а в последнее время к тщательному изучению неопределенности.

      Основы и философия

      Чтобы прояснить основы математики, были развиты области математической логики и теории множеств. Математическая логика включает математическое изучение логики и приложения формальной логики к другим областям математики; Теория множеств — это раздел математики, изучающий множества или совокупности объектов. Теория категорий, которая абстрактно рассматривает математические структуры и отношения между ними, все еще находится в разработке.Фраза «кризис основ» описывает поиск прочного основания математики, который велся примерно с 1900 по 1930 год. [29] Некоторые разногласия по поводу основ математики сохраняются и по сей день. Кризис основ был вызван рядом споров в то время, включая споры по поводу теории множеств Кантора и споры Брауэра-Гильберта.

      Математическая логика занимается установкой математики в строгую аксиоматическую структуру и изучением последствий такой структуры.Таким образом, он является домом для теорем Гёделя о неполноте, которые (неформально) подразумевают, что любая формальная система, содержащая базовую арифметику, если звучит как (что означает, что все теоремы, которые могут быть доказаны, верны), обязательно неполная (что означает, что там являются истинными теоремами, которые не могут быть доказаны в этой системе (). Какой бы конечный набор теоретико-числовых аксиом ни был взят за основу, Гёдель показал, как построить формальное утверждение, которое является истинным теоретико-числовым фактом, но которое не следует из этих аксиом.Следовательно, никакая формальная система не является полной аксиоматизацией полной теории чисел. Современная логика делится на теорию рекурсии, теорию моделей и теорию доказательств и тесно связана с теоретической информатикой [ необходима ссылка ] , а также с теорией категорий.

      Теоретическая информатика включает теорию вычислимости, теорию сложности вычислений и теорию информации. Теория вычислимости исследует ограничения различных теоретических моделей компьютера, включая наиболее известную модель — машину Тьюринга.Теория сложности — это изучение управляемости компьютером; некоторые проблемы, хотя теоретически решаемые с помощью компьютера, настолько дороги с точки зрения времени или пространства, что их решение, вероятно, останется практически невозможным даже при быстром развитии компьютерного оборудования. Известная проблема — «P = NP?» проблема, одна из задач Премии тысячелетия. [30] Наконец, теория информации связана с объемом данных, которые могут быть сохранены на данном носителе, и, следовательно, имеет дело с такими понятиями, как сжатие и энтропия.

      Чистая математика

      Кол-во

      Изучение количества начинается с чисел, сначала знакомых натуральных и целых чисел («целых чисел») и арифметических операций над ними, которые характеризуются арифметикой. Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теории чисел, откуда приходят такие популярные результаты, как Великая теорема Ферма. Гипотеза о простых числах-близнецах и гипотеза Гольдбаха — две нерешенные проблемы теории чисел.

      По мере дальнейшего развития системы счисления целые числа распознаются как подмножество рациональных чисел («дроби»). Они, в свою очередь, содержатся в действительных числах, которые используются для представления непрерывных количеств. Действительные числа обобщаются до комплексных чисел. Это первые шаги иерархии чисел, которая включает четвертионы и октонионы. Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитным числам, которые формализуют понятие «бесконечность».Еще одна область изучения — это размер, который ведет к количественным числам, а затем к другой концепции бесконечности: числам алефа, которые позволяют осмысленно сравнивать размеры бесконечно больших множеств.

      Структура

      Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функций, демонстрируют внутреннюю структуру как следствие операций или отношений, определенных на множестве. Затем математика изучает свойства этих множеств, которые могут быть выражены в терминах этой структуры; например, теория чисел изучает свойства множества целых чисел, которые могут быть выражены в терминах арифметических операций.Более того, часто бывает, что разные такие структурированные множества (или структуры) проявляют схожие свойства, что позволяет на следующем этапе абстракции сформулировать аксиомы для класса структур, а затем сразу изучить весь класс структур, удовлетворяющих эти аксиомы. Таким образом можно изучать группы, кольца, поля и другие абстрактные системы; вместе такие исследования (для структур, определяемых алгебраическими операциями) составляют область абстрактной алгебры. Благодаря своей большой общности абстрактная алгебра часто может применяться к, казалось бы, не связанным между собой проблемам; например, ряд древних проблем, касающихся построения циркуля и линейки, были наконец решены с помощью теории Галуа, которая включает теорию поля и теорию групп.Другим примером алгебраической теории является линейная алгебра, которая представляет собой общее исследование векторных пространств, элементы которых, называемые векторами, имеют как количество, так и направление, и могут использоваться для моделирования (отношений между) точками в пространстве. Это один из примеров феномена того, что изначально не связанные между собой области геометрии и алгебры очень сильно взаимодействуют в современной математике. Комбинаторика изучает способы перечисления количества объектов, соответствующих данной структуре.

      Космос

      Изучение пространства берет свое начало с геометрии — в частности, геометрии Евклида.Тригонометрия — это раздел математики, который занимается отношениями между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрическими функциями; он сочетает в себе пространство и числа и охватывает хорошо известную теорему Пифагора. Современное исследование пространства обобщает эти идеи, включая геометрию более высоких измерений, неевклидову геометрию (которая играет центральную роль в общей теории относительности) и топологию. Количество и пространство играют роль в аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.Выпуклая и дискретная геометрия была разработана для решения задач теории чисел и функционального анализа, но в настоящее время она разрабатывается с прицелом на приложения в оптимизации и информатике. В рамках дифференциальной геометрии используются понятия расслоений и исчисления на многообразиях, в частности, векторное и тензорное исчисление. В рамках алгебраической геометрии есть описание геометрических объектов как наборов решений полиномиальных уравнений, объединяющих понятия количества и пространства, а также изучение топологических групп, которые объединяют структуру и пространство.Группы Ли используются для изучения пространства, структуры и изменений. Топология во всех ее многочисленных ответвлениях, возможно, была самой большой областью развития математики 20 века; он включает в себя точечную топологию, теоретико-множественную топологию, алгебраическую топологию и дифференциальную топологию. В частности, примерами современной топологии являются теория метризуемости, аксиоматическая теория множеств, теория гомотопий и теория Морса. Топология также включает теперь решенную гипотезу Пуанкаре. Другие результаты в геометрии и топологии, включая теорему о четырех цветах и ​​гипотезу Кеплера, были доказаны только с помощью компьютеров.

      Изменить

      Понимание и описание изменений — обычная тема в естественных науках, и математические вычисления были разработаны как мощный инструмент для их исследования. Функции возникают здесь как центральное понятие, описывающее изменяющуюся величину. Строгое изучение действительных чисел и функций действительной переменной известно как реальный анализ, а комплексный анализ — эквивалентное поле для комплексных чисел. Функциональный анализ фокусирует внимание на (как правило, бесконечномерных) пространствах функций.Одно из многих приложений функционального анализа — квантовая механика. Многие проблемы естественным образом приводят к взаимосвязям между величиной и скоростью ее изменения, которые изучаются как дифференциальные уравнения. Многие явления в природе можно описать динамическими системами; Теория хаоса уточняет способы, которыми многие из этих систем демонстрируют непредсказуемое, но все же детерминированное поведение.

      Прикладная математика

      Прикладная математика занимается математическими методами, которые обычно используются в науке, технике, бизнесе и промышленности.Таким образом, «прикладная математика» — это математическая наука со специальными знаниями. Термин «прикладная математика» также описывает профессиональную специальность, в которой математики работают над практическими задачами; Как профессия, ориентированная на практические проблемы, прикладная математика фокусируется на формулировании, изучении и использовании математических моделей в науке, технике и других областях математической практики.

      В прошлом практическое применение мотивировало развитие математических теорий, которые затем стали предметом изучения чистой математики, где математика разрабатывалась в первую очередь ради нее самой.Таким образом, деятельность прикладной математики жизненно связана с исследованиями в области чистой математики.

      Статистика и другие науки о принятии решений

      Прикладная математика во многом пересекается с дисциплиной статистики, теория которой формулируется математически, особенно с теорией вероятностей. Статистики (работающие в рамках исследовательского проекта) «создают разумные данные» с помощью случайной выборки и рандомизированных экспериментов; [31] план статистической выборки или эксперимента определяет анализ данных (до того, как данные будут доступны).При пересмотре данных экспериментов и выборок или при анализе данных наблюдательных исследований статистики «разбираются в данных», используя искусство моделирования и теорию вывода — с выбором и оценкой модели; предполагаемые модели и последующие прогнозы должны быть проверены на новых данных. [32]

      Статистическая теория изучает проблемы принятия решений, такие как минимизация риска (ожидаемых потерь) статистического действия, например, использование процедуры при оценке параметров, проверке гипотез и выборе наилучшего.В этих традиционных областях математической статистики проблема статистического решения формулируется путем минимизации целевой функции, такой как ожидаемые потери или затраты, при определенных ограничениях: например, планирование обследования часто включает в себя минимизацию затрат на оценку среднего для генеральной совокупности с помощью данный уровень уверенности. [33] Из-за использования оптимизации математическая теория статистики разделяет проблемы с другими науками о принятии решений, такими как исследование операций, теория управления и математическая экономика. [34]

      Вычислительная математика

      Вычислительная математика предлагает и изучает методы решения математических задач, которые обычно слишком велики для численных возможностей человека. Численный анализ изучает методы анализа задач с использованием функционального анализа и теории приближений; Численный анализ включает в себя изучение аппроксимации и дискретизации в целом с особым вниманием к ошибкам округления. Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмическую матрицу и теорию графов.Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления.

      Математика как профессия

      Самая известная награда в области математики — это медаль Филдса, [35] [36] , учрежденная в 1936 году и теперь присуждаемая каждые 4 года. Его часто считают эквивалентом Нобелевских премий науки. Премия Вольфа по математике, учрежденная в 1978 году, присуждается за достижения на протяжении всей жизни, а еще одна крупная международная награда — Премия Абеля — была учреждена в 2003 году.Медаль Черна была введена в 2010 году в знак признания заслуг. Они присуждаются за конкретную работу, которая может быть инновационной или решающей нерешенной проблемой в установленной области.

      Знаменитый список из 23 открытых проблем, названный «проблемами Гильберта», был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом. Этот список получил широкую известность среди математиков, и по крайней мере девять из задач уже решены. В 2000 г. был опубликован новый список из семи важных проблем, озаглавленный «Проблемы, связанные с Премией тысячелетия».Решение каждой из этих проблем приносит вознаграждение в размере 1 миллиона долларов, и только одна (гипотеза Римана) дублируется в задачах Гильберта.

      Математика как наука

      Карл Фридрих Гаусс называл математику «Королевой наук». [38] В оригинальном латинском языке Regina Scientiarum , а также в немецком языке Königin der Wissenschaften слово, соответствующее науке, означает «область знаний», и это было первоначальное значение слова «наука». на английском тоже.Конечно, математика в этом смысле — область знаний. Специализация, ограничивающая значение слова «наука» естествознанием , следует за развитием бэконовской науки, которая противопоставила «естественные науки» схоластике, аристотелевскому методу исследования, основанному на первых принципах. Конечно, в математике роль эмпирических экспериментов и наблюдений незначительна по сравнению с естественными науками, такими как психология, биология или физика. Альберт Эйнштейн заявил, что «насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они уверены, они не относятся к реальности. « [9]

      Многие философы считают, что математика не поддается экспериментальному опровержению и, следовательно, не является наукой в ​​соответствии с определением Карла Поппера. [39] Однако в 1930-х годах теоремы Гёделя о неполноте убедили многих математиков [ who? ] , что математику нельзя свести к одной логике, и Карл Поппер пришел к выводу, что «большинство математических теорий, как и теории физики и биологии, являются гипотетико-дедуктивными: чистая математика, таким образом, оказывается намного ближе к естественным наукам, гипотезы которых домыслы, чем казалось еще недавно.» [40] Другие мыслители, в частности Имре Лакатос, применили версию фальсификационизма к самой математике.

      Альтернативная точка зрения состоит в том, что определенные области науки (например, теоретическая физика) представляют собой математику с аксиомами, которые должны соответствовать действительности. Фактически, физик-теоретик Дж. М. Зиман предположил, что наука — это общественное знание, и, следовательно, включает математику. [41] В любом случае, математика имеет много общего со многими областями физических наук, особенно с исследованием логических следствий предположений.Интуиция и экспериментирование также играют роль в формулировании предположений как в математике, так и в (других) науках. Экспериментальная математика продолжает приобретать все большее значение в математике, а вычисления и моделирование играют все более важную роль как в науках, так и в математике, ослабляя возражения против того, что математика не использует научный метод. [ требуется ссылка ]

      Мнения математиков по этому поводу разнятся. Многие математики [ кто? ] считают, что называть их область наукой — значит преуменьшать важность ее эстетической стороны и ее истории в традиционных семи гуманитарных науках; другие [ кто? ] считает, что игнорировать его связь с науками — значит закрывать глаза на тот факт, что взаимодействие между математикой и ее приложениями в науке и технике привело к значительному развитию математики.Один из способов проявления этой разницы во взглядах — это философские дебаты о том, была ли математика создана (как в искусстве) или открыта (как в науке). Часто можно увидеть, что университеты разделены на разделы, которые включают раздел Наука и математика , что указывает на то, что области рассматриваются как связанные, но не совпадают. На практике математики обычно объединяются с учеными общего уровня, но разделяются на более тонких уровнях. Зиман

    • Список литературы

      • Курант, Ричард и Х. Роббинс, Что такое математика? : Элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, США; 2-е издание (18 июля 1996 г.). ISBN 0-19-510519-2.
      • Эйнштейн, Альберт (1923). Параллельный анализ теории относительности (геометрия и опыт) . P. Dutton., Co.
      • Eves, Howard, Введение в историю математики , шестое издание, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
      • Клайн, Моррис, Математическая мысль от древности до современности , Oxford University Press, США; Издание в мягкой обложке (1 марта 1990 г.). ISBN 0-19-506135-7.
      • Монастырский, Михаил (2001) (PDF). Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса . Канадское математическое общество. http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf. Проверено 28 июля 2006.
      • Оксфордский словарь английского языка, второе издание, изд. Джон Симпсон и Эдмунд Вайнер, Clarendon Press, 1989, ISBN 0-19-861186-2.
      • Оксфордский словарь этимологии английского языка , перепечатка 1983 г. ISBN 0-19-861112-9.
      • Папас, Теони, Радость математики , Уайд Уорлд Паблишинг; Исправленное издание (июнь 1989 г.). ISBN 0-933174-65-9.
      • Пирс, Бенджамин (1881). Пирс, Чарльз Сандерс. изд. «Линейная ассоциативная алгебра». Американский математический журнал (Университет Джона Хопкинса) 4 (1–4): 97–229. DOI: 10.2307 / 2369153. Исправленная, расширенная и аннотированная редакция статьи Б.Пирса и примечания его сына К.С. Пирса к литографическому изданию 1872 г. Google Eprint и как отрывок, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. http://books.google.com/?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1&dq=Peirce+Benjamin+Linear+Associative+Algebra+&q=. .
      • Петерсон, Иварс, Математический турист, Новые и обновленные снимки современной математики , Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
      • Поппер, Карл Р. (1995). «О знаниях». В поисках лучшего мира: лекции и очерки за тридцать лет .Рутледж. ISBN 0-415-13548-6.
      • Рим, Карл (август 2002 г.). «Ранняя история медали Филдса» (PDF). Уведомления AMS (AMS) 49 (7): 778–782. http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf.
      • Севрюк Михаил Б. (январь 2006 г.). «Книжные рецензии» (PDF). Бюллетень Американского математического общества 43 (1): 101–109. DOI: 10.1090 / S0273-0979-05-01069-4. http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf. Проверено 24 июня 2006.
      • Вальтерсхаузен, Вольфганг Сарториус фон (1856, репр.1965). Gauss zum Gedächtniss . Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8. ISSN B0000BN5SQ ASIN: B0000BN5SQ. http://www.amazon.de/Gauss-Ged%e4chtnis-Wolfgang-Sartorius-Waltershausen/dp/3253017028.

      Дополнительная литература

      • Бенсон, Дональд С., Момент доказательства: математические прозрения , Oxford University Press, США; Новое издание Ed (14 декабря 2000 г.).ISBN 0-19-513919-4.
      • Бойер, Карл Б., История математики , Wiley; 2-е издание (6 марта 1991 г.). ISBN 0-471-54397-7. — Краткая история математики от понятия числа до современной математики.
      • Дэвис, Филип Дж. И Херш, Рубен, Математический опыт . Книги Моряка; Репринтное издание (14 января 1999 г.). ISBN 0-395-92968-7.
      • Гуллберг, Ян, Математика — от рождения чисел . W. W. Norton & Company; 1-е издание (октябрь 1997 г.).ISBN 0-393-04002-X.
      • Hazewinkel, Michiel (ed.), Энциклопедия математики . Kluwer Academic Publishers 2000. — Переведенная и расширенная версия советской математической энциклопедии в десяти (дорогих) томах, наиболее полная и авторитетная из имеющихся работ. Также в мягкой обложке и на CD-ROM, и в Интернете.
      • Журден, Филип Э. Б., Природа математики , в Мир математики , Джеймс Р. Ньюман, редактор Dover Publications, 2003, ISBN 0-486-43268-8.

      Внешние ссылки

      В Викиверситете вы можете узнать больше и рассказать другим о Mathematics по адресу:
      • Математика в наше время на BBC. (слушайте сейчас)
      • Бесплатные книги по математике Коллекция бесплатных книг по математике.
      • Encyclopaedia of Mathematics онлайн-энциклопедия от Springer, справочная работа для выпускников с более чем 8000 статей, освещающая почти 50 000 математических понятий.
      • Сайт HyperMath в Государственном университете Джорджии
      • Библиотека FreeScience Математический раздел библиотеки FreeScience
      • Русин, Дэйв: Математический атлас .Экскурсия по различным разделам современной математики. (Также можно найти на NIU.edu.)
      • Полянин, Андрей: EqWorld: Мир математических уравнений . Интернет-ресурс, посвященный алгебраическим, обыкновенным производным, частным производным (математическая физика), интегральным и другим математическим уравнениям.
      • Каин, Джордж: онлайн-учебники математики доступны бесплатно онлайн.
      • Tricki, сайт в стиле Wiki, который призван превратиться в большой запас полезных математических методов решения проблем.
      • Mathematical Structures, список сведений о классах математических структур.
      • Биографии математиков. Архив истории математики MacTutor Обширная история и цитаты всех известных математиков.
      • Метамат . Сайт и язык, формализующие математику с самого начала.
      • Nrich, отмеченный наградами сайт для студентов от пяти лет из Кембриджского университета
      • Open Problem Garden, вики-сайт открытых задач по математике
      • Планета Математика .Строящаяся онлайн-энциклопедия математики, посвященная современной математике. Использует лицензию Attribution-ShareAlike, позволяющую обмениваться статьями с Википедией. Использует разметку TeX.
      • Некоторые математические апплеты, в MIT
      • Вайсштейн, Эрик и др .: MathWorld: мир математики . Онлайн-энциклопедия математики.
      • Видеоуроки по математике Патрика Джонса
      • Citizendium: Теория (математика).

      Что такое математика? | Живая наука

      Математика — это наука, которая занимается логикой формы, количества и расположения.Математика окружает нас повсюду, во всем, что мы делаем. Это строительный материал для всего в нашей повседневной жизни, включая мобильные устройства, архитектуру (древнюю и современную), искусство, деньги, инженерное дело и даже спорт.

      С самого начала записанной истории математические открытия были в авангарде каждого цивилизованного общества и использовались даже в самых примитивных культурах. Потребности в математике возникли на основе потребностей общества. Чем сложнее общество, тем сложнее математические потребности.Первобытным племенам требовалось немного больше, чем умение считать, но они также полагались на математику для расчета положения солнца и физики охоты.

      История математики

      Несколько цивилизаций — в Китае, Индии, Египте, Центральной Америке и Месопотамии — внесли свой вклад в математику, которую мы знаем сегодня. Шумеры были первыми, кто разработал систему счета. Математики разработали арифметику, которая включает в себя основные операции, умножение, дроби и квадратные корни.Система шумеров перешла через Аккадскую империю к вавилонянам около 300 г. до н. Э. Шестьсот лет спустя в Америке майя разработали сложные календарные системы и были опытными астрономами. Примерно в это же время была разработана концепция нуля.

      По мере развития цивилизаций математики начали работать с геометрией, которая вычисляет площади и объемы для выполнения угловых измерений и имеет множество практических приложений. Геометрия используется во всем: от домашнего строительства до моды и дизайна интерьера.

      Геометрия идет рука об руку с алгеброй, изобретенной в девятом веке персидским математиком Мухаммедом ибн-Мусой аль-Ховаризми. Он также разработал быстрые методы умножения и погружения чисел, которые известны как алгоритмы — искажение его имени.

      Алгебра предложила цивилизациям способ делить наследство и распределять ресурсы. Изучение алгебры означало, что математики решали линейные уравнения и системы, а также квадратики и копались в положительных и отрицательных решениях.Математики в древности тоже начали интересоваться теорией чисел. У истоков построения формы теория чисел изучает фигуральные числа, характеризацию чисел и теоремы.

      Математика и греки

      Изучение математики в ранних цивилизациях было строительным блоком для математики греков, которые разработали модель абстрактной математики через геометрию. Греция с ее невероятной архитектурой и сложной системой управления была образцом математических достижений до наших дней.Греческие математики были разделены на несколько школ:

      • Ионическая школа , основанная Фалесом, которому часто приписывают первые дедуктивные доказательства и разработку пяти основных теорем плоской геометрии.
      • Школа Пифагора , основанная Пифагором, который изучал пропорции, плоскую и твердотельную геометрию, а также теорию чисел.
      • Элейская школа , в которую входил Зенон Элейский, известный своими четырьмя парадоксами.
      • Школа софистов , которая получила высшее образование в развитых греческих городах.Софисты давали инструкции по публичным дебатам, используя абстрактные рассуждения.
      • Платоническая школа , основанная Платоном, который поощрял исследования по математике в среде, очень похожей на современный университет.
      • Школа Евдокса , основанная Евдоксом, который разработал теорию пропорций и величин и произвел множество теорем в плоской геометрии
      • Школа Аристотеля , также известная как Лицей, была основана Аристотелем и последовала за ней. Платоническая школа.

      Помимо перечисленных выше греческих математиков, многие греки оставили неизгладимый след в истории математики. Архимед, Аполлоний, Диофант, Папп и Евклид пришли из этой эпохи. Чтобы лучше понять последовательность и влияние этих математиков друг на друга, посетите эту временную шкалу.

      В это время математики начали работать с тригонометрией. Вычислительная природа тригонометрии требует измерения углов и вычисления тригонометрических функций, которые включают синус, косинус, тангенс и их обратные величины.Тригонометрия основана на синтетической геометрии, разработанной греческими математиками, такими как Евклид. Например, теорема Птолемея дает правила для хорд суммы и разности углов, которые соответствуют формулам суммы и разности для синусов и косинусов. В прошлых культурах тригонометрия применялась в астрономии и вычислении углов небесной сферы.

      После падения Рима развитие математики взяли на себя арабы, а затем европейцы. Фибоначчи был одним из первых европейских математиков и прославился своими теориями по арифметике, алгебре и геометрии.Эпоха Возрождения привела к достижениям, которые включали десятичные дроби, логарифмы и проективную геометрию. Теория чисел была значительно расширена, а теории вероятностей и аналитическая геометрия открыли новую эру математики с расчетом на переднем крае.

      Развитие математики

      В 17 веке Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга разработали основы математического анализа. Развитие математического анализа прошло три периода: ожидание, развитие и строгость.На этапе ожидания математики пытались использовать методы, включающие бесконечные процессы, чтобы найти области под кривыми или максимизировать определенные качества. На стадии разработки Ньютон и Лейбниц объединили эти методы через производную и интеграл. Хотя их методы не всегда были логически правильными, математики в 18 веке начали этап ригоризации и смогли обосновать их и создать заключительный этап исчисления. Сегодня мы определяем производную и интеграл в терминах пределов.

      В отличие от исчисления, которое представляет собой тип непрерывной математики, другие математики придерживаются более теоретического подхода. Дискретная математика — это раздел математики, который имеет дело с объектами, которые могут принимать только отдельные, отдельные значения. Дискретные объекты можно охарактеризовать целыми числами, тогда как непрерывные объекты требуют вещественных чисел. Дискретная математика — это математический язык информатики, поскольку он включает изучение алгоритмов. Сферы дискретной математики включают комбинаторику, теорию графов и теорию вычислений.

      Люди часто задаются вопросом, чем сегодня служат релевантные математики. В современном мире математика, такая как прикладная математика, не только актуальна, но и крайне важна. Прикладная математика — это разделы математики, которые занимаются изучением физического, биологического или социологического мира. Идея прикладной математики заключается в создании группы методов, решающих научные задачи. Современные области прикладной математики включают математическую физику, математическую биологию, теорию управления, аэрокосмическую инженерию и математические финансы.Прикладная математика не только решает задачи, но и открывает новые проблемы или развивает новые инженерные дисциплины. Прикладным математикам требуется опыт во многих областях математики и естественных наук, физической интуиции, здравого смысла и сотрудничества. Общий подход в прикладной математике состоит в построении математической модели явления, решении модели и разработке рекомендаций по повышению производительности.

      Хотя чистая математика не обязательно противоположна прикладной математике, ее движут абстрактные проблемы, а не проблемы реального мира.Многое из того, чем занимаются чистые математики, может иметь свои корни в конкретных физических проблемах, но более глубокое понимание этих явлений порождает проблемы и технические детали. Эти абстрактные проблемы и технические детали пытается решить чистая математика, и эти попытки привели к крупным открытиям для человечества, включая Универсальную машину Тьюринга, теоретизированную Аланом Тьюрингом в 1937 году. Универсальная машина Тьюринга, которая зародилась как абстрактная идея, позже заложил основу для развития современного компьютера.Чистая математика абстрактна и теоретически основана, и поэтому не ограничена физическим миром.

      По словам одного чистого математика, чистые математики доказывают теоремы, а прикладные математики строят теории. Чистое и прикладное не исключают друг друга, но они уходят корнями в разные области математики и решения задач. Хотя сложная математика, используемая в чистой и прикладной математике, находится за пределами понимания большинства средних американцев, решения, выработанные на основе этих процессов, повлияли на жизнь всех и улучшили ее.

      Геометрия

      Геометрия — это всего фигур, и их свойства.

      Если вам нравится играть с объектами или рисовать, то геометрия для вас!

      Геометрию можно разделить на:


      Плоская геометрия — это плоские формы, такие как линии, круги и треугольники … формы, которые можно нарисовать на листе бумаги


      Solid Geometry — это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.

      Совет: попробуйте нарисовать некоторые формы и углы по мере изучения … это поможет.

      Точка, линия, плоскость и твердое тело

      Точка не имеет размеров, только позиция
      Линия одномерная
      Самолет двумерный (2D)
      Твердое тело трехмерное (3D)

      Почему?

      Почему мы делаем геометрию? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы и лучше понимать мир вокруг нас.

      Плоская геометрия

      Плоская геометрия — это все о формах на плоской поверхности (например, на бесконечном листе бумаги).




      Полигоны

      Многоугольник — это двумерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники — это многоугольники.

      Вот еще несколько:

      Круг

      Теоремы о круге (расширенная тема)

      Символы

      В геометрии используется много специальных символов.Вот вам краткая справка:

      Геометрические символы

      Конгруэнтные и похожие

      Уголки

      Типы углов

      Преобразования и симметрия

      Преобразований:

      Симметрия:


      Координаты

      Дополнительные разделы по геометрии плоскости

      Пифагор

      Конические секции

      Теоремы о круге

      Центры треугольника

      Тригонометрия

      Тригонометрия — отдельная тема, поэтому вы можете посетить:

      Твердая геометрия

      Solid Geometry — это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем…

      … начнем с самых простых форм:


      Общие 3D-формы

      Многогранники и неполиэдры

      Есть два основных типа твердых тел: «Многогранники» и «Неполиэдры»:

      Многогранники (должны иметь плоские грани) :

      Mathematics — RationalWiki

      «» Поднимись над собой и познай мир.

      — Приписывается Архимеду [1]
      На медали Филдса изображен Архимед, один из величайших математиков всех времен.


      Математика можно понимать как изучение формальных систем и отношений между ними, хотя общепринятого определения не существует. Основные разделы математики — алгебра, геометрия, теория чисел, топология, анализ, логика, вероятность и статистика. Математика — это фундаментальная истина, и, если все сделано правильно, для рациональных людей невозможно отрицать, то есть математика также является одним из немногих аспектов жизни, где абсолютное доказательство считается возможным.Например, единственный способ отрицать, что 1 + 1 = 2 — использовать определение «1», «2», «+» или «=», которое не является общепринятым [2] . Или добавьте два объекта с разными единицами измерения, например, один метр и одно яблоко.

      Математика — это основа инженерии и науки и важна в повседневной жизни в целом. Хотя некоторые могут рассматривать математику как «точную науку», это неверно. Математика — формальная наука, занимающаяся только абстрактными структурами, их свойствами и логическими отношениями между ними.Онтология — сравнение теоретических расчетов с эмпирическими наблюдениями — это мост между математикой и науками.

      Читателю предлагается протестировать свое окружение: взглянуть на свое окружение и попытаться обнаружить что-нибудь, где вообще не использовалась математика. Это включает оценку срубленных деревьев (как был сделан топор?), Засеянных полей (как был рассчитан посев?) И так далее. Лавовые поля, размытые горы и другие чисто природные явления существуют без помощи математики, но все, что создано руками человека, вероятно, основано на ней.

      Несмотря на невероятную важность, Нобелевская премия в области математики не присуждается (некоторые утверждают, что жена Нобеля сбежала с математиком, хотя, поскольку Нобель никогда не был женат, это кажется маловероятным [3] ). Бедным математикам приходится довольствоваться гораздо менее престижной (для нематематиков) медалью Филдса. С другой стороны, нет наград в других областях, эквивалентных задачам Millennium Prize, которые представляют собой набор из семи математических задач, каждая с вознаграждением в миллион долларов США за первое опубликованное решение.Лучше приступайте к работе, так как одна уже решена [4] !

      Несколько фундаментальных математических утверждений, известных как аксиомы, не доказаны и вместо этого считаются истинными. Нельзя оставаться в рамках формализма и сомневаться в справедливости аксиом, на которых он стоит. Одна вещь об аксиомах в математике (и других логических попытках) заключается в том, что они всегда , заявленные заранее. Всегда интересно посмотреть, какие структуры можно построить, отбросив некоторые из них, например, в неевклидовой геометрии.

      Следует отметить, что математические символы, которые так часто пугают людей, — это просто стенография. Любую математическую формулу можно написать на естественном языке. Конечно, даже простые уравнения были бы очень громоздкими, если бы так было .

      Тонкий изъян в математическом аргументе часто может привести к абсурдному выводу; см. примеры математических ошибок.

      Многим интересна так называемая математическая патология.За отсутствием лучшего см. Статью в Википедии Патологическая (математика) . Примером, не описанным здесь, является Рог Габриэля — явления такого рода также имеют красочные названия.

      Если начинающий читатель желает познакомиться с математикой, лучший совет, наверное, такой: взгляните на серию «Для чайников». Несмотря на название, книги в основном очень полезны и не предназначены для чайников. Они стремятся дать новичку опыт работы в этой области, хорошо объясненный и часто очень хорошо написанный.

      Ссылки [править]

      1. ↑ «Медаль Филдса». Материал из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. Доступ 4 февраля 2019 г.
      2. ↑ Ну, действительно, 1 + 1 = 10! Любой компьютерный ученый скажет вам это.
      3. ↑ Рассматриваемым математиком должен был быть Гёста Миттаг-Леффлер , но это было полностью опровергнуто.
      4. ↑ Григорий Перельман утвердительно ответил на гипотезу Пуанкаре. Найдите время, чтобы прочитать статью Перельмана в Википедии.Мягко говоря, интересно.

      Дополнительная литература [править]

      • А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев (1999). Математика: ее содержание, методы и смысл . Дувр. Существуют тысячи книг, содержащих обзор математики. Это один из наиболее интересных способов.

      См. Также [править]

      Внешние ссылки [править]

      .